Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3628 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

следовательно,

Р(А) - f Р(А)

= ^ -

Т±±Л2

— і

или

Р(А)+Р(А)

З а м е ч а н и е .

Вероятность

одного из

двух

противоположных событий

часто обозначают

через

р,

второго

через q.

Тогда

p +

q=l.

Пример

Вероятность

того,

что

день

будет

дождливым

р —- 0,7.

Вероятность

того,

что день

будет

ясным:

д = 1 — р —

= 1 — 0,7 =

0,3.

Систему

событий

Аь

А2, ...,

Ап

называют

полной,

если в

испытании

обязательно

наступит

одно

и только

одно

из

этих

событий.

Теорема

3. Сумма вероятностей событий, образующих

пол

ную

систему,

равна

единице.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из понятия о полной системе

следует,

что

два

события

этой

системе

несовместимы

по

теореме

сложения

Р(Л) +

Р(А2) + ...+

Р(А„)

Р(Аг

или

А2 . . .

или

Ап).

Правая часть последнего равенства равна единице, так

как

она

выражает

вероятность

достоверного события. Следовательно,

Р{Ах) + Р{А2) + ...+Р(Ап)

(2)

Пример

5. Консультационный пункт института получает па

кеты с контрольными

работами

из городов А,

В я

С. Вероятность

получения пакета из города А равна 0,7,

из города

В — 0,2.

Найти вероятность р того, что очередной

пакет

будет

получен

из города

С.

Р е ш е н и е .

События

получения пакета из городов Л, В и С

составляют полную систему событий и поэтому

0,7 -f- 0,2 4- р = 1.

Искомая

вероятность

р =

1 — 0,9

0,1.

Введем понятие сложного

события.

Событие

называется

сложным,

если

оно

состоит

совпаде

нии

нескольких

простых

событий.

Простые

события,

составляю

щие сложное событие, делятся на независимые и зависимые.

Событие

называется

независимым

от

события

В,

если

вероятность

события

не

зависит

от

того,

произошло

собы

тие

или

нет.

Событие

называется

зависимым

от

события

В, если

веро

ятность

события

меняется

в зависимости

от

того,

произо

шло

событие В или

нет.

Пример

6. Монета брошена 2 раза. Вероятность

появления гер

ба в первом

испытании

(событие

А)

не

зависит

от

появления

или непоявления герба во втором испытании (событие В). В свою очередь вероятность выпадения герба во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Такие события А к В

будут

независимыми.

Пример 7. В урне два

белых шара

один

черный.

Пусть

появление

белого

шара

при

первом

извлечении

будет

событи

ем А,

при втором

извлечении — событием

В. Тогда

вероятность

события А, Р(А) — — . Если

же известно,

что событие

А про-

изсшло, то вероятность события В,

Р(В) —

Следовательно,

событие В зависит от события А. Вероятность

события

В, вы

численная

при

условии,

что

имело

место

событие

А,

называ

ется

условной

вероятностью

события

и обозначается

как

РА{В) ИЛИ Р(В/А).

сложного

события,

состоящего

из

Теорема 4.

Вероятность

совпадения

двух

независимых

простых

событий,

равна

произве

дению

вероятностей этих

простых

событий.

Р(А и В) = Р(А • В) = Р(А) • Р(В).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку

события

я В

независи

мы между собой, то каждый из тг

случаев, благоприятствую

щих событию А из «! возможных, может

совпасть с

любым

из

т2 случаев,

благоприятствующих событию В из пг

возможных.

Таким образом, число случаев, благоприятствующих

наступле

нию

обоих

событий,

составляет

тг

я т2 из ла

и л 2

возможных.

Отсюда

вероятность

появления

обоих

событий

Р(А

В)

= Ч± •

= Р(А) • Р(В).

Пример

8. Медицинская

сестра

обслуживает

в палате

четы

рех

больных. Вероятность

того,

что в течение часа первый боль

ной

потребует

внимания

сестры Р(А) = 0,2,

второй

больной —

Р(В)

= 0,3,

третий

больной — Р(С) = 0,25,

четвертый

больной

P(D)

— 0,1.

Найти вероятность того, что в течение часа все

больные потребуют к себе внимания

сестры.

Р е ш е н и е .

Считая

требования

больных

независимыми

друг

от друга, по теореме умножения находим, что

искомая вероят

ность

P(A-B-C-D)

= P(A)-P(B)-P(C)-P(D)

= 0,2-0,3-0,25-0,1 = 0,015.

Теорема

Вероятность

сложного события,

состоящего

из

совпадения

двух

зависимых

между

собою

событий,

равна

про

изведению вероятности

одного

из

простых

событий

на

услов

ную

вероятность

другого

в предположении,

что первое

событие

имело

место.

Р(А я В)

=Р(А)-Р(В/А).

Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть		появлению			события А	благо
приятствуют т случаев		из п возможных, а появлению события В
благоприятствуют тх случаев				в	т	таких	испытаниях,		в кото
рых наступает	результат		А.
Следовательно, случаев, благоприятствующих появлению обо
их результатов,	будет	mv
	Р{А)=^,			Р(5/Л) =			3	,
Р	( Д и	В	) =	і З	=	Р(А) •		Р(В/А).

Порядок появления событий А я В может быть изменен. В этом случае

Р(А	и В) = Р(В) •	Р(А/В),
откуда получаем
Р(А)	• Р(В/А) = Р(В)	•	Р(А/В).
Пример 9. В урне находится 5 белых, 4 черных и				3 синих
шара. Каждое испытание состоит в том,			что наудачу	извлека
ют один шар, не возвращая его в урну.			Найти вероятность то

го, что при первом испытании появится белый шар (событие А),

при втором — черный	(событие В)	и при третьем — синий		(собы
тие С).
Р е ш е н и е . Вероятность появления белого			шара при	первом
испытании Р(А) =	Вероятность	появления	черного шара при

втором испытании, вычисленная в предположении, что при пер

вом	испытании	появился белый		шар,		т.	е. условная			вероят-
		4
ность, равна Р(В/А) = ур . Вероятность						появления		синего			шара
при третьем испытании, вычисленная в						предположении,				что при
первом испытании появился			белый	шар, и при втором — черный,
равна: Р(А и В		и С) = Р(А) • Р(В/А)			• Р(С)		= . 5 . 1 . 1 = 1
			Задачи
1. Брошена игральная кость. Найти вероятность							появления		четного чис
ла очков при бросании игральной			кости.
2.	Среди 1000	новорожденных	оказалось		517 мальчиков. Найти					частоту
рождения мальчиков.
3. При стрельбе из винтовки			частота	попадания			в цель	оказалась			рав
ной 0,85. Найти число попаданий,			если было произведено 120 выстрелов.
4.	В денежно-вещевой лотерее на каждые					10000 билетов			разыгрывает

ся 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигры ша, денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета.

5. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее извлекают подряд два ша ра. Найти вероятность того, что оба шара белые, если шары обратно не воз

вращаются и при первом извлечении появился		белый шар.
6. В	семье трое детей. Считая рождение	мальчика и девочки равнове
роятными	событиями, найти вероятность того,	что в семье все мальчики.

Г л а в а X I X . СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 127.		ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Величина,	принимающая		те или	иные числовые значения в
зависимости	от	различных	случайных	обстоятельств,	называ
ется случайной		величиной.
Примерами случайных величин являются: количество студен
тов на лекции,		продолжительность человеческой жизни,			число

родившихся в течение дня мальчиков в данном населенном пунк те, скорость молекулы газа, ошибка при измерении той или иной величины.

Различают дискретные (прерывные) и непрерывные случайные величины.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, при нимающую некоторые определенные числовые значения. Так, пер вая и третья из приведенных выше случайных величин дискрет на, остальные непрерывны.

Обозначают случайные величины заглавными буквами латин

ского алфавита	X,	Y,	Z, ...	и	их	возможные	значения	соот
ветственно XI,	х2,	х3,	..., хп;	уі,	уч,	ys, ..., уп',	ZI, z2, z3,	...,

zn, ...

Вероятности случайных величин обозначают буквами с соот ветствующими индексами:

P(XI) = PI, P{*Z) =РГ> • • •> Р(ХП) = РП.

Чтобы задать дискретную случайную величину, надо пере числить ее возможные значения и вероятности, с которыми они достигаются. В результате получается таблица (табл. 5), кото рая носит название закона распределения случайной дискретной величины.

Т а б л и ц а 5

X	хх	#2	. . .	хп

Р2

Рз

Рп

	CCJ	*%2 ^3	^4		^5		^6
			Р и с .	131
Эта таблица может быть конечной						или	бесконечной.		При
этом	все вероятности	рп должны		быть		положительными,			а их
сумма в силу (2, гл. XVIII)			должна		равняться единице.
		І Я ( * „ )		=	1.
Таблицу, в которой указаны возможные							значения	случайной
величины или вероятности,			называют		также		рядом	распределе
ния.	Чтобы придать	ряду распределения				более наглядный			вид,

прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс от

кладываются		возможные	значения случайной	величины, а		по
оси ординат — вероятности этих значений. Полученные точки						со
единяются	отрезками прямых. Такая фигура называется				много
угольником	распределения		(рис. 131).
На практике приходится встречаться с задачами, в					которых
одно и то	же	испытание	производится п раз,	причем	каждый

раз событие А может наступить с одной и той же вероятностью р, независимо от исходов предыдущих испытаний (повторные неза висимые испытания). Тогда вероятность того, что событие А произойдет т раз при п испытаниях, определяется по формуле Бернулли

где С™— число сочетаний из п раз по т.

гт _ п (п — 1 ) . . .		[п — (т — 1)]
W	1 • 2	• 3 ••• т	'
Р -	n(n-i)...(n-m+	1)		) п _ т	m
Гт.п	1 - 2 • 3 - • m	V (	У )	'	к '

Правая часть формулы (1) представляет собой общий член раз ложения бинома Ньютона [15]. Поэтому распределение вероят-

ностей, рассчитанных				по формуле		(1),	называется		биномиаль
ным законом		распределения			вероятностей. Это			распределение
представлено		табл.	6:
									Т а б л и ц а 6
X	0			1	2		3		п
РУП'П ( 1 - р ) "		n p ( l - p ) « - i			С = р 3 ( 1 - р ) " - 2		СІрЦІ-р)"-*		Рп
Таким	образом,		биномиальное			распределение			вероятностей
позволяет	определить			вероятность		появления		интересующего

нас события заданное число раз при п независимых испытаниях. Пример 1. Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оценивается вероятностью 0,7. Найти

вероятность того, что в пробах				данная	колония	микроорганиз
мов появится 4	раза.
Р е ш е н и е .	По	формуле	(1)
^4.6 = с\ • р * ( і		-рт =	і ; 2 ;	з ; 4 •	( о д г •	ад*=0,324.

Законы распределения дискретных случайных величин Пуас сона и Лапласа мы опускаем. Их изложение читатель может найти в курсах по теории вероятностей [14], [18], [19].

§ 128. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Закон распределения случайной величины характеризует ее полностью, но наиболее компактно можно выразить все сущест венные сведения о случайной величине, которыми мы распола гаем, с помощью числовых параметров, получивших название числовых характеристик случайной величины.

I. Математическое ожидание случайной величины

Важной числовой характеристикой случайной величины яв ляется математическое ожидание, которое иногда называют сред ним значением случайной величины. Оно соответствует тому зна

чению случайной величины, около которого								группируются все
ее возможные значения.
	Математическим		ожиданием			называется		сумма	произведе
ний	всех	возможных	значений		случайной		величины на		вероятнос
ти	этих	значений
		М (X) =	х1р1	хгр%	+	... +	хпрп	= S x,pt.	(2)

Математическое ожидание случайной величины X связано

свое

образной

зависимостью

ее

средним

арифметическим

значени

ем.

При

небольшом

числе

опытов

среднее

арифметическое

слу

чайно; при большем их числе оно

приближается

постоянной

величине — математическому

ожиданию

(центру

распределения

случайной

величины).

Допустим, что при большом количестве п испытаний

дискрет

ная случайная величина X принимает значения

хх,

хг,

. ..,

хп

соответственно

тъ

т2,

. . . , и

тп

раз.

Тогда

среднее

значение

"V _ m i * i + M 2 * a + • • • + тпхп

_ mi

тл_х

п Л - ' г п % і ' ' ' п п '

Если

велико,

то

относительные

частоты —,

—,

. ..,

——

приблизительно

равны

вероятностям

Pi,

р2,

. ..,

рп

появления

значений

хъ

хг,

...,

хп

(см. § 125). Поэтому при большом чис

ле

среднее

значение

X мало отличается

от

математического

сЪкидания

(2).

Математическое

ожидание

обладает

следующими

свойствами:

Математическое

ожидание

постоянной

величины

равно

этой

постоянной:

М(С) =

С.

Постоянный

множитель

можно

выносить

за знак

ма

тематического

ожидания:

M(kX)

=Ш(Х).

Математическое

ожидание

алгебраической

суммы

случай

ных

величин

равно

алгебраической

сумме

их

математических

ожиданий:

М (X

± У) =-- М (X)

М (У),

4. Математическое

ожидание

произведения

независимых

слу

чайных

величин

равно

произведению

их

математических

ожи

даний:

М(Х

• У) = М(Х)

• М(У).

Математическое

ожидание

отклонения

случайной

величи

ны

от

ее математического

ожидания

всегда

равно

нулю:

М[Х

— М(Х)}

Математическое

ожидание

числа

появлений

события

в п

независимых

испытаниях

равно

произведению

числа

испы

таний

на

вероятность

появления

события

каждом

испы

тании:

М (X) =

пр.

Доказательства

приведенных

свойств

читатель

может

най

ти

[14],

[19].

Пример 2. Беспроигрышная лотерея на 200 выигрышей со стоит из одного выигрыша на 100 руб., 5 выигрышей по 20 руб., 10 выигрышей по 5 руб., 184 выигрыша по 2 руб. Определить справедливую цену одного билета.

Закон распределения стоимости билетов представлен следу ющей таблицей:

X		100	20	5	2
р		1	5	10	184
р		200	200	200	200
Справедливая цена билета равна математическому ожиданию
или	среднему	значению	(2):
М(Х)	= А =	1 0 0 . ^ +	20 . J = + 5.	"L + 2- S	= 3 -09 руб.

II. Дисперсия дискретной случайной величины

Часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания. На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонений

случайной		величины		от ее	математического ожидания Х—М	(X)
и затем	найти		их	математическое ожидание. Однако в		силу
свойства	5	MIX	— М(Х)]		= 0.

Для вычисления математического ожидания отклонения слу чайной величины берут отдельные ее отклонения по абсолют ному значению, но это приводит при расчетах к большим за труднениям. Поэтому чаще всего вычисляют математическое

ожидание		квадратов		отклонений.
Математическое				ожидание		квадрата			отклонения		случайной
величины		от ее математического				ожидания				называется	диспер
сией случайной			величины.
			D(X)		= М[Х	— М{Х)]\					(3)
Вычисление дисперсии может быть значительно упрощено
после	преобразования			формулы		(3)	к	виду
			D (X)		= М (X2) -		[М (Х)Р,				(4)
т. е.	дисперсия		равна	разности		между		математическим			ожида
нием	квадрата		случайной		величины		X	и	квадратом ее		матема
тического		ожидания.
Дисперсия			случайной		величины		обладает			следующими свой
ствами:

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (С) = 0.

2. Постоянный множитель k можно выносить за знак дис персии, предварительно возведя его в квадрат:

D(kX) = k2D(X).

3. Если X и Y — независимые случайные величины, то

D(X + Y) =

D(X)+D(Y).

Доказательства свойств дисперсии читатель может найти в [14], [19].

Пример 3. Найти дисперсию величины X, заданной следую щим законом распределения:

	X		1		2			4
	р		0,2		0,4			0,4
Р е ш е н и е .		Математическое		ожидание
	М (X) =		1 • 0,2 + 2 • 0,4		+ 4 • 0,4 = 2,6.
Значения квадратов			отклонения:
(1 — 2,6)2 -		2,56; (2 — 2,6)2		=	0,36;	(4 — 2,6)2		= 1,96.
Закон	распределения		квадрата отклонения:
IX —	М(Х)?		2,56		0,36			1,96
	р		0,2		0,4			0,4
Дисперсия по формуле (3) будет				равна:
	D (X) =	2,56	• 0,2 + 0,36	• 0,4 + 1,96			• 0,4 =	1,44.
Для определения дисперсии по формуле (4)							запишем закон рас
пределения квадрата			случайной	величины:
	X2		1		4			16
	р		0,2		0,4			0,4
М(Х2)	= 1 • 0,2	+ 4	• 0,4 + 16 • 0,4		= 8,2;	[М (Х)]2 =		2,62 = 6,76.

276

Тогда дисперсия будет равна:

D(X) = 8,2 — 6,76 = 1,44.

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случай ной величины. Поэтому для оценки рассеяния возможных зна чений случайной величины вокруг ее математического ожидания вводят понятие среднего квадратического отклонения, имеюще го размерность, совпадающую с размерностью случайной вели чины X.

III. Среднее квадратическое отклонение

Корень	квадратный		из	дисперсии	называется		средним кеадра-
тическим	отклонением
			а{Х)	= УЩЩ.			(5)
Подставляя	в	формулу	(5)	значение	D(X)	из выражений (3) и
(4), получим
о(X)	=	У МІХ	— М(Х)}2 =		У М(Х2)	—	[М(Х)Ц.

Среднее квадратическое отклонение обладает следующим свой

ством: среднее		квадратическое	отклонение		суммы конечного чис
ла взаимно независимых случайных				величин	равно	квадратному
корню из суммы квадратов средних				квадратических		отклонений
этих	величин
а(Х х +	Х 2 +	. . . + Х „ ) = У	а 2 ( Х 1	) + а 2 ( Х 2 ) + . . .		+ а2 (Х„).

Доказательство свойства опускаем. Его можно найти в учебни ках [15], [19].

§ 129. ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЗАИМНО НЕЗАВИСИМЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

По закону распределения можно найти числовые характе ристики случайной величины. Следовательно, если случайные величины имеют одинаковые распределения, то их числовые ха

рактеристики		п	одинаковы.						Хъ
Возьмем		п	взаимно	независимых		случайных		величин	Хъ
Х2, ..., Хп,		которые имеют одинаковые					распределения. Боль
шой	практический интерес представляют						числовые	характерис
тики	среднего		арифметического		этих	величин
			~Х — ^г	^2	^3	'''	^п
					п

Существует связь между числовыми характеристиками среднего арифметического X и соответствующими характеристиками каж дой отдельной величины.

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3628 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ