книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

где х

— концентрация

продукта

в момент времени t;

а — начальная

концент­

рация

реагента. Найти явную зависимость между

t a x .

8.

За

30 дней

распалось

50%

первоначального

количества

радиоактив­

ного вещества. Через сколько времени останется

1 %

от

первоначального

количества?

9. Определить

период полураспада радия и радона,

если

постоянные

распада

данных

веществ

соответственно

равны

1 , 3 5 4 - Ю - 1 1

сект'1

и

2,1 • Ю - 6

сек-1.

1 сек

10.

Сколько ядер радиоактивного

иода

Б з ^ 1 3 1

распадается

в

из

каждого

миллиарда, если период полураспада

Б з ^ 1 3 1

равен

8

суток?

11.

Счетчик Гейгера,

установленнный

вблизи

препарата

радиоактивно­

го

изотопа

серебра,

при

первом

измерении

зарегистрировал

5200

Р-частиц

в

минуту,

а

через

сутки — только

300.

Определить

период

полураспада

изо­

топа.

12. Имеется 1000 относительных единиц радона. Сколько останется дей­

ствующих

единиц

радона

спустя

1

ч?

Постоянная

распада

радона

I

=

=

2,1 • Ю - 6

сек-1.

Р а з д е л

6

Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й

И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й С Т А Т И С Т И К И

Г л а в а

XVIII . ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 122.

Введение

Теория

вероятностей

изучает

закономерности,

присущие

случайным

событиям массового

характера.

Случайным

событием

называется

все то,

что при

осуществ­

лении некоторого комплекса

условий

может

произойти

или

не

произойти.

Например, событие

появления герба

при

бросании

монеты.

Случайные

события

зависят

от

многих

причин,

имеющих

между собой отдаленную

связь, проследить

которую

мы не можем.

Так,, при бросании игральной кости

мы

не

можем знать

зара­

нее, какая

из граней окажется сверху, так как это зависит

от

очень многих

неизвестных

нам

обстоятельств (деталей

движе­

ния руки,

положения игральной кости в момент

броска,

осо­

бенностей

поверхности, на

которую

падает кость и т. д.). Нель­

зя также

заранее предсказать, сколько выпускников средней

школы подадут в определенный год

заявления в

тот

или

иной

вуз, сколько

дождливых

дней

будет в

будущем

году,

на

ка­

кой билет

выпадет главный выигрыш в предстоящем тираже

лотереи и т. д.

Применение математики к изучению явлений такого рода

основано на том, что во многих

случаях

при

многократном

повторении в

одних и тех

же

условиях

одного и

того

же

опы­

время одинаковой.

При этом наступление случайного явления

не обязательно, не

достоверно, а только возможно, вероятно.

Например,

давление газа на

стенку

сосуда обусловлено

сово­

купностью

ударов

молекул

о стенку.

Каждая молекула

за се­

ление

на стенку

сосуда

должно было

бы изменяться случай­

ным

образом. Но

если

число молекул

достаточно велико, то

Вероятностный,

или статистический

метод в науке не проти­

вопоставляет себя обычному классическому методу

точных на­

ук, а дополняет его и позволяет глубже

анализировать явление

с учетом присущих ему элементов случайности.

Он

является

одним из разделов

математики, столь

же

точным

и

логически

мя приложение вероятностных методов

чрезвычайно велико.

В любой области исследования наступает такой этап,

когда

требуется выявить не только основные

закономерности,

но и

тов

нужно

применять

методы

современной

математической

статистики.

§ 123.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теория вероятностей, как и всякая наука, содержит ряд ос­

новных понятий,

на которых она

базируется.

1. Событие. Определение события дано

в §

122.

Различные

события обозначаются буквами

А,

В,

С,...

Например,

А — по­

явление герба при бросании монеты,

В — попадание

в цель

при

выстреле, С — появление цветного

шара при извлечении шаров

из

ящика.

2. Испытание. Испытанием

называется совокупность

обстоя­

тельств, при

которых

появляется

случайное

событие.

Организация одних испытаний зависит от нас самих. К ним

относятся опыт, эксперимент. Например, бросание монеты,

из­

влечение шаров

из ящика.

Организация

других

испытаний

от

нас

не

зависит,

напри­

года,

проводимое в

течение многих

лет.

3.

Единственно

возможные события. События

А, В,

С, ...

называются единственно

возможными,

если

в

результате

каж­

дого испытания

хотя бы

одно из них

наверное

наступит.

Гово­

рят также, что рассматриваемые события образуют

полную

группу

событий.

Например, при бросании

монеты

единственно

разуют единственно возможные

события,

состоящие

в

выпаде­

нии одного,

двух, трех,

четырех, пяти

и

шести

очков.

4.

События

несовместимые.

События

называются

несовмес­

тимыми,

если

появление

одного из

них

при

испытании

исклю­

чает

появление

остальных событий

при

том

же

испытании.

Например, в

ящике находится

пять шаров,

помеченных номе­

рами:

1,

2,

3,

4, 5. При извлечении шара

вскроется

только

один

из

пяти

номеров,

значит,

события,

состоящие

в

появле­

ным. Неравновозможные

события можно

привести к равновоз-

можным, если

данные

неравновозможные события

могут

быть разбиты

на равновозможные,

представляющие

их

ры пронумеровать цифрами 1, 2, 3, 4,

5, 6,

7,

8, 9,

10, то

они будут отличаться друг от друга только номерами и

извле­

чение их будет соответствовать

десяти

равновозможным

собы­

тиям.

Равновозможные

события, на

которые мы разбиваем события

неравновозможные,

называются

случаями.

Случаи, способствующие

появлению

одного

из

неравновозмож­

ных событий, называются

благоприятствующими

этому

собы­

Количественной оценкой

возможности

появления

данного

слу­

чайного события является

его

вероятность.

Для сравнения между собой различных событий

по степени

их возможности мы должны установить какую-то

единицу

из­

мерения. В качестве таковой

естественно

принять

вероятность

является появление

белого шара из

урны,

содержащей

только

белые

шары.

Если

приписать

достоверному

событию

вероят­

ность,

равную

единице,

то все

другие

возможные, но

не

досто­

верные

события будут

характеризоваться вероятностями,

мень­

шими

единицы.

Событие,

которое

в данном

испытании

не может

произой­

ного события является

извлечение

красного

шара

из

урны,

содержащей

лишь

белые

и

черные шары.

Естественно

при­

писать

невозможному событию

вероятность,

равную

нулю.

Та­

ким образом, вероятности

любых

событий заключены

между

зна­

чениями

0 и

1.

Обозначим через т число случаев, благоприятствующих

по­

явлению

события А

в п единственно возможных, несовместимых

и равновозможных случаях. Тогда вероятность

события

А

вы­

числяется

как

отношение

числа

благоприятствующих

случаев

т к общему

числу случаев

п и

обозначается

через

Р(А).

Приведенное

определение

вероятности носит

название

классичес­

кого определения

«математической»

вероятности

события.

Легко заметить, что для любого события А число благопри^

ятствующих событий т удовлетворяет неравенствам

О <С т ^ п,

поэтому

вероятность

любого события А

подчинена

условиям

0 < Я ( Л ) <

1-

Пример 1. В урне находится 2 белых и 3 черных шара.

Из

нее наугад извлекается один шар. Найти вероятность того,

что

этот шар

будет

белым.

А

Р е ш е н и е .

Обозначим

через

событие,

состоящие

в

появ­

лении белого шара. Общее число случаев п

5 ,

число

случаев,

благоприятствующих

событию А,

т — 2,

следовательно,

Р*(А) = —

называется

относительной частотой события

А в данной серии

испытаний

или просто

частотой

события А.

Изучение частоты

появления

некоторых

событий показало,

что в ряде

случаев при очень большом числе испытаний она со­

новятсяч тем меньше, чем больше

число

испытаний. Так,

напри­

мер, распределение новорожденных по полу может быть

каким

угодно, пока мы ограничиваемся

данными одной

или

несколь­

ких семей или даже небольшого

города,

да еще за

сравнитель­

но короткий промежуток времени. Если

йке

перейти

к

анализу

рождаемости по полу на большой

территории

с

большим

насе­

верностью можно

утверждать, что частота события будет

сколь

угодно мало отличаться от его вероятности в отдельном

опыте.

Используя указанные свойства частот, вероятностью

события

называют

число,

около

которого колеблется

частота

появления

события

при сохранении

неизменных

условий

опыта.

Приведен­

ное определение

вероятности называют статистическим

опре­

делением.

Связь

между

частотой события

и его вероятностью — глубо­

равниваться,

приближаясь

сквозь

ряд

случайных

уклонений

к некоторому

постоянному

числу.

Естественно

предположить,

что это число и есть вероятность данного

события. Это предпо­

ложение легко проверить на тех событиях, для

которых

суще­

ствует точный

метод расчета математической вероятности.

Для

изучения частот

выпадения

герба

при

бросании

монеты

были

произведены

эксперименты,

результаты

которых

приведены

в табл. 4.

Т а б л и ц а 4

Экспериментатор

Число бросаний

Число

выпаде­

Частота

ний

герба

Бюффон

4040

2048

0,5069

К. Пирсон

12000

6019

0,5016

К- Пирсон

24000

12012

0,5005

Из табл. 4 видно, что выпадение герба имеет

определенную

вероятность

0,5,

вокруг которой и происходит

колебание

частоты.

На практике часто приходится иметь дело с так называемы­

ми «.практически

невозможными»

и

«практически

достоверными»

событиями.

Практически

невозможным

событием

называется

событие,

вероятность

которого

весьма

близка

к

нулю,

но

не равна нулю.

Практически

достоверным

называется

событие,

вероятность

которого весьма

близка

к

единице,

но

не

равна

единице.

В повседневной жизни мы непрерывно пользуемся принципом

практической уверенности.

Выезжая,

например,

в

путешествие

вила даются в теоремах теории

вероятностей.

Теорема 1 (сложения) . Вероятность

появления

при некото­

ром

испытании

хотя

бы одного

из

двух

единственно возможных

и несовместимых

событий

А

и

В

равна

сумме

вероятностей

этих

событий

Р(А

или

В) =

Р(А + В) = Р(А) +

Р(В).

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим

через

п

общее

число воз­

можных результатов

испытания,

через тг

— число

результатов,

благоприятствующих

событию

А,

т2

— число

результатов, благо­

гоприятствующих

наступлению либо

события- А, либо собы­

тия В, равно тх

+ гп2.

Следовательно,

Р{А + В)

= т1 + от.

т1

тг

п

' п

Учитывая, что Р(А)

а Р(В) =

получим

Р(А + В) = Р(А) +

Р(В).

С л е д с т в и е

1.

Вероятность

появления

одного

из

несколь­

ких попарно несовместимых событий равна сумме

вероятностей

этих

событий

Р(Аг + Л2 +

. . . + Ап) = Р(Д) +

Р(А2) + ...+

Р(Ап).

Пример 2. В урну помещено 30

шаров:

10 красных,

5 синих

и 15

белых.' Найти

вероятность появления цветного

шара.

Вероятность

появления

синего

шара

(событие

В) равна

5

1

Р(В) — -go" = -g~-

События А

и В несовместимы, и по форму­

ле

(1) искомая

вероятность

равна:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = -L

+

= 4-

Пример

3.

В

аптечке

имеется

10

тюбиков

пенициллина,

20

тюбиков

биомицина, 40

тюбиков

анальгина и

30

тюбиков

гина при доставаний

тюбиков.

появления

тюбика

биомицина

Р е ш е н и е .

Вероятность

20

Р(А) =" уоо =

0,2.

Вероятность

появления

тюбика

анальгина

40

Р(В) = -щ =

0,4. Появление тюбика пенициллина, биомицина,

анальгина и

амидопирина

являются

событиями

несовместимы­

ми, ибо появление одного из них исключает

появление

других.

По

теореме сложения

вероятностей

имеем:

Р(А + В) = Р(А) +

+

Р(В)

= 0,2

+ 0,4 =

0,6.

Если

два

события

при

данном

испытании

единственно

воз­

можны

и несовместимы,

то такие

события

называются

проти­

воположными.

В

этом

случае одно

из

двух

противоположных

событий обозначают через А, а

другое

принято

обозначать

А.

Теорема 2. Сумма

вероятностей

двух

противоположных

со­

бытий

равна

единице.

А

я

А — два

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

противоположных

события. Если из п возможных

случаев

событию

А

благопри­

ятствуют т х

случаев,

а

событию А — т2

случаев,

то тх

+ т« =

— п я

Р(Л) =

3

Р(А)=!%-,