Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

298

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3621 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Р е ш е н и е .

Ошибки

а и Ь обозначим через

da и db, ошиб

ку

F через

dF.

AF^dF.

, г

db =

dF =

-к-da

-^rdb —

—'

db \a

+ b

даКа

ЬГ"

= (ЬЧа + a2d&),

(a +

b) г

| d T | <

(a + 6)2 -{b2

\da\ + a2

\db\).

Относительная

ошибка

\dF

a + b

da + db

Пример

Радиус

основания

цилиндра

50 см, а высо

та

h = 120 см. Как изменится объем цилиндра,

если радиус

увеличить

на

мм,

высоту

h уменьшить на 5 мм"? Объем

цилиндра V =

nR2h.

Rah

Р е ш е н и е . Если

получают приращения,

то и объем

цилиндра

получит

приращение

А V. Но

А V = dV = -^dR

-Qfidh- В нашем случае dR =

4 мм = 0,4 см, dh

5 мм

—0,5 см.

^=A(nR2h)=2nRh

Л= 50" = 2я-50-120= 12000л;

ft=120

dh~

dh ( n R

2 h )

n R 2 =

" 5 0 2 =

2 5

0 0

Следовательно,

dV=

12 000 л • 0,4 +

2 500 л (—0,5) =

11 147

см2.

Задачи

1. Найти

частное

значение функций:

1) / (х, у) =

2х

при х = 5, і/ =

2) <р (*, у, z)=3x+

2 х

+ У

при х = 1, (/ =

— 1, z = 99.

Ухг + z

2.Найти области определения функций:

1) г= ± / 9 - х 2 - у \ 2)z = x* + y*; 3 ) г = * 2 ^ 2 ;

4) г = / 1 —хг—у2.

3. Найти частные производные функций:

1 ) 2 = х2 sin у; 2 ) г = х>';	3)z = x2 + y2	в точке	(—2; 0,5);
			гх

4) г == х2 + ху + у2 в точке (1; 2); 5) z = (5х2г/ — г/3 + 7)3 ; 6) z=arctgy ;

7)и = е*У.

4.Найти полные дифференциалы функций:

z =

x y 3

Зх2у2

2у*;

2) г =

/ л ^ Т ? " ;

3) z =

sin (*

у);

4)'

z=arcsin

фvнкции z =

х-\- у — ~^x 2 - f - i/ 2

5. Найти значениеУ

полного дифференциала

при х = 3,

г/ =

А х =

0,1, Д г/ =

0,2.

6. Вычислить

объем

цилиндра

V = r.r2h,

абсолютную

относительную

ошибки, если измерения

дали

результаты: г =

(24,30 ±

0,01) мм, h =

(51,2

0,1)

мм.

7. Подсчитать

количество

тепла

Q — cm(t — t0),

затраченного

на

гревание куска

алюминия,

также

абсолютную

и относительную

ошибки,

если измерения

дали:

т =

(210,23 + 0,01) г,

начальная

температура

(20,0 +

0,05)° С,

конечная

температура

/ = (83,3 +

0,05)° С,

с =>

0,209

кал/град-г.

8. Пуская вдоль оси цилиндра ртутные шарики и изменяя время их па дения /, определяют вязкость касторового масла по формуле:

2Г*918 (dHg-d0)t.

Из таблиц

g = 980 см/сек2,

UHg = 13,557 г/см3, d0 = 0,93 г/см3.

Измерения дали:

г = (0,1 ± 0,001) см, t = (9,1 ± 0,2) сек, I = (20 ± 0,1) см.

Найти средние значения коэффициента вязкости и абсолютную и отно сительную ошибки.

к а з а н и

е. Для нахождения относительной

ошибки в данном случае удобнее

сначала

прологарифмировать выражение для Ц, а потом его продифференцировать,

имея

виду

і.,

АХ

что D (IN Х) =

——.

Найти

частные производные

второго порядка

следующих

функций:

1) z = ( * 2 + / / 2 ) 2 ,

2) г = Х ~ У

х + У

д2г

10.

Проверить, что 0 х ^ — •

^х

для

функций:

1) г = sin (ах—

by);

: р - ;

z = l n ( * - 2 j i ) ;

4) z = х3 +

ху2 -

5ху3

+ у*;

5 ) г =

Р а з д е л 4

!О С Н О В Ы И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Г О

ИС Ч И С Л Е Н И Я

Г л а в а X I V . НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Понятия интеграла и производной применимы к чрезвычай но широкому кругу явлений в самых различных областях нау ки, техники, химии, жизни. В сущности, интеграл и производ ная представляют собой определенный язык, лучше всего при способленный для описания явлений природы.

§ 103. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Многие математические операции образуют пары двух вза имно обратных действий, например: сложение и вычитание, ум ножение и деление, возведение в целую положительную сте пень и извлечение корня, логарифмирование и потенцирование.

Основой дифференциального исчисления является отыскание производной (или дифференциала) заданной функции у = F (х). Ее производная у'х = F' (х), а дифференциал dy = F' (х) dx.

Интегральное исчисление ставит перед собой обратную

за

дачу: найти

функцию

F (х)

по ее производной

F' (х) — f(x)

или

по ее дифференциалу

f(x)dx.

Искомая

функция

F (х)

называется

первообразной

или

ин

тегралом

для

данной

функции

f(x).

Определение

1. Если

функция

f (х)

есть

производная

от

функции

F (х),

т. е. f(x)dx

есть

дифференциал

функции

(х):

f (х) dx =

dF (х),

то функция

F (х) называется

первообразной

для

функции

f(x)

Пример 1.

Функция

Зх2

есть

производная

от Xs и 3x2dx =

= dx3,

следовательно,

для функции f (х) = Зх2

функция

F (х) —

= х3 является первообразной.

Из

дифференциального

исчисления

известно,

что функции,

отличающиеся

на постоянную

величину, имеют

одну

и ту же

производную и один и тот же дифференциал.

Пример 2.

3x2dx = dx3 = d (х3

5) =

d (х3

С). Таким

обра

зом, функция

F (х) = х3

+ С также

является

первообразной

для

функции

/ (х) =

Зх2.

Любая

непрерывная

функция

f(x)

имеет бесчисленное

множест

во первообразных,

отличающихся друг от друга на постоянную

ве-

личину.	Если F (х) есть одна из них, то всякая другая			представ
ляется	выражением		F(x)-{-C.
Определение		2.	Совокупность первообразных F(x)	+ C для
данной	функции	f(x)	или для данного дифференциала	f(x)dx

называется неопределенным

интегралом.

f(x)dx

Неопределенный

интеграл

выражения

обозначается

$ f (х) dx

F (х) + С

(1)

и читается: «неопределенный интеграл эф от

икс

дэ

икс».

Слово

«неопределенный»

подчеркивает,

что существует

множест

во функций, первообразных для данной функции

f(x).

Выражение f(x)dx

называется подынтегральным

выражением,

функция

f(x) — подынтегральной

функцией,

переменная х — пе

ременной

интегрирования.

Подразумевается, что

в левой

части

формулы (1) постоянная включена в знак jlf(x)dx.

F (х)

в пра

вой части

формулы (1)

называется функциональной

частью не

определенного

интеграла,

С—постоянной

интегрирования.

На

хождение

неопределенного

интеграла

называется

интегрирова

нием.

Неопределенный

интеграл

представляет

собой

функцию.

Пример 3. Найти определенный интеграл выражения

cosxdx.

Р е ш е н и е .

Функция

cosх

есть

производная

от

функции

sin х.

Поэтому

\ cos х dx = sin х + С.

Чтобы из множества первообразных функций (1) выделить одну определенную функцию, необходимо задать дополнитель ное условие, дающее возможность найти значение произвольной

постоянной	С.				начальными дан
Дополнительные условия часто				называют	начальными дан
ными.
Пример	4.	Для функции cosx найти первообразную, зная,
что при х =		первообразная равна		нулю.
Р е ш е н и еО.		Обозначим искомую		функцию	через у:
		у = I cos х dx	= sin х - f С.
При х =	0,	у = О
		О = sin 0 +	С,	С = 0.
Искомая	первообразная y =		sinx.
С помощью	производной в дифференциальном исчислении мы-
находили мгновенную скорость			процесса.

С помощью неопределенного интеграла решается обратная задача: по закону скорости процесса находится закон самого процесса.

	Пример 5. Скорость при свободном падении					тела	изменяет
ся	по закону: v = at. Найти закон движения тела.
					at2
	Р е ш е н и е .	Закон движения			s — ^gtdt	- f С,	так	как
производная [~		+	С j ^ =	gt.
	Мы получили		множество законов движения,			отличающихся
на	постоянную	величину		С.	При начальных	данных		t — О,
s = О, получим

о= + С, С = 0.

Изакон движения выразится формулой

Геометрически		неопределенный интеграл					определяет		на	плос
кости бесконечное		множество кривых,			уравнения			которых		будут
отличаться	друг	от друга на		постоянную			величину С.
Пример	6. Угловой		коэффициент		касательной в любой точ
ке кривой	равен	ее	абсциссе,	т. е. k — х.				Найти	уравнение
кривой.
Р е ш е н и е .			k = tgcp ='у'х\=			х,
		y = \xdx		= ^-	+	C,

у = -g- -І- С — семейство парабол, отличающихся друг от дру га на постоянную С.

§104. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1.Производная от неопределенного интеграла равна подын тегральной функции:

llf(x)dx]x

= f(x).

Это свойство вытекает из определения неопределенного интег рала

Sf(x)dx=F(x)

+ C.

Взяв

производную

от

обеих

частей,

получим

[j / ( х )

dx]'x

[F(x) + C]'x =

F' (x) = /(x).

Дифференциал

от

неопределенного

интеграла равен

под

ынтегральному

выражению.

(Дифференциал

уничтожает

интег

рал.)

d I f (x)dx = f (x)

dx.

По определению

j f(x)dx

F (x) f

С.

Взяв

дифференциал

от

обеих

частей,

получим

. d$f(x)dx

d [F (х) + С] = dF (х) =

F' (х) dx =

f (х) dx.

Интеграл

от

дифференциала

первообразной

равен

самой

первообразной:

j d [Р (х) - f С] = F (х) + С.

Действительно,

jd [F (х) +

С] =

,f F

(х) dx

lf (х) dx = F (х) +

С.

4. Постоянный

множитель

можно

выносить

за знак

не

определенного

интеграла:

lkf(x)dx

klf

(x)\dx.

Справедливость

этого

равенства

проверяется

дифференциро

ванием левой и правой частей

равенства.

5. Интеграл

от

алгебраической

суммы

конечного

числа

функ

ций равен

алгебраической

сумме

интегралов

от

слагаемых,

т. е

1 Ui (х) +

h (х) — f3 (х)] dx =

(х) dx +

j /я (х) dx — J /V(x) dx.

Это свойство также доказывается с помощью дифференциро вания.

§ 105. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Пользуясь свойством 3 неопределенного интеграла, можно получить формулы интегрирования. Например,

j d (sin х + С) = j cos dx = sin x -f- С

Таблица основных интегралов. 1. j d x = x + C .

2.J * » d x = - £ * ± + C

3. j £ L = l n | * | + C.

4.	iaxdx	= i -	+ С.
	J	їла	1
5.	\exdx	= ex +	C.

6.j cos x dx — sin x 4- C.

7.fsinxdx = — cos л: 4- С.

8.	f	^ - ^ t g		x		+	C.
	J	COS X		ь		1
9.	f _ J * _		=	- r _ ctgx4 - C .
	J	sin2 x				&	1
10.	J Г + Xа		- a	T C	t	§ X	+ C -
11.		— - = = •		=		arcsin x +			C.
	J	/ 1 -	х 2					^
12.	j t g x d x = — I n \|cos x\ 4- C.
13.	j ctg xdx =			In Isin x\ 4- C.
14.	j cosec x dx =					In \|tg - \| - \| 4- С
15		sec x dx		In		ctg-к- (я/2 —x)				C.
		dx	-			arctg - f 4-C.
			-			arctg - f 4-C.
17.	f	^ r	=	і		! „ £ + £ . +			c.
	J	a2 —x2					a —x
18.		f - ^		о — m			x — a		c.
18.		f - ^		о — m			і		c.
	J x2 —a			2a			x 4 a
19		dx		=	arcsin —			4-C.
19		У a2		=	arcsin —			4-C.
		У a2
20.		dx	=		l n ( * +			Уx*±a)		+ C .
20.			=		l n ( * +			Уx*±a)		+ C .
							a 2 - -X2
							x 2 4-a2
23.	j	^x 2 — a 2 dx						-2	-a2	- \| - In ( x + У* 2 — a 2 ) + C.
24.	j arcsin x dx =					x arcsin x + 1 / 1—x2 4- C.
25.	J arccos xdx			= x arccos x — У 1 — x 2							4 C.
26.	j arctg x dx =					x arctg x			In (1 +		x2 ) 4- C.
27.	jarcctg xdx=xarcctg x 4 - і - I n (1 4- x2 ) 4- C.
28.	J arcsec x dx =					x arcsec x — In ( )/x 2 — 1 4- \x\) + C.
29.	j arccosec x dx =						x arccosec x 4- In (]/x2 — 1 4- W) 4- C.

Более подробные таблицы неопределенных интегралов при ведены в справочнике [15].


	§ 106. ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
	I. Непосредственное интегрирование
Нахождение		интегралов		функций,		основанное	на прямом	при
менении	свойств	неопределенных			интегралов и формул интегри
рования,	называется		способом непосредственного				интегрирования.
Пример 7. Найти			J (2х3	— Зх2	+ 2х — 7) dx.
Р е ш е н и е .		В данном		примере		под знаком	интеграла	дана

алгебраическая сумма функций. По свойству 5 неопределенных интегралов получаем

J (2х3 — Зх2 -\-2x — 7)dx = \ 2x3dx — j 3x2dx + J 2xdx — j 7dx.

Последовательно применяя свойство 4 интегралов и формулы интегралов 1 и 2, получаем следующий результат:

J(2х3 — Зх2			+ 2х — 7)			= 2 j x 3 d x — 3 j x 2 dx			+ 2 j xdx		5f dx =
=	2	y q r T ~	3	T T T +	2	7 T T	- ?	* +	3+x2-7x+C.
									C^-±-x*-x	—

Пр и м е ч а н и е . Хотя каждое промежуточное интегрирование дает свою произвольную постоянную С, в окончательном результате принято ставить только одну произвольную постоянную. При этом имеется "в виду, что ал гебраическая сумма произвольных постоянных будет также произвольной постоянной.

Пр о в е р к а :

(_L XІ — х3 + х2— 7х + С ^jx=2x3—Зх2 + 2х — 7,

т. е. производная от первообразных функций равна подынтег ральной функции, следовательно, интеграл взят правильно.

II. Интегрирование подстановкой

Способ подстановки заключается в переходе от данной пере менной интегрирования к другой переменной, для того чтобы упростить подынтегральное выражение и привести к одному из табличных.

Выбор подстановки в каждом отдельном случае зависит от вида подынтегральной функции: нельзя указать общее правило для ее выбора. Умение удачно заменить переменную приобре тается практикой интегрирования.

Пример 8.

Найти

интеграл

\У

1 dx.

Р е ш е н и е .

Если

бы

надо

было

взять

] / х

dx,

то

это

можно записать,

как

j xl/2

и взять

интеграл

от

степенной

функции.

Поэтому

в нашем

примере

имеет

смысл

ввести

под

становку

х -4- 1 =

d(x +

dt,

dx =

dt.

Дифференцирование

дает

1) =

\ У x~+\dx=\\/~tdt

J tJdt

С =

-j-(x

l p

Пример 9. Найти

\cos5xdx.

5х

= t.

Р е ш е н и е .

Введем

подстановку

Тогда

d {Ъх) =

dt,

5dx

dt,

= - т р

j cosbxdx

— j- cos^-^-

= - j U §costdt

= -^-sin^+ C=-i-sin

б х + С .

Возможна

и другая

форма

записи при пользовании способом

подстановки.

Пример 10.

^ ^ . d x

d ^

\ Y

± ¥ 2 t d t

2 1Щ^-М=2[\

- l

1 7

^ )

2 ^

- a

r c

t g

+ C =

2 (t — arctg^) +

С =

2 (К*" — arctg У'х)

С.

III. Интегрирование по частям

Даны

дифференцируемые

функции

и =

и(х)

v =

v(х).

Найдем дифференциал

их произведения

d(uv) = (uv)'xdx = vu'xdx 4- uv'xdx — vdu + udv.

Проинтегрировав это равенство почленно, получим

j d (uv) = j vdu + J шіи

или

uv — j' uda + j шіи,

откуда

j udv — uv — j

(2)

Интегрированием no частям называется сведение данного интеграла \udv к интегралу \vdu с помощью формулы (2).

В качестве и обычно выбирается функция, которая упро щается дифференцированием, в качестве dv — оставшаяся часть

подынтегрального выражения, содержащая dx, из которой мож но определить v путем интегрирования.

Пример 11. Найти интеграл / = j In х dx.

Р е ш е н и е .

Обозначим

їпх

через

и,

тогда

dx =

dv.

Нахо

дим

du =

d (In x) =

(In x)'x dx

~~ dx, jdw=jdx,

v = x. Исполь

зуя

формулу (2),

получим

x + С — x(ln x — 1)+C.

j In x dx = x l n x — j x • - L dx — xlnx—

В некоторых

случаях

для

сведения

данного

интеграла к

табличному формула (2) применяется несколько раз.

Пример 12.

Найти

интеграл

1 =

j х2 sin Зх dx.

Р е ш е н и е . Данный

интеграл можно

вычислить,

применив

метод (2)

разделения по

частям

два

раза.

— v2

dv =

sin Зх dx

' х2

sin Зх

и =

2x dx

v — j sin 3x dx

j -

cos

= — —

cos 3x -4- J

cos 3x • 2x dx

= — ^ -

cos

3 x +

cos3xdx

u = x

dv =

cos

du = dx

v = J cos3xdx =-^-sin 3xi

—

3 " c o s

3jc+-g- (-g-sin 3# — J -g-sin 3xdx I

s 3*+

3 ~ c o

-g-xsin 3x

2 f cos Зх

Интегралы

j sin 3x dx

j cos 3x dx

берутся

методом

подста

новки; замена:

Зх = t.

Возможны

случаи,

когда

после

интегрирования

по

частям

и преобразований

правой

части

получается

исходный

интег

рал, но с другим коэффициентом. Тогда, приводя подобные члены, можно этот интеграл вычислить.

					и—
Пример 13.		J j / l — x 2 d x		=	d « =
= x У I — x2	+	\—^=	dx	=	xVl
	^ J yi-x*				r
= x j / Г ^ х 2	— j j / T ^ x 2		dx + j
— J У1 — x 2	dx 4- arcsin x +			C.

У I — х2		dv = dx
		rdx	v = x
	V і —x2
	— x 2 + f	X2 — 1 + 1		dx
	— x 2 + f	,		dx
	J .		yr=7°
1	dx = x j / l — x2 —

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3621 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ