Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

301

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 362 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Р и с . 7

Р и с . 8

§ 3. СВЯЗЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ С ПОЛЯРНЫМИ

Расположим прямоугольную и полярную системы координат так, чтобы полюс и начало координат находились в одной точ ке, а полярная ось совпала с положительным направлением оси Ох (рис. 9). Из прямоугольного треугольника МОР получим

	х — г cos ф,			у =	г sin ф;	(5)
	г = У Xі		+ г/2 , tg Ф = ~			(5)
	г = У Xі		+ г/2 , tg Ф = ~
Пример 4.	Найти координаты			точки М(2\		2) в полярной си
стеме координат.
Р е ш е н и е .	Определяем		искомые координаты по формуле (5)
	г =	У	22 +	22 ^	2,8;
tg ф = - \| - =		1,	Ф =	- £ ,	М (2,8;	я/4).

При графическом изображении процессов выбор системы ко ординат имеет большое значение. Один и тот же процесс в


разных координатных системах изображается различными									кри
выми. Так, например, при графическом изображении						классиче
	ского		рассеяния			рентгенов
	ских или y-лучей в прямо
	угольной			системе		координат
	зависимость				интенсивности
	излучения			If, рассеянного под
	углом		ф связанным				электро
	ном, выражается кривой,								изо
	браженной			на	рис.		10		[2].
	Угловое распределение							клас
	сически		рассеянного				излуче-
х	ния	в	полярных			координа
	тах	приведено			на	рис.		11 [2].
	При	сравнении			рис.		10		и 11
р и с. 9	видно,		что для		данного				про-

'80

f°

Р и с . 10

90°

/80° І

Р и с . 11

цесса целесообразнее всего использование полярной системы координат, так как кривая на рис. 11 отличается большей на глядностью.

§ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИИ

При математической обработке результатов измерений в раз личных областях науки и техники очень часто пользуются гра фическим изображением функциональных зависимостей между исследуемыми величинами, применяя для этой цели чаще всего прямоугольную систему координат.

На практике принято откладывать по оси абсцисс значения независимой переменной, а по оси ординат — зависимой, являю щейся предметом исследования. У концов осей ставят буквен-

Р и с . 12

ные обозначения величин и их единицы измерения, например, плотность d, г/см3 и концентрация раствора с, %. Восставляя перпендикуляры к осям координат для двух соответствующих друг другу значений переменных величин, на пересечении их получают ряд точек, по которым строят график.

Для правильного построения графика нужно руководство ваться следующими правилами.

1. Деления на осях должны быть кратными целым едини цам, десяткам, сотням и т. д. измеряемых величин. В этом случае легко нанести на график любую, найденную опытным путем величину зависимой переменной, а также определить по готовому графику любые ее значения. Важность этого правила видна из графиков (рис. 12, а и б), стоит только сравнить лег кость и точность нахождения веса ребенка Р, кг, например, в возрасте t = 5,5 лет по одному и другому графикам [30].

2. При построении графика важно удачно выбрать масштаб. Масштаб на осях не должен превышать возможную ошибку

измерения	соответствующих величин		на опыте.	Например,	от
кладывая	на миллиметровой	бумаге	показатели	температуры
тела, измеренной с точностью		до 0,1	град, бессмысленно		обо

значать'эту величину отрезком в несколько (например, 10) мил лиметров. Такой выбор масштаба может создать ложное впечат ление о возможности учитывать сотые доли градуса и приведет к ошибкам. Правильнее всего в данном случае выбрать мас штаб: 1 мм = 0,1 град.

І	• . . — -	JI—.—.—,—.—*
О	го <iO 60 30 100 /20 W150	too no rzo /JO MO №0
	p/M/ipm.cm.	pjMAt pm.cm.

Ри с . 13

3.Масштабы по осям координат можно выбирать произ вольно, но так, чтобы вся плсщадь, ограниченная осями коор


динат,		использовалась				для построения		кривой.	При этом		нача
ло	осей		координат		не	всегда будет совпадать с			нулевыми		зна
чениями			величин,		зависимость между			которыми изображается
на графике. Сказанное хорошо иллюстрируется									сопоставлением
графиков				рис. 13, а		и	рис. 13, б [30], показывающих			зависи
мость		количества			мочи		V, мл за 5 мин	от кровяного		давления
р,	мм	рт.		ст.
	4.	Масштабы по осям координат должны быть выбраны в
таком		соотношении, чтобы полученная						крИЕая	возможно		более

приближалась к прямой линии и была наклонена к оси абсцисс под углом, близким к 45°. Таксе положение кривой позволяет лучше всего выявить имеющийся разброс значений при измере ниях и наиболее точно определить по графику исследуемую ве

личину.		Это	наглядно	показано на графиках рис.	14, а н
рис.	14,	б [30], выражающих зависимость кровотока V,			мл/мин
от	давления р,		мм рт.	ст.

После того как данные опыта нанесены на график в виде точек, через последние проводят кривую. При плавном перехо де аргумента х от одних значений к другим обычно и функция у изменяется плавно. При этом все точки, нанесенные на ко ординатную сетку, должны были бы лежать на некоторой плав ной кривой. Однако вследствие неточности измерений эти точки на графике нередко бывают так разбросаны, что через них мож но провести только ломаную линию или кривую с резкими поворотами, что не соответствует плавному течению изучаемого процесса. Поэтому плавную кривую проводят не через все точки, а по возможности через большее их количество, и таким

\І,пл/мин

р,ґ!прт.ст.

Р,ммрт.ст.

Р и с . 14

образом, чтобы остальные точки оказались расположенными по обе стороны кривой, как можно ближе к ней (рис. 15).

Построим график зависимости плотности d, г/см3 (функция) водного раствора глицерина от его концентрации с, % (аргу мент) по следующим данным [54]:

с,	%		43	58,1 •	•	81,2	95
d,	г/см3	1,111		1,152		1,217	1,253
Анализ данных показывает, что концентрация измерена с
точностью до 0,1%, а			плотность	глицерина		до 0,001		г/см3.
В нашем	случае	наименьшая концентрация				43%;	ставим в
начале абсциссы		40 %. Минимальная плотность 1,111					г/см3;	ста
вим в начале ординаты			1,100. Концентрация с меняется в					пре
делах 95 ^- 40 == 55 %, а			плотноегь	1,253 -f-1,100 = 0,153				г/см3.

Чтобы была использована вся площадь, отведенная для постро

ения графика и график не			был растянут,		выберем	по осям
масштаб: в 1 мм — 1%; 1мм — 0,020 г/см3.					График	приведен
на рис. 16.
На	практике	очень часто	приходится	определять		промежу
точные	значения	исследуемых	величин	и величин, выходящих
за пределы графика.						_

d/r/cn3\

1,25d -
l,2W	-
1,220	-
1,200	-
/•,180	-
I, WO •
1,1UO
1,120 -
1,100-

bO 50 60 70 SO 90 100 C,V.

Р и с .	15	Р и с . 16
Определение	по графику	новых величин,	заключенных меж
ду измеренными, называется интерполяцией.			Таким способом

можно получить данные, не являющиеся результатом непосред


ственных		измерений. Например, плотность				глицерина	при кон
центрации		75%	находим по графику рис.			16.
Определение			значений	исследуемых		величин вне		нашего
опыта путем продолжения линии графика						называется	экстрапо
ляцией.	Например, плотность глицерина				при концентрации			100%
можно	найти, продолжив			график рис.	16.

Экстраполяцией следует пользоваться с большой осторож ностью, так как мы не знаем поведения функции за пределами нашего опыта. Тем не менее, если кривая обнаруживает вполне плавный ход и нет ССКОЕЭНИЙ ожидать резких изменений в дан ном процессе за пределами исследуемого участка кривой, то

метод экстраполяции допустим в узких пределах.
Пользуясь	экстраполяцией,		легко	допустить	ошибку,'			но
можно и открыть новое. Например, экстраполяция					данных			по
ведения газов при сбычных температурах приводит					к	понятию
об абсолютном	нуле	температуры. Если же тело			движется			со
скоростью, близкой		к скорости	света,	то экстраполяция			зако
нов классической физики вообще невозможна, так					как	в	этих
условиях имеют место другие законы.

§ 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ МАСШТАБ

Наибольшее распространение получила прямоугольная си стема координат с равными делениями на осях. Готовая коор динатная сетка такого рода нанесена на миллиметровой бумаге. Но часто пользуются системой координат с нарастающей ценой деления или специальными сетками так называемой полулога рифмической или логарифмической бумаги.

г	з	ч 5 б 7	so/о	20 30 ^О SO 60708030I0U
		Р и с . 17
Логарифмические		графики	(сетки)	применяются в тех слу

чаях, когда вследствие большого диапазона откладываемых зна чений величин (по одной или по обеим осям координат) необхо димо сократить пространственные размеры графика.

Иногда полулогарифмический масштаб приводит к выпрям лению графика, что создает удобство для определения величин. При построении графиков в логарифмическом масштабе по осям

координат	откладываются		не	сами числа, а их логарифмы (1 со
ответствует	lg	1, 2 — lg 2	и	т. д.) (рис. 17). Если по одной
оси взят	логарифмический			масштаб, а	по другой — обычный
(линейный),	то	такую масштабную сетку			называют полулогариф
мической (рис.		18).

Нанести логарифмический масштаб можно двумя способами. 1. Если размеры чертежа позволяют, то на нужную огь пе

реносятся деления с логарифмической линейки.

2. Если размеры чертежа ограничены, то выбирают удобную длину единицы масштаба k. Каждая такая единица соответст вует увеличению числа в 10 раз, т. е. если начало отсчета при

нять за единицу,			то конец масштабной единицы будет равен 10.
Следующая масштабная				единица		начнется с	10	и	закончится
на	100 и т. д. Положение любой точки х оси логарифмическо
го	масштаба,	отсчитанное от начала отсчета					х=1,	определяет
ся	формулой
				М =	klgx,
где	k — длина	единицы		масштаба;		х — координата		любой точки
на	оси координат.
	Например,	для	k =	45 мм	(рис. 17) точка х =			2	находится
на	расстоянии	М = 45 • lg 2 =			45 • 0,30 = 13,5 мм от точки х =

/О I 3

4 j

j	1	1 г і і , і •	1	1	• • • . • • •
					.—

2
	— :
/	2	3 4	5 6 7 0 910	20 30	40 SO	60708090Ш
			Р и с .	18
= 1	(начало	отсчета).	Т о ч к а 1 * =	3 находится	на	расстоянии

М— 45 • lg 3 = 45 • 0,48 = 21,6 мм от точки х — 1 и т. д. Логарифмический и полулогарифмический масштабы нашли

большое применение не только в физике, но и в химии, био логии, медицине.

На рис. 19 приведена зависимость сопротивления Z, ом ко жи человека от приложенного напряжения U, в для перемен ного тока в логарифмическом масштабе.

На рис. 20 в полулогарифмическом масштабе изображена кривая падения тонуса мышцы глазной артерии р , % после

	иі и
Р и с. 19	Р и с. 20
	Гес. пубшчтя
	н а у ч и в - т в х н и
	б и б л и о т е к а С С С / *
	Э К З Е М П Л Я Р
	Ч И Т А Л Ь Н О Г О З А Л А

резкого ее растяжения в зависимости от времени				t, сек.	Время
по оси абсцисс		отложено в	логарифмическом масштабе.
			Задачи
1.	Построить	точки: А (2; 7),	5 ( — 4; —3), С (0; — 4), D (— 2;		0).
2.	Дана точка А (3; 2). Определить координаты точек, симметричных ей
относительно оси абсцисс, оси ординат и начала координат.				Построить		эти
точки.		расстояние между двумя точками: А (5;
3.	Определить	расстояние между двумя точками: А (5;		2) и 5 ( 1 ;		— 1 ) ;

С(—6; 3) и £>(0; — 5) .

4.Доказать, что треугольник с вершинами А (0; 0), 8(3; 1) и С ( 1 ; 7) прямоугольный.

	5.	Тело,	двигаясь прямолинейно, переместилось			из	точки		А (— 4; — 3)
в точку В (5;			6). Определить величину пути, пройденного телом.
	Ъ. Найти		точки, находящиеся на равных расстояниях					от	осей	коорди
нат	и	от точки А (— 6; — 3).
	7.	Даны	вершины треугольника: А (3; — 7);		В (5; 2)		и	С ( — 1 ; 0). Найти
середины его			сторон.
	8.	Отрезок прямой, ограниченный точками Л (3;				2)	и 5(15;		6),	разделен
на	3 равные		часту. Определить координаты точек деления.
	9.	Построить точки, полярные		координаты	которых			имеют следующие
значения: А (3; л/6), 5 ( 1 ; 5я/3),				С (5; 7я/6).


10.	Найти прямоугольные координаты точек, которые заданы своими по
лярными координатами: А (2; я/3), 5 (2; Зя/4),									С (5;	я/2) .
11.	Зная	прямоугольные			координаты точек				А (3; —4), 5 ( — 1 ;				1),	С (0;
2), D (5; 0),		найти	их	полярные		координаты.								р -от
12.	Построить график зависимости упругости насыщенного											пара		р -от
температуры		t, пользуясь следующими данными:
	t,	° С			— 10		— 5	0	5		10	15		20
	р, мм	рт.	ст.		2,0		3,1.	4,6	6,6			12,7		17,4
13. Данные разложения					азотного		ангидрида		N 2 0 5	в	растворе		четырех-
хлористого углерода				при 45° С		приведены		в следующей			таблице [22]:
t,	сек	0		184	319		526	867	1198		1877	2315		3144
с,	моль/л	2,33		2,08	1,91		1,67	1,36	1,11		0,72	0,55		0,34

Построить график зависимости концентрации с от времени t в равно мерном и полулогарифмическом масштабе lgc = f(t).

С1

14. Гидролиз (СН2 )„С(			в « 0 % -ном этаноле протекает	по типу	ре-
акций	первого	Х	С Н 3
акций	первого	порядка.
Броуном и		Барковским	[22] были получены следующие	значения	кон
стант	скорости:

т,	° к		273	'	298		308		318
k,	сек-1		1,06 • ш - 5		3,19 • Ю - 4	9,86	•	10-*	2,92 • Ю - 3
	Построить график зависимости k от					и lg	k	от
	15.	Д л я	удельной	скорости реакции		разложения ацетоиндикарбоновой
•кислоты в водном растворе (реакция первого порядка) были									получены сле
дующие		результаты:
		т,	° к		273	293		313	333
	k	• 105 с е к - і			2,46	47,5		576	5480

Построить график зависимости k от Т и Jg k от -=г.

<<< < Предыдущая 12 / 362 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ