Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3610 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>


	Р и с . 78						Р и с . 79
ветвью функции		y = A r c s i n x .				На	рис. 78	график функции
у = arcsin х	выделен		жирной		линией.
Аналогично		вводят		функцию у = Arccosx. Эта функция оп
ределена в	отрезке		[	— 1 ,	1]	и	является	бесконечнозначной.

График функции приведен на рис. 79. Однозначность этой об ратной функции будет обеспечена при дополнительном условии

ОУ -С я- Однозначную функцию обозначают г/= arccosx и

называют главным

значением

или

главной

ветвью функции

у =

=-Arccosx. График функции у =

arccosx

на рис.

выделен

жирной

линией.

На

рис.

приведен

график

бесконечнозначной

функции

у = Arctg х,

соответствующий тангенсоиде х =

tg у.

Функция

у = Arctg х

определена

интервале

(— со, 4- со).

Однозначность

функции

у =

Arctg х

будет

обеспечена

при

дополнительном

условии

— я/2 ^

у <

я/2.

Однозначную

функцию

обозначают

у = arctg х

называют

главным

значением

или

главной

ветвью

функции

у = Arctg х.

График

функции

у = arctgх на

рис.

выделен

жирной

ли

нией.

На

рис.

приведен

график

бесконечнозначной

функции

у = Arcctg х,

соответствующий котангенсоиде

х =

ctg

у.

(/--Arctgx

- - ^ 1

Sy-arctgx

-Ж

аж

~ z

Р и с .

Функция

у — Arcctg*

определена

в интервале

(

сю, + °°).

Однозначность

функции

у — Arcctg х будет

обеспечена

при

дополнительном

условии

0 •< у

п.

—

Однозначную

функцию

обозначают у = arcctg х и

называют

главным

значением

или главной ветвью

функции у =

Arcctg х.

Гра

фик функции у =

arcctg х

на рис. 81 выделен

жирной линией.

Тригонометрические функции широко используются в ма

тематике, естествознании и

дру

гих

науках.

Они

встречаются

там, где приходится иметь дело

периодическими

явлениями,

т. е. явлениями,

повторяющими

ся

в одной

и той

же

последо

вательности

и в

одном

том

же

виде через определенные ин

тервалы

изменения

аргумента.

Простейшие

из таких

явле

ний — гармонические

колебания,

в которых расстояние

колеб

лющейся

точки

от положения

равновесия

является

синусои

дальной

функцией

времени

-2Ж j

s= Л з і п ( с о ^ + ф 0 ) ,

Р и с . 81

Р и с .

где А — амплитуда

колебания;

со t + Ф0 — фаза

колебания;

ср0 —

начальная

фаза;

со — круговая

частота

колебания.

Д л я

построения

графика

функции

s =

A sin (со t + ср0) доста

точно

построить

синусоиду

s' =

A sin f

системе

координат

t'O's',

полученной из системы

координат

tOs [параллельным

пе

реносом осей координат (§24).

Пример 5. Построить график функции

s =

3sin(2^ + я/3).

Р е ш е н и е .

Введем

новую

систему

координат

t'O's'

так,

чтобы относительно нее функция приобрела вид:

s ' = 3 s i n / ' .

Положим

t' = 2t + я/3 и s' =

Координаты точки О' в системе координат

tOs

получим

из

условия

— О и s' = 0.

0 = 2t + я/3, откуда

t =

— я/6

и s = s' =

0, О' (— я/6;

0).

системе координат t'O's'

функция

s =

3sin(2zI

я/3) будет

иметь

вид простой синусоиды s' =

3 sin f

амплитудой,

равной

График

ее приведен

на рис. 82.

Задачи

Даны

функции: 1)

/ ( * ) = £ = ! ;

2) ф ( * ) =

L i L l ^ L .

Найти:

ДО),

/ (1), Ф ( 0 ) ,

ф(1).

Дано: у = 22 ,

г =

х +

1. Выразить і/ как функцию х.

Дано: і/ =

sinx, v =

lgf/, « =

-4- и2 . Выразить

и как

функцию

х.

Следующие

сложные

функции

представить

помощью

цепочек,

со

ставленных из основных элементарных функций:

1) у =

sin3

х; 2) у =

х) 2 ;

* =

l g t g х ; 4)

(/ = sins(2.v +

1); 5)

у = 5 ( 3 *

и 2

Написать в явном

виде

функции:

1) х2 + у2

2) -^3

tp~~

2 а д = 5.

6. Д л я каждой из следующих функций найти ей обратную:

1) F(x) = 4x-5;

2) <р (*) = * * + 3;

3 ) / ( х ) = 1 + 5 *

7. Найти область определения функций: 1) у = 1 —]gx; 2) у = Ig(x-f3);

3) У = V 5 — 2х; 4) у = А-2 + 3v + 5;

5) у = 2х.

Гл а в а VIII. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§47. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Рассмотрим наиболее простой случай, когда все значения переменной величины могут быть пронумерованы и любому зна чению п, где п = 1, 2, 3, 4, . . . соответствует определенное

значение х = хп. ^ В этом случае переменная хп называется нумерованной, а

значения переменной х образуют бесконечную числовую последо вательность

	Х\, х%, х3,	...,	хп,	{xn}t
где хп называется	общим членом		последовательности.
Чтобы найти	какое-нибудь	значение		переменной х, доста

точно подставить соответствующий номер п в выражение обще

го

числа последовательности

Пример

Множество всех

целых положительных

чисел

3, . . . ,

п, . . .

является

последовательностью;

здесь

общий

член хп ~ п, где

п — 1, 2,

3, . . .

Пример 2. Общий член последовательности хп=-^.

Найти

последовательность.

Р е ш е н и е . Подставим

в хп

значения

п =

3, . . .

Последовательность

будет иметь вид

l _

J _

X I — 2 » х % — 4 > хз — g > • • •> ХП — 2п '

Определение 1.

Число а

называется

пределом

последователь

ности {jtrn j, если для

любого сколь

угодно

малого

положитель

ного числа

Е можно указать

такой

номер

зависящий

от

є,

что для всех

л >

выполняется

неравенство

\хп

— а\ <

є.

То, что последовательность {д:л}

имеет своим

пределом

а,

обозначают:

Пгп хп

= а

или

Игл хп

= а

или

хп-+а,

П —> Оо

Значок п ->• оо подчеркивает, что номер п неограниченно воз растает (стремится к бесконечности).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Пример 3. Покажем, что предел числовой последователь ности ... , .. . (п = 1, 2, 3, . . . ) равен нулю, т. ё.

\х„ — 0 | < г.

Действительно,

Выберем сколь угодно малое число є > 0. Неравенство \хп — 0| <

1	-	^ l	g ~ / 1 ^	П я .
S ИЛИ	< S ВЫПОЛНЯеТСЯ Д Л Я ВСЄХ	Л >	j 2 I -gTT < є,	2" >

>4-.»ig2>ig4-,'.>-i5T

Тогда в качестве номера JV следует		взять наибольшее целое
число, содержащееся в правой части		неравенства, т. е.
N = E'	£
\	Jg 2

Если, например, положить в = 0,01, то соответствующее число

			1 4 - с	\ l g 2 / ^ ^ и . З О І О 1 " 0 -
Начиная с п > 7 значения					х л =	\|х„ — 01 =-<рг <С 0,01.
Пример		4. В	последовательности
x'i = 1, х2 =		^-g-,	=		% I =	2-^-, . . . , х л = 2 -j-			^—^—, . . .
член хп	по мере		возрастания номера				п	стремится к	2, т. е.
2 есть	предел последовательности.
В самом		деле,
			1 п	1	І я	I	я	'
		1

а величина — , начиная с некоторого номера, остается мень-

шей любого заранее

заданного положительного

числа

(если

е =

0,1—начиная

с 11-го

номера;

если

s = 0,01 — начиная с

101-го

номера).

числа

последовательности

могут

Пример

показывает,

что

быть

то больше,

то

меньше

предела.

Пример

Последовательность

_ Г \

_ 1

_ П

I ( — 1 ) П

Х1—

1» Х3 —U, XI — -g-, х§ — и,

ХЕ — -д-,

. . . ,

хп

— —

-f-—

имеет

предел,

равный

нулю.

Действительно,

-L+fc=!)l_o

И 1

начиная с

некоторого

номера,

остается

меньше

любого

зара

нее заданного положительного

числа в (если є =

0,1,

то

начиная

с 21-го номера; є = 0,01 — то

с 201-го номера).

Пример

показывает,

что

члены

последовательности

могут

равняться

самому

пределу.

Пример 6.

Последовательность

%1 — — 1,

Х2 =

XS =

— 1, ХЦ =

1, . . . ,

хп =••

(

\ ) п , . . .

не

имеет предела. Члены

ее

не стремятся

ни

какому

по

стоянному

числу.

что не все последовательности

имеют

Пример

показывает,

предел.

§ 48. ПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Если непрерывная переменная величина х в некотором про цессе изменяется так, что принимаемые ею значения стремят ся к постоянному числу а, то число а носит название предела переменной.

Определение	2. Постоянная		а называется пределом перемен
ной х, если для	любого	наперед	заданного	сколь	угодно	малого
положительного	чист s	можно	указать	такое	значение	пере

менной х в процессе ее изменения,	что	все	последующие	значе
ния переменной х будут удовлетворять		неравенству
\х — a \| < s .		"
Факт стремления переменной х к пределу			о принято	обозна
чать
limx = а или	х ~> а

Наличие		предела	у	переменной	х геометрически	можно
пояснить	следующим		образом.
Пусть	на	прямой	Ох	точка М(х),	абсцисса которой	х, мо

жет принимать непрерывный ряд значений, а точка а является пределом переменной х (рис. 83). Отложим величину числа s

вправо и влево от точки			а.	На	прямой		Ох получим			постоян
ный промежуток	длиной		2 є	с точкой а			в	центре.
Так как точка а является					пределом			переменной		М(х),	то
при изменении абсциссы			х	течка		М(х)	непременно попадет				в
							м(х)		х
	О	а-е		a	a+t
				Р и с .	83
промежуток (а — г,		о +	е)	и	при	дальнейшем			изменении		ее
значения будут	удовлетворять				условию			\|х — а\| < Е. Для поня
тия предела переменной х не имеет значения,									каким	образом
переменная х будет двигаться к					своему		пределу		о — спраиа или

слева, или даже попеременно то с одной, то с другой стороны. Приведем несколько примеров.

Пример 7. Если число сторон правильного вписанного в ок ружность многоугольника неограниченно увеличивается, то пре делом площади этого многоугольника служит площадь круга. В этом случае переменная 5 (площадь многоугольника) всегда меньше своего предела.

Пример 8. При неограниченном увеличении числа сторон описанного около окружности правильного многоугольника площадь круга будет также пределом площади этого много угольника. В этом случае переменная всегда больше своего пре дела.

Пример 9. Предположим, что многоугольники, имеющие нечетное число сторон, являются вписанными в данную окруж ность. Многоугольники, имеющие четное число сторон, явля ются описанными около данной окружности. Ясно, что при неограниченном увеличении числа сторон п площадь круга бу дет пределом площади 5 многоугольника, но в данном случае переменная будет то больше своего предела, если п — четное, то меньше своего предела, если п — нечетное.

4 Лобоцкая Н. Л ,

§ 49. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН, ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛЫ

1. Предел постоянной величины, равен самой постоянной.

Действительно, если все значения х = С, то выполняется неравенство

\х — С\ = \С — С\ = 0 < є .


2. Переменная		х,	имеющая		предел	а, является	ограниченной.
Величина	называется		ограниченной, если			абсолютное	ее	значение
не превосходит некоторого				постоянного		положительного		числа М,
т. е. \х\	< М .	\\тх =		а,	\х — а\ <
Действительно,						є и

а — є < д; < а + е.

Выберем М > \а + є|, а следовательно, М > \а — є|. Тогда

— М < а — e < x < a + s < ; M ,

откуда

— M < x < M

или

[ x | < M .

Обратное

утверждение

не

всегда

верно.

Так, т

переменная

y =

s'mx

для

всех

значений х(—оо,

-foo)

ограничена (|sinx|<;

<; 1),

но

предела

не

имеет. Принимаемые

ею

значения колеб

лются іу.ежду — 1 и

+ 1 и она не стремится

ни к

какому чис

лу.

Если

для

переменных

выполняется

неравенство

х^у

каждая из них имеет

предел,

причем

Мтх

= a,

lim у = Ь,

то

а^СЬ.

Доказательство

этого свойства мы

опускаем.

§ 50. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Среди переменных величин, имеющих пределы, большое значение в математическом х анализе имеют бесконечно малые величины.


Определение 3.		Переменная		величина			х называется		беско
нечно малой,	если	ее предел	равен		нулю.				а = О,
Полагая	в определении		предела			переменной		число
в случае бесконечно малой			величины х,				получаем	неравенство
		IJC — 0 1		=	Ы	< е ,

из которого мфкно дать определение бесконечно малой

вели

чины, не используя понятия предела.

Определение 4.

Переменная

величина х

есть

бесконечно

ма

лая,

если

при

своем

изменении

по абсолютной величине

она

ста

новится

дальнейиіем

остается

меньше

любого

наперед

за

данного

сколь

угодно малого положительного

числа е,

т.

е.

1*1 < е .

Бесконечно малой может быть и последовательность.

Бесконечно малые величины чаще всего

обозначают

буква

ми

греческого алфавита: а, {3, у , ...

Рассмотрим понятие бесконечно малой величины

на

приме

ре

колебаний

маятника

(рис.

84).

Положение

маятника

опре

деляется углом а, на который маятник отклонен от положения

равновесия. Угол а будем считать положительным

или

отри

цательным в зависимости от того,

справа

или

слева

от

положения

равновесия

находится

маятник. В силу сопротивления среды раз-

махи колебаний маятника будут постепенно

уменьшаться; поэтому какое бы положитель

ное число є ни было задано,

отклонение а по

абсолютной величине

станет

впредь будет

оставаться меньше є, т. е. будет

удовлетво

ряться неравенство

1 « | < « .

Следовательно,

рассматриваемом

нами

—

процессе угол а является бесконечно малой

р и с

8 4

величиной.

Примерами

бесконечно

малых

величин являются: масса та

ющей

в воде

льдины;

разность

уровней

однородной

жидкости

в наполняемых сообщающихся сосудах и др.

Необходимо отметить, что если в данном процессе перемен

ная

является

бесконечно

малой

величиной, то это вовсе не

означает,

что

она

будет ею

других

процессах.

Так,

плот

ность и давление будут величинами бесконечно малыми, в про цессе безграничного расширения данной массы газа и не будут бесконечно малыми в процессе его сжатия.

По определению бесконечно малая величина есть величина переменная, поэтому нельзя смешивать очень малое число с бес конечно малой величиной.

Нуль — единственное число, условно рассматриваемое как бесконечно малая величина в силу того, что |0| = 0 < є, где г— сколь угодно малое положительное число.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3610 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ