Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3623 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

§ 110. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

В § 107 было показано, что определенный интеграл J f(x)dx

численно равен площади криволинейной трапеции. Условимся площади криволинейной трапеции, расположенной над осью Ох

[/(х) > 0], приписывать знак плюс, а расположенной							под осью
Ox [/(х) <	0] — знак		минус.	Тогда	определенный			интеграл
ь
J/(x)dx всегда можем рассматривать, независимо от						конкретного
А					и функции	f(x),		как ал
смысла переменной интегрирования х
гебраическую		площадь	криволинейной		трапеции	с	основанием
[а, Ь], ограниченной линией у				= f(x).
Пример	6.	Площадь, ограниченная			синусоидой		в	пределах
изменения	х	от 0 до	2гс, расположена относительно					оси Ох

так, что положительная, часть площади + Si равна отрицатель ной — S2 (рис. 119).

Действительно, интеграл \ sinxdx = — cosx \l* = — COS2T: +

/ 's' \	2Л
0	/ x
0

Р и с . 119

- f cos0° = 0. Полная плсщадь фигуры (рис. 119) будет равна сумме абсолютных величин площадей: S = |S]| + | — S2\.

	Sx =	ТІ			cos xl7 1	= — (cos it — cos 0) = 2,
		(sin xdx=—
		о			lo
	S2 = j sin x d x = —				cosxn =		— (cos 2 я — cos тг)=— 2,
		S = \| S 1 \| + l - S , l = l 2 l + \| - 2 \| = 4.
	Пример	7.	Найти		площадь,		заключенную		между кривой
у =	e*/s и осью		Ох	в	пределах		от 0	до 1.
	Р е ш е н и е .		Площадь S			равна		определенному		интегралу
от	функции	у = ех/5,		взятому		в	пределах от 0		до 1,	т. е.

			S=j'e/5 d=5e*/6 \|J = 5 (ei/5				— 1 ) ^ 1,01.
	Пример		8.	Определить	объем	тела	вращения,		полученного
от	вращения эллипса вокруг оси Ох,						т. е. объем		эллипсоида
(рис. 120).									х-	IIі

	Р е ш е н и е .			Уравнение эллипса имеет вид: --^ -+-						=\1.
Объем		эллипсоида разобьем плоскостями,						перпендикулярными
к	оси	Ох,	на	ряд элементарных		объемов.		В каждом		сечении
получим круг,				площадь	которого	равна		ку2 = S(x).		Высоту

Р и с . 120

элементарного объема обозначим через Ах. На больших или малых основаниях элементарных объемов построим цилиндры. Объем цилиндров

v „ = s

адд*,.

i=i

Объем эллипсоида V будет равен пределу Vn при тахДх; - *0 .

V	— lim	2	S(X;)Ax; =	] S(x)dx.
	тахДдг,- -»• 0J'=1			—a
Из уравнения	эллипса	у2	=-^(а2—	х2 ),

S ( x ) = r ; y 2 = ^ V - * - 2 ) ,

^ э л = = ? я	(а2 — х2)йх	= ъ -^а2х	-а	лЬ2	а
			-а	а2 3	—а
= ic b2a + ^b2a		g	— — т ш б 2 .

Шар представляет частный случай эллипсоида, когда а = Ь, поэтому объем шара 1 / ш = -^-яа3 .

§ 111. 'ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

На практике часто встречаются интегралы, которые не вы ражаются через элементарные функции или выражаются очень

сложно.

этом

случае

интегралы

находят

приближенными

методами, основанными

на

геометрическом смысле оп

ределенного

интеграла.

Существует несколько спо

собов

приближенного рас

чета

определенного

интег

рала.

Мы

рассмотрим

Уо

У/

Уг

У/7, Уп

простейший из них, так на

зываемый способ

трапеций.

О Q-XQ

iXf

Xfj.F

(Xrj-6 X

Пусть

J / (x)dx

выража

ет площадь

криволинейной

р и с .

121

трапеции

(рис.

121).

Разо

бьем

отрезок

[а,

Ь\

на п

равных

частей

и из точек деления хъ

х2,

хп,

возведя перпен

дикуляры

до

пересечения

кривой

f{x),

получим

tj\

f(Xx),

2/2 = fix*),yn

f(xn). Полученные

криволинейные

трапеции

заменим прямолинейными трапециями. Тогда площадь

криво

линейной

трапеции может быть

выражена

приближенным

ра

венством

S = $f(x)dx^—(г/о

+ Уі) {хх

— х0)+

—

(г/і +

г/г) (х2

— *і) +

•••

— ( г / „ _ і

yn)(xn

—

xn^i).

Но Хх — Х(, — Хг — Хх — • • — хп

— Хп

b—a

— і — ——

if{x)dx^

b — а

Ух +

Уі +

У2 + -

Уп-і

+УП

i-r«/n ),

— ^ - (Уо +

или, объединяя одинаковые члены, получим

if{x)dx'~

Ь — а

ІУо + Уп +

2 (Уі + № +

Уп -

і)]-

(8)

Формула

(8) носит название формулы

трапеций,

а данный спо

соб

вычисления

определенного

интеграла — способа

трапеций.

Пример 9. Найти

интеграл / =

f у-;— , разбивая отрезок ин

тегрирования

на две части.

б 1 <~х

Р е ш е н и е .

Найдем

значения

подынтегральной

функции

в точках

разбиения:

- .

0,5

1+х

0,6667

0,5

у =

По формуле (8)

1—0 (1 + 0 , 5 +

2-0,6667) = 0,7083.

+х

2-2

Точное значение

Jq { + dxх

In (1 +

X) |J = 1п2 = 0,6931. (От-

вет

до четырех

знаков.)

получен

с точностью

Ошибка,

полученная при приближенном

расчете интеграла,

равна

' 0,6931 — 0,70831

•100 =

2%.

0,6931

Очевидно,

чем больше

число

п разбиений отрезка [а, Ь],

тем

меньше

ошибка,

полученная

за счет приближенного

расче

та

интеграла.

Пример

10. Вычислить приближенно интеграл / = j j /

\+х2й"х,

разбивая

отрезок

интегрирования

на 10 равных

частей.

Р е ш е н и е .

Найдем

значения

подынтегральной

функции

в точках

разбиения:

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

=Yi + X*

1,0000

1,0050 1,0198

1,0440

1,0770

1,1180 1,1662

1,2207 1,2806

1,3454 1,4142

По формуле (8)

$оVl+x2dx^

1 — 0

[1,0000 +

1,4142 + 2 ( 1 , 0 0 5 0 + 1,0198

2- Ю

+ 1,0440+ 1,0770 +	1,1180 + 1,1662+ 1,2207 + .1,2806
+	1,3454)] = 1,1484.

Точное	значение		f \|/l 4 - х 2 d x = 1,1479.
			b
Ошибка,	полученная			при приближенном			расчете		интеграла,
		1,1479 — 1,1482 -100			=	0,04 о/0.
			1,1479
Так как численные приближенные методы быстро и просто
позволяют находить значения интегралов, их часто									применяют
даже в тех случаях, когда для интеграла можно									получить
точную	формулу.
		§ 112. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Понятие определенного интеграла было введено									для конеч
ного отрезка		[а, Ь] и непрерывной			функции			у = f{x) в		отрезке
[а, Ь]. Такие интегралы носят название собственных										интегра
лов. Если же отрезок				интегрирования		[а, Ь] бесконечен				и	под
ынтегральная		функция		разрывна,	то	такие		интегралы			назы
ваются	несобственными.
Рассмотрим интегралы с бесконечным							отрезком		интегриро
вания
				jf(x)dx,							(9)
				А
где нижний		предел	и подынтегральная			функция f(x)				при а < !
- < х < с о	являются		конечными.
Вначале положим,				что верхний предел в интеграле						(9) боль
шое, но конечное число. Тогда получим интеграл
				)f(x)dx.							(10)

Интеграл (10) собственный и имеет определенное численное зна чение. Если принять, что Ъ стремится к бесконечности, то интеграл (10) меняется. При этом, если он имеет конеч ный предел, то интеграл (9) называется несобственным сходя щимся интегралом и обозначается:

Jf(x)dx=\im]f(x)dx. (11)

Значение интеграла (11) определяют по формуле Ньютона — Лейбница (6). Если интеграл (9) не имеет конечного предела, то он называется расходящимся.

Геометрически несобственный интеграл представляет собой

плсшадь	криволинейной	фигуры, ограниченной данной линией
у = f(x),	осью Ох и вертикалью х — а (рис. 122).
	ff(x)dx	= \im[F(b) — F(a)].

Введя условное обозначение lim F(b) = F(oo), получим

6-<-a>

J f(x)dx = F(co) — F(d).

Это и	есть		формула		Ньютона — Лейбница для			сходящегося
несобственного			интеграла.
Пример		П .	°°	дх		.
Пример		П .	[.—j—2=arctgx\|°° = arctg(oo) — arctgO = я/2.
			0 1	T *		-0
								CO J
Пример		12. Рассмотрим				несобственный	интеграл	f — dx.
Так	как				lim In x b = lim In 6 =		In со = с»,
	lim ] — dx =				lim In x b = lim In 6 =		In со = с»,
		oo j
то интеграл		j. — dx =			оо	расходится и можно написать, что
					СО	J
					\ — dx — со .
					і *

Нами рассмотрен только один вид несобственных интегра лов. Несобственные интегралы иных видов описаны в книге [33].

§113. ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

КРЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ И, ХИМИИ

Задача 1. Скорость поступательно движущегося тела выра жается формулой v = У\ + / м/сек. Найти путь, пройденный телом за первые 10 сек после начала движения.

	Р е ш е н и е .			Известно, чтои= - ^ - ,			следовательно,		ds = vdt
и	s = j v(t)dt.		В нашем случае tj, =			0, /2	=	Ю, и = \| / 1 -j-	t •
	ti				о		.in о
			10		о		.in о
Поэтому		s=\\/\		+	tdt = = - \| / ( 1 + tf			о = " Г 11 * 1 1	- Х ) ^
^	23,65	м.						М падает под дейст
	Задача 2.		Капля		с начальной	массой		М падает под дейст

вием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесе кундно массу, равную т. Найти работу силы тяжести за время

от начала движения до полного испарения капли?			(Сопротив
лением воздуха	пренебрегаем.)	времени t капля в
Р е ш е н и е .	По истечении	времени t капля в	результате
падения будет	иметь массу, равную разности между		ее перво

начальной массой М и потерей массы, равной mt. Таким обра


зом, масса капли в точке А будет			МА ~М				mt. Путь,	прой
денный за это время, вычисляется			по	формуле			s =	За вре
денный за это время, вычисляется			по			—
мя	dt капля пройдет	путь ds = gtdt,			а работа, совершенная
за	это же время силой	тяжести, будет			равна:

dA = fds = g(M — m)gtdt = g2(M — mt)tdt.

Следовательно,

A = f g2(M — mt)tdt. h

Пределы интегрирования определяем из следующих соображе ний. Если масса капли станет равной нулю (капля испарится),

то М — тії = 0 и t2 = — . В начале движения ti = 0. Поэтому

м_					т
т	•mt)tdt^g2{JL			Mt2	т
о	•mt)tdt^g2{JL			Mt2	~mt3
о
	= £2	мз	М3	gW3
	= £2	2 т 2	З т 2	6 т 2

Задача 3. Определить массу стержня				длиной / =	10 м,	если
линейная	плотность	стержня	меняется	по закону	рх = (а +
+ Ьх) кг/м,	где х—расстояние		от одного из концов стержня,			а=6,
6 = 0,3 (рис. 123).				длиной dx
Р е ш е н и е . Масса		отрезка	стержня	длиной dx	равна	про

изведению его линейной плотности рх на длину dx (на участке длины dx плотность можно считать постоянной). Следовательно,

для выделенного участка	dm = (а + bx)dx. Интегрируя в пре
делах от х = 0 до х = /,	получим

иI

\dm= J (а + bx)dx,

оо

М [ах	rbx2 = [al 1 Ы2	6-10 + 4 -0,3-102 =75 кг.
	А=6	6-10 + 4 -0,3-102 =75 кг.
	6=0,3
	/=10

Задача 4. Пластинка, имеющая форму эллипса, в вертикаль ном положении наполовину погружена в жидкость так, что одна из осей, длиной 2Ь, лежит на поверхности (рис. 124). Как

		в,		0	B y
		— А		**	Л\~--—
				С	Л\~--—
		— \		^	І—~—
		— — \ ^
		7 _ ^	\	М
		7 _ ^		М
х	dx	х		Я	~—~-Г~
х	dx
				X
Р и с .	123			Р и с . 124

велика сила давления жидкости на пластинку, если длина

погруженной полуоси эллипса	а,	а удельный	вес	жидкости	р.
Р е ш е н и е . Располагаем	оси	координат,	как	указано	на

рис. 124. Ось Оу совпадает с поверхностью жидкости. В силу

симметрии		эллипса вычислим			величину		давления	только на
площадь АОВ,			а затем	удвоим	результат.		На глубине ОС вы
делим	полосу		CDEM	высотой	СМ = Ах,		которую	при доста
точно	малом		Ад; можно считать			прямоугольником.		Площадь
выделенной		полосы
				AS =		уАх.

8 Лобоцкая Н. Л.

225

Величина давления на единицу

площади на глубине х будет

равна

рх. Давление на площадку

CDEM

выразится

как Ар =

= хр AS =

хур Дх. Выразим

через

х,

используя

уравнение

эллипса

Jt2

б 2

Получим

г / = - ^ - | / « 2 — х 2

поэтому

Др = ^ ) / о 2 — х 2

xdx.

Полное

давление

р =

2 lim

j / V —

xt Ахг = 2 fъ± V—

х 2

xdx =

max Д * , - 0

Г ~ а

1=0

= — 4 - (а2 — х 2 ) 3 / 2

о CL

1 моль

идеаль

Задача 5. Вычислить работу, совершенную

ного газа

при

обратимом изотермическом

расширении

от 2,24

до 22,4 л при t = 0°С.

Р е ш е н и е .

При обратимом

расширении

давление моля

идеального

газа

Р =

^г-

Работа на каждой стадии расширения равна внешнему дав лению, умноженному на dV: dA = pdV. Полная работа расши рения газа от начального объема Уг до конечного объема V2 будет равна

А = §pdV

= j

y-dV =

RTlnV

8,32-273 In

5,23 кдж.

Задача 6. Определить количество тепла,

необходимого для

нагревания

кг

железа

от 20° до

100°С,

если

теплоемкость

ct железа в интервале

температур от

0° до 200°С определяется

по формуле

= 0,1053 + 0,000142

Р е ш е н и е .

= ^

0,1053 +

0,000142 t,

откуда

dQ =

(0,1053 +

0,000142 t)dt.

Количество

тепла,

необходимого

для

нагревания

1 кг

железа

от 20° до 100°С, будет равно определенному

интегралу:

100

1 0 0

0,000142 а

100

Q = f (0,1053 + 0,000142 *)Л =

0,1053/

ккал.

= 10,53 — 2,106 + 0,71 — 0,0284 = 9,106

Для нагревания 10 кг железа потребуется 91,06 ккал тепла.

Задача 7.	Два	одноименных электрических заряда	qx =
= 2- Ю - 8 к , <72	— Ю - 8	к находятся в вакууме на расстоянии	10 см

друг от друга (рис. 125). Сначала оба заряда закреплены непо

движно,

затем

заряд

цг

освобождается.

Тогда

под

действием

9t.

ее

/О

Р и с .

125

силы

отталкивания

заряд

начнет

перемещаться,

удаляясь

от заряда qx. Какую работу совершит сила отталкивания,

если

заряд

q2:

а) удалится

на

расстояние 0,3

м;

б) удалится

бес

конечность?

Р е ш е н и е .

Если

заряды

находятся

друг от друга на

рас

стоянии

х,

то сила

взаимодействия зарядов

может быть

опре

делена

по закону

Кулона

р =

? 1 - < ? 8

Величина

работы

при перемещении

заряда

на

расстояние

Ах (силу

на этом

участке считать постоянной)

будет

равна:

АА = F Ах

? 1 ? 2

-Ах.

4lts0 X

Суммируя и переходя

пределу, получим

А=

lim

V .

™*

-Ах,

<7l?2

dx = —

4яє„

max А*,-->-0.

„

4m0xf

J 4яє0 .*2

од

0,1

J?l?2_

4ЛЕ0

\0,1

Учитывая, что

4яг0

== 1,1 • 10~10к?/н • м2,

получим

для

обоих

случаев:

я\

А -

qiq*

2-10—16

1 . Ы 0 - 1 0

\0,1

0,3,'

> п

~~ 1 , М 0 - 1

\0,1

- 1 ™

(oTT - 1 }

2 - Ю - 1 6

/ 1

1,8-10"

дж.

б ) Л

= i,i • ю - " l 0

> 1

Задача 8. В резервуаре содержится а л раствора, содержа щего х кг соли. Раствор обедняется равномерным вливанием в сосуд пресной воды со скоростью р л/мин, а также равно-

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3623 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ