книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

Умножим числитель и знаменатель в правой

части

равенст-

Ды

ва на -тг:

/

, Ди\

.

Аи .

Аи

,

.

. Аи

А у

« ( -

+ Т ) -

Т

- . - ;

м

д 7 ~

Д" А

- cos^ u + ^ J

д „

д^ .

Так

как функция

и

дифференцируема

по х,

то

Д«—•()

при Ах—»0.

2

А

•

V

А У

" I -

/

г Д " \

1-

$ І П Д І

,•

Д М

4.

і/ =

1ігпд7 =

hmcos « + -5-

-lim

.ton д 7 =

Д*->-0

Д и - 0

\

/

Д*-*0

= COS

и-1-й'

или .

i/^ =

(smu)'x

=

cosu • ы^..

'

(16)

§ 77. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема. Если

для функции y~f(x)

существует

обратная

функция

х = ф (у), которая в рассматриваемой

точке

у имеет

производную

ф'(у),

отличную

от нуля, то

в

соответствующей

точке х

функция

у — f(x)

имеет

производную f'{x),

равную

1

Иначе

говоря,

производные

от взаимно

обратных

функций

обратны

по

величине.

(arc sin и)' =

и

.

(18)

х

у'=

(arc sin Ъх)'х =

,

, 1

trАЪх)'

=

Y

5

У

1 — (5х) 2

v

' х

\—2Ъх2'

§ 79. ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Если неявная функция задана в

форме F(x, у), то для вычисления про­

изводной у'

нужно просто приравнять производные

от левой и

правой час­

тей заданного

соотношения,

имея

при этом

в

виду,

что

у есть

функция от

х, обращающая

это соотношение в тождество.

х2

и2

Пример

11.

Найти

производную

неявной

функции

4- р - = 1.

Р е ш е н и е . Продифференцируем

обе части выражения по х:

/х2\'

іу2\'

2х

2у у'

откуда

У

Ь-Х

•

а2у

§ 80. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

ФУНКЦИЙ

1.

( С ) > 0 .

2.

3. Если у = /(«),

а = ф(х),

то ^

=

4.

(ия)^ =

п ип~1

• и'х;

(х")'х

=

п х л _ 1 . .

5.

(и +

у —ш)^

= «

^ +

^

- .

6. ( ио)^ =

ш'х

+

исГ.

7. ( c . a ) ; = c . « ; ;

( 4 - . « ) ' = ^ . . а ; .

9. (а'% =

аи-и'хЛг\а.

10.

{еи)'х =

еи-и'х;

(е% =

ех.

11.

( l o g , t t »

_£loge e.

12.

(lgu)'

= - ! . M g e - - ; - 0 , 4 3 4 3 ;

( l g * » ^-0,4343.

\ ° ' X

и

ft

із. ( і п и ) > - Ь

(in x>;=4--

14.

(sin «); =

cos и • u'x;

(sin x)'x =

cos де.

15.

(cosit); =

—sina-u;,

(cos x); = —sin x.

16.

(tga); =

( f e ^ ^ - T o W

18.

(arcsina); =

y

=

| ;

(arc sinx)'x =

19.

(arc cos и); =

-

y==j

(arc cos x); -

-

y

=

^

2

-

20.

(arc tg u)'x =

(arc tg x); = 1

l

^2 •

+

21.

(arc ctg a); =

-JLj-;

( a r c c t g x ) ^

j

-

^

r

-

Пример

12.

Найти

производную

функции

у =. х 2 е - 5 І і Л .

Р е ш е н и е .

По

формулам дифференцирования

6,

4, 10,

14,

находим

+ x2e~sinlx

• (—sin2*)!, = 2xe~s[n'x +

x 2 e _ s i n 2 j c

(—2 sin x)(sin x)'x

=

= 2x<?~sin!*—2x2 sin x cos xe~%Wx=

xe~sin2 *(2 — x sin 2x).

Так как вторая производная в свою

очередь

есть

функция

от х, то ее можно дифференцировать.

Производная второй производной называется третьей про-

изводной

и обозначается

уххх,

f"'{x),

Уххх =

{ Ухх)х

=

[Г (*)]*•

rfj

=

dx[djp)-

Подобно этому производная п—1

производной

(п — целое

число) называется n-й производной и обозначается упхх

/(п)(х)>

dny

dx" '

ys...-

(

%

« * )

=

[ f-•»<*)];.

£

-

i

(

^

f

Например,

для

функции

у =

хъ, у'х

=

5х4 ;

у"хх

=

20х3 ,

уххх

=

= 60х2

и

т. д.

II. Механический смысл второй производной

Переменное

движение

характеризуется

не

только

мгновен­

ной скоростью, но и ускорением.

Среднее ускорение равно отношению приращения

скорости

Av к промежутку

времени

At:

а

= lim аРП

= lim Av

мгн —1 Ш 1 "ср

— »»' д/.

х = t — sin і".

Определить мгновенные скорость и ускорение

точки.

Р е ш е н и е .

Мгновенная

скорость

точки

і > м г н =

x't

= (t

— sin

t)'t —

1 — COS t.

Мгновенное

ускорение

й м г н =

v't = x"tt

= (1 — cost)'t = sin

t.

§ 82. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

I. Звуковые волны. Область среды, в которой

распространя­

ются

механические

волны, называется звуковым

полем.

В

про­

стейшем случае частицы в звуковом

поле колеблются

относи­

тельно своего положения равновесия по синусоидальному

за­

кону

x =

.4sina>/

с

амплитудой

А

и круговой частотой

со.

Уравнение

х = A sin &t позволяет

определить

мгновенное

поло­

жение частицы

х

относительно

положения

равновесия

как

функцию времени t.

х — A sin a>t по

Однократное

дифференцирование

уравнения

времени дает формулу

мгновенной

скорости

движения

частиц

в звуковой

волне:

имгн = х'(

— (A sin a>t)'t = A cos Ы •

=

А со cos (of.

Дифференцирование

уравнения

и м г н = А (о cos со^ по

времени

дает

формулу для

определения

мгновенного

ускорения

колеб­

лющейся частицы:

ймгн = v't

= (А ю t o

s

at)'t

—- —А <в sin u>t • ((ot)'t

=

—Лео2 sin (Jit.

II. Аварийное

катапультирование

пилоте

[30]. При

расчете

устройства для аварийного катапультирования

пилота

из реак­

тивного самолета

необходимо

знать,

какие

перегрузки

будет

испытывать при

этом

организм

человека.

Здесь

понадобятся

точные сведения

о скорости и ускорении

его

движения

в раз­

ные моменты после выброса и другие

параметры.

Предположим,

что вся картина

катапультированного

полета

зафиксирована

путем

фотографирования

пути

с отметками вре­

мени. Оказалось, что закон изменения пути s со временем

мож­

но выразить эмпирической формулой:

s = 3,7/3

+

ln/ — 19/ .

Пример 14. Определить, с какой

скоростью v

будет

лететь

катапультированный пилот через три секунды

после выброса.

Р е ш е н и е .

Согласно определению

производной,

мгновенная

скорость

fмг„ =

=

(3,7г3 +

Ы

-

Ш ) ; =

П , 1 / 2 +

-\

19.

у мг„, = 3 =(11,1 1 2 + - \

19)f e 3 =11,1-3» + - |

19 = 81,2 (м/сек).

vurR = u;=rcos(— 0,00305/3 +

0,056/2 + 0,159/) • (0,009Ш2 +

+ 0,112/ +0,159),

v « ™ i = 0

= 0,159г.

цирования:

1)

у =

V~x~;

2) ( / = — = - ;

3)

у =

~ г ;

4 ) i / =

tgx;

5)

г / =

=

У 1

+

2х;

6)

(/ = cos

х.

|/

X

Л

2. Найти производные функций, пользуясь

таблицей

основных

формул

дифференцирования (§ 80): 1) </=х*+Зх2 — 6;

2)«/ =

З * - 4 + 2 х - 3

+ х ~ 2

+

х - " 1 ;

3)

s =

«„* +

4) у =

Ї - | = - +

4

=

-

- ^ f -

5) г/=

(Зх +

2)(х»4-4*-1);

г

ух3

2у

х

у

2

6)

j / =

( l

+

4 x 3 ) ( l + 2 x 2 ) ;

7) » =-JT;

8)

у =

1=^£;

9)

< / =

l

n

*

~ 2

;

Щ

у

^

;

П

)

у

-

£

-

;

12)

</ =

X 2 c t g x ;

13)

у а

^

-

^

—

,

1

4

)

у я я

еХ2Х

=

15)

у == sin 4х;

16)#

=

cos3 2x;

17)

у =

ctga

4х;

18)

у

=

4tg2 3x;

19)

i/ =

x 2 l n ( l

— 2х);

20)

г / = 2 e - ^ 2 + I ;

21)

г/ =

Xі

In (1 — Зх);

22)

у =

=

2 cos

(я/6 —Зх);

23)

у =

— ~ ,

24)

у =

arc

sin х -f-

^

1 — х 2 ;

25)

г/ =»

,

COS JCX

X

1

1

=

V1

— х 2

cos x;

26)

у =

+

arc

arc tg —

- 5 - In (x2 +

a2 ); 27) у ==агс ctg-т^-

28)

x 2

+

г/2

— о 2

=

0;

29)

x

=

a

*

V v,

3.

Уравнение

движения точки

имеет

вид

s = 4 + 2t + t2

+ 0 . 2Л

2 сек

сек;

Найти:

1)

положения

точки

в

моменты

времени

^

=

и

*2 =

5

4.

Зависимость

между

количеством

х

вещества,

получаемого

в

некото­

рой химической реакции, и временем t выражается

уравнением

х

=

А

(1

~{-е~м).

Определить

скорость

реакции.

5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону

s =

1 +

t +

t2,

где s — путь, м; t — время, сек.

Определить кинетическую энергию

Е д = - ^ -

тела через 5 сек после начала

движения.

6.

Количество

тепла

Q,

дж,

необходимого для

нагревания

1 кг воды

от 0°С,

определяется

формулой:

Q =

t +

0,00002/2 +

О.ООООООЗ/3.

Вычислить

теплоемкость воды

для: 1) / =

30°С;

2) / = 1 0 0 ° С .

7.

Количество

электричества,

протекшего

через

проводник,

начиная

с

момента времени t =

0, дается

формулой

Q =

2 ^ + 3 ^

+ 1.

Найти

ток

в конце

пятой

секунды.

8.

Смещение в

ответ

на

одиночное

мышечное

сокращение

(единичный

у — te

_е_

импульс) описывается уравнением

Релея

2 ,

/ > 0.

Найти скорость

и ускорение в зависимости от

времени

[21].

9.

Показать, что линия у — х^ +

5х —12

во всех своих

точках

накло­

нена к оси Ох под острым углом.

10.

В

каких точках линии

у =

х3 -f- х — 2

касательная

к

ней

параллель­

на прямой

у = Ах — 1.