Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Иначе можно сказать, что функция непрерывна, если она изменяется постепенно, т. е. если малые изменения аргумента влекут за собой малые изменения функции. Эта особенность выражает общую характерную черту многих явлений и процес сов. Так, например, мы считаем, что стержень при нагревании удлиняется непрерывно, рост организма происходит непрерывно,

температура воздуха	изменяется непрерывно.
Определение 3. Если		некоторая		функция в точке		х = х0 не
является непрерывной,	то		эта точка	называется	точкой разры
ва, а функция — разрывной			в данной	точке.
Например, при рассмотрении графика функции У=~-						(рис. 70)
в окрестности точки	х =	0	видим, что он как бы		«разрывается»

на отдельные кривые. Данная функция в точке х = 0 не опре делена и предела не имеет.

Таким образом, в	точке	х = 0	функция у = ~		имеет	раз
рыв.
Функция у = tg х	также	разрывна в точках х			= (2&+1) я/2
(6 = 0, ± 1 , ± 2 , ± 3 , . . . ) .
Функция г/ — ctg Л: разрывна			в	точках x = fert(& = 0,		± 1,
± 2 , . . . ) (рис. 76, 77)1 .
§ 62. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Методы дифференциального исчисления применяются при
изучении непрерывно	изменяющихся			процессов.
Исследование.того или иного явления можно считать удов
летворительным, если	установлены:			1) закон, выражающий об

щий ход изменения явления, и 2) как протекает явление в каж дый произвольно взятый момент и какими величинами оно определяется.

При изучении тех или иных процессов и явлений в первую очередь возникает задача определения скорости этих процессов. Решение этой задачи приводит к понятию производной. В этом

можно убедиться, рассмотрев	некоторые	простые	явления.
I . Скорость прямолинейного	движения.	Пусть тело		движется
прямолинейно по известному закону s =		f(t).	At
Если движение было равномерным и		за время		тело	про

шло путь As, то скорость v будет равна отношению приращения пути As к приращению времени At:

1 Более полное изложение вопроса о разрывности функций читатель мо жет найти в курсах математического анализа [3], [36].

Для переменного движения отношение ^ | определяет величи ну средней скорости:

				As
Но	знание		средней скорости не дает полной				картины		дви
жения,	так	как		различным видам движения		может		соответст
вовать	одна	и	та	же средняя скорость.	На	рис.	90	приведены
различные графики пути в интервале времени At: АСВ,									АСХВ,
АС}В,	АС3В,		для	которых средняя скорость		одна и та же.
Таким образом, средняя скорость не может отразить особен
ностей	движения тела и дать представление					об истинной			ско
рости	его движения в момент времени				t.
Однако по мере уменьшения промежутка времени								средняя
скорость будет характеризовать движение						более	точно.		При

•At

t* &t

Р и с .

At —»-0 средняя

скорость

будет

стремиться

своему

пределу,

представляющему

скорость

движения

тела

данный

момент

времени,

или мгновенную

скорость. Следовательно,

f(t+M)

—

f(t)

At^O

At-+0al

At-±0

a c

Мгновенная

скорость

есть

предел

отношения

приращения

пути

приращению

времени, когда

приращение

времени стре

мится

нулю.

Пример 3. Найдем мгновенную скорость свободно падающе

го тела.

Р е ш е н и е .

Закон

пути

свободно

падающего

тела:

В	момент		времени / путь s —		^ м о м	е н т времени t + A t
путь	s +	As =	(t - f At)2,	откуда
As =	\g(t	+	At)2— s = ±g(t+	At)2-	\gt2 =	gtAt + ±g(AO2 .

Мгновенная скорость

II . Скорость химической реакции. Обозначим через х коли чество вещества, образовавшегося при химической реакции за промежуток времени t. Очевидно, х есть функция времени t, x = f(t). Если t получает приращение At, то х получает при ращение АЛ: И средняя скорость химической реакции выразится отношением приращения функции к приращению аргумента:

Мгновенная скорость химической реакции определится пределом средней скорости при Дґ—>-0.

Ах

Приведенные примеры показывают, что мгновенная скорость протекания физических, химических и других процессов нахо дится как предел отношения приращения функции к прираще нию аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

	Задача	нахождения скорости процессов						исторически привела
к введению в математику понятия производной функции.
	Пусть	дана		функция	у =	f (х),	определенная		в	некотором
промежутке			и	непрерывная.		Дадим	аргументу		х	приращение
Ах, тогда функция у получит						приращение		Ау, т. е. при значе
нии	аргумента			х
					У = f (х),
при	значении		аргумента х + Ах
				г/ +	Дг/ =	/(х + А х ) .

Приращение функции Ау = / (х + Ах) — / (х). Составим от ношение приращения функции к приращению аргумента. Это отношение показывает, во сколько раз в данном интервале (х, х + Ах) приращение функции Ау больше приращения аргумента Ах; другими словами, оно дает среднюю скорость изменения функции у относительно аргумента х в интервале (х, х + Ах),

Переходя к пределу ~ при Дх —*0 и предполагая, что со ответствующий предельный переход имеет смысл, получим ве личину, представляющую скорость изменения функции у отно

сительно

аргумента

самой

точке

х,

т. е. lim

Этот Пре

д а в Л *

дел и носит название производной

от

функции

(или

просто

производной функции у) по аргументу

х.

Определение

4. Производной

функции

y =

f(x)

при

данном

значении

аргумента

х называется

предел

отношения

приращения

функции

Ку к

приращению аргумента

Дх,

когда

приращение

аргумента

стремится

нулю.

Производную

функции

y = f{x)

принято

обозначать следую

щими символами: у'х

(читается

«игрек

штрих

по

икс»),

/' (х)

(«эф штрих от икс»), у' («игрек штрих»), ^ | («дэ игрек по дэ

икс»), у («игрек с точкой»). Пользуясь обозначением производ ной, можно написать:

у'

у(Х)

l i m ^ = lim

;(* +

* * ) - / ( * ) ;

( 3 )

З а м е ч а н и е .

процессе

нахождения

предела

(3)

величина

х рассмат

ривается

как

постоянная.

Исходя

из

определения

производной,

можно

сказать.

1. Мгновенная скорость прямолинейного движения есть про

изводная

от пути s по времени t:

f M r H

= s't

f'(t).

Мгновенная

скорость

химической

реакции

есть

производ

ная

от

функции

по

аргументу t:

Ямгн = X'f

f'(t).

Таким

образом,

можно

сделать

вывод: производная

от

функ

ции

по

аргументу

есть

мгновенная

скорость

изменения

функции

у =

f(x):

У'х =

/ ' ( * ) =

У мгн.

(4)

этом

состоит

физический

(в

том

числе

механический

смысл

производной.

Процесс

нахождения производной

называется

дифференцирова

нием,

поэтому

выражение

«продифференцировать

функцию»

рав

носильно

выражению

«.найти производную

функции».


Пример 4.	Дана		функция			у =	х2 .	Найти	ее производную:
1) в произвольной		точке		х;	2)	при	х =	3.
Р е ш е н и е .	1)	При		значении			аргумента х		у — х2, при зна
чении аргумента х -\- Ах				у - f Ау =			(х -f- Ах)2 , откуда
Д г/ = (х + Дх)2	— у = х2			+	2х Дх +		(Дх)2 — х2		= 2х Дх + (Дх)2 .
Величина отношения
	*У =		Ах		+	Ах	= 2х 4- Ах
	Ах				'			'

Производная от данной функции в любой точке х:

у' = l i m ^ = lim (2х + Дх) = lim 2х -f- lim Дх = 2х.

2 ) П р и х = 3 у ; = 3 = 2-3 = 6.

§ 63. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Производная от функции у = / (х) имеет очень простой и наглядный геометрический смысл, связанный с понятием каса тельной к линии.

Возьмем произвольную кривую и на ней фиксированную точку М (рис. 91). Через любую точку М' кривой и точку М проведем секущую ММ'. Если точка М' неограниченно прибли-

Р и с . 91

жается по кривой к точке М(М' -> М), то секущая ММ' за нимает различные положения и стремится к некоторому пре

дельному		положению МТ.			Прямая	МТ называется касательной
к	кривой	в точке		М.
	Определение		5.	Касательной к		данной непрерывной	кривой
в	данной	точке	М	(точке	касания)	называется предельное	поло-


жение секущей ММ',		когда точка М'		неограниченно			приближа
ется по кривой к точке			М.
Если	секущая ММ'		при М'-+.М	не	имеет	предельного по
ложения,	то говорят,	что касательной		к	данной	линии в точке

М не существует. Для определения геометрического смысла производной решим следующую задачу.

Задача.	По уравнению			непрерывной	линии	y — f(x)		найти
уравнение	касательной	к	ней	в данной	точке М	(х;	у),	предпо
лагая, что	касательная		существует.
Функция y — f(x)		в	прямоугольной		системе	координат изоб
ражается	кривой (рис.		92).	Возьмем на кривой		точку		М(х; у)
и дадим аргументу х		приращение Ах.			По значению		аргумента

х + Ах получаем новое значение функции у + Ay = f (х + Ах), соответствующее точке Мх(х - f Ах; у + Ау) на кривой. Проведем секущую ММХ и обозначим угол наклона секущей к оси Ох через ф. Из рис. 92


	При Дх —>- 0		точка Мх перемещается вдоль кривой,							прибли
жаясь к точке М. Секущая ММг						поворачивается вокруг точки
М	и величина		угла ср изменяется. При приближении							секущей
ММх к касательной МТ				угол <р приближается					к углу а	и, сле
довательно, tga			равен	угловому		коэффициенту			касательной:
			* =	tg a =	lim ^		= /'(*).
	Итак,	угловой	коэффициент		касательной			к	графику	функции
в	данной	точке	равен значению		ее		производной		в точке	касания.
В	этом	и состоит геометрический					смысл	производной.

Если воспользоваться уравнением пучка прямых, то уравне

ние

касательной

имеет

вид:

У — Уо = У'х.ях,(х

— Хо),

(5)

где

х0,

у 0

— координаты

точки

касания; х,

у — текущие коор

динаты

касательной.

Уравнение

нормали

к кривой (т. е. перпендикуляра

каса

тельной в

точке

касания) имеет

вид:

У — Уо —

1—{х — х0).

(6)

Ух~х,

Пример

5. Найти уравнение касательной

и нормали

кри

вой

у =

хг

в точке

М(\;

2).

Р е ш е н и е .

Угловой

коэффициент

касательной

кривой

у = Xі

любой

точке

равен производной:

Ух = (ХХ

2 х -

точке М(1; 2)

y'xs=l

= 2 - 1

= 2.

Уравнение

касательной, согласно

(5),

у — 2 =

2 (х — 1) или

2х — у — 0.

Уравнение

нормали,

согласно (6),

у — 2 =

— ~

(х — 1)

или

х +

2у — 5 =

§ 64.

ГРАФИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

[12]

Геометрический

смысл производной дает возможность по гра

фику

функции

у =

f(x)

проследить

за

наклоном

касательной

нему,

т.

е.

построить

график

производной,

по

графику

производной установить скорость изменения данного процесса. Пусть верхняя кривая, изображенная на рис. 93, есть гра фик функции г/ = /(*). Приведем в точках с абсциссами х = 1, 2, 3, 4, . . . касательные к этой кривой и рассмотрим треуголь

ники оа'а, оф'Ь, о2с'с						и т. д.
	Производные в точках о; ог;								о2 ; .. . будут	равны	величинам
отрезков			а'а;	Ь'Ь; с'с;		...,		так как стороны		оа'\ оф'; огс'\ ...
равны		единице. Если				на	нижнем графике нанести точки, абс
циссы		которых			равны	0,	1,	2,	3, . . . . а ординатами		являются
длины		отрезков			а'а, Ь'Ь,		с'с, ...		(производные функции в точках
о,	о1 (	о2 ,	. . . ) ,	и	соединить			их	плавной кривой, то эта кривая
и	будет		графиком производной						данной функции, или		графиком

скорости		данного		процесса.	При этом следует иметь в виду,
что	ординаты		второй кривой могут оказаться отрицательными,
так	как	если	угол	наклона	касательной будет тупой, то произ

водная отрицательна.

Производная кривая

Ри с . 93

Кграфическому отысканию производной прибегают тогда, когда аналитическое выражение для функции неизвестно и она задается графически (например, самопишущими приборами). По

добные случаи очень часто встречаются в биологии и медицине.

§65. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ НЕПРЕРЫВНОСТЬЮ

ИДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬЮ ФУНКЦИИ

По определению функция y—f(x) непрерывна, если HmAz/=0 .

Ах->0

Функция называется дифференцируемой, если она имеет про изводную. Между этими основными понятиями математического

анализа	имеется	простая	связь.
Теорема. Если		функция дифференцируема,				то эта функция
является	непрерывной.			y =	f(x) есть
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть	y =	f(x) есть	дифференцируе
мая функция. По		определению		предела
			АУ
			АХ	VX	'

откуда

Ay = у'хАх -f- а Ах,

.где а — бесконечно малая величина.

Найдем предел Ау при Ах—»-0:

lim Ay

lim (у'Ах - f а Ах) =

lim у' • lim Дх +

lim а • lim Ах ==

Л * - 0

Ах-+о

Ах->0

Ах^О

Д х - 0

Длг-0

^ • 0

0 =

Следовательно, функция

y =

f(x)

непрерывна

(§

61).

Обратное

утверждение

неверно.

Непрерывная

функция

может

\у

не

иметь

производной.

Примером

непрерывной

функции,

не

имеющей

произ

водной в

одной точке,

является

функция

у=\х\

(рис

94). Эта

функция

непрерывна

при

х =

но не является

дифферен

цируемой

для

этого

значения

х,

так как

на

графике

функции

точке

х =

не

существует

касательной.

С л е д с т в и е .

Если

функция

разрывна

некоторой

точке,

то она

не

имеет

производной

в этой

точке.

Задачи

Найти приращение

функции

у =

Зх +

1 при

любом

д: и Дх =

0 Д

Д #

Найти

приращение

площади

круга

радиусом

R •= 12

см

при

= 0,8

см.

Дана

функция

/ (л:) =

Зх2 — 4. Найти

отношение

приращения

при

изменении

аргумента

от хг

до

х2

На

параболе у — х2

взяты

точки

А (2; у{)

В (3; у2).

Найти

угловой

коэффициент

хорды

AB.

Дана

функция

у =

cos х. Найти

приращение

Ау

при

я / 3

и Дх =

я/15 .

Г л а в а X . ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

§ 66. ОБЩЕЕ ПРАВИЛО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Процесс дифференцирования					функции		или	нахождения ее
производной распадается на следующие ступени.
1. Нахождение наращенного значения функции. Если в точ
ке х функция y =		f(x),	то в	точке х-\-Ах			функция			уАу—
f(x +	Ax).
2.	Нахождение	приращения			функции.		Для	этого		от нара
щенного значения		функции у 4- Ау надо вычесть							у =	f (х):
		Ay	= f(x	+	Ax)-f(x).
3. Составление отношения приращения функции к прира
щению аргумента:
		Ay^f(x		+	Ax) —	f(x)
		Ах			Ах
4.	Нахождение	предела		данного		отношения			при	условии,
что Ах—>0, т. е. нахождение				производной			функции:

Следует иметь в виду, что в четвертом пункте пользуются теоремами о пределах, причем х является постоянной, a AJC — переменной величиной.


Пример 1. Пользуясь			данной		схемой, найти				производную
функции у = х3.		точке х							у =	х3. В точ
Р е ш е н и е .	1. В			значение			функции
ке х 4- Ах значение		функции		у 4- Ау		=	(х +	Ах)3.
2. Приращение функции
Ау = (х + Ах)3	— у = х3		+	ЗА;2	АХ +	3x(Axf		+ (Ах)3		— х3 =
	=	Зх2 АХ +		Зх(Ах)2		4-	(Ах)3.

5 Лобоцкая Н. Л.

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ