книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

10.

Медный кубик, ребро которого равно 5

см,

подвергся

равномерной

шлифовке

со всех

сторон. Зная, что масса его

уменьшилась

на

0,96

г и

считая

плотность

меди равной

8 г/см3,

определить,

на сколько

уменьшились

размеры куба, т. е. на сколько укоротилось его ребро.

11.

Дано: 1) In 10 = 2,3026. Найти

In 10,5;

2)

In 1

= 0 .

Найти

In

0,84;

3)

In 1 = 0 .

Найти

In

1,01.

12.

Вычислить

приближенно:

1)

sin 46°;

2) sin

59°;

3)

sin

60° З';

4)

sin

45° 54'.

Сопоставить

полученные результаты

с

табличными

площади круга, если при измерении его радиуса

допущена ошибка в 1 % ?

15. Период колебания маятника Т =

2z 1 /

сек, гпе а — ускорение

"

S

силы тяжести g = 980

см/сек2; I — длина

маятника, см. Как нужно изменить

длину маятника / = 20

см, чтобы период

колебания уменьшился на 0,1 сек?

пример, площадь прямоугольника

S = аЪ

есть функция

двух

независимых переменных — сторон

а и Ь.

V = abc

Объем

прямоугольного

параллелепипеда

является

функцией

трех независимых

переменных — ребер

параллелепи­

педа а, Ь,

с.

Уравнение состояния газа pV = RT представляет

зависимость

между тремя переменными: давлением р, объемом

V и

темпе­

ратурой Т, R— универсальная газовая постоянная. Любая из

переменных уравнения pV = RT есть функция двух

переменных,

например,

P=>^-

=

f(T,V).

Любая физиологическая характеристика организма (давление,

температура, вес, реет и т. д.)

является

функцией

многих

переменных.

Теория функций многих независимых переменных содержит

много новых положений. Почти все они проявляются

уже на

Определение

1. Переменная

величина z называется

функцией

двух

переменных

х,

у, если каждой паре чисел, которые

могут

(по

условию, задачи)

быть значениями

переменных

х

и у,

соот­

ветствует

одно или

несколько

определенных значений

величины г.

При

этом

переменные величины х,

у

называются

аргументами.

О б о з н а ч е н и я .

Запись

z =

f(x,

у)

чениях

аргументов

х = а

и

у = Ь.

Например, z = /(5, 2).

Вместо

/ употребляют

и другие

буквы:

z = ф (х,

у),

z =

F (х,

у), z =

z (х, у) и т. д.

«=/(*>

У, z

t).

Совокупность тех чисел, которые по

условию

задачи

могут

быть

значениями

аргументов

х,

у функции

f(x,

у),

составляет

область

определения

этой

функции.

Геометрически

область

определения

функции

соответствует

некоторрй совокупности точек плоскости хОу.

В частном

случае

областью определения функции

может быть и вся плоскость.

Обычно

области

определения

функции

представляют

собой

части

плоскости,

ограниченные

линиями.

Линию,

ограничиваю­

щую

данную

область, называют

границей

области.

Точки

об­

ласти, не лежащие на границе,

называют внутренними

точками

области. Область,

состоящая

из

одних

внутренних

точек,

на­

зывается

открытой

или

незамкнутой.

Если же

к

области

от­

носятся

и точки

границы,

то область

называется

замкнутой.

Часто функция z — f(x,

у)

задается

без

указания

физического

смысла входящих в нее величин. В этом случае

область

опре­

деления охватывает все те точки, для

которых формула

имеет

смысл.

Пример 1. Областью

определения

функции

z = їх

— у

2х — у

является

вся

плоскость

хОу,

так

как

выражение

имеет

смысл при любых значениях х

и

у.

Пример 2.

Областью

определения

площади

треугольника

5

=

—~- является

открытая

область

первой

четверти

(х > О

и

у > 0 ) ,

так

как

основание

треугольника

х

и

его

высота

у

не могут

быть отрицательными

и

равными

нулю.

— 5 —

функция явная; pV = RT — каждая из переменных р,

V и Т

есть неявная функция от двух других.

таблицей.

Таблицу

удобно располагать

в виде прямоугольника.

В верхней строке проставляют значения

одного

из

аргумен­

тов, в левом

столбце — значения

другого

аргумента.

На

пе­

ресечении

соответствующих

строки

и

столбца

записывают

значение

функции.

Таблица

такого

вида

называется

таблицей

с двойным входом.

Приведенная ниже табл. 3 дает значения площади прямо­

угольника

5 =

ab по значениям его

сторон

а

и Ь.

Т а б л и ц а

3

Ь

0

і

1,5

2

3

1

0

1

1,5

2

3

2

0

2

3

4

6

3

0

3

•4,5

6

9

4

0

4

6

8

12

Таблица составлена по заданной формуле.

Если же функциональная зависимость z

=

fix,

у)

возникает

хОу, yOz,

xOz

(рис. 113).

Линии пересечения

плоскостей

образуют оси координат Ох,

а ось Oz— вертикально; при

этом

ось

Ох

направляют

вперед,

ось Оу — слева направо, ось

Oz

снизу

вверх

(правая

система

координат). Ось Ох называется осью абсцисс,

Оу — осью

ординат.

Oz — осью аппликат.

Точка О пересечения

координатных

осей

называется

началом

координат.

Если

через

концы

значений

аргументов

х = OA,

у =ОВ

и функции

z — f(x,

у) — ОС,

от­

ложенных на осях Ох, Оу и Oz, провести

плоскости,

перпенди­

кулярные осям координат, то в

пространстве

получим

точку

пересечения

М с координатами х,

у и z =

f (х,

у)

(рис.

113).

Совокупность

точек в прэстранстзе,

которые

удовлетворяют

уравнению

F (х,

у,

z) = 0, называется

поверхностью.

Таким образом, графиком функции

дзух

переменных

является

поверхность,

проектирующаяся

в область определения

функции

на плоскость хОу. На рис. 114 приведен график

функции

z —

— х2 + у2,

представляющий параболоид

вращения.

- \

З а м е ч а н и е . Функцию трех и большего числа независимых переменных

изобразить

в пространстве с помощью графика

невозможно.

§

99.

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ

НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Понятие

предела функции

двух

переменных

устанавливает­

ся так же, как для функции одной переменной.

Определение

2.

Число А называется

пределом

функции

z =

= f(x,

у)

в

точке

М0(х0; у0),

если

z неограниченно

приближа­

ется к

А

всякий раз, когда точка М(х;

у)

неограниченно

при­

ближается к

точке

М0(х0;

у0).

кции,

когда

изменяется

х,

к приращению

аргумента

А х,

ког­

да приращение

аргумента

стремится

к

нулю.

Обозначения

частной производной

z по

х:

z'x, f'x(x,

у),

д^д'

У^ ,

(д —

круглое).

т-.

дг

Выражение

надо понимать как

неразрывный символ час­

тной

производной.

JEL :

lim

f(x

+ A

x -

y)-f(x.-y)

Частная

производная

по

у определяется и обозначается

ана­

логично. Например,

частная

производная

от

функции

z по

пе­

ременной у обозначается z'y,

f'y (х,

у),

^

^

^ >

| | - и

определя­

ется

по формуле:

dz

=

l i m

/(х,

y +

Ay)

— f(х,

у)

дУ

Ау^о

АУ

З а м е ч а н и е .

Для

нахождения

частной

производной,

например, по

^=^(2х2+у2)

= 4х.

В точке Р (1; 2) значение

этой

производной равно 2-2 = 4.

Эти результаты можно записать в виде:

2) = 4 * д . , . „ . 2

= 4 ,

Г(1, 2)

= 2у/х=1,

у = 2

= 4 .

Теорема.

Вторые смешанные

производные

функции

z = f

(х,у)

при условии

их

непрерывности

равны

между

собой,

т. е.

дН

_

д2г

дх ду

Ъудх'

Аналогично

можно

получить

частные

производные

третьего

и более высоких порядков от функции многих

независимых

переменных.

§ 102. ЧАСТНЫЙ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Приращение,

которое

получает

функция

z = /(х,

у),

когда

изменяется

только

одна

из

переменных,

называется

частным

приращением

функции

по

соответствующей

переменной. Упот­

ребляют такие

обозначения:

частное

приращение

функции

z по

х

A.xz = f(x

+ А х,у) — f(x,

у),

частное

приращение

функции

z

по у AyZ=f(x,

y + Ay) — f(x,

у).

Определение

5.

Частным

дифференциалом

z = f(x,

у)

по х

называется

главная

часть

частного

приращения

A^z,

пропорци­

ональная приращению

А х

независимой

переменной.

по у.

Так же определяется и частный дифференциал

Част­

ные дифференциалы обозначаются: dxz

— частный

дифференци­

ал по х, dyz — частный дифференциал

по у.

переменной

По аналогии с дифференциалом функции одной

частные дифференциалы

функции

z

по х

и по у

будут равны:

6yZ^^-ydy.

Пусть непрерывная функция двух переменных

z=f(x,

у).

Если х и у

получают

одновременно

приращения

А х

и А у, то