Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

298

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3626 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

0,4343& =

е носит

название

молярного

коэффициента

погло

щения

и поэтому

sc/

I g ^ .

(10)

Преобразовав

выражение

(10),

получим

/ ^ / „ • Ю - " ' ,

(11)

Выражение

(11)

представляет

объединенный

закон

Бугера—

Ламберта—Бера.

Задача

Закон

поглощения

ионизирующих

излучений

ве

ществом.

На

опыте" установлено,

что ослабление

интенсивности

излу

чения

dl при прохождении

его через слой вещества толщиной

пропорционально

интенсивности

/ излучения.

= — р. Idx,

где

[х — коэффициент

поглощения

вещества.

Разделяя переменные

и интегрируя данное

уравнение,

имеем

— у- dx, ^JL

= j — p. dx,

In / = — \ix + In C,

I n /

\ne~ixx

\nC.

Потенцируя последнее

выражение, получим

/ = Се~* х.

Исходя

из начальных

условий

при х =

I = 10,

С =

/0).

откуда

/ =

/ o e - n * .

(12)

Из формулы (12) видно, что интенсивность

поглощения

из

меняется

с толщиной

поглошрющего

слоя

по

экспоненциальному

закону.

Решение

уравнения

Шредингера.

Задача

Основным

уравнением

квантовой

механики

является

урав

нение Шредингера. Подобно тому, как уравнения динамики

Ньютона не	могут	быть	получены теоретически, а представ
ляют собой	обобщение большого числа опытных фактов, урав
нение Шредингера		также	нельзя вывести из каких-либо извест

ных ранее соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия точно согласуются с опытными фактами.

Состояние микрочастицы описывается в квантовой механике так называемой волновой функцией, которую обычно принято обозначать буквой ty.

Р и с .

130

Уравнение

вида

, 52 ф

•

д2^

2т

.„

...

где

я|> — волновая

функция;

—постоянная

Планка, деленная

на

2л; £ — полная

энергия;

U — потенциальная'энергия

части

цы,

называется

уравнением

Шредингера

для

стационарных

со

стояний.

Исследуем поведение частицы в бесконечно

глубокой

одно

мерной потенциальной яме. Предположим, что

частица

может

двигаться только вдоль оси Ох и ее движение

ограничено

не

проницаемыми

для

частицы

стенками:

х =

0 и

х — а.

Потен

циальная энергия

равна

нулю

при

0 < х < а и обращается

в бесконечность при

а < х < 0

(рис. 130).

Поскольку

этом

случае функция г|>- зависит только от одной

координаты

х,

уравнение Шредингера

приобретает

вид

^±

^(E-U)^

= 0.

(13)

За пределы потенциальной ямы частица выйти не может. По этому вероятность обнаружить частицу за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности функции г|э следует, -что г|з должна быть равна нулю и на границах ямы, т. е. т|з(0) = 0,

у(а) = 0 .

Вобласти, где ij: не равна нулю, уравнение (13) принимает следующий вид (U = 0):

d2	і/	.	2т „ ,	„	,. ..
_	^ +		— £ о р = 0 .		(И)

Это уравнение второго порядка, не содержащее в явном виде аргумента.

Для решения уравнения (14) введем подстановку ^ = р,

,	d<b	d2i>	dp		dp
dx	——-,	dx2	— —j— — p—fr
	p '	dx2	dx	'	di>

,	2m	c	2 n
и обозначим	—— E =		or. Под-
	ft2

ставив эти значения в уравнение (14), получим

р+ co2iJ> = 0, pdp + со2 т|?cf= о-

Интегрируя последнее				уравнение, получим
f pdp +	\ со2г\|5 d г\|) =			С,	+ - 1 . со2г\|;2			=	С , р 2	+ ш2 ^2 = 2 С .
Обозначив	2С' =	С\,	получим р 2			+	со2г\|)2 =		CJ. Так		как
t Разделяя	переменные			в	последнем		уравнении			и	интегрируя
его, получим								'
J / C ? — с о 2 ^		J	Kef— « V				J / с 2 — С О ^ 2
П о я с н е н и е .		\	у		= =	берется		с	помощью		подстановки
								с1
								— cos tdt

С\ cos t

					' to .
sin t =	sin [a		(x + C2)], но sin ^ =		Y>
откуда	ф =—Ї-sin / и
			(О
			ф (x) =	A	sin (со"ж +	<o C2).		(15)
				CO
Формула			(15) является		общим	решением уравнения		Шре-
дингера		для	одномерной	потенциальной			ямы.
Для		получения частного решения					уравнения используем

условие непрерывности функции г|) и краевые условия. Обозначим

Q
~ —	А	,	а>С2		= а, тогда уравнение (15)			принимает вид
						$ (х) — A sin ( и ї - f а).
При	х	=	0	и	ij) (0) =	0 видно, что и а =		0, тогда
						ty(x)	= A sin© А\
При	х	=	0	г\|)(а) = 0,		т. е.
						if> (Й) =	A sin ш а =	0 ,
что	возможно				лишь	в случае, если

		со а = + nit	(п — 1, 2,	3, . . . ) .
(п = 0	отпадает,	поскольку	при этом	получается i\|) (х) = 0 —
частица	нигде не	находится.)

Из этого вытекает,'что решения уравнения (14) будут иметь физический смысл не при всех значениях энергии, а лишь при

значениях,	удовлетворяющих			соотношению
		и = + п — , О)2 = П2 Д р .
		~	а			а 2
Согласно обозначениям, <о2 =				———,		поэтому ——— = - q 2 •,
п,	П2	Я 2 /і 2	" =	і	о	о
откуда £ =	— 2	^ 2 — . г Д е	" =	1,	2,	3, . . .

Таким образом, мы получили квантование энергии частицы

инашли собственные значения этой энергии. Собственными значениями функции г|> будут

i|)(x) = Л в і п ^ х .

+ 00

Постоянную А находят из условия нормировки j | ij> |2 dV — 1.

				—со
В данном случае	j" Л2 sin2 ^	л; d x = 1,	откуда	Л = j /' - j - .
собственные значения функции имеют вид
Фя(*)	= "\|/"4"s i n	X * (п =	1, 2, 3,	. . . ) .
	II.	Химия

Химическая кинетика занимается изучением механизма про цесса и определением скорости, при которой система достигает равновесия. При определении скорости протекания процесса важно учесть влияние на нее таких факторов, как концентра ция, температура, природа растворителя, присутствие катали затора.

В общем случае скорость химической реакции зависит от концентрации реагирующих веществ. Однако скорость реакции может зависеть также от концентрации других веществ, не входящих в стехиометрическое уравнение. Уравнение,, выра

жающее зависимость скорости				реакции	от	концентрации каж
дого	вещества, влияющего		на	скорость,		называется		кинети
ческим уравнением		реакции.
Если концентрация входит в уравнение в определенной сте
пени,	то порядок	реакции по	данному		расчету		равен	степени,
в которой концентрация этого				расчета	входит		в кинетическое

уравнение. Для реакции, включающей вещества А, В и С, ки нетическое уравнение может иметь одну из следующих форм [22]:

Первый порядок по А

EJ£L =k[A]

или k[A]

• IB].

•

Второй

порядок

по А

— й И І

k [ А ] 2

и л и

. [ в ]

Третий

порядок

по

=k[A?

или k[A]'

• 1В]2

по А

Нулевой порядок

d[A]

klAY

Кинетическое

уравнение

реакции

может

быть

получено

только в

результате

экспериментального

изучения

реакции и

не может быть выведено из стехиометрического

уравнения

сум

марной реакции.

Задача 1. Закон реакции первого

порядка.

Скорость реакции

первого

порядка выражается

уравнением

Об)

где с — концентрация

реагирующего

вещества;

f—время;

k —

постоянная скорости

реакции.

Знак минус в

уравнении

(16) означает, что концентрация

реагирующего вещества

с течением

времени. убывает. Произ

водная убывающей функции отрицательна, скорость имеет смысл


положительной		величины.
В уравнении		(16) разделим переменные и проинтегрируем его:
=	—kdt,	j		= — \kdt,		1пс = — Ы + 1пС ь In с =
		=	In е~«		+ In Си с = Cj.e-4
Полагая	при t = 0 с = г0 ,				получим		С3	= с0 и, следовательно,
				c = c0e~kt.					(17)
Таким сбрагсм, гаксн (17) реакции								первого порядка	выража
ется экспоненциальной				функцией.		•
Задача 2. Закон			реакции второго				порядка.
Для реакций второго порядка скорость реакции пропорцио
нальна концентрации				каждого		из двух		реагирующих	веществ

или квадрату концентрации одного из реагентов. Если стехиометрическое уравнение реакции можно записать в виде А +

+ В = С, если а и Ь-— начальные мольные концентрации двух реагирующих ЕЄЩЄСТВ Л и В, а х— число молей в 1 л, кото рое прореагировало за "время t, то скорость реакции можно представить уравнением

= k (а — х) ф — х).
В простейшем случае концентрации вещества	А и В одинаковы,
и а — Ь. При этих условиях
4jL=k(a-x?.	(18)

(18) есть дифференциальное уравнение с разделяющимися пе ременными. Разделим переменные и проинтегрируем его:

kdt,

г;-

= f

kdt,

(a—

kt + С.

J-

(а — xf

Введем подстановку а — х = u; dx — — du. Тогда J ^

_ , ,

и~•1

1 -

== kt +

С.

Определим

постоянную

интегрирования

С из условия,

что при

t = 0 х =

0 +

С,

С =

/кд

а — 0

" - - і1

- .1

получим

Подставив значение С в последнее уравнение,

а (а — х ) '

Задача 3. Закон реакции третьего порядка.

Кинетическое уравнение реакции третьего порядка, имею щей первый порядок по каждому из реагирующих веществ А, В, С, имеет вид

		*1	=k{a~x)(p	— х) (с — х),
где	х — число	молей	в 1 л, которое прореагировало за время t;
а,	Ь, с — начальные мольные			концентрации	трех реагирующих
веществ А, В,		С. В частном		случае, когда	а — Ь = с,
			%L = k(a-x)\		(19)

(19) есть дифференциальное уравнение с разделяющимися пе ременными. Разделим переменные и проинтегрируем его:

kdt,

. d

.3 = J kdt.

\ kdt----kt + С.

(а — Л : ) 3

Интеграл

берется

методом подстановки:

~(a—xf

а — х

—

— 2

и~

J (а — х)

—

2 (а — А-)2

X 2 (а

— х)'г = kt + C

Постоянную интегрирования С можно определить из

условия,

что

при t — 0 х =

& • 0 +

С,

откуда

2 (а — О)2

2 а 2

Подставив значение С в последнее

уравнение,

получим

=•

L (а —

~ Задача 4. Закон изменения

числа свободных

радикалов в

цеп

ной

реакции

[12].

г>

Скорость

изменения

числа

свободных

радикалов

цеп

ной реакции

выражается

уравнением

an = b,

(20)

где а и b — постоянные,

характеризующие

цепную

реакцию.

(20) — линейное дифференциальное

уравнение

первого

порядка.

Оно

решается

путем

введения

произвольных переменных и И V,

п = uv. Тогда

уравнение

(20)

принимает

вид

auv

~dl

v —г:

или

u і^ dv- a v

.+ v du4 I = b, .

Выберем v таким,

чтобы

wdv - a v = 0 ,„

тогда

du ,

v - w = b-

И з - ^ — a v = 0 находим v.

dvv = adt, J-^- = j adt, In v = at + In С

ИЛИ

In У = In eat + lnC.

Потенцируя, находим

Подставим в уравнение и — = Ь значение v и найдем и.

Ceat ^Ц- = Ь, du - -^-e~atdt, J d« = j

Л ,

л = «о = ( — A - e~a'	+	Cea< = — A	+ dCc" .
Обозначив CiC = C2> получим
л = -	4" +
Полагая при t — 0 « = О,	найдем С2 = — .
л	- 1 ) .		-	(21)
(21) шя& зяяш изменения	числа	свободных	радикалов в	цеп
ной реакции.
III. Биология и		медицина

Задача 1. Скорость размножения некоторых бактерий про порциональна количеству бактерий в данный момент [5]. Найти зависимость изменения количества бактерий от времени.

Обозначим количество бактерий, имеющихся в данный мо- , мент через х. Тогда

W = k x '

<22>

где k — коэффициент пропорциональности.

В уравнении (22) разделим переменные и проинтегрируем его:

= kdt, J - ^ - = ft ґ Л , In х = kt + In С,

In x = In eu + In C. Потенцируя 'Последнее выражение, получим

х - Cekt.

Полагая, что при t = 0 х = х0, получим С = х0. Следовательно,

		х = х0еы.						(23)
(2-3) выражает закон размножения				бактерий		с течением време
ни. Таким образом, при благоприятных					условиях			увеличение
числа бактерий с течением времени				происходит по				экспонен
циальному закону.
Этот закон представляет интерес не только с теоретической,
но и практической	точки зрения.		Он говорит			о	том, что, соз
давая для полезной популяции благоприятные						условия, можно
очень быстро получить		популяцию		с большой			численностью.
Весьма показательна в этом смысле				история		с	пенициллином.
Когда был открыт	этот	антибиотик,		грибки,		его	выделяющие,
стали выращивать	в наилучших		условиях.		Их		неограниченно

подкармливали, следили, чтобы им не было тесно, и, конечно, оберегали от вредных видов. Будущий урожай можно было совершенно точно подсчитать по формуле. Размножаясь в со ответствии с экспоненциальным законом, пенициллиновые гриб ки в короткий срок обеспечили весь мир ценным лекарством.

Экспоненциальному закону размножения подчиняется так называемый «экологический взрыв», когда тот или иной биоло гический вид, попав в благоприятные условия, за короткий срок достигает гигантской численности. Для примера можно указать на губительные нашествия полчищ насекомых (саранчи, шелко пряда и др.) или на неожиданные последствия акклиматизации

кроликов

в Австралии.

Задача

Закон

роста

клеток

с течением

времени.

Для палочковидных клеток, у которых

отношение

поверх

ности

клетки

ее

объему

сохраняется

постоянным,

скорость

роста

клетки

пропорциональна

длине

клетки

данный

момент [5].

•5Г =

( « - Р ) / ,

(24)

где а

и р4 — постоянные,

характеризующие

процессы

синтеза и

распада.

В уравнении (24) разделим переменные

проинтегрируем

его

(а — Р) dt,

J (а -

Р) dt,

In / =

(а -

р) t + In С,

j' 1п/ =

1пе<*-М' +

1пС,

При

t =

О I =

10,

постоянная С =

поэтому

т. е.	рост палочковидных		клеток	происходит по	экспоненциаль
ному	закону.
Задача 3. Закон		разрушения		клеток в звуковом	поле.
Кавитация ультразвуковых волн проявляется в виде разры
вов	суспензионной	среды	и образования мельчайших пузырьков

и пустот, плотность которых незначительна по сравнению с плотностью воды. Простейшие, бактерии, водоросли, дрожжи, лейкоциты и эритроциты могут быть разрушены при кавитации, возникающей в интенсивном ультразвуковом поле. В очень ши роком диапазоне частот относительные скорости разрушения биологических клеток различных видов остаются постоянными.

Эти скорости могут характеризовать относительную										хрупкость
клеток	различных		видов.	Чтобы		выразить		это	количественно,
нужно	определить		скорость		разрушения		клетки		в	постоянном
звуковом поле. Изучение				этого		вопроса	показывает, что				пока
по крайней мере		1% популяции				остается		неразрушенным			[1],
можно	написать,	что
			Т	Г	= - №						(25)

где N — концентрация клеток; t — время; R — постоянная. Разделим в уравнении (25) переменные и проинтегрируем его:

d-?L =	-Rdt,	J	^	=	]-Rdt,		\nN	--=-Rt		+ \nC,
	In N =		In e-*'		+	In C,	N =	Се-**,
Постоянную	С найдем			из	условия,		что	при	t — О N — N0		и
C = N0.
Тогда
				N	=	Ntf-M
Разрушение	клеток	в	постоянном звуковом поле							происходит	по
экспоненциальному		закону.
Задача 4. Теоретический					анализ		явления		возбудимости		[5].
Основная	концепция			теории		нервного		возбуждения Рашев-

ского базируется на предположении о существовании двух фак торов: фактора £, способствующего возбуждению, и фактора /, противодействующего возбуждению.

Как только энергия раздражения в форме электрической энергии поступает в нервное волокно, возникает раздражающий ток /; можно допустить, что временный рост е й / пропорцио нален току /, тогда как их спад пропорционален разности между их мгновенными значениями и значениями покоя s0 и /0 .

Математически это предположение можно записать	в виде
^ _ = £ / - М * - є о ) ,	(26)

9 Лобоцкая Н. Л.

25?

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3626 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ