Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 363 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Г л а в а II . ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

§6. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

Впрямоугольной системе координат положение точки М определяется ее координатами (х; у). Множеству точек соответ ствует множество таких пар чисел. Свойство, общее для всех точек линии, может быть выражено соотношением, которое свя зывает координаты х и у этих точек.

Пример 1. Составить	уравнение	линии, лежащей	в I и I I I
четвертях, каждая точка	которой расположена вдвое		ближе	к
оси Оу, чем к оси Ох.				М
Р е ш е н и е . Возьмем	на линии	какую-нибудь	точку	М

(рис. 21), считая, что линия описана движением этой точки.

Неподвижная,

«фиксированная»,

точка плоскости

имеет

вполне

определенные

координаты.

Если

точка

движется

по

некоторой

линии, то координаты изменяются при ее движении,

но не мо

гут быть произвольными, так как точка по условию все

время

остается на данной

линии.

Определение

Координаты

точки

М,

движущейся

по

неко

торой

данной

линии,

называются

текущими

координатами

точ

ки

и обозначаются

через

(х\

у).

Для вывода уравнения линии запишем свойство, которым

обладает каждая ее точка (и только ее

точка),

значит

точ

ка М во все время

своего

движения.

Спроектируем

точку

на

оси Ох и Оу. Согласно

условию задачи,

ММ1 = 2ММ2.

Но

ММ1=

у,

ММ2

х.

ММг

= 2ММ2 можно

Следовательно,

условие

записать

у =

2х.

Это и есть уравнение искомой линии, где х и

у — текущие ко

ординаты

точек,

лежащих на данной линии.

Любая точка, лежащая на этой линии, будет удовлетворять

данному уравнению линии, т. е. если в уравнение линии

вмес

то текущих координат подставить

координаты

точки,

то

урав

нение

превратится

тождество.

Определение

Уравнение относительно

текущих

координат

х,

у,

которому

удовлетворяют

координаты всех

точек

линии

(и

только

этих

точек),

называется

уравнением

данной

линии.

Р и с .	21	Р и с .	22
Пример 2.	Какие из	точек Л (2; 4), 5(0;	1),	С(3;	6) лежат
на прямой у =	2х.	текущих координат х	и	у в
Р е ш е н и е .	Вместо	текущих координат х	и	у в	уравнение

- у =

2х подставим координаты точек:

Л(2;

4), 5(0;

1),

С(3;

6).

Получим: точка

Л (2; 4) (4 =

2 - 2,4

лежит,

точка

5(0;

( 1 =

2 • 0,1 ф 0)

не

лежит и

точка

С(3;

(6 =

2 -

3,6 = 6)

ле

жит

на прямой

у =

2х.

§ 7. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Прямая

линия

будет

определена, если

даны два

параметра,

определяющие ее положение. В качестве параметров

возьмем

начальную

ординату

Ь, т. е. отрезок, отсекаемый

прямой на

оси

Оу,

угол

наклона

ср прямой

к оси Ох (рис. 22).

Определение 3.

Углом

наклона

прямой

оси

Ох

называется

угол;

на который

нужно

мысленно

повернуть

ось Ох

до

совпаде

ния

данной

прямой

или ей

параллельной.

При

повороте

оси

против

часовой стрелки

угол считают положительным, а при

повороте по часовой стрелке —

отрицательным.

оси Ох, одна и

Согласно

определению

угла наклона прямой к

та же прямая будет иметь множество углов наклона, отличаю щихся друг от друга на 180°, полученных при многократном повороте оси Ох до совпадения с прямой в одном и том же направлении:

Ф, Ф + 180°, ф + 180° + 180°,...

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох будет иметь единст венное значение:

tg Ф = tg (Ф + 180°) = tg (Ф + 180° + 180°)


Поэтому	в качестве второго		параметра вводят угловой коэффи
циент прямой.
Определение 4.		Угловым	коэффициентом	прямой называется
тангенс	угла наклона этой		прямой к оси Ох.	Обозначается угло
вой коэффициент		буквой k:

k = igy.

Возьмем на прямой (рис. 22) произвольную точку М с теку щими координатами (л:; у). Спроектируем ее на ось Ох и про ведем прямую ВС, параллельную оси Ох. Для точки М(х; у) можно записать:

МР=МС + СР.

Из прямоугольного треугольника ВМС МС = BCtgcp. Тогда

МР=

ВС tgcp +

или

y=kx

(1)

где х

и у — текущие

координаты;

k — угловой

коэффициент;

Ь — начальная

ордината.

уравнением

прямой

угловым

ко

Уравнение

(1)

называется

эффициентом.

Если в уравнении (1) k=0,

т. е.

tgq> =

то

прямая

па

раллельна оси

Ох

и ее

уравнение принимает

вид

у =

Ь.

Если же в

уравнении

(1)

6 =

0, то прямая проходит через

начало

координат

О(0;

ее уравнение

имеет

вид

у =

kx.

Пример 3.

Построить прямую

у = х — 4.

Ь =

Р е ш е н и е .

В данном

случае

& =

tg(p—1 и ф =

45°,

= —4. Следовательно,

эта прямая

проходит

через

точку

Л(0;

— 4) под углом ф =

45° к оси

Ох

(рис. 23).

Таким

образом,

для

пря

мой

на

плоскости

можно

со

ставить уравнение и по нему

построить

эту

прямую.

Ряд

законов

физики,

хи

мии,

биологии

медицины

выражаются уравнением

пря

мой линии

угловым коэф

фициентом.

Закон Гей-Люссака, да-

Р * с

ющий

зависимость

объема V

газа от температуры t° С, выражается уравнением прямой с уг ловым коэффициентом

v = v0 + v0pt,

где V0 — объем газа при температуре 0° С; р — коэффициент объемного расширения.

Сравнивая это уравнение с (1), видим, что k=V0p, b = V0.

Получив на опыте график закона Гей-Люссака для данного газа, из условия k = V0 р можно определить коэффициент объемного расширения Р исследуемого газа.

2. Закон Шарля, дающий зависимость давления р газа от температуры t° С, выражается уравнением прямой с угловым коэффициентом

				Р =	Ро + Ро 7 t,
где	р0	— давление газа		при	температуре			0° С;	-(— термический
коэффициент			давления.
В		данном	уравнении.
				b=Po,		k =	p0~;.
3.		Зависимость сопротивления R					металлов		от температуры
Г С	выражается уравнением				прямой		с угловым		коэффициентом
				R = R0 +			R0at,
где	R0	— сопротивление		при	температуре			00 С;	а — температур
ный	коэффициент сопротивления.
В		этом уравнении
				b = R0,		k = Ru а.

4. Большое практическое значение имеет уравнение изотер мы адсорбции Фрейндлиха (для средних концентраций) [42]

х = асп,

где х — количество миллимолей вещества, адсорбиро ванного одним граммом ад сорбента из 100 мл раст вора; с — равновесная миллимолярная концентрация; а и п — константы, зави сящие от природы адсор бента и адсорбируемого вещества.

Логарифмируя послед нее уравнение, получим

l g * = lga +

rclgc.

Р и с . 24

В координатах \gx и lgc это уравнение выражает прямую с угловым коэффициентом (рис. 24), для которой

• k = п,	b = \ga.
5. При изучении скорости	распространения пульсовой волны

в сосудах рук и ног в нормальных условиях было установлено, что она зависит преимущественно от возраста и описывается

уравнением		прямой с угловым	коэффициентом [53]
		v = 8В -f-		425,
где	v — скорость распространения пульсовой волны в артериях
рук,	см/сек;	В — возраст, годы.
В этом		уравнении
		ft = 8,	6 =	425.

6. В живых системах постоянно протекают необратимые ре акции. Важной их характеристикой является скорость, которая для большого числа процессов подчиняется закону Аррениуса. Согласно эмпирическому уравнению Аррениуса [5], константа реакции зависит от температуры по закону

		_£«.
		k = Se	*т,
где	5 — множитель	Аррениуса; Еа	— энергия	активации по Ар-
рениусу; R — универсальная газовая постоянная; Т — абсолют
ная	температура; е — постоянная		величина (см. § 57).
	Это уравнение	в логарифмической форме		имеет вид

\gk = _ 0 , 4 3 4 3 - | ! - А - + lgS.

Это уравнение носит название прямой Аррениуса. График зави симости логарифма константы скорости реакции Igk от вели чины —-, обратной абсолютной температуре, представляет пря

мую	линию		с	угловым	коэффициентом	(рис.- 25).	В уравне-
						Р
нии	прямой		Аррениуса b ~ lgS, k = — 0,4343-^. По				значению
k можно		найти		важную	характеристику	реакции — энергию ак
тивации		Еа.

§ 8. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ В ОТРЕЗКАХ

Выведем уравнение прямой, положение которой на плоскости задано отрезками, отсекаемыми ею на осях координат. Пусть прямая АВ отсекает на оси Ох отрезок OA — а, а на оси Оу — отрезок ОВ = b (рис. 26).

	b	X
		X
	0	X
		X
		а
Р и с . 25		Р и с . 26

Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) и спроек- тируем ее на ось Ох. Из подобия треугольников АБО и AMP

можно написать

Л № _ _ Л Р		у _ а — х
ВО	АО '
или
	X	(2)
	а	(2)

Это и есть уравнение прямой в отрезках, где х и у — текущие координаты, а и Ь — отрезки, отсекаемые прямой на осях коор динат.

Пример 4. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Ох отрезок длиной а = 2 и на оси Оу отрезок длиной Ь = — 3 единицам масштаба.

Р е ш е н и е . Применив		формулу	(2),		получим		уравнение				ис
комой прямой					+
^1					+			•	1 или
								•	1 или
	V 4 /				X			=	1
					т			=	1
					т
			Для		построения			данной			пря
		мой		на	оси	Ох		откладываем
0	/Д(Г/;0)	Т длину			отрезка		а = 2 единицам
		масштаба, на оси Оу длину от
		резка		Ь — — 3 единицам масшта
		ба	и	через		концы		этих		отрез
		ков проводим прямую (рис.									27).
			П р и м е ч а н и е .					Уравнение			пря
		мой, проходящей через начало коорди
		нат	или параллельной одной из осей
		координат, не				может		быть		записано
		как	уравнение			прямой		в	отрезках.

§9. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Вуравнения прямой линии с угловым коэффициентом и в отрезках текущие координаты х и у входят в первой степени. Следовательно, прямой линии соответствует уравнение первой степени относительно текущих координат х и у.

Докажем обратное положение: всякое уравнение первой										сте
пени относительно			текущих		координат		х	и у есть	уравнение
прямой	линии	на	плоскости.
Возьмем общее уравнение первой степени относительно те
кущих	координат х и			у
				Ах + By + С = 0,						(3)
где А, В и С—постоянные					коэффициенты.
Если в уравнении				(3) А • В • С Ф О,			то	после любого		тож
дественного		преобразования			уравнения		(3)	получим	уравнение,
равносильное		данному.
Из	уравнения		(3) значение у			равно
				У =	А	С
				У =		—в*—в-
Обозначив		А	k,	С		b, получим
Обозначив		-jj- =	k,	g~ =		b, получим
				у *=kx + b.						(За)

Уравнение (За) равносильно уравнению (3) и является урав нением прямой с угловым коэффициентом (1).

Следовательно, уравнение Ах + By + С — О первой степени относительно текущих координат х, у соответствует прямой линии и носит название уравнения прямой в общем виде.

Рассмотрим частные случаи уравнения (3).

1. А • В Ф О, С = 0. Из (3) Ах + By = 0, откуда

Аи

У— g - X ИЛИ у = RX,

где k = — -g-.

у = kx есть уравнение прямой, проходящей через начало ко ординат (рис. 28).

2. А • С Ф 0, В = 0. Из (3) Ах + С = 0, откуда

х = т- или х = а,

где а = — -J-.

55	и
rt		y-b
fi	b

-a /0

у-ь

'-b

Ри с . 28

x= а есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и отсе

кающей на оси Ох отрезок				а (рис.	28).
В случае а =	0 получим			уравнение оси		Оу : х = 0.
3. В • С ф 0,	Л =	0.	Из	(3) 5# =	—С,	откуда
	У =	—	j -	или г/ =	6,
где b — — -g-.

г/ = Ь есть уравнение прямой, параллельной оси Ох и отсе кающей на оси Оу отрезок Ь (рис. 28).

В	случае		Ь =	0 получим уравнение		оси	Ох: у =	0.
Общее уравнение прямой путем тождественных								преобразо
ваний можно привести к любому виду уравнения прямой.
Пример 5.			Привести		уравнение прямой
					Зх — Зу — 6 =	0
к виду: 1)		с	угловым		коэффициентом;	2) в	отрезках.
. Р е ш е н и е .				1) Из уравнения прямой ЗА; — Зу — 6 = 0 найдем
					у= х — 2.
Получили уравнение прямой с угловым							коэффициентом, где
k=l,	b =	—2.				Зх — Зу — 6 = 0 свобод
2) Перенесем в уравнении прямой						Зх — Зу — 6 = 0 свобод
ный	член	в правую часть и разделим				на него все		уравнение:
				Зх-3у=	6,	§- =	1

или
Получили уравнение прямой	в	отрезках,	где а = 2,	b = — 2.
График прямой приведен на	рис. 29.
§ 10. УРАВНЕНИЕ ПУЧКА ПРЯМЫХ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ
ДАННУЮ ТОЧКУ
Дана точка Р (хх ; у^). Найти		уравнение прямой,		проходя
щей через эту точку (рис. 30).
Будем искать уравнение прямой в виде			уравнения	с угло
вым коэффициентом		+ b.
у =	kx	+ b.

Для определения параметров k и b искомой прямой запишем условие того, что точка Р (ХІ; Уі) лежит на искомой прямой:

Уі = kxx	+ b.
Из последнего уравнения найдем Ь:
Ь = Уі — kxx.
Значение b подставим в уравнение у — kx +		b и получим
У — Уі = k{x	— Хі).	(4)

В уравнении (4) угловой коэффициент k не определен, т. е. мо

жет принимать			различные	значения.			Уравнение (4)		носит	на
звание уравнения			пучка прямых,		проход		ящих через данную точку.
Пример	6.	Написать уравнение				пучка		прямых,	проходящих
через точку	А	(2; 5).
Р е ш е н и е .			Согласно	уравнению			(4),	уравнение	пучка	пря
мых будет	иметь вид
			у — 5 =		k(x	— 2).

§ 11. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ДАННЫЕ

ТОЧКИ

Д а ны две точки

А (х±, ух ) и В(х2;

у2).

Найти уравнение пря

мой, проходящей через эти две точки.

Будем искать уравнение прямой в

виде

уравнения с

угло

вым

коэффициентом

y — kx-\-b.

Определим параметры

и b

пр ямой

из условия,

что

точки

А (хі,

Уі)

В (х2;

г/г) лежат

на

да иной прямой:

J Уі = **і +

\ y2 = kx2 + b.

Решая систему уравнении, найдем значения к и о и,

подставив

их в

уравнение

у =

b, получим

У — Уі

х—

/ел

Уг — Уі

хї

— х 1 '

\ >

Уравнение (5)

есть

уравнение

прямой,

проходящей

через

две

данные

точки.

Уравнение прямой, заданное в виде (5), удобно для постро

ения

прямой,

ибо через

две

точки

координатами

(хг;

г/і) и

(х2;

у%) легко

провести

единственную

прямую.

Пример 7. Написать уравнение прямой, проходящей через

точки

А (4; —2)

В (3;

— 1).

Р е ш е н и е .

Согласно

(5),

уравнение

данной

прямой

будет

иметь

вид

у+2

х—4

— 1 + 2

3 — 4

или

у =

- х

§ 12. ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПРЯМЫХ

Точка пересечения двух прямых является их общей точкой. Поэтому координаты ее должны удовлетворять уравнениям обеих прямых, т. е. должны быть их общими корнями.

Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, надо решить совместно их уравнения.

Ахх	+	В±у		+ Сі — 0]— уравнение			первой	прямой,
А2х	+	В2у		+	С2 = 0	— уравнение	второй	прямой.
Пример 8.		Найти			точку	пересечения	прямых х — t/ -4- 1 = 0
и 2х + у +	2	=	0.
Р е ш е н и е .			Решим систему уравнений

<<< < Предыдущая 1 23 / 363 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ