Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3611 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Понятие бесконечно малой		величины при	его	практическом	применении
приводит	к следующему принципиальному			затруднению:	ни	одна
реальная	величина не может	безгранично	приближаться к нулю.			Дейст

вительно, в приведенных выше примерах реальный маятник через некоторое время остановится, а газ не может безгранично расширяться. Таким обра зом, определение бесконечно малой величины можно применять лишь к «ма

тематической модели» реального процесса, в котором действительная		картина
изменена так, чтобы сделать это	применение возможным, например,	в слу
чае с маятником считать затухание бесконечно медленным.
Другой способ истолкования	возможности практического применения

бесконечно малых заключается в том, что «практическая» («физическая») бесконечно малая величина — это переменная или даже постоянная малая величина, достаточно малая по сравнению с участвующими «конечными» величинами. Она должна быть настолько малой, чтобы можно было без су щественной ощибки применять по отношению к ней понятие «математической» бесконечно малой величины. В то же время эта величина не должна быть настолько малой, чтобы пришлось учитывать микроэффекты (там, где это неуместно) или чтобы отрываться от реально возможных ее значений. На пример, при изучении деформации упругого тела практически бесконечно ма

лыми размерами

следует

считать размеры,

достаточно

малые

по сравнению

с размерами тела, но в то же

время

достаточно

большие

по сравнению с

размерами молекул

[36].

§ 51. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН

Приступая к изучению , свойств бесконечно малых величин,

укажем на

важную связь

между

бесконечно

малой и величи

ной, имеющей

предел.

Теорема

Если переменная

имеет

пределом

число

а,

то

она может

быть

представлена

виде

х=а

+ а,

(1)

где

а — бесконечно

малая

величина.

Справедливо

обратное:

если

переменная

может

быть

представлена

равенством

(1),

то

она

имеет

своим

пределом

чис

ло

а, т. е.

\\\тх

— а.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

1т\х

— а

а — бесконечно

ма

лая

величина.

Из

определения

предела

бесконечно

малой,

можно записать:

1* — а\ <

(2)

W <

е,

где

є — сколь

угодно

малое

положительное

число.

Из выражения

(2)

получаем

х — а — а,

откуда

х = а -+-

а.

Рассмотрим свойства бесконечно малых величин.
Свойство		1.	Алгебраическая			сумма		любого	конечного		числа
бесконечно малых			величин		есть	величина		бесконечно		малая.
Если	а	и р — бесконечно				малые величины,			то	бесконечно
малой величиной будет и их алгебраическая сумма,										т. е.	будет
справедливо		неравенство
					1 « +	Р К	е -
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Так	как	а	и fi — бесконечно			малые
величины, то для них				справедливы			неравенства
			\|о\|	<		\|3\|	<
Сложив	эти	неравенства,			получим
			\|« + Р \| < - г + - г -
На основании свойств абсолютных							величин (§ 35)			записываем:
			1 < * + Р \| < 1 « 1 +				1?1	< е
или
					1 « +	Р К £ -

Таким же способом можно доказать справедливость этого свойства для любого конечного числа бесконечно малых вели чин.

Пример 10. Положим, что бесконечно малые величины а и Р в процессе приближения к нулю последовательно принимают значения:

	а = 0 , 1 ;	0,01;	0,001;	0,0001;	. . . - * 0 ,
	р = —0,11; —0,011;			—0,0011; —0,00011;			. . . - * 0 .
Тогда	их алгебраическая		сумма	последовательно		будет	прини
мать значения:
а +	р = —0,01;	—0,001; —0,0001;			—0,00001;	. . . - » 0 .

Эта сумма тоже бесконечно малая, так как среди ее значений най дется такое, начиная с которого будет удовлетворяться неравен ство

1<х + pi < є.

Свойство 2.	Произведение ограниченной переменной величины
х на бесконечно	малую а	есть	величина бесконечно малая:
		\х-а\	<	г.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Для	ограниченной переменной х и
бесконечно малой а справедливы				неравенства:

•U| < М;

где М — любое положительное число.

Умножив 1х| < М на \а\ <

получим

|х| • |а| < М-—- или |х| • |а| < є.

На основании свойств абсолютных величин (§ 35) имеем

\х-а\ < є.

С л е д с т в и е

1. Произведение

постоянной

величины

на беско

нечно

малую

есть величина

бесконечно

малая.

С л е д с т в и е

Произведение

конечного

числа

бесконечно

малых

величин

есть величина

бесконечно

малая.

С л е д с т в и е

Целая

положительная

степень

бесконечно

малой

величины

есть

величина бесконечно

малая.

Пример

11.

Пусть

значения

ограниченной

величины

заклю

чены в пределах от 0 до 1000,

т. е. х =

0-4

1000.

Бесконечно

малая

а = 1 ;

0,1;

0,01;

0,001;

>0.

Тогда

значения произведения х • а будут меньше

значений

1 000;

100;

10;

0,1;

0,01;

0,001;

. . . - • 0 .

Следовательно, произведение ограниченной переменной на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

§ 52. БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Во многих процессах изменения переменной величины про тивоположны изменению бесконечно малых величин. Например, неограниченно возрастает время, отсчитанное от некоторого на чального момента. Абсцисса точки, которая перемещается по оси Ох вправо от начала координат, может стать как угодно

большой. Абсцисса точки, перемещающейся по оси Ох влево от начала координат, будет принимать отрицательные значения, возрастающие неограниченно по абсолютной величине.

В рассмотренных последних случаях переменная величина х изменяется так, что абсолютная величина ее становится и в дальнейшем остается больше любого наперед заданного поло


жительного числа, как бы велико это число ни было.									Такие
переменные величины называют бесконечно большими.
Определение			5.	Переменная	х называется		бесконечно		боль
шой, если в процессе изменения					ее абсолютная		величина	\х\	ста
новится	и	остается больше любого				наперед	заданного		сколь
угодно	большого		положительного		числа	N І> О, т. е.		для	всех
значений х, начиная				с некоторого, выполняется неравенство \х\ >JV.
Термин		«бесконечно большая величина» определяет						характер

изменения переменной величины и что бесконечно большая ве личина не может иметь никакого предела.

Принято говорить, что бесконечно большая величина стре мится к бесконечности и обозначать этот факт следующим образом:

\х\ -> оо или Пга|л:| = оо.


Бесконечно			большая	величина			может	быть	положительной
х > 0	и отрицательной х < 0. Положительную бесконечно										боль
шую	величину		обозначают		х—»• +		со или	l i m x = +		co,	отри
цательную		бесконечно большую				величину		обозначают		х-*	— оо
или Птл; =		—оо. При		своем		изменении		бесконечно		большая
величина может также изменять знак.
Примерами бесконечно больших величин могут быть: пере
менная, пробегающая натуральный							ряд чисел,
			хп	— I , 2, 3,			. . . ,
переменная хп = 2", где				п =	1,	2, 3, . . .
Между бесконечно большими и бесконечно малыми величи
нами	существует следующая				связь:
I .	Если	х — величина		бесконечно большая,					то обратная ей

величина— = а будет величиной бесконечно малой.

II . Если а — величина бесконечно малая, то обратная ей ве

личина	~ =	х	будет	величиной	бесконечно большой.
Эту	связь	условно		записывают		так:
	1	=	1	= х или	1	n	1
	—	=	а, —	= х или	—	= 0,	-тг- = + оо.
	X		а		оо		О

Последние записи надо правильно понимать. Если в равен

стве	= а величина х неограниченно возрастает, то в том

же процессе величина а неограниченно приближается к нулю. Аналогично истолковываются и формулы, содержащие знак бесконечности.

Пример 12. Бесконечно большая величина \х\ = 10; 100; 1000;

оо. Тогда

величина Ь| =

-А- последовательно

будет

при-

нимать значения:

1*1

1^ = 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;

. . . - + 0 .

Как видно из примера, абсолютные значения

|а| =-г^-

неогра-

ниченно убывают, приближаясь к нулю, следовательно -г-т,

когда

х — величина

1*1

бесконечно большая,

является величиной

беско

нечно малой. На этом примере

можно рассмотреть

обратную

связь.

III. Произведение двух бесконечно больших величин есть

вели

чина бесконечно

большая.

IV. Произведение

бесконечно

большой величины

на

постоян

ную есть

величина

бесконечно

большая.

§ 53. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Вопрос

пределе функции

у =

f(x)

может

иметь

смысл

лишь в том случае, если указывается предел, к которому стре мится аргумент.

Возьмем сходящуюся к числу а последовательность значений х.

Х\, Х%, Хз, . . ., Хп, . . .,

входящих		в область		определения функции у =				/(х) и	отличных
от	а, т. е.	lim хп =		а.	Последовательности		значений		хп	будет
		/г-*-оэ
соответствовать			последовательность значений у:
	Уі =	ї(хд,	y% =		f{xd, 0s = f(*a),		yn	= f(xn), . . .
	Если полученная			последовательность		имеет		предел,		равный
А,	то число А		называется пределом функции				у = f(x)		при	х -> а
и	записывается		как	lim у — А. Поясним		это	на	примере.

х-*а

Дана функция у — х -j- 2. Проследим ход изменения этой функции при х —> 1. Положим, что аргумент х принимает по следовательность значений:

х = 1,1; 1,01; 1,001;

или

х= 0,9; 0,99; 0,999; . . . - * 1 .

Тогда функция у = х + 2 последовательно будет принимать значения

у/, - ,

= 3,1; 3,01; 3,001;

... — 3,

ylx-*i

= 2 , 9 ;

2,99; 2,999;

... - *3 .

х<1

Очевидно,

что lim у = lim (х +

2) =

Определение 6.

Число

называется

пределом

функции

У = f(x) при

х—*а,

если

по

мере

того,

как х

приближается

к а,

значение

f(x)

неограниченно

приближается

числу

А.

Точка

х—а,

к которой

стремится

независимая

переменная

х,

называется

ее предельной

точкой.

Неограниченность приближения переменной величины к постоянной выражается в том, что их разность с некоторого момента будет оставаться по абсолютному значению меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа. В соответствии с этим можно дать точную формулировку предела функции.

Определение 7.

Число

А называется

пределом

функции

у =

f(x)

при

х-* а, если абсолютное

значение

разности \f(x)

— А\

остается

меньшим

положительного-

числа

е,

когда

абсолютное

значение

разности

\х

— а\

меньше

некоторого

положительного

числа

6 (зависящего

от

г):

\f(x)

— А\<С £

П Р И \ х

—а \ <i 8-

Следует

особое

внимание обратить

на то, что

в определе

нии

предела

не

требуется,

чтобы

функция

была

задана

и в

предельной точке; нужно только, чтобы функция была опреде


лена в окрестнссти предельной точки, так как понятие									преде
ла	отвечает	на вопрос о характере поведения функции							в ок
рестности предельной точки.
	Определение		предела		функции	само	по	себе не дает еще
спссобов его		отыскания.			Ниже мы докажем			правила вычисле
ния	пределов	некоторых			функций.
	§ 54. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
	Предполагается,			что	все переменные		в приведенных		ниже
теоремах имеют			пределы.
	Теорема 2.		В	данном	процессе	переменная		величина может
иметь только		один		предел.

	Д о к а з а т е л ь с т в о .		Допустим,		что переменная х имеет
два	разных предела:
		limx	= а и lim х = Ь,
причем		а Ф Ь. Тогда
		х —а-\-о.		is. х=	b
где	а и	р — бесконечно малые.		Следовательно,

а + <х = b + р

а — р = 6 — а.

Левая часть этого равенства, как разность двух бесконечно малых величин, есть величина бесконечно малая, правая же часть — величина постоянная. Но бесконечно малая величина может равняться постоянной только в том случае, если эта постоянная равна нулю, следовательно,

Ь— а = О,

отсюда

b = а,

т. е. переменная величина х имеет один предел.

Теорема 3. Предел алгебраической суммы конечного числа пе

ременных равен	алгебраической		сумме пределов	переменных сла
гаемых.				сумма х-\-у—z
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Дана	алгебраическая	сумма х-\-у—z
трех слагаемых	х, у, г и limx: = a, limy = b, lim г = с. Исходя
из определения	пределов	переменных,
		х = а + а,
		У =	* + Р,

z = с + у,

где а, р, у — бесконечно малые величины. Алгебраическая сумма

х + у — z = (a + b—c) + (а + Р — у).

(а-\- b — с) —	постоянная величина,	(а + 3 — у) — бесконечно
малая (§ 51).	Следовательно,

lim (х-\- у — г) = а + 6 — с

или

lim (х + у — z) = lim х + lim у — lim z.

Теорема 4. Предел произведения двух и					более	переменных
равен произведению		пределов	этих	переменных.	х-у
Д о к а з а т е л ь с т в о . Дано произведение					х-у	двух пере
менных	х я у я \\тх = а,		limy =	6.
Из	определения	предела	переменной
		х = а +		а,
		У = Ь +		$,

где а. и р — бесконечно малые величины. Произведение

х-у = (а + а) ф + Р) = а£> +

+ аР + а Р).

аЬ — величина постоянная;

(ба + аР + оф)— бесконечно малая величина (§ 51). Следовательно,

Mm (х-у)

или

lim (х • у)

lim х • lim t/.

С л е д с т в и е

Предел

произведения

любого

конечного чис

ла

переменных

равен

произведению

их

пределов.

lim (x-y-z)

limх• lim у-limz.

С л е д с т в и е

Если

переменная

величина

имеет

предел,

то

предел

целой

положительной

степени переменной

величины

равен

той

же степени

предела

этой

величины.

lim (Л;") =

(\ітх)П,

Действительно, lim(x1-x2-

xs-

...•*„) =

1ітх 1 - 1ітх 2 - Пгт;з - ... х

X limx„. Полагая

хх

= х2 =

х3

... =

хп

— х,

получим

\im(xn) = (lim*)".

Теорема

Предел

частного

равен

пределу

числителя,

делен

ному

на предел

знаменателя,

если

предел

знаменателя

не

равен

нулю,

„

е.

lim л;

если

, .

т.

н т — = р

lim и

ФО.

urn у

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть limx = a, lim у = b Ф 0. Обо-

чим — = v, отсюда х = y-v. Найдем предел этого выражения:

limx =

\\m(y-v)

lim у -lim v,

откуда

lim и =

1 *

или

чту

lim.тс

, п

lim —

= г-—.

1™ и Ф 0

Теорема

Если

переменная

величина

имеет

предел и

ylimx

существует,

то

предел корня п-й степени из

перемен

ной х равен

корню

той же степени

из предела

подкоренного

выра

жения,

т. е.

lim

х =

уПтх

Теорема

Переменная

величина,

заключенная

между

двумя

переменными

величинами,

имеющими

общий пргдгл,

имеет

тот

же

предел.

Если

y ^ x ^ z

и lim у = limz = а, то limx = а.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Вычитая

из каждого

члена

неравен

ства г / < х - < г

одно

и то же число а, получим у — a < x — а <;

— а. Разность

х — а

заключена

между

двумя бесконечно

малыми величинами

у — а

и г — а и поэтому

является

также

бесконечно

малой,

следовательно,

х — а = ос и

lim х = а.

§ 55.

НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ

ФУНКЦИЙ

Нахождение

пределов

функций

с использованием,

теорем

пределах.

Пример 13.

Найти lim(4x2 — бх + 3).

х^2

Р е ш е н и е .

Используя теоремы 3 и 4 о пределах,

находим

lim (4х2 — 6х +

3) = lim 4х2

— lim 6х +

lim 3 =

х-у 2

* - 2

х-*2

х->-2

lim 4-(lim х)2 — lim6-limx +

3 = 4-22 — 6 - 2 + 3 = 7.

х->-2

х-*2

х-+2

— 2х +

Пример 14. Найти lim1—

7—•

Р е ш е н и е .

Вначале найдем величину предела знаменателя:

lim (х2 + 7) =

lim х2 +

lim 7 =

(lim х)2 + 7 =

I 2

+ 7 =

8=^0.

х-+1

х-*\

х->-1

• х^\

По теоремам о пределах частного, алгебраической суммы, произведения находим (теоремы 5, 3 и 4):

lim£	•2х	+ 5	lim (х2 — 2х + 5)	(limx)2	— lim 2- lim х +	lim 5
lim£	•2х	+ 5	lim ( л ; 2 + 7)	X -*• 1	Х-+1 Х-+1	x-*l
	x2 +	7	lim ( л ; 2 + 7)
			x-l
I а —	2-1 +	5

II. Нахождение пределов функции в тех случаях, когда не посредственное применение теорем о пределах не приводит к оп ределенным результатам.

Часто встречаются случаи, когда функция у = f{x) при	х=^х0
не определена, но \\mf(x) существует. В этих случаях	для

отыскания предела нужно предварительно выполнить преобра зование функции.

	Пример 15.	Найти l i m ^ ~ f			a	+ 8
		х-*4
	Р е ш е н и е .	Применяя	непосредственно				теорему 5,	имеем:
		lim (л2 — 6 х +		8)
] - т X — 6х + 8 =		д - 4				=_0_.
х-+4	х — 4	lim(x —4) .				О
		х-*і
	Получилось	выражение		вида		которое не имеет		смысла
в математике и		носит название			неопределенности вида			—-.Про
цесс	нахождения	предела	такого			отношения	называют	раскры

тием неопределенности вида —-.

Втаких случаях применяется следующий прием:

1)разлагаем числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на множители с помсщью формулы:

			ах2 + Ъх + с = а (х — хг) (х — хг),
где	Хх и хг		— корки	уравнения ах2	+ Ъх + с = 0.
т		хг	— б л + 8	,. (* — 2)(Х — 4)
Тогда lim			— =lim —		'-;

Х-+4

х-*4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3611 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ