книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

деленных взаимно независимых случайных величин в п раз меньше дисперсии D(X) каждой из величин.

У п

Доказательство этих положений читатель может найти в [14], [19].

непрерывной случайной величины. Определим вероятность dP

ному интегралу от плотности вероятности в пределах от а до Ь.

Р(а < х < b) = \ /(х) dx =

Функция распределения определяет для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х,

F (х) = Р (— со < X < х).

Математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X) непре­ рывной случайной величины, распределенной с плотностью f(х), определяются так:

М (X) =+fxf (х) dx,

+ 00

D (X) = М [X — М (X)]2 = j [х — М (X)]2 / (х) dx.

§ 131. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (ЗАКОН ГАУССА)

Наиболее часто встречаются случайные величины, распреде­ ленные по нормальному закону, или по закону Гаусса. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других зако­ нов распределения, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределе­ ния при очень часто встречающихся типичных условиях.

Р и с . 133

Случайная величина распределена по нормальному закону, если плотность вероятности ее имеет вид

где х =М(Х) есть математическое ожидание случайной вели­ чины; а — среднее квадрэтическое отклонение нормально рас­ пределенной случайной величины; f(x) — выражает плотность вероятности случайной величины. Часто вместо параметра с

и1

График плотности вероятности нормально распределенной случайной величины (9) приведен на рис. 133 и носит название

нормальной кривой распределения или кривой Гаусса. Построить график можно, пользуясь правилами построения графиков функ­

= —-т= (§ 85), т. е. математическое ожидание случайной ве-

о У 2л

личины является наивероятнейшим ее значением. Точки В я С

являются точками перегиба (§ 88).

Установим, как влияют параметры х и а на форму кривой Гаусса.

1. Из формулы (9) видно, что центром симметрии распреде­ ления является центр рассеивания х = х и, если изменять центр рассеивания х, кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы. Таким образом, матема­ тическое ожидание случайной величины х определяет положе­ ние распределения на оси абсцисс (рис. 134). При х = О

Площадь, ограниченная кривой нормального распределения, всегда равна единице (7), поэтому при. увеличении о кривая распределения становится пологой, т. е. сжимается к оси Ох и

Причина того, что нормальный закон распределения встре­ чается очень часто, кроется в том, что если случайная величи­ на зависит от большого числа различных факторов, каждый из которых, взятый в отдельности, влияет на эту величину срав­ нительно мало, то можно приближенно считать, что рассматри­ ваемая случайная величина подчиняется нормальному закону распределения. Точную формулировку всех условий, при кото­ рых это действительно будет иметь место, дает предельная тео­ рема Ляпунова, рассмотрение которой выходит за рамки нашего курса.

Пример 4. Производится измерение некоторой физической величины при помощи измерительного прибора. Любое измере­ ние дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как на результат измерения оказывают влияние очень мно­ гие случайные факторы (изменение температуры, колебания при­

Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы можем заклю­ чить, что суммарная ошибка будет иметь распределение вероят­ ностей, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедли­ вость такого заключения.

§132. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ЗАДАННЫЙ ИНТЕРВАЛ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Найдем функцию распределения для нормально распреде­ ленной случайной величины. Согласно (8),

тогда

таблицы. В табл. 7 Приложений приведены значения функции Ф (t).

Очевидно, F(x) = ф ( ^ - т ^ ) = ф ( 0 - Д л я нормальной функции распределения имеет место свойство

Ф ( _ t) = 1 — Ф (О-

Пример 5. Случайная величина X распределена по нормаль­ ному закону, для которого х = 30, а = 10. Найти вероятность того, что X примет значение, меньшее 10.

Р е ш е н и е .

превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно, равна 0,0028. Исходя из принципа невозможности ма-

в массе взаимно погашаются, выравниваются. Именно эта устой­ чивость средних значений и представляет собой физическое со­ держание «закона больших чисел», понимаемого в широком смыс­ ле слова. При очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой точностью.

В узком смысле слова под «законом больших чисел» в тео­ рии вероятностей понимают ряд математических теорем, в каж­ дой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опы­ тов к некоторым определенным постоянным. Для практики очень важно знать условия, при выполнении которых совокупное дей­ ствие очень многих случайных причин приведет к результату, почти не зависящему от случая, и позволит предвидеть ход явле­ ния. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. Сюда относятся теоремы Чебы-

сти появления события в каждом испытании. При достаточно

сел заключается в том, что он раскрывает те условия, при ко­ торых вероятность появления события становится сколь угодно близкой к единице (или к нулю).

Пример 6. При каком числе независимых испытаний вероят­

Следовательно, требуемое число независимых испытаний п > 131.

Задачи

1. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 10 новорожденных 6 мальчиков.

2. Вероятность выиграть по одному билету лотереи равна 1/17. Какова вероятность, имея 6 билетов, выиграть: 1) по 2 билетам; 2) по 3 билетам?

3.В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 1000 руб., четыре по 500 руб., пять по 400 руб. и десять вы­ игрышей по 100 руб. Найти закон распределения стоимости выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

4.Предполагая одинаковыми вероятности рождаемости мальчика и де­ вочки, составить закон распределения случайной величины X, которая вы­

ражает число мальчиков в семье, имеющей 5 детей.

5. Медсестра обслуживает 4 больных. Вероятность того, что в течение часа не потребует внимания медсестры первый больной равна 0,9, второй — 0,8, третий—0,75 и четвертый — 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию числа больных, которые не потребуют внимания медсестры в те­ чение часа.

6.Найти вероятность того, что нормальная случайная величина с мате­ матическим ожиданием, равным 1, и дисперсией, равной 4, примет значение, меньшее 0.

7.Вероятность положительного исхода отдельного испытания р = 0,8. Оценить вероятность того, что при 1000 независимых повторных испытаний отклонение частоты положительных исходов от вероятности при отдельном испытании по абсолютной величине будет меньше 0,05.

Г л а в а X X . ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Законы теории вероятностей представляют собой математи­ ческое выражение реальных закономерностей, существующих в массовых случайных явлениях природы. Каждое исследование в области случайных явлений, как бы отвлеченно оно ни было, всегда связано с экспериментом, системой наблюдений.

Разработка методов регистрации, описания и анализа экспе­ риментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений, составляет предмет специальной науки — математической статистики. Задачи, которые реша­ ются с ее помощью, принимают ту или иную форму в зависи­ мости от характера вопроса и от объема накопленного опытного материала.

рость молекулы является вариантой, изменяющейся (варьирующей) от молекулы к молекуле.

Наиболее общую совокупность называют генеральной. Это теоретически бесконечно большая или приближающаяся к бес­ конечности совокупность всех членов, которые могут быть к