книги из ГПНТБ / Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации

сивно, т. е. последовательно уточняться по мере увеличе­ ния времени t. Рекурсивный характер алгоритма оценки приводит к его наиболее .простой технической реализа­ ции.

Входящий в (2.9) первый интеграл называется симметризованным интегралом Стратоновича [28]. Уравнение (2.9) может быть также записано в несимметризованном

в соответствии с (2.10) получим с точностью до второго

Выражение (2.11) справедливо в условиях большой точ­ ности измерений, когда апостериорная дисперсия доста­ точно мала и асимптотически оптимально гауссово при-

Уравнение (2.12) соответствует алгоритму обнаружения, асимптотически оптимальному при большой апостериор­ ной точности, и совпадает по форме с уравнением обна­ ружения детерминированного сигнала на фоне белого гауссова шума, которое соответствует корреляционному приемнику.

На практике S[x(^), f] представляет собой радиосиг­ нал, параметр которого x(t) является неэнергетическим (частота, время запаздывания, фаза). В этих условиях

член 5 (?t) равен сумме неинформационной константы и компонент двойной частоты, близких к нулю [7]. Тогда уравнение (2.12) запишется в виде

t

In Л (" {t)) = j S (z) и {z) dz. (2.13)

о

80

где 5 (т), р, (т), р0 (х) — оценки по критерию минимума ср?д- неквадратического отклонения (апостериорные средние).

(2.12), (2.13) на случай многоальтернативного обнаруже­

t

lnAj(u<t)) = J3j(*)u(<e)dT,

где

^ ( « ( 0 ) = т - 5 Щ Й . : -

S, (%) = т, {Si (ХІ (х), * | и (*), Щ, 7 = = I , М.

82

Здесь оптимальный обнаружитель является М-ка- нальным, и каждый из каналов имеет структуру, соответ­ ствующую одному из уравнений (2.9), (2.12), (2.13), (2.16).

И, наконец, оценочно-корреляционный обнаружитель допускает обобщение на случай априорной неопределен­ ности, когда сигнал S [[#*(/), t] содержит неизвестные па-

wa(x,a,t) — апостериорная плотность вероятностей, опре­ деляемая соответствующим уравнением нелинейной фильт­ рации [49].

Оптимальность алгоритма (2.17) и оценки Sa(t) пони­ мается в асимптотическом смысле, поскольку Sa (t) -»- S (()

при t—>-оо. Обнаружитель (2.17) сходится к оптималь­ ному (2.9) для гипотезы НІ и не сходится к нему при Н0, поскольку лсевдооценки не обладают свойством сходимо­ сти.

В заключение отметим, что оценочно-корреляцион­ ный принцип приема сигналов охватывает широкий круг задач обнаружения, при этом ограничения на сигналы и помехи практически отсутствуют. Не является ограниче­ нием и наличие аддитивного белого гауссова шума, всег­ да имеющегося в реальных системах. Возможности тех­ нической реализации рассмотренных обнаружителей обсуждаются в п. 2.4.6.

2.2.2. Анализ эффективности оптимальных и достаточ­ ных приемников. Мерой эффективности устройства обна­ ружения является пороговый сигнал, т. е. отношение сиг- 6* 83

нал/помеха на выходе линейной части радиолокационно­ го приемника, при котором обеспечиваются заданные ве-

где константа С зависит от критерия вынесения реше­ ния. Для критерия Неймана — Пирсона величина С зави­ сит от заданного значения F. Для критерия последова­ тельного наблюдения (Вальда) заданные вероятности F и D обеспечиваются выбором порогов

=$Рп(и |б,) соответствуют дискретным распределениям, то ин­ тегрирование в (2.18) заменяется суммированием. Труд­ ность расчета величин F и D по формулам (2.18) связана со сложностью структуры области интегрирования и вы­ сокой кратностью интегралов (сумм).

Другой подход к вычислению ошибок первого и вто­ рого рода основан на том, что коэффициент правдоподо-

бия А(и) является случайной величиной с плотностями вероятностей Ші(Л|Єо) и ВУІ(Л]І,0І) при гипотезах Но и НІ соответственно. Тогда для критерия. Неймана —• Пирсона

где Ло — граничное значение коэффициента правдоподо­ бия. Расчет по формулам (2.20) связан с необходимо­ стью НаХОЖДеНИЯ ПЛОТНОСтеЙ ВерОЯТНОСТеЙ ЙУі(Л|©о) и Wi(A\Qi), что также является довольно трудной. зада­ чей, особенно при малом объеме выборки п.

8 1

— •

Перейдем от коэффициента [правдоподобия' Л (и) к его логарифму In Л (и) = 2, Тогда

параметру в окрестности точки Х0 с использованием ли­ нейного приближения и усреднения.

Теперь вероятности F и М вычисляются через ин­ тегральную функцию Лапласа Fi(x) i[l]:

85

При анализе эффективности достаточного приемника необходимо найти одномерные плотности вероятностей помехи и сигнала с помехой на его выходе аУі ( f J бо), syi(f|'0i) и проинтегрировать. Для критерия Неймана — Пирсона

всего на практике мы имеем дело со сложными гипоте­ зами. К сожалению, прикладные аспекты статистической теории проверки сложных гипотез развиты слабо. Обыч­ но в таких случаях используют теорию 'проверки простых гипотез. С этой целью задаются минимальным порого­ вым сигналом и для него определяют структуру и пара­ метры локально оптимального или локально достаточно­ го приемника. Для больших, чем пороговое, отношений сигнал/помеха наименьшая допустимая вероятность пра­ вильного обнаружения будет обеспечена, хотя приемник уже не будет оптимальным. В связи с этим упрощаются расчеты вероятности F, так как теперь, при фиксирован­ ной структуре и параметрах достаточного приемника она не зависит от отношения сигнал/помеха. Численные ме­

каналов. Примером такой системы является многока­ нальный обнаружитель — дальномер импульсной Р Л С обзора (см. п. 2.2.3). Определив вероятность ложной тре­ воги F i и правильного обнаружения D t для одного кана­ ла из (2.21), получим для М каналов:

F M = \ - { \ - F f ^ M F „

при MF, < 1.(2.22)

flM=l-(l-DI)(l-P1)M-'«Z>I

2. Одноканальная система с естественной разрешаю­ щей способностью по параметру X. Например, система обнаружения одиночного видеоимпульса с неизвестным

86

временем прихода, т. е. X=d на интервале наблюдения (О—Гн), содержащая радиолокационный приемник, за­ канчивающийся амплитудным детектором и пороговым устройством (см. л. 2.2.3).

цесс имеет весьма малую корреляцию с начальными зна­

должен быть по крайней мере однократно дифференци­ руемым. Необходимым и достаточным условием диффе­ ренцируемое™ случайного процесса является существо­

87

связана со средней длительностью выброса т ( С ) , превышающего пороговый уровень С, соотношением

/ о

случайного процесса v (t) с энергетическим спектром F (ш). Для распргделения Релея при пороговом уровне С2 имеем

Т(С1 ) = 2да/С1Дш.

Сравнив это выражение с формулой (2.36), справедливой для огибающей шумового процесса на выходе фильтра с передаточной функцией (2.29), убеждаемся, что при О

>Ь ^(С1 ) = ї"(Са ) = т £ ( « 0 ) .

Сопоставление (2.27) и (2.28) дает основание считать, что средняя длительность выброса слабо зависит от вида

88

одномерной плотности случайного процесса v(t). Поэто­ му при определении х(с) можно считать, что процесс v(t) является нормальным, и определять среднюю дли­ тельность выброса по (2.27). Что же касается вероятно­ сти правильного обнаружения DT , то она приближенно

н

определяется так же, как и в системе обнаружения сиг­ нала с известным временем прихода, т. е. по формуле (2.'21).

Анализ различных обнаружителей, рассматриваемых ниже, строится по следующей схеме.

1. Рассматриваются, как .правило, локально опти­ мальные достаточные одноканальные приемники. Резуль­ татом анализа является построение характеристик обна­

нал/шум q2 определяется в соответствии с (2.44), (2.45) для нефлуктуирующей и флуктуирующей целей.

2. Переход к характеристикам обнаружения для мно­ гоканального обнаружителя осуществляется в соответст­ вии с (2.22), а для одноканального обнаружителя с раз­ решающей способностью по параметру — по формулам (2.24), (2.26).

2.2.3. Вопросы построения одноканальных и многока­ нальных обнаружителей сигналов с неизвестными параме­ трами. Импульсные, 'импульоно-допплеровские и непре­ рывные Р Л С обзора и целеуказания осуществляют со­ вместное обнаружение и измерение (сложное измерение) координат многих целей, находящихся в зоне обзора. По­

ния, измеряющих координаты только одной цели. Рас ­ смотрим принципы построения одноканальных и много­ канальных обнаружителей-измерителей.

Если измеряемый параметр X имеет смысл времени запаздывания (дальность до цели, угловое положение цели, измеряемое при равномерном сканировании диа­ граммы направленности антенны, т. е. амплитудная пе­ ленгация), то строится одноканальная система с раз­ решающей способностью по времени запаздывания. Измеряемое время определяется по максимуму выходно­

89