Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

5. Вычислить значения функции в точках					максимума и ми
нимума */ш а х	и ymin.
Исследования функции на экстремум с помощью второй
производной	можно представить		в виде табл.		2.
						Т а б л и ц а 2
Критические зна	Знак второй произ		Характер критический •			/(*>)
чения аргумента	водной /" (х0 ) в кри			точки		/(*>)
х0	тической точке
Xl	—		точка	максимума		/ (-^Отах
х2	+		точка	минимума
Хз	0	]	Исследование ведется			—
Х\	0	J	по первой производной			—

Пример 3. С помощью второй производной исследовать на максимум и минимум функцию

у = х 3 — 6х2 + 9х — 4.

Р е ш е н и е . 1. у'х=			Зх 2 — 12х +		9.
2.	Зх 2 — 12х +	9 =	0, * i = l ,	х 2	= 3.
3.	f" (х) = (Зх2	— 12х + 9); =		6х — 12.
4.	Определяем	знак	второй производной при найденных кри

тических значениях

аргумента:

П 1 )

- 6 < 0 ,

/"(3) =

6 > 0 .

Следовательно,

при

х х = 1 функция

имеет

максимум,

при

Хг = 3 функция имеет минимум.

5. Находим максимум и минимум функции:

У т а х = / ( 1 ) = 1 3 - 6 - 1 2

+ 9 . 1 - 4 = 0 ,

yf f l i n

= /(3) =

3 3 - 6 - 3 2

+ 9 - 3 - 4

= - 4 .

§ 87. ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ КРИВОЙ

Определение

Кривая y = f(x)

называется

выпуклой

в ин

тервале (а, Ь), если

она

лежит

ниже

касательной,

проведенной

к этой кривой в любой

ее точке

М[х; f(x)},

абсцисса

которой

удовлетворяет

условиям

а < х < b (рис. 102, а).

Определение

Кривая у =

/ (х)

называется

вогнутой

ин

тервале (а, Ь), если

она

лежит

выше

касательной,

прозеденной

к этой кривой в любой

ее точке

М[х;

f{x)],

абсцисса

которой

удовлетворяет

условиям

а < х < b (рис. 102, б).

Достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой

Теорема	5.	1)	Кривая	y=f(x)	выпукла	в интервале	(а, Ь),
если при всех		значениях		аргумента	х этого	интервала	вторая
производная	f" (х)		отрицательна.

2) Кривая

у =

f(x)

вогнута

интервале

(а,

Ь),

если

при

всех

значениях

аргумента

этого

интервала

вторая

производная

f"{x)

положительна.

Не

проводя

строгого

доказательства

этой

теоремы,

ограни

чимся лишь некоторыми наглядными соображениями.

Если

/" (х)

[/'

(х)]'х

0, то угловой коэффициент касательной

tg а = /' (х)

есть функция

убывающая.

Проведя касательные к

графику

функции

у — f (х)

в точках

Мъ

М2, М3,

...,

абсциссы

которых

растут

вместе

номером

точки,

получим,

что

тан

генсы соответствующих

углов

а ъ

а2 ,

а3 ,

. . . , образованных

эти

ми

касательными

положительным

направлением

оси Ох,

бу

дут

удовлетворять

неравенству

tg а х

> tg а2 > tg а 3 > . . .

В этом

случае

видно,

что кривая выпукла (рис. 103, а).

Рассуждая аналогично, получим, что лля вогнутой кривой

Г(*) <

0 (рис. 103, б).

Пример 4.

Кривая

задана уравнением y — -\-xs

— х2.

Опре-

делить:

интервал, в

котором

кривая

выпукла;

интервал,

в котором

кривая

вогнута.

6 Лобоцкая Н. Л.

161

Р е ш е н и е . Находим вторую	производную:
у'х = х*-2х,	у"хх	=	2х-2.
Кривая выпукла при
2х — 2 <		О,

откуда

х < - 1 .

Следовательно, кривая выпукла в интервале (—со, 1). Кривая вогнута при

2х — 2 > О,

откуда

х> 1.

Следовательно, кривая вогнута в интервале (1, + оо).

УІ

§ 88.

ТОЧКА ПЕРЕГИБА

Определение

Точка

непрерывной

кривой,

отделяющая

участок

выпуклости

от

участка

вогнутости

наоборот,

назы

вается точкой

перегиба.

На рис. 104 точка перегиба М[х0;

f(x0)]

отделяет

вогну

тость от

выпуклости.

Теорема

Если

для

функции

y =

f(x)

вторая

производная

f" (х)

в некоторой

точке

х0

обращается

в-нуль

при переходе

через нее меняет свой знак на

обратный, то точка М[х0;

f{x0)]

является

точкой

перегиба

гра

фика

функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пред

положим, что вторая производная

/" (х) в точке х =

х0

(рис.

104)

обращается

нуль

меняет

свой знак при переходе через

точку х = х0, например, с плюса

на

минус.

Тогда

левее

точки

х = х0 вторая производная функ

р и с. Ш4

ции

f" (х)

положительна,

по-

этому график этой функции

при

х0

— є <

х < х0

вогнут;

правее точки

х = х0

вторая

производ

ная I " {х) отрицательна и, следовательно,

график

функции у —

— f (х) при х0 <

х <

х0 +

s выпуклый. В точке х =

х0 кривая у =

/ (х)

меняет

вогнутость

на

выпуклость,

поэтому

точка

М[х0; f(x0)] есть

точка

перегиба

этой

кривой.

Аналогично можно доказать, что если

f" (х)

точке

х = х0

равна нулю и при переходе

через эту

точку

вторая

производ

ная

меняет

знак

минуса

на

плюс,

то

точка

кривой

М[х0;

f(x0)]

есть

точка

перегиба,

отделяющая выпуклость

от

вогну

тости.

Заметим, что в точке перегиба кривая пересекает

касатель

ную,

переходя

одной ее

стороны на

другую

(рис.

104).

Для отыскания точек перегиба кривой можно

пользоваться

следующим

правилом:

3.Находим вторую производную функции.

2.Приравниваем вторую производную нулю \" (х) — 0 и из

этого

условия

находим

значения

х, например,

= х0.

точ

Определяем знак

второй производной в

окрестности

ки

х0.

Если

при

переходе

аргумента

через

точку

х — х0 вторая

производная меняет

знак, то при

х = х0

график

функции

у =

f(x)

имеет

точку

перегиба.

Аналогично

ведется

исследование, если кривая имеет не

одну,

большее

число

точек перегиба.

163

З а м е ч а н и е .		По этому правилу			могут		быть	найдены точки		перегиба
при значениях х = ха,			для которых первая			и вторая			производные обращают-
ся в бесконечность.
Пример 5.	Найти точки			перегиба		кривой			у = х 3 — 4х.
Р е ш е н и е	1.		Находим	вторую		производную:
			* / > З х 2 - 4 ,		у"хх		= 6х.
2. 6х = 0,	х =		0.
3. Г ( — 1) = — 6 < 0 , П 1 ) = 6 > 0 .
При переходе		аргумента		х =	0 вторая			производная		меняет
знак; следовательно, при х = 0 существует									точка перегиба.
			Ут. пер	(х3 — 4х)х=0			=	0.

Кривая у = х3 — 4х имеет перегиб в точке (0; 0).

§89. ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Впредыдущих параграфах было показано, что с помощью производных двух первых порядков можно исследовать общие свойства функции и проследить ход изменения ее графика. При исследовании и построении графика функции удобно пользо ваться следующей последовательностью действий.

1.Найти область определения функции.

2.Установить, обладает ли функция симметрией.

3.Рассмотреть поведение функции в окрестностях точек разрыва.

4.Определить поведение функции в бесконечности.

5.Найти точки пересечения графика функции с осями ко ординат, если это возможно.

6.Найти интервалы возрастания и убывания и точки экст ремума функции.

7.	Определить интервалы выпуклости и вогнутости.
8.	Определить точки	перегиба.
9. Составить сводную таблицу и построить			график.
В	ходе построения графика по мере необходимости можно
получить дополнительно ряд значений функции			при	некоторых
частных значениях аргумента х, т. е. еще ряд			точек	графика.
Разумеется, в процессе		исследования функции	не обязательно

строго придерживаться приведенной схемы, иногда даже удобно изменить порядок действий.

Пример 6.	Построить график	функции	у = х3	—	Зх.
Р е ш е н и е .	Ґ. Функция определена при		всех х,		т. е. область
ее определения — интервал (—оо,		+ со).
2. На концах интервала получаем
lim(x3 — Зх) = — оо,		lim(x3 — Зх) =		оо.

Определим

интервалы

возрастания

и убывания

функции.

Функция возрастает

интервале, если

/' (х) > 0.

В данном слу

чае

(х) = Зх2 — 3 >

если

х2 >

или

— 1 >

х >

Следовательно,

функция

у = х3—

Зх

возрастает

в интерва

лах (

00, —1)

(1,

со).

/' (х) <

Функция убывает

интервале,

если

Зх2

— 3 <

О,

откуда

х2

1 или — 1 <

Следовательно, функция у = х3 — Зх убывает в интервале

( - 1 , 1).

4. Найдем критические точки аргумента и исследуем их ха рактер. Из условия (х) = О находим критические точки:

Зх2 — 3 = О,

откуда

Х\ = — 1, Х2 = 1.

Найдем знак второй производной в критических точках:

Г(х)	=	6х,	П _ ] ) = _ 6 < 0			, /"(!) =	6	> 0 .
Следовательно,			хх =	1 — точка		максимума,	х2	= 1 — точка
минимума.
5. Вычислим ординаты— точек экстремумов, подставив значе
ния хг = — 1,	х2	=	1 в функцию		у =	Xs •— Зх.
У т а х = / ( - ! )	=	( -	I ) 3 -	3 ( - 1) =	2,	у т і п = /(1)	=	1 » - 3 • 1 =

=— 2.

6.Определим промежутки выпуклости и вогнутости.

Кривая выпукла при условии f" (х) = 6х < 0, откуда

х<0.

Следовательно, кривая выпукла в интервале (— со, 0).

Кривая вогнута при	условии /" (х) =	6х	> 0,	откуда
	х>0.
Следовательно, кривая вогнута в интервале				(0, + со).
7. Определим точки	перегиба.
/ " ( * ) = б* = о, * = о, X < ( > < о,			у ; > 0 > о .
Следовательно, при	х = 0, существует точка			перегиба. Орди
ната точки перегиба
Ух. пер = (х3 — Зх)х=0		=	0.

Кривая		у =	Xs — Зх имеет		перегиб		в точке (0; 0).
8. Найдем точки пересечения кривой с осью Ох. Из системы
уравнений
			f	у =	х* —	Зх,
			\у	=	о
находим точки			пересечения:		] / 3 ;		0);	О(0; 0), М2(У~3;	0).
9.	Сведем результаты исследования						в таблицу:
	X		— 1		0		1	— уТ	VY
	/(*)		2		0		— 2	0 '	0
/' м			0	— 3			0
			— 6		0		6
Вывод			максимум	п ерегиб		минимум
График		исследуемой		функции		у = х3		— Зл: приведен	на
рис.	105.

Ри с . 105

§90. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМУМОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

Теория экстремумов имеет большое прикладное значение для решения важных в экономическом отношении задач получения наибольших эффектов при наименьшей затрате материала, тру-

да,	времени	и т .	д., а также для	решения	ряда задач	из обла
сти	физики	и химии.
	I. Определение		сопротивления	цепи при	заданных	условиях.

Установлено, что энергия, отдаваемая электрическим элементом,

определяется

по формуле

E2R

(r +

R)2

где

Е — электродвижущая сила элемента;

г — внутреннее сопро

тивление; R— внешнее сопротивление (рис. 106).

Каким

долж

но быть сопротивление цепи, чтобы

отдаваемая

элементом

энергия

была наибольшей?

W есть

Р е ш е н и е .

Величина

функция

переменного

сопротивле

ния

Так

как по

смыслу физи

ческой

задачи

величина

R >

г >

то

областью

определения

функции

будет

полуинтервал

[0,

+ о о ) .

Р и с .

106

Для

решения

задачи

нужно

найти в полуинтервале [0, - f со) такое значение

при котором

функция

W имеет

наибольшее

значение.

1. Найдем

первую производную W'R

и приравняем ее к нулю:

E2R

r — R

(r +

(r+Rf

Из

последнего

уравнения

видно,

что

точка

экстремума

= г.

3. При переходе R через

значение

производная

меняет

знак с плюса на минус. Значит, R = г является

точкой

макси

мума. Функция в этой точке

имеет максимум. В

силу того, что

в полуинтервале значений

#[0,

оо) функция

имеет

единст

венный максимум при R = г, то при этом значении R

она

бу

дет

наибольшей.

Таким образом, энергия, отдаваемая электрическим

элемен

том, будет наибольшей,

когда

сопротивление

внешней

цепи

равно

внутреннему

сопротивлению г данного

элемента

— г).

II .

Закон

отражения

[36]. Дана прямая

две

точки

и В

по одну сторону от прямой. Найти такую точку Р на этой пря мой, для которой сумма расстояний АР -j- РВ была бы наимень шей (рис. 107).

Р е ш е н и е .

Примем

прямую за

ось Ох; тогда сумма рас

стояний АР + РВ

будет

функцией

положения

точки Р на оси

Ох,

т.

е.

АР + РВ =

/(*).

Из

рис.

107

f{x)

Ух*

+ Л2

— х)2

/г* .

Найдем

точки

экстремума

функции / (х)

из

условия /' (х) =

П*)

Ух*

+ 1г*

V{a — xf

о,

откуда

а — х

V Xі +

V(a

— х)2 +

Как видно

из

рис.

107

cos (90° — а),

а — х

Ух2 + /і2

У (а —х)2 + Л2 = cos (90° — p).

поэтому

cos (90° — а) = cos (90° — (З)

или
				sin а	=	sin p.
Это значит, что обе прямые						АР	и РВ	должны	образовать
с данной прямой равные углы.						В том, что мы при			этом	полу
чаем	действительно			наименьшее		значение		функции	f(x),	убеж
дает	нас	положительный знак			/" (х).		Читателю предлагается до
казать это самостоятельно.
У
				В
	А
	h	\ d-	р	/
		\ d-	р	/
	0	X	р

Решение этой задачи находится в самой тесной связи		с	за
коном отражения света в оптике. Согласно принципу		Ферма,
свет, идущий из одной точки в другую,	всегда распространяет
ся по пути, требующему минимального	времени. Если	на	луч

света наложили условие, чтобы он на своем пути проходил че

рез точку заданной прямой (скажем,	зеркало), то	мы увидим,
что минимальное время прохождения	этого пути	достигается

таким лучом, для которого угол падения равен углу отражения.


III. Закон преломления		света	на	границе		раздела двух				сред
[24]. Предположим,	что граница		раздела		сред		плоская; прове
дем через луч света	плоскость		(рис. 108)			и	выберем		на	луче
точки Лх и Л2 . Согласно принципу				Ферма,		луч		света	из	всех
возможных путей перехода		из точки		Ах	в	точку		А2	выбирает

такой, который он проходит за экстремальное (в данном случае минимальное) время. Поэтому точка М на границе раздела двух

сред mm должна	быть расположена так, чтобы время	прохож
дения расстояния	АХМ + МА2 было минимальным.
Если vx и v2	скорости распространения света в /	и // сре

де соответственно, то, как видно из рис. 108, время есть функ ция положения точки М и зависит от х.

	t(x)	=	А + А	=	YAl±xl		. Vhj +		(a-x)*
Найдем	точки		экстремума		функции		t (х)	из	условия Ґ (х) = 0
	х	_	»! VWV^			v2Vhl-\-{a		— xf	~ '
откуда
					х	а — х
				f>i/i		V.J2
Из рис.	108
			-f- =	sin а ь		a — x
			-f- =	sin а ь		—;— = sin а2
				s m o t j		s m a 2
					Vi		Щ
ИЛИ
					sin	ax	vx
					Sin a2		v2 '

Итак, получаем закон преломления света: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина посто янная, равная отношению скоростей распространения света в обеих средах.

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ