Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3614 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

3. Отношение приращения функции к приращению аргу мента:

	Ay =	Зх 2 Лх +		Зх(Лх)2 + (Ах)з =			З х 2	х А	х	+	д
	Ах			Ах
4.	Производная			функции
у' =	lim	^	= lim [Зх 2 +3х Ах +			(Ах)2 ] = l i m Зх2				+	lim(3x Ах) —
				— lim (Ах)2		=	Зх2 .
Итак,					д-о
Итак,
					У'х = (х%	=	3х*.
Однако			применение		общего	правила		дифференцирования
к функциям			различного		вида — процесс трудоемкий и сложный.
Поэтому		из общего правила дифференцирования выводят ряд
формул дифференцирования, полагая, что								все	рассматриваемые
функции		имеют производную при данном значении аргумента х.

§ 67. ПРОИЗВОДНАЯ ПОСТОЯННОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть		дана	функция
				у =	/(*) = С,
где С — постоянная				величина. Найдем производную этой функ
ции,	следуя общему			правилу дифференцирования.
1.	г/ +	Ду =	/(х + Ах) =		г / - С .
2.	Ау = у — у=			0.
	Ах	Ах
4.	у'х=\\т		^ =	lim0 =	0.
		Дх->-0 АХ		Дл:-*0
Следовательно,
				( Q ; = O .		( І )
Производная			постоянной		величины равна нулю.	Например,
( 5 ) > 0 .

§ 68. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Найдем

производную

данной

функции

по общему

правилу

дифферента рован ия.

1. у + Ау = х + Дх.

Ду = х + Дх — у = х + Дх — х = Дх.

1 .

Дх

= lim ^ = lim 1 = 1.

Следовательно,

х > 1 .

(2)

Производная

аргумента

по самому аргументу

равна

единице,

§ 69. ПРОИЗВОДНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ

СУММЫ ^ФУНКЦИЙ

Пусть дана

функция

у = и + v — w, где

и, v,

w — некото

рые функции

от х. Найдем у'х,

следуя

общему

правилу

диф

ференцирования.

1. Дадим аргументу х приращение

Дх; тогда каждая

функ

ция ы, v, w получит,

соответственно, приращение Ди, Av,

и вследствие

этого

функция

получит

некоторое

прираще

ние Ду.

у + Ду = (и + Д") + (р 4- Av) — (w + Aw).

Ду =

(и -+- Ди) + (У + ДУ) — (о> +

Аа*) — у — u + Au + v +

- f

До — да — Дда — и — г;

о> = Ди -|- Дt; — Ддо.

2 Ду _ Аи ,Av

'Ах

Ах

Ах'

Ду

і-

Д«

у„ = lim-т-^ =

lim

-.—h

bm і

l i m ^ — = u

4 - У — w

{,X-.QAX

K^QAX

A X

^ 0 A X

X ^

Следовательно,

y'x=(u

+ v — w)'x

= u'x+v'x

— wx

ИЛИ

(u + v—w)x=ux+vx

— w'x.

(3)

.131

Производная		алгебраической суммы функций						равна		алгебраи
ческой сумме	производных		этих	функций.			у =	х +
Пример 2. Найти производную функции									8.
Р е ш е н и е .		Применив	последовательно				формулы			(3), (2) и
(1), получим
	у; = (* + 8 ) > х ; + 8 > і + о = і .
§ 70. ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ФУНКЦИИ
Пусть дана функция у = uv,				где	и	и у — некоторые					функ
ции от х. Следуя общему			правилу		дифференцирования,						найдем
1. Дадим	аргументу х		приращение			Дх,	тогда		и	получит
приращение	Дм, v — приращение			АУ и у — приращение							Ау.

у + Ау = (и + Дм) (v -г Av).

2. Ау = (и + A") (v + Av) — у = uv + v Аи + ы Av -j-Ды- At;—

—== оДы - f мДу + Дм- Av.

Ау_

У Дм + и

Аы • АУ

^ Аи

^Av'

^ ^

Ах~~

Ах

Ах'

4. у

Д У

і- / Ам , АУ , . АУ

lim

== lim

и-т—г « г

Аы--г—

дх+оАх

д ^ о \

Ах

Дх

Ах

= lim (У ~

\ +

lim /

Ах)

+ lim

( Д м ^

д ^ о \

Ах /

д ^ о \

Дх/

Функции и и у от Ах не зависят и при Дх—>-0 сохраняют свои значения неизменными, lim Дм = 0, так как функция м диф-<

АХ-0

ференцируема, следовательно, она непрерывна. Для у'х можно записать:

,. Ди .	,. АУ
у = y l i m - T — г - м и т - т —
д ^ о А х	д ^ о А х

Следовательно,

или

, , .	А	, .	Д У	, .	, . П		,
г lim Дм - urn -г- =				УМ, + uv	^	4-0-v.
д ^ о		д^оАх		*	^
y'x=VU'x		+	UV'x

(uv)' == УМ' + uv'

(4)

Производная произведения двух функций равна сумме произ ведений второй функции на производную первой и первой функ ции на производную второй функции.

Пример 3.

Найти производную

функции

у — (х + 2) (х — 8).

Р е ш е н и е .

По

формуле (4)

найдем

у'х

(х~8)(х

2); +

(х +

(х-8)'х.

Применяя формулы (3), (2), (1), получим

У'х =

(х-Ъ){х'х+

2х) + (х+2)(х'х

+ 8 ; )

( х - 8 ) ( 1

0 ) +

+ (* +

2)(1 — 0) =

2х — 6,

у'х =

2х — 6.

С л е д с т в и е .

Производная

произведения

постоянной

величи

ны

на

функцию

раена

произведению

постоянной

величины на

производную

этой

функции.

{Си)1

= С и"

или

( - ! « ) '

±и'.

(5)

v С ~

Формулы

(5)

рекомендуем читателю

доказать

самостоятельно.

§ 71. ПРОИЗВОДНАЯ ЧАСТНОГО ДВУХ ФУНКЦИЙ

Найти производную функции у = ~ ,

где

v — функции

от

аргумента

х,

v ф

Найдем у'х,

следуя

общему

правилу

дифференцирования.

1. Дадим аргументу х приращение Ах, тогда и получит при

ращение

Аи,

v — приращение Av

и у —^приращение

Ау,

11 +

Аи

у +

Ду

v +

Аи =

" +А ц

и + Аи

vAu

—

uAv

v +

У ~~

o-f До

v(v

+ Av)

Ду

Аи

Ах

AXJ

v(v +

Av)

Аи

у'

VAic

—

UAx

lim -гУ =

lim — * ,

AX^oAx

v(v + Av)

Функция и и v от Ах не			зависят и при Ах—»0		сохраняют
свои значения неизменными,			lim Av = 0, так как		функция v
дифференцируема,			Ах^О
дифференцируема,	следовательно,			она непрерывна.
Для у' можно	написать:
	,.	Ли	,.	Av
	iuim-7		и lim-r-
	Ах^0ЛХ			Ах^0&х
	v2	+ v\imAv		vi-\-v-0
		д*-о
Следовательно,
			vux	— ш\
		Ух ~		75

или

(6)

Производная частного (дроби) двух функций ровна дроби, зна менатель которой равен квадрату данного знаменателя, а чис литель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производ ную знаменателя.

Пример 4. Найти производную функции

У4х— 1

Р е ш е н и е . Эта

функция

не

имеет

производной лишь

при

Применяя

формулы (6), (3),

(2),

(1),

найдем

, _

, 5х

+ 6 |'

(4х— l)(5x +

6); — (5x +

6)(4x— 1);

Ух -

[4х—1}х--}

( 4

х _

1)2

(4х — 1)5 —(5х + 6)4

(Ах— I ) 2

~~ ( 4 х — I ) 2 '

§ 72. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

(ФУНКЦИИ

ОТ ФУНКЦИИ)

Функция

от функции называется

сложной

функцией

(§

43)

y =

f(u),

u =

q>(x). В этой цепочке равенств и есть аргумент

функции

и в свою

очередь

функция от аргумента х. Исклю

чая

букву

и,

можно

выразить

у, как функцию аргумента х:

У =

/[ф (*)]•

Найдем		производную	от	функции		у по	переменной х.
Дадим независимой переменной х приращение Ах; тогда пе
ременная и		получит приращение Аи, а функция у — прираще
ние	А у.
	При этом Аи—>0, когда Дх-*0,				в силу того, что существу
ют	производные у'и и и'х,		следовательно,			они	непрерывны.
	Возьмем	тождество
			А ^ _	Ау	Аи
			Ах ~	Аи	Ах

и найдем предел обеих частей при Ах—>0:

Аи

Ау

Аи

l i m - p

= lim-r^-- нгЛд—

Ах-*0

Длг-ч-0 Д "

Ах^оАХ

или

Аи

hm~

= ит~

• lim-r-,

ЬХ-І-ОАХ

AU^.QAU

ЬХ^ОАХ

откуда

получим

и'

у' • и'

ИЛИ

у'х

№-Ч>'(х).

(7)

Формула

(7)

есть

так

называемое цепное правило, по кото

рому производная

сложной

функции

равна произведению

произ

водной

по промежуточной

переменной на

производную

промежу

точной

переменной

по

независимой

переменной.

§ 73. ПРОИЗВОДНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Пусть дана

функция

y = \ogau,

где

ы = ф(х).

Найдем ее

производную,

следуя

общему

правилу

дифференцирования.

1. Дадим

аргументу

приращение

Ах, тогда

получит

приращение

Аи,

у — приращение

Ау.

2. Ау•= logfl(« +

Да) — у =

l o g > +

Аи) — log0 «

и 4- Аи

Аи

= l o f t , — =

b g ^ l + -

3. ^ =

JL .ioJi + ^ \ .

Ах

& а \

и j

Умножив

правую

часть

на

получим

д^,

Аи

Ах

Аи

или

Ау

Аи

Аи\

у'

= lim-r^ =

Аы

/ , ,

Аи\

Дя-сД*

Длг^О

Учитывая, что Ди-*0 при

Ах-+0,

можно

записать

и' =

Ау

Аи

1ші

*r:

l i m x

- - l i m .

11 Т—

11111 д—

• 11111

или

и'

• lim

Ди-*0

Положим, — = — ,

тогда ~

при

Ди-*0 п-*со

Аи

— • l o g j

1 +

—

и'. • lim

i~nloga[

Я->-00

l +

-L)n=e

Но

limf

(§

57),

тогда

У'Х = К- i r l o g " e

или

При и = х

В случае, когда а = 10, формулы (8) и (9) принимают вид

( l g " ) > - ? l g e		(Ю)
{\gxyx =	±\ge,
где l g e ^ 0,4343...
В случае, когда а = е, формулы	(8) и (9) принимают	вид:

(In и)' = —1пе

ИЛИ

их

'х и

так как In е = 1 и

			(in*); = 4-.						(И)
Пример 5. Найти производную функции у =							Inx -f- lg3x +		3.
Р е ш е н и е .		Применяя		формулы	(3),' (11),		(10), (1),	(5),	по
лучим
ух =	(in х +	ig зх + з); = (in х)'х			+ ( i g зх); + з; = 4- +
		+ - ^ i g e + o = 4 ^ ( i + i g e ) .
	§ 74. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ
Дана	функция у =		и",	где и = ср (х) и		п — любое		действи
тельное	число.					у = ип:
Прологарифмируем			обе	части равенства		у = ип:

In у = In ип

или

In и' = п In ы.

Продифференцировав последнее равенство, получим (In у)'х = п (In и)'х

или

откуда

у'х

= п-у--і

п-—'

и'х

= п

П — 1

ИЛИ

(ия)'х

= п-1Р-*

>и'х'

(12)

Производная

степенной

функции

равна

произведению

показа

теля степени

на функцию

в степени на

единицу

меньшей,

ум

ноженную на производную

функции.

При и = х

получим

(хп)'х

= п-хп~1 .

(13)

Пример

Найти производную

функции у =

(2х +

I)3 -

Р е ш е н и е .

По

формуле (12)

у'х=3

(2Л- +

1)2(2л- +

1); =

3 (2х +

I) 2 • 2 =

6 (2х +

I) 2 .

§ 75. ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

Найдем

производную

у'х

для

показательной функции

у =

аи,

где и = ф (х).

Возьмем

натуральный

логарифм

от обеих частей

равенства

In у = In аи или

In у =

и In а.

Продифференцируем обе части равенств a In у = и In а: (\пу)'х = (и In а);,

и'х\па,

отк уда

или

аа -и'х-In а.

(14)

Производная показательной функции ном) основании равна произведению этой ную показателя степени, умноженному рифм основания.

При и = х формула (14) имеет вид

при любом (постоян функции на производ на натуральный лога

Ух = (а% = а* ш а-

При а = е формула (14)	имеет	вид
У'х=(е% = еаи'хЫе
или
и ;	=	(is)

При и = х формула (1-5) имеет вид

(ех)'х = ех.

Производная функции ех равна самой функции. Пример 7. Найти производную функции


		у = ех' —			2е~х.
Р е ш е н и е . По		формулам		(3),	(15),		(13),	находим
у'х = (ех° -	2е~\	= (ехУх -		(2е~х)'х		=	ех\х%	- 2е~х(-х)'х		=
		=	Зх2ех* +			2е~х.
§ 76. ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Найдем производную			функции			у =	sin и,	где	и = ф (х), по
общему правилу дифференцирования.
1. Дадим аргументу х приращение Ах,								тогда	и	получит
приращение	Да, а у — приращение					Ау.

у + Ay = sin (и + Дм).

2. Ay = sin (и + Аи) — и = sin (и + Аи) — sin и.

По формуле разности синусов двух углов

л	п	I	, Дм \	. Дм
Ау = 2 cos [и			-Ь "2"	s i n T " '
_ /	, Ди\	. Ли
з Ay 2 c o s ( » + i r ) s i n T .
Д х	.ДА

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3614 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ