книги из ГПНТБ / Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации

потезы:

# о — цепь Маркова

одиосвязная, v = 1,

# i — цепь Маркова

двухсвязная, v = 2.

Наряду с

оценками переходных вероятностей ра? одно­

связной цепи

(1.13), нам потребуются оценки переходных

вероятностей

ра^ двухсвязной цепи

Л з т = ^ з т

Ithsr

(I - 1 1 4 )

В

то же

время

а = 1

/

а = 1

/=1

Для

проверки

гипотезы

Н0

вычисляются статистики

г

г

« = 2

Я

^ І

Р

^

-

Р М

*

-

(1Л16>

a = l

7=1

где

7=1

Если

гипотеза

На

верна,

-ц

имеет

предельное

/^-рас­

пределение

с (г — 1)а

степенями

свободы. При

проверке

совместной

гипотезы

Н0:

р а

? = р

для

всех

а,

(3, у =

=

1, г,

следует

вычислить

статистику

х 2 = Е x j

= 2

2

2 ( Р а н - К У І К *

(1Л!7>

P = l

a = l

(3=1

7=1

„

имеющую

предельное

^-распределение

с

г (г—I)2

степе­

нями свободы.

каковы потери

за

счет дискретизации

и квантования?

как

выбрать

оптимальные параметры

квантизатора?

чему

равны потерн

при аппроксимации

точных распре­

зованием

информационных

мер в задачах

статистиче­

ских решений

[18—21].

Общая

постановка

задачи

и ее решение таковы. Зада-

->

->

на многомерная плотность вероятности w {и,

Я)

процесса

u[t,X(t)\

на

входе

аналого-цифрового

пр:образователя.

Выборочное пространство U,

u(t)aU,

непрерывно. Зада-

—•

на решающая

функция у (и),

минимизирующая

средний

дел?нием w (и,

Я)

и функцией

штрафов

с (Я, у).

Средний

риск

решения

равен

[6]

\с

->

->

-*•-+-»•-+

=

(Я, у (и)) w (и,

Я) dudX

и Ф

=

f

j

с (Я,у (и)) w (и | Я) w (X)dudX,

(1.118)

й Ф

где

—>

->

ПраВДОПОДОбИЯ Парамет­

Я ( і ) с Ф ,

ш (ы | Я) — функция

ру

- у

-V

ров

Я, ш (Я) — априорная

плотность

вероятности

для Я.

Произведем теперь редукцию выборочного пространства

U =±>U с помощью

операций аналого-цифрового преобразо­

вания

(дискретизации и квантования). Теперь

мы имеем

->

->

дискретное многомерное

распределение

Р(и\Х),

которое

будем

считать

дискретной

цепью

Маркова

с г

состоя­

ниями

и связностью v. Средний риск,

связанный с распре-

делением Р(и\Х),

равен

7=-- J

j

с (Я, у (u))P(u| Я)о»(A) d u d l .

(1.119)

В

работах

[18,

19] показано, что оценка

изменения

байесовского риска при редукции выборочного

простран­

ства дается

соотношением

Vr(c2)2I{P:w)

< 7 — г <

Vr{c"-)2I{w:P),

(1.120)

где

7(с2 )

== j

j V ( l , Y (и))Р

(u\X)w(X)d!ldX,

(1.121)

и ф

'(w:Р)

=

f

f wСи,

X) In

(s(й, \\)

dlidl.

(1.122)

J

J

Р

и Ф

Соотношение

(1.122)

имеет

смысл

„информационного рас-

->• -+

~

-»

стояния"

между

распределениями

w(u,X)

и Р(и, Я).1 ' „Ин­

формационное расстояние"

I(w:P)

необходимо

выразить

через

информационную меру Шеннона [20]

I(w:P)^J(w)

— J{P),

(1.123)

где

—У - У

7 (ш) =

(

( w (!) ш (и11)1п

та("іХ)

rfudt;

(1.124)

v

Ф

У

'

/ (Я) =

У

f w (І) Р (и | Я) InЯ

(

d l

(1.125)

^ J J '

Р ('ц( В))

V Ф

В свою очередь, J{w)=-H

(Я) — Я

(Я j «),

/(/?) = Я (Я) — Я

(Я | uj, Я (Я) = — j

w (Я) In ти (Я) d l

априорная

энтропия,

*> Интеграл

I(w:P)

существует,

если

вероятностные

меры

->

. ->

au(u, >,) и

Р(н ,

Я,)

абсолютно непрерывны.

Это требование

выпол-

— ->

няется

для

дискретного

распределения Р(и,

X),

кусочно-постоянного

на интервалах

Ди,-,

i = l , г, являющегося

достаточной

статистикой

- V

цля распределения Р(и, X).

-

63

I(w:P)^H

(Х\и) — Н{Х\и),

(1.126)

u(t) =

bS{t,

X(t),a{t))-\-n{t)

+ p(t),

(1.127)

где її (t) — внутренние

шумы приемника; р

(t) — внешние

—>

->

(

1 при 6

=

0 =

90 ,

Y

= 1 .

c ( 6 , y ( u ) ) = J

I

при 0 = 1 =

6,,

Y = 0,

(1.128)

[

0

при 0

=

Т =

1

или 8 = Y =

°-

— ]Г2г1{Р:ш)

< r — r<V2rI

(w:P) .

(1.129)

При проверке двух гипотез

(обнаружение сигнала)

средний риск равен

r=pM+qF,

(1.130)

где М = \—D — вероятность

пропуска цели; D — вероят­

ность правильного обнаружения; F — вероятность

лож­

ной тревоги; р — априорная

вероятность

наличия

цели;

q — априорная

вероятность

отсутствия цели (p-\-q = l).

-При измерении скалярного параметра X, квадратич­

ной функции штрафов

с(Я,Я) =

( Я —If

( і . і з і у

и оптимальной

решающей функции Y 0 ? t ( " ) '

соответствую­

X*

( " ) = V Й

=

J

« » № ) *da,

(1-і 32)

—со

средний риск

равен

дисперсии

а2

[Я] оценки

параметра

Я.

Из уравнения

(1.120)

следует,

что

минимизация

потерь

в

среднем риске

эквивалентна минимизации

„информационно-

->

->

->

~ ->

го расстояния"

между распределениями

w(u\X) и Р(и\Х),

что, в свою очередь, эквивалентно

максимизации

инфор­

мационной меры Шеннона (1.123)—(1.125).

Максимизируя

(1.125),

можно

решить

задачу

об

опти­

мальной расстановке

порогов квантования

аналого-цифро­

вого

преобразователя.

В

самом

деле,

пусть

область

определения

переменной и,

равная

и

— и

= £ / , ,

раз­

бита

на г подынтервалов

с помощью r, =

r — 1

порогов

квантования

0

01

,и

а2

«

0 Г і

)

т

- Необходимо найти

век­

ы =

{и

тор «0 , максимизирующий

функцию

(1.125),

т. е. решить

систему уравнений

/(Р(н0 ))== max/(/>(«)).

(1.133)

->

S 4 » = ^ . Auoi=U0i—«„;_,.

(1.134)

Ф & Ф ) = / ( Р Й , ) ) + * (£ Д и . < - u } j .

(1.135)

5—1410

65

Точка максимума определится

из системы /', - f - 1

уравне­

ний

с г, -|- 1 неизвестными Дн0 1 , Д«0 2

Ды0г

V

Д«0 1 _ £ У, = 0

йФ(а„ф)

0.

(1.136)

диа

Когда

неизвестны

априорные

вероятности

гипотез

/У и И0, равные соответственно р

и q,

обычно

применяет­

сяІ

критерий Неймана — Пирсона,

а использование соот­

ношений

(1.133) — (1.136) при

оптимизации

параметроз

(1.137)

Т8 =

/_Д2: 1;я)//_Д2:

при Я „

где

^ ( 1 : 2 ; « . ) = Г ш . Л « | 8 „ ) 1 п ^ Ш 1 ^ ;

J

ш„(и|в,)

(1.138)

M 2 : l ; / z ) = U n g | 6 , ) l n а , а ( ! 1 " ' )

^

"

J

Ш я

(И | 60 )

— информационные числа Кульбака—Лейблера [20].

Величины /_»(1: 2; я) и / _ (2 : 1;«)

имеют

аналогичную

и

и

форму

записи.

_^

При

независимых

выборках,

т.

е. при

wn(u\Q0)

=

п

_»

«

= П w, (Ui 1 в„)

и ш„ (а 1 в,) = Ц

®i ("*

I б>) п о

т е Р и №

ф о р "

i = l

i = I

мации

(1.137)

имеют вид:

I / £ 8 i l

= Y 1 = i ( u ) / / i ( u )

=

7 t t ( l :2)//Jl

:2) при Я 0 ,

(1.139)

U

1 / £ ' г 1

1 = у „ =

/1(и)/л(«) =

/„ (2: \)/IJ2:

1) при Я , ,

(1.140)

где

/ u ( l : 2 ) =

J » l (

« | f l . ) l n 5 | | ^ r f « ;

(1.141)

/ u ( 2 : l ) = j » 1 ( u | e i ) l n = i | l ^ d « .

а ЕІЛ,Е'2Л—асимптотическая

относительная

эффектив­

ность

[см. (2.169)];

/ _ (1:2) и / _ (2:1)

имеют

аналогич-

ную с

и

записи

с

заменой

ш,(и|б0 ) на

(1.141) форму

P(u|G0 ),

В У

, (

И

| 0 , )

на

P(u|9,)

и интегралов

на

суммы.

При

использовании

критерия

Вальда

соотношения

Р(и) и

Wi(u); при

M^F

справедливо

соотношение

(1.140) .

Соотношения

(1.139)

и (1.140)

получены для

больших

выборок, т. е. при П

*0О.

Теперь процедура

оптимизации параметров аналого-

ема

выборки /і (її) при заданной

вероятности

ложной

тревоги F, т. е. при /r = const

и М~^>Р к

максимизации

функции

/

(1 :2|и0 ) = т а х У І Р ( ц | ц ,

6„)ln р

& 1

^ .

(1.142)

5*

67