Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 465 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ной цепи (1.61)	приравниванием нулю			недиагональиых	элементов;
Е — матрица, все элементы которой равны 1.
Матрица дисперсии		времени	первого	прохождения	равна
М2	= М[2ТЛ	f.D-1] +	2{TM-E{TM]aB]—Msq,		(1.63)

где M s q — матрица, каждый элемент которой равен квадрату соот ветствующего элемента матрицы М в (1.62).

1.6. МЕТОД Х А Р А К Т Е Р И С Т И Ч Е С К И Х ФУНКЦИЙ

1.6.1. Характеристические функции цепей Сг. Во мно гих прикладных задачах, связанных с конечными цепями Маркова, использование аналитических методов опреде-

ленпя вероятностного вектора ph=(piJi, • • •> P/t/r)T оказы вается затруднительным, особенно когда велико число состояний г. Значительно проще находить моменты «ли кумулянты вероятностного вектора с помощью характе ристических функций.


Пусть	имеем случайные				переменные		иа,	ы,,		и2,...,
ассоциированные		моментам		времени		/0, t,,	t2,...	и прини
мающие	значения		xt,	х„,...хт.		Переменные			и0,	и„
и„, ... образуют однородную				цепь Маркова Сг . Компоненты
начального	вектора		определяются			как pQa	= р (и0 =			х а ) ,
а переходные		вероятности			ра? =	р{щ1 — х^\и]1_1			=	ха)

образуют переходную матрицу Р. По определению харак теристическая функция вероятностного вектора равнл

<?b(v)=£pk//X? . (1-64)

где і = у—1; v — вещественная переменная.

Она определяет абсолютное поведение переменных йи, независимое от предыстории системы 5 . Начальные мо-

— •

менты вероятностного вектора pk как функции времени tu определяются по формуле

р	\ dvf	J	, / 7 = 1 , 2,...	(1.65)

При k—+oo вероятности pkfi-^р?		И В	этом случае	с по
мощью (1.65)	определяются	моменты	финального	век
тора рф.
Условная	характеристическая функция
	? М = І Р % Ч ) * Х *		(1-66

позволяет определить условные моменты переменной ик при условии, что переменная щ, \ <1 k, имела значение ха .

1.6.2. Распределение суммы переменных в цепи Ст, Перейдем теперь к вопросу исследования распределения

суммы		переменных s = ]£ «д. Характеристическая					функ-
ция	суммы равна
Ь (v) =		£ 5 Л , а о	• • • Pas_2	a s _ {	exp П ^ х	А ,	(1.67)
где	2s — сумма,		взятая по всем		значениям	индексов ссо,
at,	... , a s - i , каждый из которых				принимает	значения 1,
2, ... , г.
	Эта	характеристическая		функция представляет			собой

решение некоторого разностного уравнения. В самом де ле, обозначим

L„ =	p,. р	...р	ехр<шУ] х		,, і .
5	^0a„ ^а 0 «і ^aS ' aS— I		1	aft \|
Тогда			I	ft=0	J
Тогда
Ь	(О) =	H / s . ? 5 + . (°) = S 5 + ,		^ + , •
Введя вспомогательную функцию

получим

а с = 1

< Р » = S	? s S ~ > ) -	(1-68)
<*.S-I = 1
Далее,
•&+. ( ° ) = ^ />B s _, е х р { ш х в 5 }	«Р^-1 (v), a s = ~ r .	(1-69)

Таким образом, функции «р^ - 1 , as _, = 1, г удовлетво ряют системе разностных уравнений первого порядка. Значит, и их сумма q>s(v) удовлетворяет одному и тому же разностному уравнению г-го порядка, которое можно записать символически:

				"f — Чч	— <1іг ••• — lir
				— Ягі	¥ — Яа ••• — Qir					0,	(1.70)
									cps =	0,	(1.70)
				— <7п	— <7г2---¥ — Ягг
где	<7 = р	а ?	ехр {ivXp}.		Степени <p		s + / l		следует		заменить на
	аЭ	а ?					s + / l
<ps	ft после,	разложения			определителя				по степеням <р.
	Уравнение			(1.70) приводится к		виду
											(1.71)
или
				det[/? — Q]<ps		=		0,			(1.72)
где	матрица
	Уравнение			(1.71) линейное однородное						разностное .и

его коэффициенты не зависят от S, так как представляют собой суммы главных миноров различных порядков опре

делителя det Q, не зависящего от S. В частности,			ai =
= Ми+М22+	• • • +М„, аг=	(— l ) r d e t Q. Но они	зависят
от vu vz,...,Vs-i	и являются	непрерывными и дифферен

цируемыми любое число раз их функциями.

Для	того чтобы	найти	выражения		для	начальных мо-
				5 - 1
ментов	Л-го порядка суммы s =			S uh	как	функций вре
				Л = 0
мени, т. е. т^1), поступим			следующим		образом		[36]. До.
пустим,	4то известны решения			<ps + ]	, ... , ? s + r		уравнения
(1.71). Тогда имеем		тождество
	+	a>fs+r-i	+ • • • + OrVs =			0.

С учетом (1.65) получаем неоднородное разностное уравнение для начальных моментов порядка h в виде

т™,

а, \v=0m^r_t

+ • • • + or |В = ХА > =

( Л - v )

(1.73)

ОТ

v = l

где

СA - v

число

сочетаний из h

элементов

по

(h — v).

частности,

для

моментов

1-го и 2-го порідков по

лучим

m s l r

fl.

I » = e ^ s + r - l

• • • +

« г |»=o '

|JL=1

mslr

,(2)

• • • +

(2)

fli l«=oO T S+r-l +

«r

:2t

"rftT

m ( l )

JL.

d u 2

Ju=o

Используя

метод

z-преобразования [37], находим реше

ние

уравнения

(1.71)

в виде

г _ 1

Г — V — і

т СО

Г '

Е *

£ -

Я'(У

v = i

;=о

и-= і

V-'

,-S > г,

(1.74)

1 * = в

где

v = l

(1=1

/я''1 '—начальные условия, получаемые дифференцирова

нием уравнения	(1.67); Я^ — корни	(все различные) харак
теристического	многочлена
V +	я, \|„ = 0 Г - 1 + . . . + аг	\|и=0 = Р (Я);
Р' (Я ) — производная характеристического			многочлена,

вычисленная при подстановке корня Я .

Таким образом, ото формуле (1.74) рассчитывают на чальные моменты любого порядка суммы 5. Расчет не обходимо вести последовательно, начиная с моментов более низкого порядка. Переход к кумулянтам осущест вляется с помощью известных соотношений [38]

(1.75)

Используя ряд Эджворта (см. приложение 1, алгоритм 3), с помощью (1.75) получаем разложение функции распределения суммы 5 в виде ряда.

Общее решение уравнения (1.71) записывается как сумма полиномов и в общем виде достаточно сложно [15]. Поэтому ограничимся асимптотическими (при 5'—>•

—*-оо) соотношениями для математического ожидания и дисперсии суммы s, которая в пределе имеет нормаль

ное	распределение:	г
		г
	ms =	S^,paxa,		(1.76)
4	= 5 [ J] р/а + 2 J]	Z . J ' (Р, -	4 Qa?) 2 р ] ,	(1.77)
где	а	а р
где
	• * . « . - Е Р . ^ С « = = Л * / .		<І)/2Л,.(І>;	(1-78)

Р	(П,	Р а, а (1) — главные алгебраические		дополнения
а а. » '		ар» ар Л	'
порядков г—1,			г — 2 характеристического	определителя
P(A) =		det[/a — і 3 ]; S ' — сумма по всем		р, исключая
Р =	«-

1.7. АППРОКСИМАЦИЯ Д И С К Р Е Т Н Ы Х ПРОЦЕССОВ Ц Е П Я М И МАРКОВА

1.7.1. Оценка связности дискретного марковского про цесса. В общем случае процесс (В.1) либо точно соответ ствует компоненте многомерного марковского процесса,

.либо с достаточной точностью может быть ею аппрокси мирован. В самом деле, и [і) можно получить на выходе динамической системы, подав на ее входы независимые процессы белого гауссова шума [7]. Поведение динами ческой системы в общем виде описывается нелинейным 'обыкновенным дифференциальным уравнением /-го ло- •рядка с постоянными коэффициентами, которое записы вается в канонической форме в виде двух уравнений:

dxi (t)[dt = Fi [х (t)] + tii (t)

(1.79)

— уравнение состояния системы,

— уравнение		выхода системы,		где	tii(t)—независимые
процессы	белого		гауссова шума	с нулевым соедним. і —
= ГЛ;
x{t)	=	[x(t),	dx{t)fdt,...,	^ ' - « ^ ( О / Л » - 1 » ] *

•—вектор-столбец переменных состояния системы, являю

щихся компонентами /-мерного	марковского		процесса;
Fi, Gi — заданные функции своих аргументов,			в общем
случае нелинейные; символ т означает		транспонировав
ние.
Множество всех значений,	которое	может	принять-

—>

вектор состояния х в 'Момент времени t, образует про странство состояний системы или фазовое пространство. Методы приведения дифференциальных уравнений к ка нонической форме рассмотрены в (8]І

Пусть		G[ =	[ l , О, О,..., 0]—вектор-строка				размерности
(1Х0> Ga =		G3 = . . . = G Z = 0.			Тогда	уравнения	системы
запишутся		в виде
			dXi(t)ldt =	Fi[x(t)]		+ Hi{t).
			Ul(t)	=	x(t).		(1.80)
Таким	образом,		случайный	процесс u(t) является компо
нентой	/-мерного марковского процесса: u{t)=ui{t)							—
= x(t).	Увеличивая размерность фазового пространства,
т. е. .порядок дифференциального						уравнения,	можно по
высить точность			аппроксимации.
Перейдем теперь к вопросам квантования							компонен
ты a(t)	/-мерного марковского процесса. Квантование не

является взаимно однозначным преобразованием процес

са, поэтому квантованный				процесс и(1)	не будет		марков
ским /-го порядка.
	В самом деле,	в соответствии с теоремой, приведен
ной	в .[9], только	взаимно	- V	однозначным	преобразованием
			- V	->
				->			процесс
фазового пространства х = <?(х) марковский							процесс
-*	с плотностью				-+	-*	t\y, s)
u(t)	с плотностью	вероятности переходов				Wi(x,	t\y, s)

может быть преобразован в случайный процесс и (t) = = = < Р[Ы (0]> который также будет марковским с плотностью вероятности переходов

wi(x, t\y, s), где уСх,

s<t.

Произведем далее временную дискретизацию процес са u(t) с периодом Гд. В результате связность цепи Мар кова оказывается неопределённой, поэтому можно гово рить лишь об аппроксимации дискретного распределения вероятностей, соответствующего в общем случае много связной цепи, цепью невысокой связности ( v = l , 2, 3). (Определение марковского процесса дано в п. 5.2.5.)

Лишь в том случае, когда число уровней квантования велико, т. е. при высокой точности преобразования, мож но считать, что связность полученной цепи соответствует порядку марковского процесса u(t), а в качестве оценки для связности принять соотношение

v = . / ,

(1.81)

поскольку теперь неоднозначность, равная шагу квантбваиия Дм, весьма мала н ею можно пренебречь. В этом случае при Гд—>-0 применима теорема о сходимости по следовательности цепей Маркова к диффузионному мар ковскому процессу (10].

Если же число	уровней квантования мало	(в	пределе
г, = 1 — бинарное	квантование), то полученная	на	выходе
преобразователя	цепь может оказаться	бесконечно

усложняющейся. На практике необходимо ввести огра ничение на ее связность. Это можно сделать, ограничив рассмотрение вполне регулярными процессами.

В самом деле, 'широкий класс случайных процессов составляют вполне регулярные процессы (163, 169, 170] или процессы с сильным перемешиванием. К их числу относятся эргодические марковские процессы и стацио

нарные	гауссовы процессы,	у которых	R{i)—Ю	при
т — * о о .	Требование R{%)—к)	при х—>-оо	обеспечивает

независимость выборок ограниченного по спектру эргодического процесса при достаточно большом интервале между ними.

Пусть А и В— любые события, определенные на слу чайных величинах u(k) (А^тп) и u(k) \(k~^n) соответ ственно, п>т. Процесс u(t) удовлетворяет условию сильного перемешивания в том случае, если коэффици

ент	перемешивания а(т)		удовлетворяет условию
	ф )	= \Р(АВ)—Р{А)Р(В)\^а{п—т)		(1.82)
для	всех А	и В и для	некоторой функции	а(т)—HD,
при	т — У О О .

Если шаг временной дискретизации Г д процесса u(t) больше Времени ЄГО КОрреЛЯЦИИ Тк , Т. Є. Гд^Тк, то в этом случае с достаточной для практики точностью получае

мая последовательность переменных		u(t),	и(Ъ+Тя),
u(t+2TR),	... некоррелирована и для	многих	реальных

процессов она может считаться статистически не зависимой. Такая последовательность дискретных пере менных при квантовании стационарного процесса обра

зует полиномиальное	распределение, т. е. нульсвязную
цепь Маркова:.v = 0.
Если же 7 д < т к , то	в	общем случае	связность	цепи
v ^ l . Для стационарного		процесса it(t)	в качестве	оцен
ки для v можно взять:
v ~ £ ( p + 0,5),			(1.83)

где	р =	Тк/7,д; Е (х)—	целая часть числа	Л"; а время	кор
реляции		определяется	выражением
			оо
		xK =	-L^\R(t)\dx,	(і.84)
			— 00
где	R(x)—-коэффициент		корреляции	процесса	u(t).

В каждом конкретном случае справедливость соотноше нии (1.81) и (1.83) необходимо проверять, например, с помощью статистических критериев согласия, которые рассматриваются в п. 1.7.3.

Последовательность дискретных переменных, обра зующих цепь Маркова, можно сформировать с помощью динамической системы — конечного детерминированного автомата, на входы которого подаются случайные воз действия. Например, уравнения состояния и выхода авто

мата Мура сходны по форме с уравнениями		(1.79):
Хг(к)=Рг[х(к-\),	П(к)]-
уравн?ние состояния	системы,	(1-85)

,->•

иІ (к) = 0 І [х (к)] — уравнение выхода системы,

где І—Т7І, х(к) — [х{к),	х {к— 1 ) , . . . ,	х {k — /-f- l ) ] T —
вектор-столбец переменных	состояния;	Fj, Gt — заданные

функции своих аргументов, принимающие лишь конечное

множество		целочисленных					значений; i & = 0 ,			1, 2, . . . Про-
странство состояний					х	является		конечным.		Компонента
x(k)							—>
	вектора		состояний				л'(/г)	соответствует			/-связной
цепи Маркова, если компоненты								вектора входных воздей-
	->
ствий	n(k)	независимы и каждая из них представляет
статистически			независимую				последовательность				дискрет
ных переменных.
Вопросы		синтеза			конечных автоматов,				порождающих
дискретные		цепи		Маркова,			рассмотрены		в	работе [11].
Задачей синтеза				является определение функций Ft, Gi, '=
= 1, / по заданной					переходной			матрице	цепи		Маркова,
определение		структуры				конечного автомата				и ее мини
мизация.
Рассмотрим			один из способов					генерирования			последо
вательности		дискретных				переменных, образующих про-

стую однородную цепь Маркова. Пусть переходная ма трица цепи имеет вид

Рва	Рої	Ро2 Роз
Річ	Ри	Ріг	Різ	(1.86)
Pzo	Ргі	Ргг	Ргз	(1.86)
Pzo	Ргі	Ргг	Ргз
Рзо	Рзі	Рзг	Рзз

Каждая строка этой матрицы есть дискретное распре деление вероятностей, которое можно получить из равно мерного соответствующим преобразованием. Такие пре образования в общем случае можно выполнить с помо щью табличного соответствия. Таблица чисел с одним входом может храниться в постоянном запоминающем устройстве (ПЗУ) . Подавая на вход ПЗУ равномерно распределенные числа, на его выходе можно получить за данное дискретное распределение. При этом информация о требуемом распределении должна быть заранее запи


сана в память ПЗУ (рис. 1.				1,а). Переходные вероятности
цепи	Маркова ра?		можно	аппроксимировать выраже
нием	ар =	Яа р/2т ,	где Я а / ? — частота		появления пере
менной и?		после переменной иа. Пусть			дискретное рас

пределение, соответствующее первой строке переходной

матрицы	(1.86), таково: р 0 о=0,25 , /?оі=0,375,			/?о2 =0,125,
роз=0,25,	т. е. / 7 а р =	Яа / р /23 . При этом	А 0 \| 0 = 2 ,	Л0\|1 = 3,
Я0 ( 2 = 1, Я0 [ 3 = 2 . С		помощью датчика	равномерных чи

сел (ДРЧ) вырабатываем последовательность трехраз рядных независимых чисел. Каждое такое число посту пает в регистр адреса ПЗУ, имеющего 8 ячеек. Содержи


мое ячеек таково: ячейки 1 и			2	содержат		число	О,
ячейки	3, 4, 5 содержат	число	1,	ячейка	6 — числ о		2,
ячейки	7 и 8 — число 3.	Иными	словами,		число ячеек,
содержащее одно и то же значение выходной						перемен
ной Ир , равно соответствующему			числу Д , в / ? .

Конечный автомат, генерирующий марковскую после довательность дискретных переменных с переходной мат рицей (1.86) и состоящий из четырех преобразователей равномерного распределения, приведен на рис. 1.1,6. Он включает в себя датчик равномерных чисел ( Д Р Ч ) , блок ИЛИ, блок задержки на один такт (z~l), дешиф ратор (ДШ) и регистры совпадения (PC) . Каждый пре-

4—1410

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 465 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ