Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

293

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2) сокращаем числитель и знаменатель на их общий мно житель (в данном случае на х — 4).

lim(jc —2) = limx — lim2 = 4 — 2 = 2.

Х-*4

X-*4

X-+I

Пример 16. Найти lim o*2 j~I .

Р е ш е н и е . При непосредственном применении теорем о пре делах получим:

, .	OX	-f*	'	х-* оо	оо
lim • Ъх2		+	2	~ lim(3x2 + 2)~	оо

Запись — никакого числа не выражает. Отношение двух бесконечно больших величин называют неопределенностью вида

а	процесс нахождения предела такого	отношения—раскры
тием	неопределенности вида

В этих случаях числитель и знаменатель делят на наивыс шую степень аргумента в знаменателе (в данном случае на х2).

	6 *2	-и	7	fij-	7
Тогда lim e^d^7	lim х	х	=	lim	г
	X2	"1~ X 2			X 2
				-6 + 0	2
Н т / з 4 - — ^	Н т З + П т Д -			3

Во многих случаях при вычислении пределов могут быть полезны замечательные пределы, рассматривающиеся в следую щих параграфах.

§ 56. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Предел

отношения

синуса

угла

к углу

при

стремлении

угла

к нулю

равен единице:

lim

s i n *

*-*о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

окружность

единичного

ра

диуса

(рис.

85)

угол

х,

больший

нуля, но

меньший

гс/2 (0 <

х <

ir/2).

Из

рис. 85

следует,

что

площадь

д М О Л

меньше площади сектора МОА и меньше площади Д СО А.

Площадь		Д			МОЛ=			—ОЛ • MB =		• 1 • sin х =	-^-sin х.
Площадь			сектора					М ) Л — 1	ОА-АМ = -^-1-х		= \ х .
								2
Площадь		Д				СОЛ -		-І-ОЛ • 'ЛС
Подставив			значения					площадей	в
последнее	неравенство,							получим
1	•	-	,	s	1	- х	^	і ,
- к - sin А		-		s		- х	<	-s-tg л;
ИЛИ											В Л
											В Л
	sin л; <					л: <	tg X.			Рис.	85

Разделив все члены неравенства на sinx, получим

или

Последнее

sin (—х) _

—X

1	< sin X	<	1
			COS X
, .	sin A:	W
1 >		> COS X.

неравенство верно и для отрицательных х, так как

—sin х _	sin X	cos(—x)=cosx; lim 1		= 1 ;	l i m c o s x = l .
—X	X	cos(—x)=cosx; lim 1		= 1 ;	l i m c o s x = l .
—X	X		X-+0		x-*Q
			X-+0		x-*Q
		У 1	„ since

•~<jr

—"^2 Г

Jjr^'

P и с. 86

Поэтому переменная sin х заключена между двумя вели

чинами, имеющими один и тот же предел, равный 1. На ос новании теоремы 7 о пределах (§ 54)

lim.	1.
*->-0 ,	X

График функции у= sinx изображен на рис. 86.

Пример 17. Найти lim	J l
х-*0	X

Р е ш е н и е .

Принимая

во внимание, что

t g x =

lim cos х— 1,

получим

jc-i-O

lim J l £ = 1 i m f

sin*

1 U l i m f

s i n * U l i m

x-+0

* - 0 \ C O S X

X I

* - 0 \

COS At

лг-О

COS X

x h m

1 • 1 = 1.

§ 57. ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ. ЧИСЛО е

Выражение

1 +

-І-j

для

целошслгнных

п ->• оо имеет сво

им

пределом

иррациональное

число е — 2,71828..v

т .

е.

l i m (

1 +

± ¥

= е

= 2,718...

(3)

п->я>\

Чагто

этот

прэдел

называется

вторым

замечательным пре

делом. Мы не приводим здесь доказательства свойства (3), но для

пояснения его составим таблицу значений выражения

1 -j- • 1

при возрастающем

п:

100

1000...

( • + 4 - ) "

2,25

2,37

2,44

2,59

2,705

2,717...

Отсюда

видно,

что

по

мере

возрастания п

выражение

1 +

— j

также

возрастает,

все

время замедляясь в росте.

В полных

курсах

математического

анализа доказывается,

что

и функция

у =

1 -f- JLj

при

непрерывном

изменении

аргу

мента

или

от

— со

до

-г-°о также

имеет

сволм

пред елом

число

е:

limf 1 +

_L)X

е .

лг-ооД

X j

Число е носит название числа Непера и имеет большое зна чение в математике (см. § 58).

§ 58. НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ


ние	Функция	вида у — \oga х,	где а > 0 и а Ф 1 носит назва
	логарифмической. Из ее определения			следует,	что ау = х,
т.	е. логарифмическая функция обратна			показательной функ
ции. Всякому		основанию а	соответствует своя		собственная

система логарифмов. Таким образом, систем логарифмов может

быть

бесчисленное

множество,

но чаще всего в математике

используется две: система

логарифмов

Бригса, или

десятичных

логарифмов

(в этой

системе

за основание

взято

число

10, т. е.

а = 1 0 .

Десятичные

логарифмы

обозначаются

так:

y=\gx),

и система

логарифмов

Непера,

называемых натуральными

или

гиперболическими

логарифмами

(в

этой

системе

за

основание

взято

число е =

2,71828...),

Если еу

= х, то у называют натуральным

логарифмом

числа х

и записывают как у — \пх

вместо

у =

logex.

Графики функций

y = \nxny

= \gx

приведены на рис. 87.

При

первом

знакомстве

теорией

логарифмов

кажется

вполне

естественным

взять

за основание

системы

логарифмов

число

10.

Эта

естественность

обусловливается

прежде

всего

нашей привычкой выражать целые числа в десятичной системе

счисления и пользоваться			десятичными		дробями. Однако	более
глубокое знакомство	с	логарифмами и логарифмическими				функ-
					Угілх
/
^				~Щ	*
О /ft	2 e	J	4 S	6 7 осв	Э Ю JT,
			Р и с .	87

циями обнаруживает, что принятие числа 10 за основание яв ляется случайным обстоятельством и влечет за собой в даль нейшем такое усложнение формул, которое не может быть оправдано ни теоретическими, ни даже практическими сообра жениями.

Уже в элементах дифференциального исчисления наиболее целесообразно принять за основание логарифмов не число 10, а число е. Формулы при этом получают наиболее простой вид.

Кроме того, многие процессы в окружающей нас жизни выражаются показательной функцией, в основании которой лежит Неперово число е.

Функцию вида		у = ех	иногда		называют	экспоненциальной,			а
ее график — экспонентой.			Употребляется			также		обозначение
ех = ехр х.
Приведем примеры процессов,					законы которых			выражаются
экспоненциальной		функцией.
Зависимость изменения давления от изменения высоты вы
ражается экспоненциальной				функцией:
				—mgh
				kT
		Ph	=	РоЄ
где ph— давление на высоте h; р0					— давление на высоте h =				0;
т — масса	газа; g — ускорение силы тяжести;						k — постоянная
Больцмана;	Т — абсолютная			температура.
Электропроводность полупроводников увеличивается с по
вышением	температуры по экспоненциальному						закону:
				_ ь
					т
			а = ае		,

где а — электропроводность полупроводника при температуре Т;

аи Ъ — постоянные, различные для разных полупроводников. Закон химической реакции первого порядка выражается

экспоненциальной функцией:

			Q =		Q0e-kt>
где	Q0 — начальное		количество			вещества,	участвующего в
реакции;		t — время;	k — постоянная			реакции.
	Закон	радиоактивного распада выражается					также экспонен
циальной		функцией:
			N =		N0e~xt,
где	JV0 — начальное		количество		нераспавшегося вещества; X —
постоянная радиоактивного				распада; t — время.
	Изменение длины клетки /				с течением времени t происхо
дит	по экспоненциальному			закону		[5]:

I = 10е<«-№,

где 10 — длина клетки в начале роста; а и р — константы, ха рактеризующие процессы синтеза и распада.

Из приведенных примеров видно, какую важную роль иг рает число е в математическом анализе и его приложениях.

§ 59. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДЕСЯТИЧНЫМИ И НАТУРАЛЬНЫМИ

				ЛОГАРИФМАМИ
Натуральный			логарифм		числа		можно найти	по	таблицам
десятичных	логарифмов,			так		как	существует простой способ
перехода от десятичных логарифмов к натуральным.
Пусть	у =	\пх	или	еу	=	х.	Прологарифмировав		левую и
правую части		последнего		равенства по основанию				10,	получим
					y\ge	=	\gx.
Учитывая,	что у — In х,			можно записать:

\nx-\ge = \gx.

Величина lge = 0,4343 носит название модуля перехода от натуральных логарифмов к десятичным и обозначается буквой М. Таким образом,

Igx — Minx,

lnx = -^-\gx,

где -L = 2,303.

Пример 18. In 2 = 2,303 -lg 2 = 2,303-0,3010 =^ 0,693.

Задачи

Найти

пределы.

1. Jim (2х2

4^2

5х 4- 2

7х +

6).

2. lim

х 2

- 8 х 4 - 1 2

. . .

z 2 - l

—=

=—г-н--

lim

— —

_ ,.

2 х 2 4 - 3 х — 2

„ ,.

х2 — 3х — 5

„ , „ . . . „ .

lim

х-у-

12х*

Ъх +

1xT„W

2x+6-

_ ..

Ух—1

—

5 — х — 1 2 х 2

7 - ] l m

х - 5

•

8 -

3 ^ + 2 7 + 9 '

„ ,. 3 — Vx + 7

1 Л

Эх3 4- х — 2

10.

l i m -

11.

і-

+"5

, •

,о

—

V ^ x

— V~2

h m - j

1 —

, „

1 2 '

l ' m

х - f Зх2

x-^o

13.lim sin Зл:

X-*o x

15.lim'sin 5x

17.lim. 3 sin 2x — 2 sin x

X-*Q

14.l i msin"*

16.lim 1 — cos 2x

X-*0 3x2

	18. lim	sin X
	18. lim	9— 3
	X^oYx+	9— 3

Р а з д е л З

ОС Н О В Ы Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Г О

ИС Ч И С Л Е Н И Я

Г л а в а IX . ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

В основе дифференциального исчисления лежит понятие предела переменной величины, с помощью которого определяют ся непрерывность функции, ее производная и дифференциал.

§ 60. ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ФУНКЦИИ

Разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента. Если первое значение аргумента обо значить через х,, а второе через х2, то разность

x2—-xl== Ах

(1)

носит название приращения аргумента. Д есть знак приращения,

поэтому Ах

надо рассматривать как

единый символ,

но не как

произведение

на

х.

х2 =

хг-\- Ах,

Из

соотношения

(1)

т. е.

значение

аргумента

х2 можно

определить через

XI и его

же приращение

Ах.

при

Разность

между

двумя значениями

функции называется

ращением

функции.

y2 — yi =

f{x2)

— f{x1)

= Ay

Af.

(2)

Из

соотношения

(2)

находим

/ (х2)

— f (хх)

Ау,

т. е.

значение

функции

точке

х = х2

равно

значению

функции

точке

х = хх

вместе с

приращением

функции в точке

X = хх.

Приращение аргумента и приращение функции могут иметь

как

положительный, так и

отрицательный знак.

Геометрическое изображение приращения аргумента и функ

ции

дано

на рис.

88.

Как

видно

из рис. 88,

геометрически

приращение аргумента Ах изображается приращением абсциссы


точки	графика		функции		у	=	f(x),	а приращение			функций —
приращением		ординаты		этой			точки.			у =	f(x) удобно
Вычисление			приращения			любой		функции
проводить в следующем					порядке:
1.	Даем	аргументу			х	функции		у =	f(x)	приращение Ах
и получаем точку х +				Ах.					х +	Ах:
2.	Находим		значение		функции в точке

y + Ay = f(x + Ax).

X JU+AX X

Р и с .

Из

значения

функции

у + Ау

вычитаем

ее

значение

в точке

х,

равное

у — f (х)

находим

приращение

функции:

Д«/ =

/ ( х + Д х )

—г/ = /(х + Д х ) — / ( х ) .

Пример 1. Определить приращение аргумента и приращение

функции

у=х3,

если аргумент

изменился

от

х х = — 1

до

х 2 = 2 .

Р е ш е н и е .

Сначала

решим задачу в общем виде. Для

этого

возьмем

две

точки

абсциссами

х и

х - f Ах,

получим

два зна

чения

функции:

точке х значение функции у =

х3;

точке

х-\-Ах

значение

функции у +

Ау =

(х

Ах)3.

Откуда

Ау

(х +

Дх)3 _

у =

х 3

Зх2

Дх +

Зх (Ах)2

(Дх)3

— х 3

Зх2

Дх +

Зх (Дх)2

(Дх)3 .

Дх =

х2 — х х

2 —(—1)

Д у / д ^ 3 - = 3 . ( —

1)2-3 +

3-(—1)Х

X З 2

З 3 =

Через приращение функции можно выразить некоторые ее

свойства.

Ау >

Так,

например,

если

при

Дх > 0

то

функция

является

монотонно

возрастающей.

Если

при

Дх > 0

Ау < О,

то функция будет монотонно убывающей.

Понятиями

приращения

функции

аргумента

пользуются

при определении скорости равномерного движения и средней скорости переменного движения. Для этих случаев скорость равна отношению приращения пути As к приращению времени

At:

Величина силы постоянного тока / равна отношению прира щения количества электричества AQ к приращению времени At:

	С	помощью	приращения		аргумента		определяют депрессию,
или		понижение	температуры		замерзания		раствора,	равную раз
ности между температурами					замерзания		чистого	растворителя
и	раствора:
				АТ = Т2 — 7\
			§ 61. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
	Определение		1. Функция		y — f(x)	называется		непрерывной
в	точке х = х0,		если	она определена		в некоторой		окрестности
точки х0 (очевидно, и				в самой	точке	х0),	и если
		lim Ay		• lim [/ (х0 + Ах) • •f(xo)) = 0.
		Ах-^0		Ах^О

Иначе говоря, функция называется непрерывной в данной точке, если в этой точке бесконечно малому приращению аргу мента Ах соответствует бесконечно малое приращение функции

Ау.

Определение	2.	Функция	у — f (х)	называется	непрерывной
в интервале (а,	Ь),	если она непрерывна в каждой			точке дан
ного интервала.
Графически непрерывная			функция	изображается	непрерыв

ной линией, т. е. такой линией, которая может быть вычерчена непрерывным движением карандаша.

	Пример 2. Докажем, что функция у = х 2 непрерывна в про
извольной				точке х = х0 . Действительно: 1. у0 =				х 2 2. у0	+ А у =
=	(х0	+	Дх)2 ,
Ау	=	(х0	+	Ах)2 — уо =	х\ +	2х0 Ах +	(Ах)2 — х\	= 2х0 Ах + (Ах)2 .
		lim Ay — lim [2х0			Ах +	(Ах)2]	lim 2х Ах +	lim (Ах)2	= О
		Ах-*0		Ах^О			Ах-*0	Ах-+0

для любого значения х0 (рис. 89, а, б).

У	их>0, &У>Ь

лх<0, &у<0

\WАХ

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ