книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

Геометрическим

изображением

функции,

вообще

говоря, яв­

ляется

кривая.

у =

f (х),

Пусть

мы

имеем

функцию

заданную

на

отрезке

[а,Ь) (рис.

95). С

изменением

аргумента

х

от

а

до

b

значения

У

с

Е

д/

\

\

і

і

1

\

0

і

і

d

1

е Ъ

а

с

\

і

хг

6

а:

\

і

/

V 1

У

и

Р и с .

95

Р и с .

96

функции

y = f{x)B

отдельных интервалах

возрастают

(а,с),

(d,e)

и

убывают (с, d),

(е, Ь). В

точках х =

с,

х =

е

функция

меня­

ет

возрастание

на

убывание,

в

точке

x — d

функция

меняет

убывание

на

возрастание.

I. Возрастание и убывание функции в промежутке

Определение 1.

Функция

y = f(x)

называется

возрастающей

в

данном

интервале

(а, Ь), если для любых

двух

точек

хх и х2

этого интервала

из

неравенства

хх

<

х2

следует

неравенство

/ ( x i ) < f ( x 2 )

(рис.

96).

Иными словами, функция убывает на

данном интервале,

если на

этом

интервале приращение

аргумента А х и соответ­

ствующее

ему

приращение функции

А у

разных знаков (при

этом х и

x-j-Д х принадлежат рассматриваемому интервалу).

О *а X/

хг

b

Теорема

1.

Если

дифференцируемая

функция

y = f(x)

воз­

растает

на

данном

интервале

(а, Ь), то

в любой

точке

х

это­

го интервала

f

(х) >

0. Если дифференцируемая функция

y=f(x)

убывает

на

данном

интервале

(а, Ъ), то

в любой

точке

х

это­

го интервала

f

(х) <

0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть функция у = f(х)

возрастает на

дадим ей

приращение

А х.

Приращение

функции А у для воз­

растающей

функции

одного

знака

с Ах,

с л е д о в а т е л ь н о , ^ > 0 .

Переходя

к

пределу

при

Д х - > 0 ,

получим

lim

- г ^

= /' (х) > 0.

Доказательство теоремы для убывающей функции аналогично.

С геометрической точки зрения теорема означает, что в каж­

дой

точке

графика возрастающей функции касательная образу­

ет

острый

угол с осью

Ох или параллельна оси Ох, а в каждой

ме

точки

х = О,

для

которой

у'х = 0. Таким

образом, касатель­

ная

к кубической

параболе

в

точке х —• 0 параллельна

оси

Ох,

а в остальных точках составляет ост-рый угол с осью

Ох.

Интервалы, на которых функция возрастает (убывает), на­

зываются

интервалами

монотонности

функции.

У

JX/

VО

с

1Р и с .

98

Р и с . 99

Если

производная

f(х)

функции

y =

f(x)

непрерывна,

то

разделять

интервалы

монотонности

могут

лишь

точки,

в

ко­

торых f

(х) = 0, так как перемена знака

непрерывной

функции

возможна

лишь при переходе производной функции

через

нуль.

Заметим, что не каждая точка,

в которой f

(х) =

0

разде­

ляет интервалы монотонности. Например, функции

у = х2

и

у=

= Xs имеют производную, равную

нулю

в

точке х = 0.

Эта

точка х = 0 для

у — х2 разделяет интервалы монотонности (рис.

99),

а для у — х3

не разделяет интервалы монотонности (рис. 98).

§ 84. ПРАВИЛО ИССЛЕДОВАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ

ФУНКЦИЙ НА ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ

1. По

первой

производной

находим точки

из

области

опре­

деления

функции, в которых производная функции равна нулю

/' (х). = 0. Эти точки

разбивают область

определения

функции

y =

f(x)

наинтервалы,

на

каждом

из

которых

производная

функции

f (х) сохраняет

знак.

2. Исследуем знак /' (х)

на

каждом

из этих

интервалов.

Если

на рассматриваемом

интервале / ' ( х ) > 0 ,

то это

интер­

вал

возрастания

функции,

если же

/ ' ( * ) <

0,

то

это

интервал

убывания

функции.

У = х

1

2

Y X

•

Р е ш е н и е . Функция у =

х

~х2 определена для всех

Производная

функции у'х = (х —

х2)^. = 1 — х

существу­

ет на

этом

интервале.

у 'х = 0:

Найдем

значения

х,

при

которых

производная

1—х

=

0, х = 1.

Следовательно,

область

определения

функции

разбивается

на

два

интервала (— со, 1)

и (1,

+

оо).

Функция

возрастает,

если

у

'ХУ0,

1 — х >

0,

х <

1.

Функция убывает, если у'х<^0,

1—х

< 0,

х

>

1.

Итак, в

интервале

(—оо,

1)

функция

у = х

і- Xі возрастает, винтер-

вале (1,

+

оо) функция

у =

х — - 4 - х 2

убывает.

§ 85. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ

Пусть

кривая

ACDEB

(рис.

95)

является

графиком

функ­

ции

y =

f(x).

Как

видно из

рис. 95,

при

х =

с и х = е

функ­

ция переходит от возрастания к убыванию. При х =

d

функция

переходит от убывания к возрастанию.

Ордината функции в точке х = с,

f (с) больше ординаты

лю­

бых

точек,

достаточно

близких

к

точке

х =

с и находящихся

от

нее

как

слева,

так

и

справа.

Ордината

функции в

точке

х =

е,

f (е)

обладает

тем же свойством.

Такое значение аргумента принято называть точкор.

максимума,

а соответствующее

значение

функции — максимумом

функции.

Для

функции,

изображенной

на

рис. 95, х = с

и

х =

е

яв­

ляются

точками

максимума.

Ордината

функции в точке х = d,

f(d)

меньше

ординат

всех

точек, достаточно близких к точке

х = d и находящихся

от

нее

как слева, так и справа.

точкой

мини­

Такое' значение аргумента принято называть

мума,

а значение

функции

при

этом

значении

аргумента — ми­

нимумом

функции.

рис. 95, х — d — точка

Для

функции,

изображенной

на

ми­

Определение

3.

Точка

х = х0

называется

точкой

максимума

функции

у = f {х),

если существует

такая окрестность

точки

х0,

что

для

всех х

(х Ф х0)

этой окрестности

выполняется

нера­

венство

f(Xo)>f(x).

Определение

4.

Точка

х — х0

называется

точкой

минимума

функции

у = / (х),

если существует

такая окрестность

точки

х0,

что

для

всех

х(х

Ф х0)

этой

окрестности

выполняется

нера­

венство

У

\ / X

/

/

/ Л

Г-А

>

ос

О

с

Р и с .

100

х = х3 —• точки

максимума, х = х$,

х = xt — точки минимума;

минимум

функции в точке х = xi

больше максимума функции

в точке

X =

хх.

Последнее не противоречит определению максимума и мини­

мума функции, так как в определении

их сравниваются значе­

ния функции в точке и некоторой ее окрестности.

Часто такие максимум и минимум

называют

локальными.

Термины «максимум» и «минимум» объединяются одним тер­

мином «экстремум».

Слово «extremum»

(экстремум)

в переводе с

латинского

означает

«крайнее»

в

смысле

крайнее

значение.

Теорема 2.

Если дифференцируемая

функция y = f(x)

имеет

в

точке х = х0

экстремум,

то f

(х0)

= 0.

у = f(x) имеет

в

точ­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

функция

ке

х = х0 максимум. Тогда

А у < 0 при

достаточно

малом

А х

и 4 т < ° П Р И Д х > ° > 4 f ч > 0 п р и

А х < ° -

Переходя к

пределу при

А х —*• 0, получим

l i m - ^ -

СО ( А х > 0 ) , а

при/Л х < 0* l i m ^

> 0

ИЛИ

f W < O n f w > o ,

откуда

f W

= o.

'

Например, для функции у =

х3

производная

у'х = Зх2

и из ус­

ловия Зх2 = 0 в точке

х — 0 функция должна

иметь экстремум.

На самом деле функция у = х3

при х =

0

экстремума

не име­

ет (рис.

98).

-

Поэтому равенство

нулю

производной

в

точках

экстремума

является

необходимым,

но не

достаточным

условием

экстрему­

ма дифференцируемой

функции.

Теорема 3.

Если

производная

f

(х)

функции

у =

f (х)

при

не­

котором

значении

аргумента

х =

х0

равна

нулю

и

при

перехо­

де аргумента

через

это

значение

меняет

знак с

плюса

на

ми­

нус,

то

при х = х0

функция

имеет максимум;

если

при

перехо­

де аргумента

через

это значение

производная

меняет

знак

с

минуса

на плюс,

то

при

х — х0

функция

имеет

минимум.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

/' {х0) =

О, причем-/' (х) >

0

при

х0 — в <

х < х0

и

f

(х)<

О при

х0 < х < х0 + s,

где

є — доста­

точно малое положительное число. По условию

теоремы

функ­

ция

f(x)

возрастает

в

интервале

(х0 — в, х0)

и убывает

в

интер­

вале

(х0,

х0 +

е). Следовательно, в

непосредственной

близости

к

значению

X = х0

имеем:

Ш*о) >[/(*) .

е с л и > < л ; 0 )

I / С*о) <

/ (*).

если

х[>

х0,

т. е. при

х — х0

функция

имеет

максимум.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Этот вывод наглядно подтверждает рис. 100, на

котором

представлен график функции у =

f(x).

В точках

х

=

хх

и х =

х3

угол наклона касательной для х < хх

и х < х3

в

малой окрест­

ности точек х — хх

и х — х3

острый, угловой коэффициент

/'(*)>

> 0; для

х >

Хх и х >

х3

угол

наклона

касательной

тупой,

уг­

ловой

коэффициент

f

(х) <

0.

х — хх

и х = х3

Производная

при переходе

через

точки

ме­

няет

знак с плюса

на

минус, следовательно,

в

точках

х = хг

и

х = х3

функция

имеет

максимум.

х = х2

Подобным

образом

можно

доказать,

что

в

точках

и

х =

* 4

функция

имеет

минимум.

в

нуль при некотором

значе­

Если

производная,

обращаясь

нии

аргумента

х = а,

не

меняет

знака

при

переходе

через

это

значение, то в этом случае функция

при

х = а

не

имеет

ни

максимума, ни

минимума.

Те

значения

аргумента,

при которых

производная

f

(х)

функ­

ции

у =

f(x)

обращается

в нуль,

называются

критическими

зна­

чениями

аргумента.

Критическими значениями

аргумента явля­

ются

все

действительные корни уравнения

П*) =

о.

Исходя из изложенного выше, можно дать

следующую

[по­

следовательность

исследования

функций на максимум

и

мини­

мум

с помощью первой производной.

1. Найти

производную

f

(х)

данной

функции

y—f(x).

Г(х)

= 0.

В случае, когда все корни

уравнения

мнимые,

функция

экстремума не имеет.

3. Расположить критические

значения аргумента в

возрас­

тающем порядке.

Определить знаки производной для значений аргументов,

расположенных левее и правее

и близких к

найденным крити­

ческим.

Если при этом знак производной меняется с плюса

на ми­

ное значение аргумента является точкой минимума.

Если

ж е знак

производной не меняется,

то нет

ни

макси­

мума, ни минимума.

4. Вычислить значения функции в точках максимума и ми­

нимума,

т. е. максимум

г/ш а х и минимум

ут1п

функции.

Схему правила

нахождения максимума и минимума функции

с помощью первой

производной

можно изобразить в табл 1.

Т а б л и ц а 1

Критиче­

Знаки производной /' (х) при

Характер критической

ские зна­

чения

переходе через критическую

точки

аргумента

точку X =

х0

Хо

X < Хь

X = Хо

X > х0

Х

Х

—

0

+

точка

минимума

/

(*l)min

Хч

+

0

—

точка

максимума

f

(*2)max

ни

максимума, ни

Х3

—

0

—

—

минимума

+

0

+

»

—

Пример 2. Исследовать на максимум

и минимум

функцию

у = ^--2х*

+

Зх+1.

знак с плюса на минус,

следовательно,

точка

хх — 1

является

точкой

максимума.

х2

= 3

В окрестности

критической

точки

у ; = 2 = - к о ;

у ; = 4

= з > о .

Производная функции при переходе через точку х2 =

3 меняет

знак с минуса на плюс,

следовательно,

точка

х2 =

3

является

точкой

минимума данной

функции.

4. Определяем

максимум

и

минимум

функции,

подставляя

в функцию

X3

2х2

+

Зх +

1 вместо

аргумента х

значения

«/ = -jj

Хх = 1

и

х2

= 3.

i W

=

f ( l ) = - ^ - 2 -

12

+

3- 1 +

1 = 4 ;

^ "

=

/(3) =

= | ^ — 2 • 32 + 3 • 3 + 1 = 1.

О сс,Ч хг=3

ее

Пусть при х = х0

производная

функции

y =

f(x)

обращает­

ся в нуль, т. е. f (х0)

= О, а вторая производная f" (х) существует

и непрерывна в некоторой окрестности точки

х0.

Теорема

4.

Пусть

f (х0) = 0, тогда при

х = х0

функция

име­

ет максимум,

если f" (х0) <

0, и

минимум,

если

f" (х0)

>

0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Докажем

первую

часть

теоремы.

Если

/'(х„) =

0,

а /"(дг0 )<0

и

непрерывна

в

некоторой

окрест­

ности

точки

х = х0,

то, очевидно,

найдется

некоторый

малый

отрезок с точкой х = х0

внутри,

во

всех

точках которого

вто­

рая производная f" (х) будет отрицательна.

Так

как

f" (х)

есть

первая

производная

от

первой

производной:

f" (х) = If (х)]',

то

из условия

[/' (х)]'х <

0 следует,

что

/' (х)

убывает

на

отрезке,

содержащем

точку

х =

х0.

Но

f

(х0)

=

0,

следовательно,

на

этом

отрезке

при х < х0- имеем

/' (х) >

0,

а

при

х >

х0

имеем

/' (х)

<

0, т. е.

производная

/' (х)

при

переходе

через

точку

х = х0

меняет

знак

с

плюса

на

минус,

а

это

значит, что

в

точке х0 функция / {X) имеет максимум.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Если в критической

точке /" (х0)

=

0,

то

в

этой

точке

мо­

мума, ни минимума. В этом случае исследование нужно

вести

по первой производной.

Правило

исследования

функции на экстремум с помощью

второй производной

1. Найти производную

f (х) данной функции y = f(x).

2. Найти критические

значения аргумента из условия

/'(*) =

0.

3. Найти вторую

производную

f" (х) данной функции.

4. Во вторую производную последовательно подставить кри­

тические

значения аргумента.

Если

при данном

критическом

значении аргумента

вторая