книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений
.pdfЧастное решение имеет вид
2
У = Т-
§ 119. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА'
Определение 4. |
Уравнение |
|
|
|
||
|
|
|
dy_ |
f(x, |
у) |
(6) |
|
|
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
называется |
однородным, |
если функция f(x, у) может |
быть |
|||
представлена |
как |
функция |
отношения |
своих аргументов f(x, |
у) = |
|
Однородное дифференциальное уравнение (6) приводится к виду уравнения с разделяющимися переменными подстановкой
у
— = и ,
X '
где и — новая неизвестная функция.
Пример 5. Решить уравнение
|
|
(ху — |
y2)dx |
= |
(х2 |
2xy)dy. |
||
Р е ш е н и е . |
^ |
= |
XJ~2xu' |
Р а з Д—е л и |
м числитель и знамена |
|||
тель правой части |
на |
і 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
ІУ* |
|
|
|
|
dy_= _х |
|
|
|||
|
|
|
dx |
|
1-2-*х- |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Введем новую |
функцию |
и = |
|
т. е. у '= их, откуда |
||||
|
|
dy |
|
d . |
. |
da |
||
|
|
JL = |
Txiux) |
= u + |
x ^ . |
|||
Подставим это |
выражение |
в |
последнее уравнение: |
|||||
|
|
|
|
|
du |
и — и 2 |
||
|
|
|
U А- X —dxг = 1—2м |
|||||
238
Путем преобразований разделим переменные:
du и — ы2
Х-Іdx- — \—2и
ИЛИ
1 — 2и |
, |
dx |
и* |
-du |
X |
Получилось уравнение с разделенными переменными. Интегри руем это уравнение:
|
— —.— 21пи = \\лх |
+ 1пС, — - |
= |
Ы(и2хС), |
|
|||||||||
|
|
|
— 7Г = І П ( # С ) - У |
- |
|
In ((/С) |
• |
|
|
|||||
|
|
|
У |
|
|
|
» |
|
|
|
||||
§ 120. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ |
УРАВНЕНИЯ |
ПЕРВОГО |
||||||||||||
|
|
|
|
|
ПОРЯДКА |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Определение |
5. |
Линейным |
|
дифференциальным |
уравнением |
||||||||
первого порядка |
называют уравнение, |
содержащее у и |
у' |
в пер |
||||||||||
вой |
степени |
и |
не содержащее |
их |
произведений. |
|
|
|||||||
|
Такое уравнение |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
У' + |
Ру |
= |
Q, |
|
|
|
|
|
(7) |
где |
Р. и Q — функции от х или |
постоянные величины. Уравне |
||||||||||||
ние |
(7) решается подстановкой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
У = |
uv,' |
|
|
|
|
|
|
|
где и и v — неизвестные |
функции |
от х, |
одну |
из которых |
мож |
|||||||||
но выбрать |
произвольно, так, как это удобно для решения. |
|||||||||||||
|
Найдем |
производную |
от |
у = uv |
по |
х |
и |
значения у |
и -~~ |
|||||
подставим |
в уравнение |
(7): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dy |
da . |
du |
dv |
. |
du |
, |
n |
~ |
|
|
||
< £ + « ( £ +
Выберем одну из функций v так, чтобы коэффициент при и обратился в нуль, т. е.
% + Pv = 0. |
' ( 8 ) |
При этом |
условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
vt=°'dx - |
|
|
|
|
|
(9) |
||
Найдем v |
из уравнения (8): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dv + Pvdx = 0, |
— + |
Pdx = 0, |
f — = |
— [ Pdx, |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
J |
V |
|
|
|
|
|
|
In v = — j Pdx, |
v = e^Pdx . |
|
|
|
||||||
Значение |
v |
подставим в |
уравнение |
(9) и найдем и. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
DU |
|
|
|
|
|
|
vdJL= |
Q; е-]ы |
px = |
Q;eW'= |
Qdx; du = |
Qe5Mxdx; |
||||||||
и = j Qe$Pdxdx |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общее |
решение |
уравнения |
(7) будет иметь вид |
|
|||||||||
|
|
|
y = uv = |
[\Qe\Pdxdx |
+ С) |
e~lpdx. |
|
|
|||||
Пример 6. Решить уравнение ~ — ^-у |
= х3. |
|
|
||||||||||
Р е ш е н и е . |
Введем |
подстановку |
у = uv |
и |
найдем |
произ |
|||||||
водную. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
d . . |
du . |
dv |
|
|
|
||||
|
|
|
dx |
dx^ |
|
' |
dx |
|
dx' |
|
|
|
|
Значения |
у |
и |
подставим в уравнение —— у*/ = |
х3. |
|||||||||
du |
, |
dv |
2 |
|
„ |
|
|
(dv |
2 |
\ |
du |
ч |
|
Vdx~+Udx— |
7UV |
= |
Х> |
О Т |
К У Д а |
U\dx— |
TVj |
+ |
VTx = |
X' |
|||
Пользуясь произвольностью выбора V, положим
dv 2 V = р0. .
dx х
Тогда
du „
Из уравнения —— v = 0 найдем и:
d o — 2 0 d * = 0, ^ - 2 ^ = 0 , |
f ^ _ f 2 ^ - = l n C , |
||
X |
' V |
X |
J V J X |
In и — 2 lnx = |
InC, |
С, у = Cx2 . |
|
Подставив полученное |
значение v |
в |
уравнение v ^ = х3, най |
|
дем и: |
|
|
|
|
Сх2^= х3, |
Cdu = |
xdx, |
j |
Cdu = j xdx, |
Си = |
-я- + С ь |
« |
= |
x |
|
||||
Общее решение уравнения будет иметь вид
X2 |
|
|
у = uv = ~2 ^ С і |
-Сх2 |
Xі -тСхх2 |
§ 121. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В дифференциальное |
уравнение второго |
порядка могут |
вхо |
||
дить |
переменные х, у |
и |
производные у', |
у", причем те |
или |
иные из величин х, у, |
у' |
могут и отсутствовать. |
|
||
Рассмотрим два простейших вида дифференциальных урав |
|||||
нений |
второго п'орядка. |
|
|
|
|
I. Дифференциальные уравнения второго порядка, не содержащие первообразной функции
Эти уравнения решаются двукратным интегрированием с вве дением новой переменной, дающей возможность понизить их порядок.
|
Пример 7. Найти закон движения в случае свободного паде |
|||||
ния |
тела при |
постоянном |
ускорении g, |
если при t = |
0 |
v — О, |
5 = |
0. |
. |
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Ускорение |
есть вторая |
производная |
от |
пути |
по |
времени. |
|
|
|
|
|
Получили дифференциальное уравнение второго порядка, не
содержащее функции |
s = |
f(t). |
|
|
|
|
|
Обозначим ^jf—v, |
тогда |
|
|
|
|
||
S = |
ЧГ (з?) = £ = |
d v = |
g d t ' |
$ d v = |
$ Sdt, |
v = gt + |
С ь |
Полагая в последнем |
уравнении |
и = 0 |
и / = 0 , |
находим |
Сх = 0 и |
||
ds
v = gt или j - t = gt, ds — gtdt, I ds = j gtdt,
Полагая в последнем |
уравнении |
s = О и ^ = О, находим С 2 = 0 . |
Следовательно, закон |
движения |
выражается уравнением |
П. Дифференциальные уравнения второго порядка,
не содержащие аргумента
В этом случае порядок дифференциального уравнения пони жается заменой у' через р, а у рассматривается как аргумент.
|
У" = W |
= |
|
|
Пример 8. |
Решить уравнение |
уу" |
- f (у')2 = |
0. |
Р е ш е н и е . |
Введем подстановку |
у' — Я = |
з р откуда dx = |
|
dy |
r~ |
„ dp |
dp |
|
= -у- |
Так как у |
~ Ш~^1у' |
т о |
|
с разделяющимися переменными. интегрируем уравнение.
dp |
, |
„ |
уравнение |
У? dy—Р |
|
" е с т ь |
|
Разделим |
переменные и про |
||
lnp — In у = In С.
Потенцируя, получим
| - = С, откуда р = Су.
Подставляя вместо р |
снова |
получим уравнение с разделяю |
щимися переменными. |
= Су, |
~ = Cdx, J y - = JCdx, |
In у = C x - f 1 п С ь |
In у = \neCx - f i n С!. |
|
Потенцируя, получим общее решение в виде |
||
|
У = |
Сх ес *. ' |
Задачи
|
1. Найти общее и частное решения дифференциальных уравнений и |
|||||||||||||||||||||||||||||
построить |
их: |
1) |
у' |
= |
Ах3, |
|
при л = |
0 |
у = |
0; |
2) |
(х2 |
-f- 4)t/' — 2л-!/ = |
0, |
при |
|||||||||||||||
х = |
|
1 і/ = |
5; |
3) |
х;/' |
= |
2 ^ - , |
|
при |
лг = |
е |
«/ = |
1; |
4) |
у' |
= |
у2, |
при |
л: = |
1 |
і/ = 1; |
|||||||||
5) |
у' |
tg х — у = |
1, |
при |
л: = |
я / 2 |
у = |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися |
переменными: |
|||||||||||||||||||||||||||
1) |
(х |
+ |
3)rf(/ — («/ -f- 3)dA: = |
|
0; |
2) |
sin |
л cos ydx |
+ |
|
cos |
л: sin |
ydy |
= |
0; 3) |
ye2xdx |
— |
|||||||||||||
— (1 + |
e2x)dy |
= |
0; |
4) (/' = |
|
Ї/2 cos x; |
5) |
/г/гіл: + |
^ Д ^ У |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3. Решить однородные дифференциальные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1) |
2хуу' |
= у2 — Ах2; |
|
|
|
|
2) у2 — Аху + |
Ах2у' |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3) |
y2dx |
— х(х |
— y)dy |
= |
0; |
|
|
4) |
xydx |
— (х2 |
+ |
y2)dy |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5) хг |
_ |
yi + |
2хуу' |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4. Найти |
общие |
решения линейных |
дифференциальных |
уравнений |
пер- |
|||||||||||||||||||||||
вого порядка: 1) |
у' — |
4у |
= |
егх; |
2) |
у' |
|
хи |
- = x ; 3) y'-\-ycosx |
= |
COSA: sin*;; |
|||||||||||||||||||
|
2-* |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л: -f- |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) у' |
— —у = Xі; |
5) |
ху' |
—у |
|
= |
Xs. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
5. |
Пр оинтегрировать |
|
дифференциальные |
|
уравнения |
второго |
|
порядка: |
||||||||||||||||||||
1) |
У" + |
У = |
0; |
2) |
|
|
+ |
2у (</')3 =0; |
3) |
y"=sin*; |
4) |
ху»-у'=0; |
|
|
5) |
(1+л:2 )г/"+ |
||||||||||||||
+ |
2ху' |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Проверить, |
|
будут |
ли |
указанные |
функции решениями |
уравнений |
(Clt |
||||||||||||||||||||
Сг, |
Са — постоянные): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1) » = C 1 + C s e - w |
|
Г + 9 у ' = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2) |
t/ = |
C1cos5A: + |
C! ! sin5A:, |
у" + |
25у = |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3) |
у = |
CjX, |
#'л: — г/ = |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4) |
f/ = |
sinx, |
у' |
—у |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ъ) у=^-Ъ\пх+С1Х2-\-Сгх |
|
|
|
|
+ |
С3, |
у"' |
= |
\ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Г л а в а XVII . ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗ ФИЗИКИ, ХИМИИ, БИОЛОГИИ И МЕДИЦИНЫ
Дифференциальные уравнения занимают особо важное мес то при решении ряда задач физики, химии, биологии, медици ны. Пользуясь ими, мы устанавливаем связь между перемен ными величинами, характеризующими данный процесс или яв ление.
|
Решение любой |
задачи |
с помощью |
математического |
|
анали |
||||||||||
за можно разбить на три этапа: |
1) |
перевод |
условий задачи на |
|||||||||||||
язык |
математики; 2) решение |
полученной |
таким |
образом |
зада |
|||||||||||
чи; |
3) |
оценка |
результатов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Первая часть работы обычно заключается в составлении |
|||||||||||||||
дифференциального |
уравнения и |
является |
наиболее |
трудной, |
||||||||||||
так как общих методов составления дифференциальных |
|
урав |
||||||||||||||
нений нет и навыки в этой |
области |
могут |
быть |
приобретены |
||||||||||||
лишь |
в результате |
изучения |
конкретных |
примеров. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
I. Физика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задача 1. |
Закон |
радиоактивного |
распада |
атомов. |
|
|
|
||||||||
|
Атомы радиоактивных элементов с течением времени рас |
|||||||||||||||
падаются. Опытным |
путем |
установлено, |
что |
скорость |
распада |
|||||||||||
пропорциональна числу нераспавшихся |
в |
данный |
момент |
ато |
||||||||||||
мов. В аналитической форме |
это |
можно |
записать |
так: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
w—™- |
|
|
|
|
|
|
|
<•> |
||||
где |
JV — число нераспавшихся |
в данный момент атомов; t |
— вре |
|||||||||||||
мя; |
\—постоянная |
распада. Знак минус берется потому, что |
||||||||||||||
с течением времени |
число |
нераспавшихся |
атомов |
уменьшается, |
||||||||||||
а производная убывающей функции отрицательна. Скорость же
по смыслу, положительная |
величина. |
|
|
|
||||
Найти закон радиоактивного распада, если при t = О число |
||||||||
нераспавшихся |
атомов |
N = |
N0. |
|
|
(1) и про |
||
Р е ш е н и е . |
Разделим |
переменные в уравнении |
||||||
интегрируем |
левую часть |
по N, а правую по t: |
|
|||||
= |
—\dt, |
|
= — l~kdt, |
In А/ = |
— lt + |
\nC, |
||
|
|
In N = |
In e~xt |
+ In C, |
N = С |
e~li. |
|
|
Полагая в |
последнем уравнении |
t = |
0 |
и N = N0, |
находим |
||||
С = N0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~N = N0 |
e |
~ |
l |
( |
2 |
) |
|
Формула |
(2) |
представляет |
закон |
радиоактивного |
распада, |
||||
выраженный |
экспоненциальной |
функцией. |
|
|
|
Т, |
|||
Из формулы |
(2) можно определить |
период полураспада |
|||||||
т. е. время, в течение которого число |
атомов |
уменьшается |
|||||||
вдвое. Положив |
в (2) / = Т |
и N = -^-N0, |
получим |
|
|
||||
Прологарифмируем последнееin 4 -выражение= - ^ ,
откуда
r
1
_ |
In 2 _ |
0,693 |
|
— |
> |
* • |
(У) |
Из формулы (3) видно, что период полураспада связан с постоянной распада и является характеристикой данного радио
активного вещества. Например, для радона X = 2,084 • 10~6 |
сект1. |
||||
Подставив ее значение |
в формулу |
(3), получим |
период |
полу |
|
распада радона Т =3,15 суток. |
|
|
|
|
|
Задача 2. Вывод барометрической |
формулы. |
|
1 см'1. Меж |
||
Возьмем столб воздуха с поперечным сечением |
|||||
ду двумя различными |
его уровнями |
существует |
разность |
дав |
|
лений, обусловленная |
весом находящихся между |
ними |
моле |
||
кул. Эта разность давлений на данном интервале будет умень
шаться |
с увеличением высоты. Если |
на высоте h давление равно |
|||||
р, то |
на |
высоте |
h + dh оно будет равно р — dp. Изменение |
||||
давления |
— dp |
равно приращению высоты dh, умноженному на |
|||||
число молекул |
в единице |
объема у |
и на силу тяготения mg. |
||||
|
|
|
|
— dp = ~ |
mgdh. |
(4) |
|
Из объединенного |
газового |
закона для идеального газа |
|||||
|
|
|
|
PV = nkT, |
- f = 1 j L . |
||
Подставляя |
значение |
•—- в уравнение (4), получим |
|||||
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
— dP=Yf |
mgdh. |
||
Разделяя |
переменные и интегрируя, |
получим |
|||||
* ~ S M f — - І З |
« • b p — t a C . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
mgft |
|
|
|
_ |
mgft |
|
|
|
|
||
|
|
In p = In e ~ Ж |
|
+ In C, p = Ce k T . |
|
|
|
|
||||||||
Постоянную |
интегрирования |
С найдем |
из |
условия, |
что при |
|||||||||||
h = О давление |
р = р0 |
(р0 |
—давление |
над уровнем |
моря). |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
_ |
mg-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р0 |
= Се к Т , р0 = С. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Окончательно |
получим уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
_ m g A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где /г — постоянная |
|
/> = А* |
к \ |
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||
Больцмана; |
Т — абсолютная |
температура; |
||||||||||||||
mgh — работа |
перемещения молекулы |
с одного |
уровня на дру |
|||||||||||||
гой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле (5) можно определить давление |
воздуха |
на лю |
||||||||||||||
бом уровне по отношению |
к его давлению на уровне |
моря или |
||||||||||||||
на любом другом уровне, принятом |
за начало |
отсчета. |
Выра |
|||||||||||||
жение |
(5) называется |
барометрической |
формулой. |
|
|
|
|
|||||||||
Задача 3. |
Закон |
охлаждения |
тела. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Согласно |
закону |
Ньютона, скорость |
охлаждения |
тела |
про |
|||||||||||
порциональна разности между температурой тела |
и |
окружаю |
||||||||||||||
щей среды. Пусть тело нагрето |
до температуры Т0; темпера |
|||||||||||||||
туру окружающей среды |
будем |
считать |
постоянной |
и |
равной |
|||||||||||
ТС(ТСК |
Т0). |
В момент времени |
t температура |
тела |
равна Т. |
|||||||||||
„ |
|
|
|
|
|
|
|
аТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорость изменения |
температуры |
пропорциональна разности |
||||||||||||||
Т — Т с , |
т. е. |
|
|
d^f=-k(T-Tc). |
|
|
|
|
|
|
' |
|
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Знак минус |
выбран |
потому, |
что с возрастанием |
времени t |
тем |
|||||||||||
пература Т тела уменьшается. Производная |
убывающей |
функ |
||||||||||||||
ции отрицательна, а скорость по смыслу положительная |
вели |
|||||||||||||||
чина. Коэффициент пропорциональности |
k зависит |
как от физи |
||||||||||||||
ческих |
свойств |
тела, |
так и от его геометрической |
формы. |
|
|||||||||||
Р е ш е н и е . |
Разделим |
переменные в уравнении (6) |
и |
про |
||||||||||||
интегрируем его: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
|
|
j _ 4 Z _ = j _ ^ , 1 п ( Г - Г с ) = |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= —Ы + In С, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
In (Т — Те) = \пе-*< + In С, Т — Т с |
= |
Ce~kt, |
|
|
|||||||||||
Т=Тс + Се-*1.
Согласно |
начальным |
условиям |
при |
Jo |
|
|
||||||
t — О, |
Т = Т0 |
найдем |
значение |
С и |
dl |
|
||||||
подставим |
в |
последнее |
уравнение |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
г 0 |
= т с + с е - * - °, С = Г 0 - Т с , |
|
|
|
||||||||
Т = Т с |
+ |
( Г 0 - Т с ) е |
- Ч |
|
(7) |
|
|
|
||||
Уравнение (7) выражает за/сон ох- |
|
|
|
|||||||||
лаждения |
тела |
с |
течением |
времени. |
|
|
|
|||||
Задача |
4. |
Закон |
поглощения света |
|
|
|
||||||
Бугера—Лам |
берта—Б |
ера. |
|
|
|
Р и с . 129 |
|
|||||
Пусть |
через слой раствора |
толщи |
|
|
||||||||
ной / |
проходит |
пучок |
|
параллельных |
|
|
|
|||||
лучей |
света |
(рис. |
129). |
Выделим |
в растворе тонкий слой |
тол |
||||||
щиной |
dl, |
ограниченный параллельными |
поверхностями, |
пер |
||||||||
пендикулярными к направлению распространения света. Интен сивность света, прошедшего через слой dl, изменится на ве личину (—dl). Изменение интенсивности света (—dl) пропорци онально интенсивности света /, концентрации вещества q и его толщине dl
— dl = klcdl. |
(8) |
Коэффициент k зависит от свойств поглощающего вещества и носит название коэффициента поглощения. Постоянство коэф фициента k указывает на то, что в каждом слое поглощается одна и та же доля интенсивности света, дошедшего до слоя. Коэффициент k зависит от длины волны света, от свойств рас творителя и температуры. Уравнение (8) является дифферен-
'циальным уравнением с разделяющимися переменными. Разде лим переменные и проинтегрируем его:
JL = — kcdl, |
§Ц- |
|
= |
—$kcdl, |
In / = |
—kcl |
+ 1пС ь |
||
|
|
l n / |
= |
l n ^ - * c ' + lnC1 . |
|
|
|||
Потенцируя, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
der**1. |
|
|
|
||
Постоянную |
Су найдем из начальных данных |
при |
Vt= О I — 10: |
||||||
|
I 0 = |
Cje-"*0-0, откуда |
Сі = |
/ 0 |
|
||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
= |
/„<?-*«'. |
|
|
(9) |
|
Из формулы |
(9) найдем |
величину |
оптической плотности рас |
||||||
твора D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D= |
\gJf- |
= |
kcl\ge |
= |
kcl • 0,4343. |
|
||