Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3624 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

мерным выливанием раствора со скоростью у л/мин. Сколько чистой соли останется через время т после начала процесса? Задачу решить при а = 100 л, р = 3 л/мин, у = 2 л/мин, х0 =

= 100 кг, х = 60 мин.

Р е ш е н и е .

Через

мин

после начала процесса в раствор

вольется fit л пресной воды и выльется

yt л

раствора. Объем

раствора в сосуде в момент

времени t равен а +

ф — Y)^» а со-

ли в нем содержится х кг. Концентрация

раствора с=-а^

За

промежуток

времени

количество

соли

уменьшится

на

dx = — ycdt. Подставляя

последнее

выражение

значение

с,

получим

ixdt

vT,

откуда

-idt

г--

r-75

— =

гтз

Интегрируя в пределах от х0

до х

от

до т, получим

Cdx

найдем методом подстановки. Положим

а+ф—y)t—z,

j а ~Т VP

ф -

y)dt

dz, dt=j~,

- U n

2 = ^

In [ a + ( P - Y ) « .

Тогда

In — = — 0

' I n — — — .

После

потенцирования

p — T

X — XQ ° + ( P - 7 ) T

Подставив

данные задачи,

найдем

количество

соли, остав

шейся

растворе:

x = 1 0 [ 1 0 0

+ fo -2 ) 6 0 ] " « 3 , 9 * .

Задача 9. 100 г двуокиси углерода нагревается при посто янном объеме от 15° до 1000С С. Определить количество погло щаемой при этом теплоты, если теплоемкость

cv = (6,5 + 0,001930-4,19 дж/моль-град.

Р е ш е н и е . Количество теплоты, поглощаемой при повыше нии температуры от ty до t2 для одного моля, выражается формулой:

	Q = j	cydt.
о	" гтл		равно	100
В нашей задаче число молей СО		а	равно
1000,				1000
				1000
Q = Ж 1 < 6 ' 5 +	° ' 0 0 1 9 3 ^ 4 ' 1 9 * = ^ • 4,19 (6,50 15
15
+	1000		= 70141 дж.
+	0,00193-J		= 70141 дж.
	15

Метод интегрирования находит широкое применение при отыскании параметров непрерывно меняющихся по величине и направлению процессов. Например, работа, совершаемая мыш цей сердца при выбрасывании систолического объема крови из желудочка^складывается из бесчисленного множества моментных значений, постепенно нарастающих и убывающих соответ ственно возрастанию и падению давления в полости желудочка.

ъ .

Эта работа	выразится	как A = \Fds, где F — сила,	т. е. не-
		А
прерывно изменяющийся		вес выбрасываемой крови;	s — путь,
т. е. высота	поднятия крови, или давление в единицах		кровяного

столба жидкости. Можно выразить работу переменной силы через скорость движущегося тела. Элементарная работа dA на участ

ке ds, где	сила F принята	за постоянную величину,			равна:
dA = Fds.	По второму закону Ньютона		F = т^-	и	поэтому
	dA = m~,ds	= m^dv =	mvdv.
	dt	dt

Полная работа при изменении скорости тела от 0 до v равна определенному интегралу:

А = j- mvdv = 'Щ-

о1

§114. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть на плоскости хОу дана конечная линия АВ					(рис.126),
и в	каждой ее точке	задано	значение	некоторой	величины
р(х,	у). Разобьем АВ	на п	частичных	дуг ААЪ	АХА%,

Лл _іВ.	На каждой частичной				дуге	возьмем		точку,	в которой
значение		данной величины		равно Р(хр		yt) и составим			сумму
sn	=	Р (хъ	й) Ахг + Р (х2,		у2) Ах2	+	.. . +	Р (хп, уп)	Ахп,
где rAxt	есть		приращение	абсциссы,		соответствующее			переходу
ОТ ТОЧКИ Л,- В ТОЧКу Л/+1.
		у\				я,7	в
		у\

JC2

Хп tE/j+f

Р и с .

126

Определение

Предел,

которому

стремится

сумма

sn,

когда

наибольшая из

величин

\ Axt \ стремится

нулю,

называ

ется

криволинейным

интегралом

выражения Р (х,

y)dx,

взятым

по

пути

АВ.

Обозначение

криволинейного

интеграла

\P{x,y)dx.

(12)

АВ

Аналогично

определяется

криволинейный

интеграл

выраже

ния

Q(x,

y)dy,

обозначаемый

как

lQ{x,y)dy,

(13)

АВ

также

криволинейный

интеграл

выражения

Р (х,

y)dx

Q (х, y)dy,

обозначаемый

как

Р(х, y)dx +

Q(x,

y)dy.

(14)

АВ

Интегралы

(12),

(13)

есть

частные

виды

интеграла

(14),

когда

Q = 0 или

Р =

Направление по кривой от точки Л к точке

называется

направлением

интегрирования.

Определение

криволинейного

интеграла

остается

силе

и в том ^случае, когда кривая

АВ

замкнута. В

этом

случае

начальная

конечная

точки

на

кривой совпадают.

Для обозначения криволинейного интеграла по замкнутому контуру очень часто употребляется символ

§ Р (х, y)dx + Q (х, y)dy.


Отметим		два свойства криволинейного					интеграла.
Свойство		1. Криволинейный,		интеграл		определяется		подынтег
ральным выражением, формой кривой интегрирования и								указанием
направления		интегрирования.
Свойство		2. Если кривую	АВ		точкой	К	разбить	на части
так,	что АВ — АК + KB,		то
j	Р (х, y)dx + Q (де, y)dy		=	j	P (x, y)dx 4- Q (x, y)dy			+
(AB)				AK

- f \ P (x, y)dx + Q (x, y)dy.

§ 115. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Вычисление криволинейных интегралов приводится к вычис лению обыкновенных определенных интегралов. Для этого уравнение линии интегрирования представим в параметрическом виде: x = x(t), y — y(t). В подынтегральном выражении х, у, dx и dy заменим через t и dt и вычислим получившийся ин теграл по интервалу изменения параметра t.

Пример	13. Вычислить интеграл
			/ =	xydx — (х + y)dy,
принимая за линию L (рис. 127):
1) отрезок прямой, соединяющей точки							О(0; 0) и Л(1; 1);
2) дугу	параболы у = х2, соединяющую						эти точки;
3) ломаную		ОБА.				интегрирования у — х
Р е ш е н и е .		1)	Уравнение		линии
в параметрическом			виде	будет:	х = t,	у — t,		dx = dt,		dy = dt.
Для точки	О t = 0; для			точки	A t = 1.
f	t • tdt+(t		+ t)dt = \ (t2 + 2t)dt			=	1	.	l _	4.
							a о		о	3 '
б				о				i

2) Уравнение линии интегрирования у = х2 в параметричес ком виде: x = t, y = t2, dx = di/ = 2fr#. Для точки О *=0; для точки A t = 1.

/ = j f- Л и + (/ + t2)2tdt	= \ (2t2 + 3t3)dt =	h 3	1	з	: 1	= І І
			о	*
о	о	д			о	12'

231

3) Контур интегрирования разбиваем на два участка. На участке ОВ у = 0 и dy = 0, а на участке ВА х — 1 и dx = 0.

;= .f(i + y)dy = -U\ +yf

оz

Во всех трех случаях мы получили различные значения интеграла, несмотря на то, что начальная и конечная точки контура интегрирования были одни и те же . Это показывает, что криволинейный интеграл

УІл / / /

/у

Р и с . 127


дня)	зависит не только				от начальной
	и конечной			точек	интегрирова
	ния,	но и от линии,				их соеди
	няющей. Но если				подынтеграль
	ное	выражение			криволинейного
	интеграла		является		полным диф
	ференциалом			функции,		то значе
	ние	его не		зависит		от	линии
	интегрирования.
	Криволинейный				интеграл на
	ходит применение				при решении
	ряда	прикладных			задач. С его
	помощью		вычисляется				работа

силы при перемещении тела вдоль кривой, положение центра тяжести линии с переменной линейной плотностью. При изло жении законов термодинамики понятие криволинейного интег рала по замкнутому контуру используется при расчете суммы приведенных теплот замкнутого цикла.

Более полно тема «Криволинейный интеграл» изложена в книгах [3], [36].

Задачи

!. Вычислить интегралы: 1) \(У2х + Yx)dx;

2)\2xdx\

3) f (2х? - f x 2 —

—

— 5)dx; 4)

"(*

г 2-4-*

1 1 /

" / 3

J/6

— " , - ; 5)

~^dx\

6) \exdx;

sin2xdx;8)

\ tg xdx;

! cos2 xdx;

10) f ec o s *sin xdx:

11) \ sin x cos2

xdx; 12)

—

;

уi—x

13)

*l2

г exdx

11/4

\ sin2 xdx;

14) і

• 15)

I sin4xdx.

о Є

2. Найти

среднее

значение

функций: 1)

/ ( х ) = х ( 1 — х )

на

отрезке

[0,

1]; 2) / (х) = sin х на отрезке

[0, я ] ; 3) / (х) =

х 2 на отрезке [а,

Ь].

3. Найти

площадь между

кривой

у = cos х и осью Ох в пределах от О

до

я / 2 .

4. Вычислить площадь между кривыми у2 = 9х

и х2 = 9</.

у-=х2Аг2

5. Определить

площадь

фигуры,

ограниченной

параболой

и прямой х + у = 4.

6. Пользуясь

методом интегрирования,

вычислить площадь

круга

х2 + у* =

R2.

7. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигу

ры,

ограниченной

параболой

у = 4х — х2

и осью

абсцисс.

оси Ох по

8. Вычислить

объем

тела,

полученного

от вращения вокруг

луволны синусоиды

у =

sin X.

9. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигу

ры,

заключенной

между

кривой у = х2

и прямой

4х — J / = 0.

10. По формуле

трапеций,

разбивая

отрезок

на 4 части, найти величи-

ны

следующих

интегралов:

Ых

Г _ X 2

O N

Г sin x

\ — ; 2)

І е

ах;

3) | — - — а х .

іо о

Вычисления произвести с точностью до четвертого знака после запятой. Значения показательной функции взять из справочника по математике.

11.Определить по формуле трапеций площадь фигуры, заключенной

между кривой ху = 12 и прямыми х = 1, х = 6, у = 0, приняв п = 5.

		00		00
		С dx	'	Г	л[—
12.	Найти	несобственные интегралы: 1) - ^ ; 2)	j ' exdx;	3) \ е	dx;
		1	0 0	о
00		оо
4)	5)	j

іо

13.	Скорость движения тела выражена	формулой v =	(3t2	— 2t)	м/сек.
Какой	путь пройдет тело за 5 сек от начала	движения.
14.	Найти работу, произведенную при сжатии пружины на 3 см,				если
известно, что для сжатия ее на 0,5 см нужно приложить			силу	в 10 к.

15.В цилиндре с подвижным поршнем заключен атмосферный воздух. Объем цилиндра равен 0,2 м3. Поршнем воздух сжимается до объема 0,06 ж 3 . Найти работу, произведенную силой давления воздуха, если температура воздуха поддерживается постоянной.

16.Тело движется в некоторой среде прямолинейно по закону s = t2. Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости движения. Найти

работу,	произведенную силой сопротивления среды, при передвижении тела
от s =	0 до s = а.
17.	Вычислить работу, затрачиваемую спортсменом при растяжении
пружины эспандера на 70 см, если известно, что при усилии		в 10 « эспан
дер растягивается на 1 см.
18.	Два электрических заряда: qx= 100 ед. СГСЭ и q2 =	120 ед. СГСЭ
находятся в воздухе на расстоянии 20 см друг от друга. Каким будет рас

стояние между зарядами, если приблизить второй к первому, затратив при этом работу в 1800 эрг?


19.		Вычислить работу тока за время			от tx = 0 до t2 = Т,	если сила
тока	определяется		формулой	/ = / 0 s i n c o / ,	где / 0 — максимальное	значение
тока;	« — круговая		частота;	t—время.
20.		Формула температурной зависимости истинной мольной теплоемкости
Fe 2 03 :		Ср = (24,72 4- 16,04-10~3 Г — 4 , 2 3 4 - 1 0 - 6 - Т 2 ) - 4 , 1 9 . Определить					коли
чество		теплоты (кдж), необходимое для			нагревания 1 кг Fe 2 0 3	от	16° до

1538°С.

Р а з д е л 5

ПР О С Т Е Й Ш И Е Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е

УР А В Н Е Н И Я

Г л а в а X V I . ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Наука о дифференциальных уравнениях по своей сущности остается молодой, ибо во всех вновь возникающих отраслях исследования — биологии, медицине, астрофизике, кибернетике, социологии — она сразу же находит для себя новые сферы применения при решении новых задач.

§ 116. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Пусть функция у = f(x) отражает количественную сторону некоторого явления. Рассматривая это явление, мы часто не

можем

непосредственно

установить

характер зависимости

от

х,

а только

можем установить зависимость между

переменными

х, у и производными разных порядков от у

по х: у',

у",

у"',

уп,

т. е. написать выражение, называемое

дифференциальным

урав

нением.

1. Дифференциальным

уравнением

называется

Определение

уравнение,

связывающее

независимую

переменную

х,

искомую

функцию

y — f(x)

и ее

производные

у',

у",

у'",

...,

у(">.

Дифференциальное уравнение

общем

виде можно записать

., уп) = о

или

Если

искомая

функция

г/ = /(х)

есть

функция

одного

неза

висимого переменного, то дифференциальное уравнение

назы

вается

обыкновенным.

Если

функция

z = f (х,

у, z, ...,

зависит

от двух и боль- -

шего

числа

независимых

переменных,

то

уравнение

будет

со-

daz

d2z

держать

частные

производные ^ ,

щ,

...,

-щъ

т. д.

Та

кое

уравнение

носит

название

дифференциального

уравнения

частных

производных.

Определение

Порядком дифференциального

уравнения

назы

вается

порядок

наивысшей

производной,

- входящей

уравнение.

Например,

у' — 2хуг

5 = 0 — уравнение

первого

порядка,

а у" + У = 0 — уравнение

второго порядка.

Определение

3. Решением

или интегралом

дифференциального

уравнения

называется всякая

функция

у = f (х),

которая,

буду

чи подставлена

в уравнение,

превращает

его в

тождество.

Так,

решением

дифференциального

уравнения

у" + у = 0

является

функция

у — Ci sin х + С2 cos х,

где Сі

и С2 — посто

янные интегрирования.

При подстановке функции

в уравне

ние у" + у =

0 оно превращается в тождество.

Всякое

решение,

которое

содержит

столько

произвольных

постоянных,

каков

порядок

уравнения

(в рассматриваемом

при

мере две), называется общим

решением.

Решения,

полученные

из

общего

решения

путем

задания

произвольным постоянным определенных численных значений, на

зываются

частными

решениями.

На

практике

частное

решение

получается

из общего

решения

не

прямым заданием

значений

произвольных

постоянных,

а исходя

из тех условий,

которым

должно удовлетворять искомое частное решение.

Пример

Общим

решением

уравнения

jf = g

является

функция

v = gt -f- С. Найти

частное

решение

при условии, что

при t =

v — 0.

общее решение v — gt + С подставим t — 0,

Р е ш е н и е .

о = 0 .

0 = g . 0 + C , С = 0.

При этих

условиях

частное решение уравнения будет иметь вид

Пример

v =

gt.

Общее

решение

дифференциального уравнения

у" + у = 0

есть

у = Сх sin х + С2

cos х.

Найти

частное

решение,

если при х = 0

у = 2 и у'х

= — 1.

Р е ш е н и е . Из общего решения y'x = CiCosx — CjjSinX. Из условия, что при х = 0 у = 0, а у'х = — 1 найдем значения по стоянных Сі и С2 и подставим в общее решение.

2 = d sin0 + С2 cos 0, откуда С2 = 2,

— 1 = Ci cos 0 — С2 sin 0, откуда Сх = — 1. Искомое частное решение в этом случае будет иметь вид:

у= 2 cos х — sin х.

Сгеометрической точки зрения общее решение (общий ин

теграл) выражает семейство кривых, а	частное решение (част
ный интеграл) — отдельные кривые этого	семейства.

(

§ 117. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РЕШАЕМЫЕ НЕПОСРЕДСТВЕННЫМ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

					F(x,	у, у'х)=0.					(1)
Если		уравнение			(1) разрешить		относительно			у'х,	то его мож
но	записать в			виде
					Ух = ї(х, У)-
	Рассмотрим дифференциальное						уравнение		вида
					%=h(x)-h(y),						(2)
где	правая		часть		есть произведение			функции,		зависящей толь
ко	от	х,	на	функцию, зависящую				только	от у.		Предполагая,
что	/ 2	(у) ф О,		преобразуем		уравнение		(2) к виду
					•jjfi-dy	= h (x)dx.					(3)

Считая у известной функцией от х, равенство (3) можно рас сматривать как равенство двух дифференциалов. Неопределен ные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по у, а правую по х, получим

S m = 5 f i { x ) d x + C -

( 4 )

Мы получили соотношение, связывающее у, независимую пе ременную х и произвольную постоянную С. Уравнение (4) яв ляется общим интегралом уравнения (3).

Уравнение вида

М (x)dx + N (y)dy = О

носит название уравнения с разделенными переменными. Общий интеграл этого уравнения получается непосредственным интег рированием.

j М [x)dx + J N (y)dy = С.

Пример 3. Дано уравнение xdx + ydy = 0. Его общий ин теграл j xdx + J ydy — Ci, -y -f- ~2 = Сі, XІ + y2=2Ci, обозначив 2Ci = С2 , так как левая часть всегда положительная, получим

х2 + у2 = С2.

Это уравнение выражает семейство концентрических окружнос тей с центром в начале координат и радиусом С (рис. 128).

§ 118. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ

ПЕРЕМЕННЫМИ

Уравнение вида

Мх (х) • Nx (y)dx + М2 (х) • N2 (y)dy = О

называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно мо жет быть приведено к уравнению с разделенными переменными

путем деления обеих его частей			на выражение		N1(y)M2(x):
M1(x)Nl(y)	,	M2(x)N2(y)		,	n
N^yWAx)		^ N1(y)M2(x)Uy			U'
откуда
Ali (де) dx		N2(y)	dy =	0.	(5)
		N1 (У)

Уравнение(5) решается путем непосредственного интегрирования. Пример 4. Найти общее и частное решение уравнения ==

= —	Начальные		данные х—1,	у~-2.
Р е ш е н и е .		Разделим пере
менные	путем	тождественных
алгебраических		преобразований.
dy = ——dx,—			— — dx
J	x	' у	X
Проинтегрируем последнее урав
нение:
			\пх
+ InC, \пу + lux = InC.
Потенцируя последнее равенст
во, получим			»	Р и с . 128
	ух	= С		Р и с . 128
	ух	= С

или

уобщее решение уравнения.

Подставим в общее решение начальные условия:

2 = - р , С = 2.

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3624 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ