книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений
.pdfПеренося |
полученный |
интеграл |
в |
левую часть, получим |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 j |
У1 — хг |
dx = |
Л; | / 1 — х2 |
+ |
arcsin х + С, |
|
|
|||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
J |
і/1 |
— хг |
dx= |
|
~ |
х V1 |
— * 2 |
|
|
arcsin д; + |
Сх . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1. С помощью формул интегрирования найти интегралы: |
|
|
|
||||||||||||||||||||
1) |
\ |
4x6 dx; |
2) |
f (x+\fdx; |
|
3) |
f — ^ L . ; |
4) |
f |
(5л:2 + 2х — 3) |
dx; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
Jxy |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x*—V~#—Y~x~. |
|
|
|
f x |
e - x 4 - f |
x 2 + |
1 |
|
|
— |
| 3 |
/•— , 4 , - 4 . |
||||||||||||
51P |
|
|
— |
|
|
—dx\b)\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
7)}{y |
x - |
f / x + |
y |
x)dx; |
|||||
8 ) |
( Ї Ї Ї ^ Л ; |
9) |
|
|
|
|
10) |
[ |
f |
, |
|
|
fe |
11) С £ Ц £ |
dx; |
||||||||||
|
J |
sm л: |
|
|
|
J |
sin2 x |
|
|
|
J cos2 |
x |
sin2 |
x |
' J |
|
/ л : |
|
|
||||||
12) j' |
(л:4 |
+ 7* |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2. Методом подстановки найти интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1) |
^+irxdx; |
|
|
|
2) |
|
|
|
|
3) ІУЩ+ф&г. |
|
4) |
|
|
Jp^: |
|
|
||||||||
5) |
Г |
X |
d X |
|
|
; |
6) |
f sin3xdx; |
7) |
f sin |
(2л:— 1) dx; 8) |
f e2cos * s , ; n |
xdx; |
|
|||||||||||
|
J |
у a2-irx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9) |
j e x s |
x2 d.r, |
10) j - j I n V ; |
H ) |
|
j c o s 2 x d x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3. Методом интегрирования по частям найти интегралы: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1) |
j |
хе* |
dx; |
2) |
j |
Л: sin |
2л: dx; |
3) |
J x c o s x d x ; |
4) |
f xe—* dx; 5) Jxarctgxdx ; |
||||||||||||||
6) |
j' e* |
sin |
x dx; |
7) fx2 |
cos x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
х = |
4. |
Найти функцию, производная |
от |
которой |
равна |
sinx + 2cosx и |
при |
||||||||||||||||||
л принимает значение, равное |
4... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
5. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А (2; 1), зная, что |
|||||||||||||||||||||||
наклон |
|
касательной |
к кривой в каждой ее точке |
равен |
х. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
6. |
Найти |
функцию, |
обращающуюся в |
2 е при х = |
1, если производная |
||||||||||||||||||
от |
этой функции равна |
-f- е* . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
7. Скорость тела задана формулой |
v = |
(6t2 + 2t) м/сек. |
|
Найти |
уравне |
||||||||||||||||||
ние |
пути |
s, |
если за |
|
t = |
3 |
сек |
тело |
прошло |
путь |
s = 60 м. |
|
|
|
|
||||||||||
8.Скорость точки задана уравнением v = (t2 — 2t 4- 5) м/сек. Найти
уравнение движения точки, если в начальный |
момент |
|
времени она |
находит |
||||||||
ся в начале |
координат. |
|
|
|
|
v = 2 е* м/сек. |
|
|||||
9. |
Скорость движущейся |
точки |
дана уравнением |
В мо |
||||||||
мент t = 1 |
сек точка находится на расстоянии |
в = 3ем |
от |
начала |
отсчета. |
|||||||
Найти |
закон движения точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
Тело, |
брошенное вертикально |
вверх, |
имело |
|
начальную |
|
скорость |
||||
v0 = 73,5 м/сек. |
Пренебрегая |
сопротивлением |
воздуха, |
найти: 1) |
на какой |
|||||||
высоте |
оно |
будет через t — 4 |
сек? |
2) |
через сколько |
секунд |
оно |
достигнет |
||||
наибольшей |
высоты? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. Скорость движения тела пропорциональна квадрату времени. Найти уравнение движения, если известно, что за 3 сек тело прошло 18 см, а в начальный момент путь s = 0.
Г л а в а |
X V . ОПРЕДЕЛЕННЫЙ |
ИНТЕГРАЛ |
|
§ 107. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА |
|
||
Понятие определенного интеграла широко используется в |
|||
математике и прикладных науках. С его |
помощью вычисляют |
||
ся площади, |
ограниченные кривыми, |
длины дуг, |
объемы |
тел произвольной формы, работа переменной силы, |
скорость, |
||
путь, моменты инерции тел и т. д. |
|
|
|
Решим предварительно несколько задач. |
|
||
|
I. Площадь криволинейной трапеции |
|
|
||
Фигура, |
ограниченная |
сверху данной кривой |
у = |
f(x), |
сни |
зу отрезком |
la, Ь] оси Ох, |
а с боков — прямыми |
х = |
а и |
х = Ь, |
называется |
криволинейной |
трапецией (рис. 116). |
|
|
|
О'Х0 Со х, |
Сіхг |
хП-і сп-, хп=Ь |
х |
Р и с . 116
Найдем пл ощадь любой плоской фигуры. При этом будем считать, что площадь фигуры, составленной из нескольких фи гур, равна сумме их площадей. Кроме того, фигура, ограничен-
пая произвольной кривой, может быть разбита прямыми, па раллельными оси ординат, на части, каждая из которых пред
ставляет |
криволинейную |
трапецию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для вычисления площади S данной криволинейной |
трапе |
||||||||||||||
ции |
разобьем отрезок [а, Ь] произвольным образом |
на |
п |
час |
|||||||||||
тей |
и обозначим |
точки |
деления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
а = х0 |
< хх < х2 < . . . < хп-\ <хп |
= Ь. |
|
|
|
||||||||
Восставив из этих точек перпендикуляры |
до |
пересечения с |
|||||||||||||
кривой, |
получим |
значения |
функции |
в |
этих |
точках |
у0 |
= f (х0), |
|||||||
Ух = |
f{xi), |
У* = |
f(Xt), |
. •., |
Уп-\ = f(xn-i), |
Уп |
= /(*„). |
В |
резуль |
||||||
тате этого площадь криволинейной трапеции |
разбилась |
на |
сум |
||||||||||||
му площадей элементарных криволинейных трапеций. |
|
|
|
||||||||||||
В отрезках |
[х0, |
x j , |
[хъ |
х2],.. |
., |
[х„_ь |
хп] |
возьмем |
совер |
||||||
шенно произвольные точки с0, съ |
с2, |
с3, ..., |
сп—\ и восставим |
||||||||||||
перпендикуляры |
из этих |
точек до пересечения с кривой |
y = f(x); |
||||||||||||
получим |
/(сь), |
/(Сх), |
f(c2), |
..., f(cn—i). |
|
Далее построим |
ступен |
||||||||
чатую фигуру, состоящую из прямоугольников, имеющих своим
основанием отрезки [х0, |
x j , |
\хъ |
х2], . .., |
[х„_ь х„], а |
высотой — |
||||
ординаты |
f(c0), |
{fa), |
f(c2), |
..., |
f(cn-\). |
Эта |
фигура |
ограничена |
|
ломаной |
линией |
А'0 |
А\ |
А\ |
|
А'2А"2 ... |
А'п. |
Площадь S„ этой |
|
ступенчатой фигуры мо&кно считать приближенным значением площади S заданной криволинейной трапеции, причем тем более точным, чем больше я и чем меньше длины отрезков. При этом мы исходим из того естественного и наглядного представ ления, что чем больше число прямоугольников и чем они уже,
тем теснее построенная |
ломаная |
примыкает |
к |
заданной |
линии |
|||||||||
и |
тем |
ближе площадь |
ступенчатой фигуры |
S„ |
к |
площади |
тра |
|||||||
пеции |
S. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
ясно, что площадью S криволинейной |
трапеции, |
ог |
||||||||||
раниченной |
линией АйАхАг... |
Ап, |
следует |
назвать |
предел, |
к |
ко |
|||||||
торому стремится переменная площадь S„ |
ступенчатой |
фигуры, |
||||||||||||
ограниченной ломаной |
линией А'0 А[ А\ А'2... |
|
А', |
при стремлении |
||||||||||
к |
нулю длины |
наибольшего |
отрезка [х; , |
xi+l], |
|
где |
і = |
О, 1, |
||||||
2, . . . , |
п— |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь |
Sn |
равна |
сумме площадей прямоугольников, |
пост |
|||||||||
роенных на |
отрезках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S„ = f (со) (xi — х0 ) + f (с) (х2 — хх ) + . . . + f (c„_i) (хп — х„_0-
Все слагаемые этой суммы отличаются друг от друга только значениями индекса (указателя) при независимой переменной. Для сокращения записи вводят символ 2 (греческая прописная буква «сигма») и пишут:
S „ = 2 / ( с ; ) (*<+!-*;)• |
(1) |
1=0
Этот символ означает, что надо сложить выражения дан
ного вида, |
придавая индексу |
і все целые значения, начиная |
|||||||
от |
значения, указанного |
под символом |
«сигма», до значения, |
||||||
указанного над символом |
«сигма». |
|
|
|
|||||
Если теперь в выражении (1) неограниченно увеличить чис |
|||||||||
ло |
п |
так, |
чтобы |
длина |
наибольшего |
из отрезков |
[xit |
ХІ+І ] |
|
(і = |
0,1,2,..., |
п—1) |
стремилась |
к нулю, то площадь |
криволи |
||||
нейной |
трапеции будет |
равна |
пределу |
суммы, каждое |
слагае |
||||
мое которой равно произведению значения функции в "точке
отрезка /(с,) на величину этого отрезка |
Axt. |
|||
S = lim |
N—L |
/(с,.) (xi+i |
— Х[) |
|
2 |
||||
или |
|
|
|
|
S = lim |
Ґ ^ А |
х |
, . |
|
тахДх( - —О г'=0 |
|
(z ) |
||
П. Работа переменной силы
Под действием некоторой силы тело движется по прямой линии, причем направление силы совпадает с направлением движения. Требуется определить работу, произведенную при перемещении тела из положения М в положение N (рис. 117).
Если |
на протяжении |
|
всего пути |
от |
М до |
N • сила |
остается |
|||||||
постоянной, |
то, |
как |
известно, |
работа |
определяется |
как |
произ |
|||||||
ведение силы F |
на длину пути |
s: А = Fs. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn-, |
|
|
|
|
flo- |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
StrS |
|
бо |
S; |
6/ |
|
+ |
|
|
|
|
бп-T |
—OA/ |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
S |
|
&2 |
S3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Р и с . |
117 |
|
|
|
|
|
|
|
Определим работу, совершаемую под действием |
переменной |
|||||||||||||
силы |
F = f(s) на пути |
|
MN. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для этого разобьем |
путь MN на п отрезков точками |
s o =0 , |
||||||||||||
Si, s2, s3,...,s„-i, |
sn |
= |
S и положим, |
что сила |
Fn |
на |
|
каждом |
||||||
таком отрезке постоянна и равна |
действующей |
силе |
F в ка |
|||||||||||
ких-нибудь точках отрезков, например, |
/( а 0 ) в |
точке |
о0 |
отрезка |
||||||||||
[s0, Si], f(p{} в точке |
ох |
отрезка |
[s1 ; |
s2] |
f(°n-i) |
в |
точкеe„_i от |
|||||||
резка |
[s„_i, |
sn]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бот |
Работа Ап, произведенная силой Fn, будет |
равна |
сумме ра |
|||||
на отдельных отрезках: |
|
|
|
|
|
|||
К |
= / ( 3 о ) (% — «о) + |
F Ы («2 — SI) + |
... + / ( e „ _ i ) (s„ — |
SN-L) |
= |
|||
|
|
= 2 ~ l / ( a ( . ) ( S i + 1 - s , . ) |
|
|
|
|||
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л „ = 2 Г / ( а ; ) А 5 і . |
• |
|
|
(3) |
||
|
По формуле (3) вычисляется приближенное значение рабо |
|||||||
ты |
А. Оно будет тем более |
точным, |
чем больше число п, |
т. е. |
||||
чем |
меньше |
участки, |
на которые разбивается |
весь путь |
MN. |
|||
|
Очевидно, |
работа |
А определяется как предельное |
значение |
||||
Ап, |
когда длина наибольшего промежутка Ast стремится к нулю ; |
|||||||
|
|
|
|
л—і |
|
|
|
|
|
|
A = \im |
2 /(a ; |
)Av |
|
|
(4) |
|
|
|
maxAsj ->-0 і—0 |
|
|
|
|
||
Сравнивая выражения (2) и (4) видим, что совершенно раз ные задачи приводят к одной и той же последовательности действий над известными функциями и их аргументами.
Если отвлечься от физического смысла переменных и их обозначений, то указанная последовательность действий состоит
вследующем:
1.Отрезок [а, Ь], в котором задана непрерывная функция f(x),
разбивается |
на |
п |
частей |
точками |
х0 |
— а, |
хъ |
х2,..., |
хп = Ь, |
||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а = х0 < хг < х.2 < . . . x „ _ i < хп |
= Ь. |
|
||||||||
|
2. В каждом частичном отрезке [xL, x,+J берется произволь |
||||||||||||
ная |
точка xi |
<; сі < ХІ+\ |
и вычисляется |
соответствующее |
значе |
||||||||
ние |
функции |
f(Cj) при О' = |
0, 1, 2,..., |
п — 1). |
|
|
|||||||
|
3. Составляется |
сумма |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
; = о |
|
|
|
|
|
|
которая |
называется |
интегральной |
|
суммой для функции |
y=f(x) |
||||||||
на отрезке [а, Ь\. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Определение |
1. Если |
существует |
конечный |
предел интеграл ь- |
||||||||
ной |
суммы |
при |
условии, |
что |
т а х Д х ; - > 0 |
|
(І = 0, 1, 2,... , |
||||||
п—1), |
то этот предел называют |
определенным |
интегралом от |
||||||||||
функции |
f(x) на отрезке |
[а, Ь]. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
b |
|
Определенный интеграл |
обозначается / = j f(x) |
dx, читается |
|
a |
|
«определенный интеграл от а до b эф от икс дэ |
икс». Согласно |
|
определению, |
|
|
- J / (х) dx = |
lim"s ' / (с,) Д х г . |
(5) |
АтахДл; -+0 І—О
Ввыражении определенного интеграла (5) функция f(x)
называется |
подынтегральной, |
х — переменной |
интегрирования, |
|||||
числа |
а |
и b —• соответственно |
нижним и верхним |
пределами |
ин |
|||
тегрирования. |
|
|
|
|
|
|||
Определенный |
интеграл |
выражает собой число. |
Значение |
его |
||||
зависит |
от |
вида |
функции |
f(x) |
и от значений верхнего и ниж |
|||
него |
пределов. |
Аргумент функции можно обозначить любой |
||||||
буквой, |
так |
что |
справедливо равенство |
|
|
|||
ьь
j / (х) dx — \f(u)du.
А"А
Применяя формулу (5) к примерам, рассмотренным выше, можно записать:
1. Площадь криволинейной трапеции численно равна интег ралу от функции, ограничивающей трапецию, взятому по осно ванию fa, b]:
ь
S = \f(x)dx.
А
2. Работа, произведенная переменной силой, численно равна
s
интегралу от силы, взятому по пути S: А = if (s)ds.
о
Вообще с помощью определенного интеграла могут быть решены все задачи из любой области науки и техники, если их решение сводится к нахождению существующего предела интегральной суммы (5).
§ 108. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1. Интеграл |
от суммы |
конечного числа функций равен сум |
ме интегралов |
слагаемых |
функций. |
ь |
ъ |
ь |
ь |
і (и + v + |
... +ш) dx= J udx + |
[vdx + |
...-\-\wdx, |
a |
a |
a |
a |
где и, v,... ,w — функции независимой переменной х.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
По |
определению |
интеграла |
|
|
||||||||||||
|
I |
|
|
П—1 |
(ui+vi |
+ |
...+ |
|
|
|
|
П—1 |
|
П—1 |
|
||
|
= lim 2 |
©i)Ax£ =lim2 |
иДкг + |
1 і т 2 |
и £ Дл: г + |
||||||||||||
т а х Дх ; |
^0 і = о |
|
|
|
|
|
max Дх j |
-*0 (=0 |
max АХ j -)-0 |
г'=0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
п—І |
|
|
Ь |
|
|
Ь |
|
Ь |
|
|
|
|
+ |
... + |
lim |
2 |
wtAxi |
= |
j udx |
+ |
jydx-f |
... -f-j' |
wdx, |
|
||||||
|
|
max Дл:; -+0 i=*0 |
|
|
a |
|
|
a |
|
a |
|
|
|
||||
что |
и |
требовалось |
доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
Постоянный |
|
множитель |
k |
подынтегральной |
функции |
|||||||||||
можно |
выносить |
за знак |
интеграла. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f kf(x)dx |
= |
& |
j |
f(x)dx. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
этого |
свойства аналогично |
приведенному |
выше. |
|||||||||||||
3. |
Если |
верхний |
и |
нижний |
пределы |
интегрирования |
поме |
||||||||||
нять |
|
местами, |
то |
интеграл |
изменит |
только знак. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
а |
\f(x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\f(x)dx=— |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
Если верхний и нижний пределы интегрирования |
совпадают: |
||||||||||||||||
6 = |
о, |
то |
такой |
интеграл равен |
нулю. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
]f(x)dx |
= |
0. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Если |
отрезок |
интегрирования [а, Ь\ |
разбит |
на |
две части |
|||||||||||
[а, с] |
и [с, Ь], то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Ь |
|
|
С |
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I f(x)dx=J |
f(x) |
dx+lf(x)dx. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
А |
|
|
С |
|
|
|
|
|
5. |
Если |
|
подынтегральная |
|
функция |
в отрезке |
интегрирования |
||||||||||
сохраняет |
|
постоянный |
знак, |
то |
интеграл |
представляет |
собой |
||||||||||
число |
того |
же знака, |
что и |
функция, |
т. |
е. если |
f(x) |
> |
0, то и |
||||||||
]f(x)dx^0.
А
§109. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
I.Формула Ньютона — Лейбница
Теорема. Значение определенного |
интеграла равно |
разности |
|||
значений любой |
первообразной |
от |
подынтегральной |
функции, |
|
взятой при верхнем и нижнем |
пределах |
интеграла. |
|
||
]f(x)dx |
= F(b) - F(a), |
где |
F'(x) |
= /(*). |
(6) |
a
Иными словами, значение определенного интеграла равно приращению любой первообразной функции в интервале интег рирования. Выражение (6) носит название формулы НьютонаЛейбница.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим |
интеграл |
с |
переменным |
|||||||||
верхним пределом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I(x) |
= |
]f(x)dx; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь функция 1(х) является первообразной |
от функции |
f(x), |
|||||||||||
поэтому ее нужно искать среди |
функций |
F(x) + С. |
Пусть |
||||||||||
1{х) = F(x) + С ь |
где Сг |
— некоторая |
определенная |
постоянная. |
|||||||||
Для ее отыскания воспользуемся тем, что |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1(a) = |
А |
|
= |
О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]f(x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(а) = Г(а) + Съ |
|
|
C1=-F(a), |
|
|
|
|
||||
|
I(x) |
= ]f{x)dx |
= F(x) — F(a). При х = Ь |
|
|
|
|||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l(b) = ]f(x)dx = F(b) — F(a). |
|
|
|
|
|
||||||
Разность значений функции |
записывают так: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
F(b)-F(a) |
|
= |
F(x)\ba. |
|
|
|
|
|
|
||
Вертикальная |
черта |
с нижним |
и верхним |
индексами, |
стоя |
||||||||
щая справа от символа функции, |
называется |
знаком |
двойной |
||||||||||
подстановки |
и |
указывает, что |
из |
значения |
функции, |
прини |
|||||||
маемого ею |
при |
верхнем |
индексе, |
нужно |
вычесть |
ее |
значение |
||||||
при нижнем |
индексе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула |
Ньютона — Лейбница |
дает |
практически |
удобный |
|||||||||
метод вычисления определенных |
интегралов |
в том случае, |
ког |
||||||||||
да известна первообразная подынтегральной функции. Она зна чительно расширила область применения определенного интег рала, так как математика получила общий метод для решения различных задач частного вида, и поэтому могла значительно расширить круг приложений определенного интеграла к техни ке, механике, химии, биологии, медицине и т. д.
Пользуясь |
формулой Ньютона — Лейбница, |
вычислим инте |
||||||||
гралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
f хЧх = |
4- |
|
2?_ |
\J_ |
_8_ |
1 |
7_ |
|
|
|
3 |
3~ ~ |
~3 |
3~ — |
3 ' |
|||
|
|
|
Ї |
|
= |
|||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2. ^f |
2 |
cosxdx=sinx |
[o/ 2 =sin-sя |
sinO= 1 — 0 = |
1. |
|||||
II. Замена переменных в определенных интегралах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
Применим в определенном |
интеграле |
lf(x)dx |
|
подстановку |
|||||||||||||
х = <p(f). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Тогда |
)f(x)dx=)fl<f{f)] |
<f'(t)dt, |
где <р(а) = а, |
фф) = Ъ. |
|
||||||||||||
|
Пример |
1. Вычислить |
интеграл |
/ = f |
|
dz |
|
|
|
|
||||||||
|
^ 4 ^ z |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Введем |
под |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
становку: |
|/ 4 — z — t, |
тогда |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 4 — *2 , откуда dz = — ltdt. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переход к |
новой |
переменной |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
требует |
изменения |
пределов |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегрирования. |
Из |
выраже |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния старой переменной z через |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
новую |
t— |
V4—z |
находим, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что при<з£= 2 верхний предел |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегрирования t2 |
= V 4—2 = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|Л 2. Аналогично, |
нижний |
|||||
|
|
|
|
Р и с . |
118 |
|
|
|
|
предел при z = 0tx = '< 4—0 = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2. |
Таким |
образом, |
вся |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
операция вычисления данного определенного интеграла |
сводится |
|||||||||||||||||
к |
следующему: |
|
|
|
|
|
|
|
V 2 |
|
|
|
Y2 |
|
|
|||
|
|
|
} |
dz |
_ |
YT_ |
|
|
_ |
|
|
dt = |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
Ш |
|
•2f |
•2f| |
= |
|
|||||||||
|
|
|
iV4-z |
|
I |
|
t |
~ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
'2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 j / |
2 + |
4 ^ |
1,18. |
|
|
|
|
|
|||
|
Пример |
2. Вычислить |
интеграл |
/ = \х |- |
l + x 2 d x . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"о |
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Введем |
подстановку: |
1 -4- х2 = |
|
откуда |
||||||||||||
2xdx = |
dt. |
Найдем |
новые |
пределы |
интегрирования |
функции. |
||||||||||||
При |
х = 0 t — |
1, при * = |
1 f = |
2. |
/ = 2 f 4 - * ' / * # = 4 ~ 3/2 |
|||||||||||||
_ |
2 У~2~ |
1 |
. 2 ] / |
2 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
3 |
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Среднее значение функции |
|
|
|
||||||||||
|
Под |
средним |
значением |
функции |
|
f(x) |
в отрезке |
[а, Ь\ |
пони |
|||||||||
мают |
число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ь
b
Интеграл j7(x)dx |
выражает собой |
площадь криволинейной |
|
А |
|
|
|
трапеции APQE (рис. |
118). Если построить прямоугольник |
АСВЕ, |
|
площадь которого равновелика площади |
этой трапеции, |
то |
|
|
|
b |
|
|
j |
ь |
|
|
(b — d)FD = $f(x)dx, |
откуда FD = |
b__a\f(x)dx. |
||||||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
Таким |
образом, |
среднее |
значение |
функции |
равно значению |
|||
ординаты |
FD. Если |
абсцисса точки |
F равна |
с, |
то FD = f(c); |
|||
|
j |
ь |
|
откуда |
|
ь |
|
= ф —• a)f{c). |
тогда /(с) = , |
\ f(x)dx, |
|
J* f(x)dx |
|||||
|
0 А |
А |
|
|
|
А |
|
|
Последнее выражение представляет теорему о среднем значении определенного интеграла.
Пример 3. Определить среднее значение функции у = sin ах
винтервале (0, я/2).
Ре ш е н и е . По правилу (7) нахождения среднего значения имеем:
jd=ofsin а х d x = = "1-(-~С0Н о ал \ " 2
Пример 4. Если тело, находящееся вблизи поверхности Зем ли, выходит из состояния покоя и начинает падать, то, как известно, пройдя при падении путь s = sb оно приобретает скорость v1 = y 2gSx, где g — ускорение силы тяжести (со противление воздуха в расчет не принимается). Найти среднюю скорость на пути
Р е ш е н и е .
1 ,г7Г= SV2 2 '
Пример |
5. Зависимость теплоемкости |
с от температуры t |
||
для бензина |
выражается формулой |
|
||
|
|
с == 0,2237 + |
0,0010228 |
t. |
Найти |
среднюю теплоемкость |
с с р бензина |
для температур, ле |
|
жащих |
в интервале от 116° до 218° С. |
|
||
Р е ш е н и е .
, |
218 |
, 218 |
С С Р = 2 1 8 - 1 1 б - [ 1 6 с < Й = = ш ) ш ( 0 ' 2 2 3 7 + 0 . ° 0 1 0 2 2 8 0 d t = 0,3945.