|
|
|
|
|
|
|
rt-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о " ( f t ) |
|
= |
_^2 |
|
V |
|
H |
|
+ |
' W ^ ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|X=J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*)>= |
|
K c ' 2 |
(*) + |
o"* |
(ft) |
, Ф (ft) |
= ; |
arctg ^ |
~ |
, |
|
|
Дш (ft) |
= |
ft/' |
(ft) |
- |
o" |
(A - |
1 )| o' |
(4) |
- |
|
(ft) Ifp'i(fe) 1 - |
У (fe)- |
1)] |
|
|
|
|
|
|
|
Г д |
(a'2 |
(ft) |
+ |
t)"2 |
(ft)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
o" |
(ft) У |
(ft — |
1) |
— |
У |
(ft) |
v" (ft — |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(У 2 |
(6) + У' 2 |
(ft)) |
|
|
|
|
|
|
где ft' , Л " — к в а д р а т у р н ы е |
составляющие |
импульсной |
переходной |
ха |
рактеристики; |
u'(k), |
|
u"(k)—квадратурные |
|
составляющие |
дискрети- |
зированного входного процесса; и'(ft), о"(ft) — квадратурные |
состав |
ляющие |
дискретизнрованного |
выходного |
процесса; |
E(k)—огибаю |
щая; i|)(A)—фаза, Дсо(й)=шо—со(ft) =Дт|з(ft)/Гд—отклонение |
часто |
ты от среднего значения, производная фазы. |
|
|
|
|
|
|
3. Описание процедуры на языке А Л Г О Л - 6 0 . |
|
(рх) |
|
|
|
procedure |
фильтр: |
(л) |
переходная |
характеристика: |
|
входное |
|
|
воздействие: |
(in) |
|
выходной |
процесс: |
(out) |
фаза: |
(i|>) |
от |
|
|
клонение частоты: (со) указатель: (/) |
интервал |
дискрети |
|
|
зации: |
( 7 д ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
value |
і, п; |
integer |
і, п\ |
array |
рх, |
in, |
out, |
со; |
|
|
|
|
|
comment процедура вычисляет амплитуду, огибающую, фазу и про
|
|
|
|
|
|
изводную фазы выходного процесса. Если входное |
воздей |
ствие и импульсная |
переходная |
характеристика вещественны, |
то |
вычисляется лишь амплитуда выходного процесса, |
|
comment |
Размерность массива рх—[0 |
: 2 X п—1], |
причем веществен |
ная часть массива |
имеет размерность |
{0: п— 1], |
мнимая |
-часть — [п : 2л—1]. Размерность массива in — [1 : 2 X я). Пер
вые |
п |
ячеек |
массива |
out |
(1 : З X |
п] |
занимает |
вещественная |
часть, |
[ п + 1 |
: 2 X |
п] — мнимая |
часть |
массива |
out, |
[2 X п + |
+1 |
: З X |
п] |
— массив |
|
огибающей |
выходного процесса. |
Размер |
ность |
ip и со — [1 |
: л]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
comment |
f = l , |
если |
рх |
и |
in вещественны, |
i = 2, если |
рх комплексна, |
in — вещественный, |
( = 3, если |
рх |
вещественна, |
in — комплекс |
ный, 1=4, |
если рх |
и in комплексны, |
|
|
|
|
begin integer ft, |
іц,; |
real |
a l , |
|
u2, |
аЗ, |
a4, S I , |
S2; |
|
|
|
for ft: = |
1 step 1 until |
n |
do |
|
|
|
|
|
|
|
begin |
(7і[й]:=ДВіП; |
|
if |
t=2\A'= 4 |
then |
in [ я + А ] : = Д В П ; |
end k\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
comment |
Д В П — неописанная |
в теле процедуры процедура получе |
ния входной |
последовательности; |
|
|
|
|
|
a l : = |
a2: =>a3: =ia4: =0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
for |
ft:=l |
step 1 until n do |
|
|
|
|
|
|
|
|
begin for |
|x:=0 |
step 1 until ft—1 |
do |
|
|
|
|
|
begin |
a\:=px[\i] |
X |
|
in[k—u,); |
|
|
|
|
|
|
if |
i=l |
then |
go to |
M ; |
if i = 2 |
\ / i = 4 |
|
|
|
|
then |
begin ia2 : =px[\i\ |
X |
in[n+k—ц.]; |
|
|
|
|
go |
|
to |
MI |
|
end; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i f . t = 3 V ' |
= 4 then begin аЗ:=рх[п+\ц] |
X in[k—ці]; |
до |
to |
All |
end; |
|
|
|
|
|
|
Ml: |
if |
i—4 then |
a4:=px[n+ii] |
X |
in[n+k—p.]; |
|
|
оЫ [n+fe]: = ou<|[)i+fe]+ (:а2-і-іаЗ) X 7 |
д /2; |
|
Ai:ou? [fe]: = o«if |
|
(оЛ—а4) |
X7\/2 |
|
|
|
end |
|x; |
|
out\2 |
X n+k\.=sqrt |
|
{out[k]\2+out[n-\-k]\2); |
if |
(>1 |
then |
|
i|) [/г]: = arctg( out |
[n+k]/otd |
[k]); |
|
|
|
if |
/г=1 |
then |
begin |
S l : = 5 2 : = 0 ; |
|
|
|
go |
|
to |
M2 |
end; Sl: |
|
= out [k— |
Ц; |
|
|
|
S2: = out |
[k+n—[]\ |
|
|
|
|
|
M2:<s>[k]:=(out{k+n] |
X SI—out[k] |
X S2)l(out[2 |
X |
Х л + А ] | 2 Х Г д ) |
end |
|
|
|
|
|
end |
A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
end |
фильтр |
|
|
|
|
|
|
|
6. Расчет характеристик обнаружения
и оценка числовых характеристик распределений
6.1. Характеристики обнаружения полностью известных сигна лов. Эффективность систем обнаружения оценивается пороговыми "сигналами, для получения которых обычно рассчитываются харак
теристики обнаружения. Для полностью известных |
сигналов т а к о й |
расчет производят |
по формулам |
(2.21), а обобщения |
на |
многока |
нальные системы |
осуществляют |
в соответствии |
с |
(2.22), |
(2.24), |
(2.26). На практике зачастую не удается получить выражения для
ОДНОМерНЫХ ПЛОТНОСТеЙ W2(y\Qo) И Ші(і/|6і), входящих в (2.21), поэтому ограничиваются определением числовых характеристик
(моментов) |
этих |
плотностей. |
|
|
|
|
Моменты плотностей ИУІ(І /|6 О) |
И wi(y\Qi) |
на в х о д е |
порогового |
устройства |
чаще |
всего |
определяют |
методом |
характеристических |
функций либо методом следа. Примеры применения |
первого ме |
тода |
даны |
в пп. 2.3.4, |
2.4.5, а второго — в п. 2.4.5. В |
тех |
случаях, |
когда |
не удается |
получить моменты |
названных |
плотностей, |
а также |
с целью проверки аналитических и приближенных соотношений для
вероятностей Di |
и Fi |
находит применение метод |
Монте-Карло. При |
этом |
в качестве |
оценок этих вероятностен используют частости |
|
|
|
N— 1 |
|
N—1 |
|
|
|
|
В І |
= (І/ЛО2 rf,(*)."?, = |
(i/ло 2 |
d2(k), |
|
где d i ( £ ) = 0 , i l , |
dz(k)=(),l—индикаторы |
превышения |
порога |
обна |
ружения выходным |
напряжением |
обнаружителя |
для |
гипотез # і |
и Н0 |
соответственно. |
|
|
|
|
|
|
Однако при |
расчете как малых |
F i < Ю - 1 , так |
и больших |
£>i>0,9 |
вероятностей такая методика приводит к необходимости большого числа повторений опыта Л', т. е. к значительным затратам машинного времени. В самом деле, как следует из неравенства Чебышева [68], требуемое число повторений опыта равно
где d=blp — относительная ошибка моделирования; б=|р—р\\ р — оценка вероятности р, получаемая в результате моделирования.
Минимальное число повторении опыта, как показывает практика статистического моделирования [159, 160], равно
|
|
|
|
Wm l n =10//>. |
|
|
|
(П.1.2) |
При моделировании событий, происходящих с большими веро |
ятностями |
( р > 0 , 9 ) , оценку |
числа |
повторении |
опыта получим, |
из |
(П.1.1), положив |
р = 1 |
(при |
этом |
Л' |
окажется |
несколько |
занижен |
ным) : |
|
|
9 ( 1 — |
р) р |
9 о |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иными словами, требуемое число повторений опыта растет об |
ратно |
пропорционально |
вероятности |
моделируемых |
событии |
при |
р < 0 , 5 |
и обратно |
пропорционально |
вероятности |
1—р |
при |
р>0,9. |
|
Требование большого числа повторений опыта N |
при |
определе |
нии малых |
и больших |
вероятностей |
затрудняет |
использование |
ме |
тода Монте-Карло. Выходом из положения является использование метода экстремальных статистик [159, 162] и метода выборочных кумулянтов [160], рассматриваемых ниже.
Оценка числа повторений опыта, основанная на неравенстве Чебышева, (0.1.1), дает, как правило, завышенное число N. По этому для получения достоверных результатов на практике довольно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
часто |
используется |
следующий |
прием. |
|
|
р^.0,5 |
Сначала |
задается |
N m i n . |
определяемое |
для ожидаемого |
из (П.1.2), |
а |
для |
р ^ 0 , 5 |
— из |
(П.1.3). Задача |
решается |
первый |
раз при Nm\n |
|
повторениях |
опыта, |
а на печать выводится вероятность |
р = 0 , |
а, В, |
у. |
• •> г Д е |
а > |
P. Y> • • • — десятичные |
разряды |
числа р. |
Пусть |
необходимо |
определить |
вероятность |
р с точностью до |
третье |
го знака поете запятой у. Продолжаем статистический эксперимент,
увеличивая |
каждый раз |
число повторений опыта |
N на |
величину |
(Vmin, при |
этом наступает |
стабилизация: вначале а, |
затем |
В и т. д. |
В рассматриваемом случае опыт следует остановить, когда застаби-
лизнруется |
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fi(v)— |
|
6.2. Метод |
экстремальных |
статистик. |
Пусть |
Wi(v) |
и |
плотность |
вероятности |
и |
интегральная |
|
функция распределения, |
a |
w'i(v)—производная |
от |
wi(v). |
Если |
для |
больших |
положитель |
ных значений v |
справедливо |
соотношение . |
|
|
|
|
|
|
|
|
о;, (a) |
|
|
w\ |
(о) |
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
Fi |
(v) |
|
|
щАр) |
|
' |
|
|
|
то |
правый |
«хвост» распределения |
принадлежит к |
экспоненциально |
му |
классу |
и представляется |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р. (о) = |
1 - |
4" |
ехр |
[ - |
а„ |
( i > - |
н.„)]. |
|
|
(П. 1.4) |
Если же для больших отрицательных значений v |
справедливо |
соот |
ношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wj (У) |
= |
w\ |
(V) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F , |
{у) |
|
ш, |
(v) |
' |
|
|
|
|
то к экспоненциальному классу принадлежит левый «хвост» рас пределения [162]. В этом случае он представим в виде
|
|
Л (") = — ехр [а, (и — Ы ] . |
(П . 1 . 5) |
|
Вероятность ложной тревоги можно |
определить из |
формулы |
(П.1.4) |
|
|
|
|
|
F(c)=l-Fl(c) |
= -!~exp[-an(c-i>.n)], |
( П . 1 . 6 ) |
где |
п — число |
выборочных |
значений случайной величины |
о на вхо |
де |
порогового |
устройства, |
использованных |
для вычисления парамет |
ров а п и цп- |
|
|
|
|
|
Рассмотрим метод оценки параметров |
а п и ц п , основанный на |
первом предельном распределении Гумбеля [161]. Процедура опре деления этих величин состоит в следующем. Вырабатывается N=mm
Р |
|
!. |
1 |
|
1 |
1 |
0,99 |
|
|
|
|
|
|
- Й - й - |
Теоретическое |
|
|
|
|
пеевско е |
|
\ 1 |
\ |
Ре- |
-о—о- |
значение |
0,9 |
|
Экстремальные |
|
|
|
|
|
статистики |
0,8 |
|
|
|
|
—X—х—Метод выборочных |
OtS3 |
|
|
|
|
|
кумулянтов |
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\Экспоь<енциа^ чьное |
|
ю-1 |
|
|
|
|
|
|
|
Норма, ЯЬНОЄУ |
|
|
|
10-2 pacnpt '0ЄЛЄ- |
|
|
|
|
ми е |
|
|
|
|
ю~ |
|
|
|
|
|
|
10' |
|
|
|
|
|
|
ю -5 |
|
|
|
|
|
|
Ю~ |
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
8 |
10 |
РИС. І П . І . І . Эффективность методов выборочных кумулянтов и экс тремальных статистик.
значений случайной величины v на |
выходе |
устройства обнаруже |
ния |
(на входе порогового устройства). Числовая |
последовательность |
{ « } |
разбивается |
на т групп по п чисел в каждой группе. Во всех |
группах определяются |
максимальные |
значения |
|
|
|
и1 |
Vі |
О1 |
ТГ гЯ |
*? |
г,"1 |
• |
пт |
|
vl< |
v2 |
vn ' |
V\> ° 2 ' •••> |
Vn ' '••> V\ > V2 |
V n • |
|
|
"Ітвх |
|
u2majc |
|
°mmax |
|
Далее находятся среднее и дисперсия максимальных значений: |
|
'«і |
fymaxl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
I |
\ ~ 'max' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(=1 |
|
|
|
|
|
|
|
В' |
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
[Ощахі = |
"max = « 2 ["max! ~ |
A |
|
|
|
ftnaxl; |
|
|
І |
И, наконец, |
определяются |
оценки |
экстремальных |
параметров] |
! j |
|
|
а п |
= |
я/ |
К б " а т а Х | |
|
|
[ 0 m a x J |
- |
0,5772/^,. |
|
(П . 1,7) |
j j |
Расчет зависимости вероятности ложной тревоги как функции |
порогового |
уровня |
|
с производится |
по |
формуле |
(ПЛ.6) |
с |
учетом |
(П.1.7). На |
рис. П.1.1. |
приведены |
зависимости |
р(с) |
для |
нормаль |
ного, |
релеевского |
и |
экспоненциального |
распределений, |
полученные |
с использованием соотношений (П. 1.6), |
(П. 1.7), |
а |
также |
теоретиче |
ские |
кривые. При этом |
было |
взято |
Л/=10\ |
т = 2 0 , |
я = 5 0 0 . |
|
|
|
Как следует из рисунка, процедура, основанная на экстремаль |
ных |
статистиках, |
дает |
возможность |
получить |
величины |
F = 1 0 ~ 4 , |
Ю - 5 , |
что принципиально |
невозможно^ при прямом использовании ме |
тода |
Монте-Карло |
при W=104 . Тем самым |
удается |
сократить |
число |
повторений опыта в 10—100 раз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Границы доверительных интервалов для вероятности F можно |
получить |
с |
учетом |
того |
обстоятельства, |
что при от = 20 |
оценка |
Цп более достоверна, чем оценка <ап |
[159]. Для нормального распре |
деления при /ге=20, |
л = 5 0 0 |
доверительный |
интервал |
± ч а |
для |
а п |
соответствует |
следующим |
границам |
для |
моделируемой |
|
вероятно |
сти |
F: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорети |
|
Верхняя |
|
Нижняя |
|
|
|
|
Теоретический |
|
выбор |
|
|
|
|
значений т и' п, обеспечи |
ческая |
|
|
|
|
|
|
граница |
|
граница |
|
|
вероятность |
|
|
|
|
|
вающих |
яри заданном W = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
тп |
наибольшую |
|
точ |
ю - » |
|
1,1 - 10 - ' |
|
0,7 - 10 - ' |
|
|
ность получаемых |
результа |
|
|
|
|
тов, |
затруднителен. |
Поэто |
ю - * |
|
2 - Ю " * |
|
0,5 - 10 - * |
|
|
|
|
|
|
му |
на |
практике |
|
указанные |
ю - ! |
|
5 - Ю - 8 |
|
0 , 4 - 1 0 - ' |
|
|
|
|
|
|
|
величины |
определяются |
эм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пирически. |
|
|
|
|
|
|
|
Наряду с рассмотренным существуют и другие методы оценки |
параметров |
а п |
и |
р;„: метод |
максимального |
правдоподобия, |
асимп |
тотический метод Кимбелла, метод, основанный на втором предель ном распределении Гумбеля [159, 161]. Исследования, проведенные на Э Ц В М , показали, что наиболее приемлемым по быстродействию является метод, основанный на первом предельном распределении. Точность этого метода совпадает с точностью метода максимального правдоподобия [159].
Из рис. П. 1.1 следует, что в области вероятностей /7>0,1 на блюдается большое расхождение между теоретическими и экспе риментальными зависимостями, что обусловлено использованием статистик максимальных значений в области минимальных -значений.
Это обстоятельство служит |
препятствием |
при использовании данной |
процедуры для расчета вероятности правильного |
обнаружения. |
6.3. Метод выборочных |
кумулянтов. |
В |
п. 6.1 |
рассматривалась |
процедура определения вероятностей D |
и F , |
основанная на оценке |
вероятности в соответствии с ее статистическим |
определением |
|
|
p = n/N, I |
|
(П. 1.8) |
где N — число |
повторений |
опыта; |
а — число |
превышений |
порога |
обнаружения с. |
При этом |
никакой |
априорной |
информации |
о плот |
ностях вероятностей W i ( v |#о) и wt(v\Qi) не используется [см. (2.21)].
Однако весьма часто такая информация имеется в ее использование
может повысить эффективность оценки р.
Априорная информация может содержаться в следующих пред положениях: а) плотности Wi(y|0o) и ШІ(У|8І) могут быть с до
статочной точностью представлены конечным числом моментов (или
кумулянтов), |
б) плотности ВУІ(И|0О) |
и wi(v\Qi) связаны с нормаль |
ным |
распределением |
(нормализация) либо |
слабая |
нормализация, |
в) «хвосты» плотностей wi(v\Qo) и ші(а|0і) |
относятся к экспонен |
циальному |
классу (см. п. 6.2) |
и т. д. |
|
|
|
В |
то |
же |
время, |
хотя |
оценка |
(П. 1.8) |
является |
состоятельной |
и универсальной, но зачастую она неэффективна и ее следует ис пользовать при полном отсутствии априорной информации о харак
|
|
|
|
|
тере плотностей ид(і>|0о) |
и Wi (w|0j). |
|
Пусть плотности |
Wi(v[Q0) |
и а>і(-о|0і) представимы |
конечным |
числом кумулянтов xi , хг, . . . , Хщ, которые мы определим по вы- |
борке о = ( о і , 02,..., |
vN). |
Подставив оценочные значения |
или вы |
борочные кумулянты xi , Х2, . . . , Х т в ряд Эджворта для плотности
[160], получим оценку плотности wi(v). Далее, используя соотноше ния (2.21), определяем оценки для F и D.
Таким образом, процедура расчета характеристик обнаружения
сиспользованием метода выборочных кумулянтов состоит в сле
дующем. Располагая выборкой случайных величин vu vi,..., Ум на входе порогового устройства, методом Монте-Карло определяем оценки начальных моментов в соответствии с формулой
|
|
тгЕ'?- |
* s b , , |
: |
|
|
(П. 1.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, по известным оценкам моментов определяем |
выборочные |
кумулянты по формулам [38] |
|
|
|
|
|
|
|
|
%1=т1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 2 = |
/и2 — |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
V, = ~т3 — Зоті тг |
+ 2т\, |
|
|
|
|
(П . 1 . 10) |
|
|
|
|
|
|
|
х,, = |
т ф — 4/njm3 |
— Ът\ + |
12 т,тг |
— бот, |
|
|
После этого |
выборочные |
кумулянты |
(П.1.10) |
следует |
подставить |
в ряд Эджворта |
(алгоритм |
3, |
приложения |
1), |
либо в ряд |
Лагерра |
(50]. Выбор |
того |
или иного ряда |
зависит |
от |
априорных |
сведений |
о плотностях ffi>i(f|0o) и W\(v\Qi). |
Для нормализующихся |
плотно- |
28—1410 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
425 |
стей предпочтительнее ряд Эджворта, основанный на нормальной плотности, при слабой нормализации удобнее ряд Лагерра.
Для оценки эффективности метода выборочных кумулянтов ме тодом Монте-Карло определялись выборочные начальные моменты
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тк, |
ft |
= |
l , 2, |
3, 4, 5, |
6 |
при W = 104 . Далее при помощи |
(ПЛ.10) и алго |
ритма |
3 |
приложения |
1 были |
получены |
зависимости |
для нормаль |
ного, |
релеевского и |
экспоненциального |
распределения |
(рис. П.1.1). |
Сопоставление этих |
зависимостей с теоретическими позволяет судить |
о точности |
метода: в |
области |
р>0,1 |
метод |
выборочных |
кумулянтов |
превосходит, |
а в области р<0,\ |
по крайней |
мере |
не уступает точно |
сти |
метода |
экстремальных статистик. |
При тех |
же выборочных ку |
мулянтах большую точность для релеевского и экспоненциального распределений для любых р можно получить, используя ряд Ла -
reppa.
Точность метода выборочных кумулянтов лимитируется как по
грешностями оценок |
кумулянтов по |
выборке ограниченного |
объема, |
так и ограниченным |
числом членов |
ряда Эджворта или |
Лагерра. |
В области вероятностей /л>0,1 для релеевского и экпоненциального распределений расхождение больше, чем в области малых вероятно стей /;<0,1, поскольку при значениях аргумента с, близких к нулю, наблюдается наибольшее расхождение между нормальным и ука
занными |
распределениями, |
а ряд Эджворта построен |
на нормаль |
ном распределении. |
|
|
Таким |
образом, метод |
выборочных кумулянтов |
позволяет со |
кратить число повторении опыта в 10—100 раз по сравнению с пря
мым |
методом |
Монте-Карло. |
Это |
обстоятельство весьма |
важно |
в тех задачах, когда реализации сигналов и помех являются |
много |
мерными |
и их имитация в Э Ц В М |
связана |
с большим |
числом |
опе |
раций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.4. Характеристики |
обнаружения |
квазидетерминированных |
сиг |
налов. |
В |
некоторых |
задачах |
плотность |
вероятности |
Ші(и|0і) = |
= Wi(v\a) |
содержит неизмеряемый параметр а , неизвестный, |
но по |
стоянный |
на |
интервале |
наблюдения |
и изменяющийся |
от выборки |
к выборке в соответствии с плотностью вероятности Ші(а). Приме ром такой задачи является обнаружение пачки эхо-сигналов при
совместных |
флуктуациях |
эффективной |
отражающей |
поверхности |
цели. Вероятность |
|
правильного |
обнаружения |
можно |
|
вычислить |
по |
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( П Л . 1 1 ) |
|
|
|
|
|
|
—00 |
|
|
|
|
|
|
|
где |
D(a)'—условная |
|
вероятность |
правильного |
обнаружения |
флук |
туирующего сигнала, принявшего данное значение параметра а. |
|
Представив |
вероятность D(a) |
в |
виде ряда |
Эджворта |
|
(прило |
жение 1, алгоритм 3), приходим |
к |
необходимости статистического |
усреднения |
условных кумулянтов |
и * ( a ) , |
k=\, |
2 , . . . Однако непо |
средственное усреднение возможно только для начальных |
моментов |
rrih, |
k—l, 2 , . . . |
Поэтому |
перейдем |
от условных кумулянтов |
к |
услов |
ным начальным |
моментам [38]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
/и, (а) = |
х, (а), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/;г2 (а) = |
х 2 ( а ) |
+ |
х 2 ( а ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
Щ (<*) = |
"з (а ) |
+ |
Зх2 (а)>, (а) + |
к\ (а), |
|
|
|
|
|
m„ (a) = x„ (a) + 4x3 (a) x, (a) + 3x* (a) + 6%2 (a) xj (a) + x? (a),
Далее проведем статистическое усреднение условных начальных моментов
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
< " ' h > |
= |
j "IK ( a ) |
ш і |
( a ) rfct |
|
|
її получим безусловные начальные моменты. Окончательно, |
перехо |
дим к безусловным кумулянтам по |
формулам (П.1.10), заменив ти |
на < ш і , > . Теперь уже |
не |
представляет |
труда |
провести |
расчет |
в соответствии с |
алгоритмом |
3 |
приложения |
1. |
|
|
Упрощенная |
методика |
|
расчета |
по |
формуле |
(П.1.11) |
состоит |
в замене интеграла конечной суммой |
|
|
|
|
|
|
JV-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D=b £ |
D(at)Wl |
( a ( ) |
До( . |
|
( П . 1 . 1 2 ) |
1=0
6.5. Оценка методом Монте-Карло некоторых числовых харак теристик распределений. В практике статистического моделирования весьма часто используются выборочные оценки для определения начальных моментов (П.1.9), вероятностей различных событий (П. 1.8), взаимно корреляционных функций и т. д. Важной задачей является при этом определение числа повторений опыта N, обес печивающего получение результатов с заданной достоверностью. Вопрос определения числа /V при вычислении вероятности (П.1.8) обсуждался в п. 6.1. Рассмотрим особенности определения числа повторений опыта N при вычислении выборочной дисперсии оценки параметра X:
•,1 [ ^ J = F = T ' S T ' - ( ' ^ ' S ^ J ' |
( П Л Л З ) |
i=i |
^ |
І=І ' |
|
где Xt— случайная величина, оценка параметра X в t'-м испытании.
Число Ы, |
требуемое для |
получения о 2 [X] с заданной точностью |
3 = \ Х—Х\, |
определяется в случае |
нормального |
распределения слу- . |
чайной величины X по формуле |
[68] |
|
|
|
y |
V ^ - J |
- L . |
(П . 1 . 14) |
Из (ПЛ.14) следует, что требуемое число N можно определить лишь в процессе статистического эксперимента, подставляя в (П. 1.14)
величину аЦХ, N] из (П.1.13), поскольку а2[Х] является искомой ве личиной. В силу этого обстоятельства, а также того факта, что рас пределение W\(А) не всегда подчинено нормальному закону, исполь зование (П. 1.14) при определении числа JV приведет к получению
недостоверных результатов. Аналогичные затруднения возникают |
и |
при |
определении числа /V в задачах |
выборочной |
оценки |
целого |
ряда других |
числовых характеристик |
н параметров |
распределении. |
|
Наиболее |
целесообразным методом |
определения |
числа N |
в |
об |
щем |
случае является эмпирический метод последовательных |
оценок |
со сравнением промежуточных результатов, рассмотренный в п. 6.1
применительно |
к оценке |
вероятности (П.1.8). Предварительно пере |
пишем алгоритм (П.1.9) в |
рекурсивной |
форме. Такая |
форма удобна |
при последовательном определении оценок, и, кроме |
того, |
она |
тре |
бует минимального |
числа |
|
ячеек |
памяти Э Ц В М . Имеем |
|
|
тк |
(N) = |
mh |
(N - |
1) |
+ |
4" |
о" (ЛО = |
[1 |
- |
a (N)] |
mh{N-l) |
|
+ |
+ |
а (ЛГ) о* (ЛО = |
mk(N—l)+a |
|
|
|
{N) [о* (ЛО — |
mh |
(N— |
1)], |
(П. |
1.15) |
где а ( Л 0 = 1/ЛЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Алгоритм |
(П.1.15) |
есть |
|
фильтр |
с |
растущей |
памятью |
(см. |
п. 5.5.1) или алгоритм последовательного |
сглаживания. |
|
|
|
Аналогичным |
образом, |
в |
рекурсивной |
|
форме можно |
записать |
выражения и для других выборочных оценок. Например, рекурсив
ный |
алгоритм |
для |
оценки |
выборочной |
дисперсии |
(П.1.13) |
имеет |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о* [X, ЛО = |
[1 — a (N — 1)] т2 (N — 1) + |
a (N) |
и= (Л7 ) |
— |
|
|
— {[1-а |
(N)[ |
т, |
(N — |
1) + |
a (N) |
v (ЛО}2 |
mt |
(М — 1) |
+ |
|
+ |
а (ЛО [v2 |
(Л7) — щ |
(N — |
1)] — |
{ m , |
(N |
— |
1) + |
а (Л/) [о (N) |
— |
|
|
|
|
|
— яг, ( Л 7 — 1)]}г . |
|
|
|
(П. 1.16) |
|
Эмпирическая |
процедура |
определения |
числа повторений |
опыта |
Л' такова. Задаем минимальное число |
Nmm= |
100ч-200, находим |
оцен |
ки начальных моментов в виде (П.1.15). Выводим на печать ре
зультат: |
/П(,(Л'пііп) =А |
= а,а$у6 |
где а — |
целая часть |
числа А, |
а$у6 |
— дробная |
его |
часть. Пусть необходимо |
определить |
/пд с точ |
ностью до третьего знака после запятой у, т. е. |
6=\ть.—пгк\^0,009. |
Начав с |
Nm\a повторений |
опыта, продолжаем |
статистический |
экспе |
римент, последовательно увеличивая N. Выводим на печать следую |
щие |
результаты: mh(2Mmia), |
mh(3Nmin),..., |
ffift(WVmin), |
|
где |
г— |
= 1, |
2 , . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
этом |
оценка |
mA(rJVmin) = |
а,сф'у6 |
изменяется, |
с |
увеличе |
нием N происходит стабилизация: вначале а, затем а и т. д. Опыт |
следует остановить, когда застабилизируется р\ |
|
|
|
|
|
Эта процедура может быть реализована алгоритмически, без |
вывода |
на печать |
промежуточных |
результатов. Она легко |
обоб |
щается на случаи выборочных, оценок любых параметров и числовых характеристик распределений.
Отметим также, что при определении методом Монте-Карло функций некоторого параметра, например характеристик обнаружения
Dh = D (qh), где ^ — отношение сигнал/шум в ряде точек q^ q\, ...
...,qk,..., |
требования к точности каждой оценки Dh = D(q£) |
могут |
быть снижены, поскольку вся зависимость D= D (q2) может быть сгла жена, например, методом наименьших квадратов.
