Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3618 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Таким образом, закон физики удалось вывести из общего физического принципа Ферма с помощью решения задачи на экстремум.

	IV. Задача	об изготовлении	конусообразного		фильтра	[12].
Конусообразный фильтр изготовляют				из кружка	фильтроваль
ной	бумаги путем сворачивания		этого	кружка. При этом		кру
говой сектор		АОВ (рис. 109) складывается так, чтобы оставшая
ся	часть АСВ	кружка образовала боковую поверхность				кони

ческой воронки. Определить, при каком радиусе основания воронки последняя будет иметь наибольший объем, если радиус кружка фильтровальной бумаги равен R.

Ри с . 109

Ре ш е н и е . Обозначим через х радиус основания конусо

образной	воронки	(0 < х <	R). При значениях х,	близких к	ну
лю и R,	объем V	фильтра	будет близок к нулю.	Очевидно,	су

ществует некоторое промежуточное значение радиуса, при кото ром объем V конуса достигает своего наибольшего значения.

Так как радиус R кружка бумаги

служит

образующей

ко

нуса,

то

его высота равна У R2 — х2

и объем

воронки

V —

я х2УR2

— х2

или V = ~

—

x*.

Функция

достигает наибольшего

значения

(0,

R) одно

временно

функцией

f(x) =

RH* —

XЕ.

Для

функции

f(x) найдем

экстремальные

точки

из условия,

что

f'(x)

= 0.

Г (х) =

4R2x3

— 6А;5 =

Решая

последнее уравнение,

получим

* i = 0, хг

= — ] / - § - Я> *з = ] / - § -

Из трех экстремальных точек только одна х3 = R у

при

надлежит интервалу (О, R).

Так как значение х, при котором коническая воронка имеет наибольший объем, существует, то, и не исследуя значения х3, можно утверждать, что ему соответствует наибольший объем воронки.

Высота конической		воронки при х =	R	равна

R2	^- R2 = ^=.R.	Максимальный	объем воронки

Vmn	= ~ • 4- R> VR-^R = $f R*.
Заметим	при этом, что так как длина дуги АСВ равна
2ях, то ее	отношение к длине всей окружности искомого

фильтровального кружка бумаги, когда объем воронки наиболь ший, равно:

	x:R=	0,8165.
Следовательно,	дуга АСВ содержит приблизительно 360° X
X 0,8165 град, а дуга АВ		содержит 360° • 0,1835 =	66,06°.
Таким образом,	максимальное выходное значение		угла Ф за

кладываемого сектора АОВ кружка бумаги приблизительйо рав но 66°.

Иногда в химических лабораториях складывают кружок фильтровальной бумаги в коническую воронку, накладывая три его квадрата один на другой (ф = 180°). Этим самым, как не трудно было бы подсчитать, теряют около 45% возможной вме стимости воронки.

V. Максимальная освещенность фотохимических процессов [12]. Процессы сульфирования и хлорирования органических соеди нений часто осуществляются с применением света. Найдем, на какой высоте х над площадкой следует поместить источник све

та, чтобы освещенность была максимальной.	При этом	предпо
лагается, что площадка не перпендикулярна	лучам (рис. ПО).
Р е ш е н и е . Известно, что освещенность	площадки /	обрат

но пропорциональна квадрату расстояния	ее от	источника све
та г и прямо пропорциональна косинусу	угла і	падения свето
вых лучей:

I==—5- cost.

г2

Из рис. ПО находим

	r2 = Va2 + x \ cosi	X
	r2 = Va2 + x \ cosi	Va2 + х2'
		Va2 + х2'
	Следовательно,

N. —s

\ 1

Площадка

Ри с . ПО

т.е. освещенность / является функцией расстояния X.

Для	функции	I^f(x)		найдем	экстремальные точки из
условия, что / ' =		0:	'
		х	~~ (a2 + х 2 ) 5 / 2		~
Решая	последнее	уравнение,		получим

х= — ^ ^ 0 , 7 0 7 а.

У2

Искомая высота х = 0,707 а, так как при этом значении освещенность максимальна. В том, что при х — 0,707 а осве щенность имеет максимум, убеждает нас отрицательный знак второй производной Гхх. Читателю предлагается доказать это самостоятельно.

Решение ряда задач из химии с применением теории экстре мумов читатель может найти в книге [12].

Задачи

Определить

интервалы

убывания

возрастания

функций:

= А 3

ЗА2

ЗА

ЗА2 ;

3) у = х — ех; 4)

</ = А 2 +

А 1 ;

5) У =+

А ІП +А.

1; 2)

f/ = 3x

следующие

функции:

( / = А 2

+ А + 1 ; 2) —i / =

2. Исследовать на экстремум—

= 2х3 — ЗА2 ;

3) у = 2А3 — 6А2 — 18А + 7;

4) і / = А 3 — 6А2 + 12А; 5) г/ =

= - ^ - — 2А2 + З А — 1.

Исследовать

и построить

графики функций: 1) у =

4А

ж3

^-;

Тело

движется

по

закону

s =

5 — 1 3 / + 1 2 Р — t3.

Найти

его

максимальную

скорость в конце

четвертой

секунды.

Зависимость между объемом воды V и температурой

определяется

по формуле V =

1 + 8,38

• 10~6

(t — 4)2 . При

какой температуре объем

воды

будет

наименьшим?

Доказать, что из всех прямоугольников с данным

периметром

наи

большую площадь

имеет

квадрат.

Два источника света расположены на

прямой

на

расстоянии

друг от друга. Найти наименее освещенную точку, если

силы

света

источ

ников

относятся как 27 : 8.

У к а з а н и е .

Освещенность

данной

точки

обратно пропорциональна

квадрату

расстояния ее от источников света.

На странице книги печатный текст должен занимать (вместе

про

межутками между строками) S см2. Ширина полей на странице слева и справа

должна быть равна

а см,

а сверху и снизу — Ъ см. Если

принимать

во вни

мание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

9. Определить	сопротивление	внешней цепи,	при	котором	батарея из
двух последовательно соединенных		аккумуляторов	сможет развить макси
мальную полезную	мощность. Э. д. с. батареи 2,5		в,	внутреннее	сопротив
ление 0,16 ом. Чему равна максимальная полезная			мощность?

10.Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.

11.Путь, пройденный телом, брошенным вертикально вверх с начальной скоростью v0, определяется из равенства

	s=v0t—
Определить наибольшую высоту подъема тела.
12. Требуется изготовить	коническую воронку с	образующей, равной
20 см. Какова должна быть	высота воронки, чтобы	ее объем был наи
больший?

13. Капля, начальная масса которой т0, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь, так что убыль массы пропорциональна вре мени (коэффициент пропорциональности равен k). Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей и какой будет ее величина (сопротивлением воздуха пренебрегаем)?

Гл а в а X I I . ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Спонятием производной теснейшим образом связано другое фундаментальное понятие математического анализа — дифферен циал функции. Прежде чем перейти к выяснению понятия диф ференциала, необходимо несколько дополнить сведения о бес конечно малых величинах.

§91. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН

	Если	опыт	или	наблюдение дают нам несколько величин		а,
Ь,	с,...	одной	и той же природы (вес, площадь, объем и т. д.),
то	первое, что		мы	стараемся сделать, — это узнать, во сколько
раз одна из этих				величин больше или меньше	другой. С этой
целью одну из этих величин, например величину					а, принимают	за

единицу масштаба и, пользуясь ею, измеряют остальные величины

,	b	с
о, с , т .	е. составляют отношения — ,	— , п о к а з ы в а ю щ и е ,

во сколько раз эти величины больше или меньше величины а. Аналогично поступают и тогда, когда рассматривают не сколько бесконечно малых величин а, р\ Y, ••• В этом случае, желая сравнить эти бесконечно малые величины между собой, выбирают одну из них, например а, за основную бесконечно

малую и с нею сравнивают остальные через отношения —^—

,••• Однако эти отношения являются переменными величи нами и для их сравнения вычисляют пределы этих отношений.

( Пусть несколько бесконечно			малых		величин
		а, р\	у,...
одновременно	являются	функциями			одного	и	того		же		аргу
мента х и стремятся к		нулю при стремлении					х	к некоторому
пределу а или к бесконечности.
Определение 1. Если		отношение		~	имеет		конечный			и	от
личный от нуля	предел,	т. е. если		lim — =		А ф		0,	а	следова-

тельно, lim-^-=: -j-

ф О, то бесконечно малые

Р и а

называют

ся бесконечно

малыми

одного

порядка.

Пример 1.

Пусть

а =

х,

(5 =

sin2л:,

где х-+0.

Бесконечно

малые

а и р

одного

порядка, так

как

~,.

2 sin 2х

hm —

= lim —7)

= 2.

х^О

х-+0

Определение 2. Если

отношение

двух

бесконечно

малых

ве

личин

-|-

стремится

к нулю,

т.

е. если

lim - | - = 0

^lim —• —

= со X то бесконечно малая

величина

называется

бесконечно

малой

высшего порядка,

чем

бесконечно

малая

а, а

бесконечно

малая

называется

бесконечно малой

низшего

порядка, чем

бес

конечно малая

р.

Пример 2.

Пусть

а =

х,

Р =

х2 ,

где

х ->0. Бесконечно

ма

лая р есть бесконечно малая высшего порядка, чем бесконечно

малая а, так	как
			lim — =	limx =		0.
			х-+0 х	х^-0
Определение 3.		Две	бесконечно		малые	а и	р называются эк
вивалентными,	если	их	отношение		имеет		пределом единицу,
т. е. если

lim-2- = 1.

Пример 3. Пусть а = х, p = sinx, где х—>-0, а и Р — экви валентные бесконечно малые величины, так как

"	8	, .	s i n *	=	,
l i m — =		lim		=	1.
х^О	а	Х-+.0	Х

§92. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

I.Дифференциал функции как главная часть приращения функции

Пусть функция у = f (х) непрерывна при данных значе ниях х и имеет производную

hm - г 4 - = ух.

Д*->0 А х

Исходя из определения предела переменной (§ 51), имеем

—~	=	ц	4-	а,
Ах		у*	1	'

откуда приращение функции

Д г/ = г/^Дх + аДл:.

Из последнего равенства видно, что приращение функции А.у состоит из суммы, каждое из слагаемых которой есть беско нечно малая величина при Д х —*• 0.

Определим порядок бесконечно малых у' Д х и а Д х по отно шению к бесконечно малой Д х.

у' Ах

l i m ^ T = «*•

Следовательно, бесконечно малые у'х Д х и Д х являются бес конечно малыми одного порядка (опред. 1).

аАх

„

ІШ1 —г

Ах~*0 Д

Следовательно,

а Д х

бесконечно

малая

величина

высшего

порядка,

чем бесконечно

малая

Д х

(опред.

2).

Таким образом,

бесконечно

малое

приращение

дифференци

руемой

функции

Д у может

быть

представлено

в виде

двух

слагаемых: 1) бесконечно малой величины у'х&х

одного поряд

ка

с Дх; 2) бесконечно малой величины

более высокого

порядка,

чем

Д х.

Д у

= у'х Д х +

аД х

Это

означает,

что

в равенстве

при

Дх—»-0 второе слагаемое стремится к нулю «гораздо быстрее»,

чем

первое. Поэтому

первое слаг аемое

у'хА.х принято называть

главной частью приращения функции.

Определение

4. Дифференциал

функции

равен

произведению

производной

функции

на

приращение

ее

аргумента.

Термин

«дифференциал»

происходит

от латинского слова dif

ferentia,

означающего

различие.

Дифференциал

функции

у =

f(x)

обозначается

через

(читается «дэ

игрек»)

и равен

y'xdx =

(х)

dx.

Дифференциал

функции

есть главная

часть приращения

функ

ции.

этом состоит аналитический

смысл

дифференциала.

Связь	между приращением		функции и ее дифференциалом
вытекает	из равенства А у = у'х		А х 4- аД х, откуда
	dy =	Ау	— аД х,
т. е. дифференциал никогда		не	равен приращению функции, а

отличается от него на бесконечно малую более высокого поряд

ка,	чем Дх.
Дифференциал аргумента		dx	равен	его приращению Ах:
	dx	=	Ах.
Это вытекает из того, что		если в		формуле dy = у'хАх при
нять	у — х, получим

dy = dx = х'х А х = Д х.

Итак,	дифференциал функции	равен	произведению	производной
этой	функции на дифференциал	аргумента:
	dy = y'xdx	— f	(х) dx.	(1)

Пользуясь формулой (1) и основными формулами для на хождения производной, можно легко найти дифференциал любой

функции.
Пример 4.		Дана	функция		y =	uv,	где	u — f(x),	У = Ф(Х).
Найти	dy.
Р е ш е н и е ,		dy =	d(uv) — (uv)'xdx			— (vu'x		+ uv'x)dx	=
	=	vu'x dx	4- uv'xdx	=	v (u'x dx)		+ и (v'x dx).
А так	как
			u'xdx =	du,	v'xdx —		dv,

получим

dy = d (uv) = vdu 4- "rfu-

Поэтому действия отыскания производной и дифференциала данной функции носят общее название дифференцирования.

Пример 5. Вычислить значение дифференциала функции у =

— х 3 4- 2х, когда х изменяется от 1 до 1,1.

Р е ш е н и е . Прежде всего находим общее выражение для дифференциала этой функции:

dy = (х3 4- 2x)'xdx = (Зх2 + 2) cfx.

Подставляя значения				dx — kx	= 1Л — 1 ="0,1; х =					1 в послед
нюю формулу,		получаем искомое значение дифференциала
	dy		= (3 • I 2 + 2) • 0,1 =			5	• 0,1 =	0,5.
Пример 6.		Найти		дифференциал		функции у =			In (г* +		1).
Р е ш е н и е ,			dy =	[ln(x2 +	\)Yxdx	=	х2!\|_	[(*2	+	l)'xdx	=
2х	І
=	le+-ldx-
II. Выражение			производной		через	дифференциал функции
			и дифференциал аргумента
Из	формулы		(1) следует, что

Обозначение производной				в виде отношения дифференциалов
оказывается		весьма	важным	в	анализе.		В литературе		наряду
со штриховым обозначением				производной употребляется					обозна
чение	ее в"	виде отношения		дифференциалов. Из выражения (2)
видно,	что	производная	функции		у'х	есть	отношение		дифферен
циала	dy функции,		к дифференциалу			dx	аргумента.	Отношение
это читается так: «дэ игрек				по	дэ	икс». В таком		обозначении

сразу видно, какая переменная является функцией, а какая аргументом.

Пример 7.

Точка

движется так,

что

ее

путь

изменяется

со временем

по

закону s =

- ^ - / 4 — 4t3 +

16 Р.

Найти

закон

скорости.

Р е ш е н и е .

Скорость

равна

производной

от

пути

по

времени:

v = - а г = -яг

(4- ' 4

- w + 1 6 ' 2 ) =

- з г ( - г

(4/3)

-4г(

1&2)

t3 — \2? +

32/.

v " '

Пример 8.

Найти

производную

от

функции

у =

2 х .

ах

1 —2х

Р е ш е н и е . Пользуясь формулами производных, находим

е~2х

, _ v

( 1 _ 2 х ) - ^ — е - 2 х

—

е~2х^—(1—2х)%

{ і _ 2 х

(1 — 2 Л : ) 2

(1—2*) e~~2x~-

(— 2x) +

2e~2x

(— 2) (1 — 2x) e~2x

- f

2e~2x

(1 — 2Л:)2

(1 — 2xf

- =

4xe~2x

(1 —2Л : ) 2 "

§ 93. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Положим, что кривая, изображенная на рис. 111,

является

графиком функции y = f(x).

Точки кривой

М (х;

у) и Мг

(х

+ А х;

у +

А у)

спроектируем

на ось Ох. Пусть касательная

МТ

в точке М (х; у) кривой y =

f(x)

образует

с осью

Ох

угол

а.

Тогда

tg а = у'х.

Из треугольника MTN (рис. 111)

TN = MN • tg а = у'х А х. Но у'хАх = йу^ и TN = dy.

Отрезок TN равен приращению ординаты касательной при переходе от точки касания в точку с абсциссой х + А х.

		Р и с . 111					Р и с .	112
	Таким	образом,	дифференциал		функции		у =	f(x)	геометри
чески представляет			собой	приращение		ординаты			касательной
к	графику	функции	в точке	с абсциссой		х	при переходе от точ
ки	касания	в точку	с абсциссой х + А х.
	Дифференциал функции в данной точке может быть как
меньше ее		приращения (рис. 111),			так	и больше		(рис. 112).

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3618 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ