книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений
.pdf§ 94. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Дифференциал dy функции у = / (х), называемый первым дифференциалом или дифференциалом первого порядка, пред ставляет собой также функцию от х, а поэтому и от него мож
но найти дифференциал, который называют вторым |
дифферен |
|||||||||
циалом или дифференциалом второго порядка. |
|
|
d{dy) |
— |
||||||
Обозначается |
дифференциал |
второго |
порядка |
как |
||||||
— d2y и |
читается |
«дэ |
два |
игрек». |
|
|
|
|
|
|
Для |
функции |
у = |
f(x) |
дифференциал |
первого |
порядка dy |
= |
|||
= /' (х) dx; dy в |
свою |
очередь |
есть функция от |
х, |
dx |
будем |
||||
считать постоянным множителем (так как dx не зависит от х). Тогда
d2y = d {dy) = d{y'xdx) = |
{y'dx)'xdx = ydx • dx = y"xxdx2, |
d'zy |
= y"xxdx2. |
Определение 5. Дифференциал второго порядка равен произве дению второй производной функции на квадрат дифференциала аргумента.
Для производной второго порядка через отношение диффе ренциала второго порядка будем иметь выражение:
|
£ « = |
- ё |
- |
(3) |
Формула '(3) |
читается: «дэ |
два |
игрек |
по дэ икс квадрат» |
или «дэ два игрек по дэ икс дважды». |
|
|||
Обозначение производной третьего порядка через дифферен |
||||
циалы будет |
иметь вид |
|
|
|
|
и |
=- |
у |
|
|
J ххх |
|
dx3 |
|
Обозначение производной л-го порядка через дифференциалы будет иметь вид
у" = — dx"
Пример 9. Найти дифференциал второго порядка от функ ции у = х5.
Р е ш е н и е . Дифференциал |
первого |
порядка |
|
|
dy = |
ЬхНх. |
|
Дифференциал второго |
порядка |
|
|
d*y = d{dy) |
= d {ЪхЧх) = |
20хЧх*. |
|
Пример 10. у = sin2 х.
Р е ш е н и е .
' d?y
—r~- = dx1
Найти производную второго порядка от функции
d |
і |
d . о |
\ |
d |
|
sin X COS x) |
\ |
= |
— ; — — І — sin2 x |
J |
= — j — (2 |
|
|||||
dx |
\ |
dx |
dx |
4 |
' |
|
|
|
= —^- (sin 2x) = 2 cos 2x.
§95. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ
КПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
I.Применение дифференциала к приближенным
вычислениям
Применение дифференциала к приближенному вычислению значений функции основано на замене приращения функции А у, которое может весьма сложным образом зависеть от Ах, вы ражением дифференциала функции dy при малых Ах, т. е.
|
Ay^dy |
= у'хАх = |
y'dx. |
(4 |
Пример 11. |
Вычислить |
приращение |
площади квадрата |
AS |
со стороной / = |
10 см при увеличении ее длины на А / = 0,01 |
см: |
||
1) точно; 2) приближенно; 3) найти разность между точным и
приближенным |
значением. |
|
|
|
|
|
||
Р е ш е н и е . |
1) Точное |
значение |
вычислим |
по |
правилу, из |
|||
ложенному в § |
60. |
|
|
|
|
|
||
Для |
длины |
стороны квадрата I |
площадь S = I 2 |
, для |
длины |
|||
стороны |
квадрата |
I + А / |
площадь |
5 + A S = |
(/ + |
A I)2, |
откуда |
|
AS = |
(/ + A / ) 2 |
— S = /2 |
+ 2/A/ + (A/)2 — /2 |
= 2/А/ + |
(Д/)2 , |
|||
|
AS|/ = io |
|
= 2 • 10 • 0,01 + |
(0,01)2 = 0,2001 |
(см2). |
|||
Д/=0,01
2)По формуле (4) найдем приближенное значение прира щения А 5.
A S dS = (l%dl = 2ldl,
d 5 lAl=o,oi = 2 - 10-0,01 = 0,2 (см2).
3) Разность между точным и приближенным значением
AS — dS =0,2001 — 0,2 = 0,0001 (см2).
Мы видим, что точное значение приращения площади квад рата отличается от приближенного лишь в четвертом десятич-
ном знаке. Ошибку 0,0001 можно |
считать малой по сравнению |
|
с AS. Действительно, |
|
|
° ' 0 0 0 1 |
100 |
=0,05о/„. |
0,2001 |
|
|
Поэтому на практике приращение функции обычно определяют через дифференциал. При этом вычислительная работа значи тельно упрощается, а точность расчета приращения функции в этом случае равна точности, с которой задано приращение аргумента.
II. Нахождение числового значения функции
Пользуясь условием (4), можно определить значение функции
в точке, соседней с данной точкой, |
с |
точностью, |
с |
которой |
||||||||||||
задано |
значение приращения аргумента. Действительно, |
|
||||||||||||||
|
|
|
Ay |
= f(x0 |
+ |
Ax) |
— f (х0) ^ |
dy, |
|
|
||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x<i |
+ |
Ax)^f(x0) |
+ |
dy |
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x0 |
+ |
Ax)^f(x0) |
+ |
r(x)dx. |
|
|
(5) |
||||||
Пример |
12. |
Найти приближенное |
значение |
пути |
s(0 |
= ^4 — |
||||||||||
- - 5 t2 |
+ 2t |
+ 3 |
при |
/ = |
1,02 |
|
сек. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Р е ш е н и е . |
По формуле |
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
s(to + |
At)^s(t0) |
+ |
s' (t0) |
dt. |
|
|
|
||||||
Представим момент времени t как |
t0 |
+ |
A t = |
1,02 |
= 1 +• 0,02. |
|||||||||||
Тогда |
t*=--\, |
At = |
dt = |
0,02, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
s(l,02) ^s(\) |
+ s' |
|
(\)dt, |
|
|
|
||||||
|
|
|
s(l) |
= l 4 |
— 5 - |
l 2 |
+ 2- |
1 + 3 |
= |
1, |
|
|
||||
|
|
|
|
s'(t) |
= |
4ґ3 —10^ + |
2, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
s'(l) |
= 4- |
l 3 |
— |
10 • 1 + |
2 = |
— 4, |
|
|
|||||
|
s (1,02) =« s (1) + |
|
s' (1) dt |
= 1 — 4 • 0,02 |
= 0,92. |
|
||||||||||
III. Приближенные формулы
Приближенные формулы можно получить в результате при менения формулы (5) к данным функциям. Найдем приближен ные формулы для некоторых функций.
1. Степенная |
функция |
у = хп |
= (х0 |
+ olx)n, |
где п — любое |
|||||||||||||||
действительное |
число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(х0 ± dx)n |
|
х% ± |
[(х0 |
± dx)n]'x=Xo |
dx = х0п |
± п x0n~l |
dx. |
|
|||||||||||
При |
х0 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + |
dx)" к |
1 ± |
ndx. |
|
|
|
|
(6) |
|||
Формулу (6) следует |
применять |
при небольших |
п и малых dx. |
|||||||||||||||||
Пример 13. Вычислить приближенно: |
1) |
^ 3 |
; |
2) |
^0,982; |
|||||||||||||||
3) (1,005)5. |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и е . |
1) |
^ 03)3 |
~ (1,03)~3. По формуле |
(6) |
найдем |
|||||||||||||||
|
|
|
(1 + |
0 , 0 3 ) - 3 ^ 1—3- 0,03 = |
^ |
1 —0,09 = 0,91; |
|
|||||||||||||
2) |
|
К0^982 = |
(0,982)1/6 = |
= _ |
о.ОІв) |
^ і |
|
i-0,01-8 |
- |
|||||||||||
|
( 1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,997; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
|
(1,005)6 |
= |
(1 + 0,005)5 ^ 1 + |
5 • 0,005 = |
1,025. |
|
|
|
|||||||||||
2. |
|
Функция |
|
у — In х = |
In (х0 |
+ dx). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
In (х0 ± |
dx) ^ |
In х„ ± |
[In (х0 |
+ |
dx)]'x=Xo |
dx |
= In х„ + |
. |
(7) |
|||||||||||
При |
х0 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In ('l |
+ dx) |
+ |
dx. |
|
|
|
|
(8) |
|||
Пример |
14. Вычислить |
приближенно: |
1) In 1,012; |
2) In 0,993. |
||||||||||||||||
Р е ш е н и е . |
По формуле (8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) |
|
In 1,012 = |
In (1 + 0,012)^0,012; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
|
In 0,993 = |
In (1 — 0,007) ^ |
— 0,007. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 15. Известно, что In 781 ^6,66058. Вычислить In 782. |
||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е . |
782 = |
781 + 1, x„ = 781, dx = 1. |
|
|
|
|
||||||||||||||
Согласно (7), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
In 782 =.-ln(781 + 1 ) ^ In 781 + ^ y - = 6,66058 + |
~ |
= |
6,66196. |
|||||||||||||||||
3. |
Функция |
у = sin x = sin (x0 |
+ dx). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sin (x0 |
+ |
dx) — sin x0 |
+ |
[sin (x0 + dx)]^.^ dx = sin x0 |
+ |
cos x0 dx. (9) |
||||||||||||||
При |
x0 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (dx) ^ |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Синус |
малого |
угла |
равен |
самому |
углу.' |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 16. Вычислить |
без помощи таблиц |
sin31°. |
|
|
Р е ш е н и е . 31° = 30° + Г , х0 |
= 30°, dx = |
l° = я/180 . _ |
||
Согласно (9), sin 31° ^ |
sin 30° + |
cos 30° • |
= |
+ ^~ X |
X 0,01745 = 0,5150.
§ 96. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ
I. Ошибки непосредственных измерений
При помощи измерений мы изучаем количественную сторону явлений, происходящих в природе и обществе, так что важность измерений для их познания бесспорна. При измерениях истин нее значение физической величины получить нельзя. Любые измерения сопровождаются ошибками, поэтому в задачу каж дого измерения входит оценка точности полученного результата. Вычисления должны быть проведены: 1) с достаточной точностью;
2) в границах целесообразной точности; 3) с достаточной |
быст |
|||||||||||
ротой производства |
действий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Введем несколько понятий, относящихся к приближенным |
||||||||||||
вычислениям. Будем под А понимать точное значение |
измеряе |
|||||||||||
мой величины. |
|
Число а называется приближенным |
значением |
|||||||||
Определение |
6. |
|||||||||||
числа А |
с ошибкой |
Да, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
А—а |
— Д а, |
т. е. А ^ |
а. |
|
|
|
|
||
Число а |
может |
быть |
меньше |
А, |
тогда |
Да > 0 |
и больше |
А, |
||||
тогда Д а < 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу того, что точное значение А неизвестно, ошибка Да |
||||||||||||
также неизвестна. Однако при измерениях бывает известна |
та |
|||||||||||
граница є, за пределы которой не выходит абсолютная |
величина |
|||||||||||
ошибки |
| Д а [ , |
| Д а | < г . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение |
7. |
Абсолютная |
величина |
ошибки |
\ Д а \ |
назы |
||||||
вается |
абсолютной |
сшибкой. |
Если |
абсолютная |
ошибка |
\&а\ |
||||||
приближенного |
значения |
а не превосходит |
положительного |
|
чис |
|||||||
ла в, то число |
е называется его предельной |
абсолютной |
ошибкой. |
|||||||||
|
|
|
\А — а | = | Д а | < е |
|
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— s < |
Д а < з . |
|
|
|
|
|
||
Число є определяется неоднозначно: всякое число, большее чем уже известная абсолютная ошибка, может быть также принято в качестве предельной абсолютной ошибки, т. е. чис ла Є.
Например, 2,25 есть |
приближенное |
значение |
числа |
2,2557 |
|||||||||||
с ошибкой 0,0057 или числа 2,2557 |
... с предельной |
абсолют |
|||||||||||||
ной ошибкой 0,006, ибо 0,0057 ... < 0,006. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Даже тогда, когда ошибка известна, часто вместо нее ука |
|||||||||||||||
зывают |
предельную |
ошибку, |
так, |
в |
нашем |
примере |
вместо |
||||||||
ошибки |
0,0057 |
лучше |
указать |
предельную |
ошибку |
0,006. |
|||||||||
Если измерение производится с помощью простейших изме |
|||||||||||||||
рительных |
приборов, |
то предельная |
абсолютная |
ошибка |
|
уста |
|||||||||
навливается |
по |
точности |
прибора. |
Точность |
|
прибора |
|
равна |
|||||||
половине цены деления шкалы прибора. Например, |
точность |
сан |
|||||||||||||
тиметровой |
линейки |
|
равна |
0,5 |
см, |
точность |
круговой |
гра |
|||||||
дусной шкалы равна 0,5° и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Обычно слово «предельная» опускают, и под абсолютной |
|||||||||||||||
ошибкой |
понимают именно |
предельную |
абсолютную |
ошибку є. |
|||||||||||
Это легко понять на таком примере: если при измерении темпера туры 200° С и 2° С абсолютная ошибка была 0,5° С, то видно, что
первое измерение |
произведено с большей точностью, чем второе. |
Принято оценивать точность измерения по той доле, кото |
|
рую составляет |
абсолютная ошибка от измеряемой величины. |
Она называется относительной ошибкой. Поскольку фактически
нам бывает известна только |
предельная |
абсолютная |
ошибка є |
|||
и приближенное |
значение |
величины а, |
вместо |
относительной |
||
ошибки определяют предельную относительную ошибку. |
||||||
Определение 8. Предельной относительной ошибкой 8 назы |
||||||
вается отношение |
предельной |
абсолютной |
ошибки |
к |
абсолютной |
|
величине приближенного значения |
\а\. |
|
|
|
||
Обычно слово |
«предельная» |
опускают, понимая |
под отно |
|||
сительной ошибкой именно предельную. Чаще всего относи
тельные ошибки выражаются |
в |
процентах, т. е. |
8 - - J |
U - - |
\оо%: |
I а |
-При лабораторных измерениях точность в пределах 1 % обычно бывает достаточной, и лишь в особых случаях она доводится до десятых долей процента.
Пример 17. |
На аналитических |
весах взвешено |
тело |
мас |
||
сой т = 50 г с предельной ошибкой |
е = |
0,0001 |
г. |
Найти |
точ |
|
ность взвешивания. |
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
8 = -|7|- • 100 = ^ |
^ - |
100 = - ^ - = 0,0002%. |
|||
|
II. Ошибки функций |
|
|
|
||
Сравнительно |
немногие физические величины |
(вес тела, |
дли |
|||
на отрезка, время, угол поворота тела, температура и др.) могут быть измерены непосредственно на опыте, т. е. с помощью
Пример 16. Вычислить без помощи таблиц |
sin31°. |
|
||
Р е ш е н и е . 31° = 30° + Г , х0 |
= 30°, dx = |
Г = я/180 . _ |
||
Согласно (9), sin 31° |
sin 30° + |
cos 30° • - щ - = - і - + |
х |
|
X 0,01745 = 0,5150. |
|
|
||
§ 96. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ |
ВЫЧИСЛЕНИЙ. |
|||
АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ |
||||
I. Ошибки непосредственных измерений |
|
|||
При помощи измерений мы изучаем количественную |
сторону |
|||
явлений, происходящих |
в природе и обществе, так что важность |
|||
измерений для их познания бесспорна. При измерениях |
истин |
|||
ное значение физической величины получить нельзя. Любые измерения сопровождаются ошибками, поэтому в задачу каж дого измерения входит оценка точности полученного результата. Вычисления должны быть проведены: 1) с достаточной точностью; 2) в границах целесообразной точности; 3) с достаточной быст
ротой производства |
действий. |
|
Введем несколько понятий, относящихся к приближенным |
||
вычислениям. Будем под А понимать точное значение |
измеряе |
|
мой величины. |
Число а называется приближенным |
значением |
Определение 6. |
||
числа А с ошибкой |
А а, если |
|
А—а = Да, т. е. А^а.
Число |
а может |
быть меньше А, тогда А а > 0 |
и больше |
А, |
тогда |
А а < 0. |
что точное значение А неизвестно, ошибка Д а |
||
В |
силу того, |
|||
также |
неизвестна. Однако при измерениях бывает |
известна |
та |
|
граница є, за пределы которой не выходит абсолютная |
величина |
||||||||
ошибки |
| Д а |, |
| Д а | <• є. |
|
|
|
|
|
|
|
Определение 7. |
Абсолютная |
величина |
ошибки |
\Аа\ |
назы |
||||
вается |
абсолютной |
сшибкой. |
Если абсолютная |
ошибка |
\Аа\ |
||||
приближенного |
значения а не превосходит |
положительного |
чис |
||||||
ла е, то число |
s называется его предельной |
абсолютной |
ошибкой. |
||||||
|
|
|
\А— а | |
= |
| Д а | < є |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— е^С Д а < з .
Число s определяется неоднозначно: всякое число, большее чем уже известная абсолютная ошибка, может быть также принято в качестве предельной абсолютной ошибки, т. е. чис ла є.
Например, 2,25 |
есть приближенное |
значение числа 2,2557 |
с ошибкой 0,0057 |
или числа 2,2557 ... |
с предельной абсолют |
ной ошибкой 0,006, ибо 0,0057 ... < 0,006.
Даже тогда, когда ошибка известна, часто вместо нее ука зывают предельную ошибку: так, в нашем примере вместо
ошибки |
0,0057 |
лучше |
указать |
предельную ошибку 0,006. |
|||||
Если измерение производится с помощью простейших изме |
|||||||||
рительных |
приборов, то предельная |
абсолютная |
ошибка |
уста |
|||||
навливается |
по |
точности |
прибора. |
Точность |
прибора |
равна |
|||
половине цены деления шкалы прибора. Например, |
точность |
сан |
|||||||
тиметровой |
линейки |
равна 0,5 |
см, точность |
круговой |
гра |
||||
дусной шкалы равна 0,5° и т. д. |
|
|
|
|
|||||
Обычно слово «предельная» опускают, и под абсолютной |
|||||||||
ошибкой |
понимают именно |
предельную абсолютную ошибку е. |
|||||||
Это легко понять на таком примере: если при измерении темпера туры 200° С и 2° С абсолютная ошибка была 0,5° С, то видно, что
первое измерение |
произведено с большей точностью, чем второе. |
Принято оценивать точность измерения по той доле, кото |
|
рую составляет |
абсолютная ошибка от измеряемой величины. |
Она называется относительной ошибкой. Поскольку фактически
нам бывает известна только |
предельная |
абсолютная ошибка є |
и приближенное значение |
величины а, |
вместо относительной |
ошибки определяют предельную относительную ошибку. Определение 8. Предельной относительной ошибкой 8 назы
вается отношение предельной абсолютной ошибки к абсолютной величине приближенного значения \а\.
Обычно слово «предельная» опускают, понимая под отно сительной ошибкой именно предельную. Чаще всего относи тельные ошибки выражаются в процентах, т. е.
8 = - ^ . 100%.
•При лабораторных измерениях точность в пределах 1 % обычно бывает достаточной, и лишь в особых случаях она доводится до десятых долей процента.
Пример |
17. |
На аналитических |
весах взвешено |
тело |
мас |
||
сой т = 50 |
г с предельной |
ошибкой |
є = 0,0001 г. |
Найти |
точ |
||
ность взвешивания. |
|
|
|
|
|
||
Р е ш е н и е . |
Ь = - ! ^ Т - |
100 = 5 |
в |
. ю о = - ^ - = 0,0002%. |
|||
|
|
\а\ |
50 |
50 |
' |
|
|
II. Ошибки функций
Сравнительно немногие физические величины (вес |
тела, дли |
|||
на отрезка, время, угол поворота |
тела, |
температура |
и |
др.) могут |
быть измерены непосредственно |
на |
опыте, т. е. |
с |
помощью |
приборов. Все остальное многообразие величин является функ циями тех величин, которые измеряются на опыте. Матема тически это будет означать, что измеряемая величина является функцией y = f(x). В этом случае вычисляют предельную аб солютную ошибку функции sy по заданной' предельной абсо лютной ошибке аргумента ех.
Пусть требуется вычислить значение функции у = f(x) при значении аргумента х, истинная величина которого нам неиз вестна, а известно, что х = х0 + dx, где х0 — приближенное значение х, a dx — абсолютная ошибка х0 и по абсолютной ве личине она меньше предельной абсолютной ошибки ех, т. е.
| dx | < гх.
При расчете f(x0) вместо истинного значения f (х) мы допускаем ошибку, которую можно оценить, пользуясь понятием диффе ренциала функции.
\f(x)-f(x0)\=/±yttdy |
= \f'(x0)dx\ |
= |
\f'(x0)\\dx\< |
|
< | / ' ( * о ) К . |
' |
|
Отсюда видно, что абсолютная ошибка, получающаяся в ре
зультате |
замены |
f(x) |
на f(x0), |
|
меньше, чем \f (х0)\гх; |
эту |
ве |
|||||||
личину мы и принимаем за предельную абсолютную |
ошибку |
|||||||||||||
функции |
є . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е у |
=\f'(x0)\sx^dy. |
|
|
|
|
(10) |
||||
Определение |
9. |
Предельная |
|
абсолютная |
|
ошибка |
функции |
|||||||
равна |
произведению |
абсолютной |
величины |
ее производной, |
взятой |
|||||||||
при |
приближенном |
значении |
аргумента, |
на |
предельную |
абсо |
||||||||
лютную |
ошибку |
аргумента, |
т. |
е. приближенно равна |
диффе |
|||||||||
ренциалу |
функции. |
Предельная |
относительная |
ошибка |
функции |
|||||||||
Определение |
10. |
|||||||||||||
оу равна |
отношению |
предельной |
абсолютной |
ошибки функции |
к |
|||||||||
абсолютному значению |
функции, |
|
взятой |
при |
приближенном |
зна |
||||||||
чении |
аргумента. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Й |
|
£ |
^ |
|
|
|
|
|
|
или
6У = |
/ ' (*о) |
< П ) |
|
fix,) |
р " |
||
Из формул (10), (11) можно |
определить, какова |
должна |
|
быть ошибка гх в задании аргумента, чтобы была обеспе чена заранее установленная допустимая ошибка значения функции:
|
/(*о) |
П * о ) 1 |
I /' (*о) |
Пример 18. Ребро куба измерено с помощью миллиметровой линейки и равно I = 10 см. Предельная ошибка г; = dl — 0,05 см.
Определить абсолютную и относительную ошибки объема куба V — I 3 .
|
Р е ш е н и е . |
Согласно выражению |
(10), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
& v =dV |
= | V; І є, |
= |
І З/2 1 d/ = |
3 • 102 |
• 0,05 |
= |
15 |
|
см3. |
|
|
||||||||||||||
|
Согласно |
формуле |
(11), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
V. |
|
|
|
|
З/2 |
|
dl |
= |
• |
з |
0,05 • 100 = |
1,5% |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
V, |
|
|
|
|
Р |
|
|
10 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пример |
19. |
С |
какой |
предельной |
|
ошибкой |
нужно |
измерить |
|||||||||||||||||||
длину ребра |
куба, чтобы |
объем |
имел |
относительную |
|
ошибку |
||||||||||||||||||||||
Sv |
= |
0,01? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Р е ш е н и е : |
V |
= Is ; dV = |
|
3141; |
|
|
= |
l v |
= |
3 |
~ |
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dl |
= |
-L&y |
= |
|
|
|
|
= |
0,003 /. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1. |
Вычислить |
приращение |
и |
дифференциал функции |
у |
= |
х 3 |
-f- Зх |
при- |
|||||||||||||||||
1 = 1 |
и Д л; = |
|
0,01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у — х3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
2. |
Вычислить |
приращение |
и |
дифференциал |
функции |
— Зх2 |
-f- 10 |
|||||||||||||||||||
при |
х = 3, |
Д х = |
0,001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3. |
Вычислить |
дифференциал |
функции |
|
у |
= |
/ х 2 |
+i 1 6 при |
изменении |
х |
||||||||||||||||
, от |
3 |
до 3,2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gt2 |
. 3)У |
|
||||
|
4. |
Найти |
дифференциал |
функций: |
|
1) |
у = |
I'' 1 -4-х2 ; |
2) |
s : |
|
|
||||||||||||||||
= |
2е . |
|
'; |
|
4) у = |
x In (1—Зх); 5) у = |
е |
—Зх |
|
Зх; 6) t/=sin2 3x; 7) |
|
y=ig2JL. |
||||||||||||||||
2 + |
|
""cos |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 — |
1 |
О |
|
|
5. |
Найти |
дифференциал |
второго порядка |
функций: |
1) у = |
—'• |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
7 |
2) г/ = Xs + 6х2 ; 3) г/ = e s i n 4 х |
; 4) у = х 2 In х; 5) г/ = 4 Г |
+ х4 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
6. |
Найти |
приближенное |
значение |
функций: |
1) у = |
х2 + |
х |
при |
|
х = |
3,01; |
|||||||||||||||
2) |
у = |
Зх2 - f 2х — 1 при |
х = |
2,03; 3) |
у = |
х 3 |
— 2х -f-1 при |
х = |
0,02; 4) |
у |
= |
|||||||||||||||||
= |
|
|
х 3 — 5х 2 |
+ |
х — 1 при х = |
2,1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
7. |
При вытекании жидкости из малого отверстия в сосуде скорость |
|||||||||||||||||||||||||
частиц |
жидкости определяется по закону Торичелли: v = У 2gH, |
|
где |
Н — |
||||||||||||||||||||||||
высота |
поверхности над |
отверстием. Какой |
будет |
скорость, |
если |
Н |
изме |
|||||||||||||||||||||
нится |
на d/f? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
8. |
Сторона куба, равная 1 ж, удлинена |
на |
10 |
см. |
Насколько |
|
при |
этом |
||||||||||||||||||
увеличился |
объем |
куба? |
а = |
10 см при нагревании увеличился |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
9. |
К у б |
со |
стороной |
на 0,06 своего |
||||||||||||||||||||||
объема. Найти |
удлинение |
ребра |
|
куба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||