Если не считать изменения порядка строк вектора S„, то ре зультирующая квадратная матрица в (5.46) равна матрице [\Vnh] в (5.45). Обозначим вектор-столбец с измененным порядком строк
|
|
S'= [ 5 Д 5 , 5 з ] - . |
|
|
Определим |
теперь число |
операции |
комплексного |
умножения |
и сложения, связанных, с численным |
решением |
уравнения (5.46). |
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V10 |
1 |
0 W° 0 ~ |
Voo |
|
?>„ |
= |
»п |
0 |
I |
0 |
w° |
У 01 |
(5.47) |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
Г |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
_ «03 _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко убедиться, что элементы |
вектора |
vn определяются |
с помощью |
четырех операции комплексного сложения и двух операции комп
лексного |
умножения. |
Общее |
количество |
операции |
при определении |
|
—V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора |
5 „ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
So |
|
|
1- |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 |
— |
|
1 |
wn- |
0 |
|
|
|
|
(5.48) |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s3 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
равно N\/2 = 4 |
операциям |
комплексного умножения |
и Ny |
операциям |
комплексного |
сложения. В |
то же время |
для вычисления |
элементов |
|
—у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора |
Sn |
в формуле (5.44) |
необходимо |
/V2 операции |
комплексного |
умножения и сложения. Для больших N уменьшение |
объема опера |
ций оказывается значительным. |
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
алгоритм БПФ |
можно |
рассматривать как ме |
тод факторизации матрицы |
порядка |
(N X N) |
на у |
подматриц того |
же порядка, каждая из которых дает возможность уменьшить число операций комплексного умножения и сложения. Это уменьшение
связано |
с нулевыми членами факторизованных матриц. |
Однако, |
факторизация |
матрицы приводит к замене вектора S„ на |
вектор |
S'„ с переставленными элементами. |
Покажем, |
как можно из |
вектора |
S'n |
получить вектор Sn. |
Запишем |
вектор Sn, |
заменив его ар |
гумент |
двоичным |
кодом |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
= [ 5 0 0 S 0 1 S 1 0 |
S U ] T . |
(5.49) |
Заменим теперь |
двоичные |
коды |
(5.49) |
на обратные, |
т. е. 01 на 10, |
10 на 01, и т. д. Тогда окончательный |
результат соответствует век |
тору |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, видоизмененный вектор S'n соответс.зует вектору S n , двоичные коды которого заменены на обратные. Для N = 8
S'n |
[ ^ 0 0 0 |
> ^ Ю 0 > ^ |
0 1 0 1 |
^ 1 1 0 ^ 0 0 1 |
' ^ 1 0 1 |
і |
^ 0 1 1 • |
і ] т |
— |
|
= [5 0 , S 4 , 5 2 , 5 Й , S j , S5, S3, S 7 ] T |
|
|
вместо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•S„ = |
[ 5 0 0 0 , |
5 0 0 1 , 5 |
0 1 0 , |
S 0 1 1 , S I |
0 O , S 1 |
0 |
1 , S n o , |
5 n |
] ] T . |
Поэтому после выполнения двоичной инверсии аргумента вектора S'„ точно известно, чему соответствует каждый элемент видоизмененного
вектора S'n.
5.3.4. Некоторые особенности БПФ. Применение дискретного преобразования Фурье к анализу непрерывных функций времени связано с рядом трудностей, к числу которых относятся: появление ложных спектральных составляющих, размывание спектральных составляющих, паразитная амплитудная модуляция спектра — «эф фект частокола». Кроме того, возникают затруднения при непосред ственном использовании соотношений
К(п) = |
$ 1 |
(л) |
(5.50) |
и |
|
|
|
5 3 ( „ ) = 5 , |
(n)S*2(n), |
|
(5.51) |
применяемых при вычислении операции свертки (5.50) и взаимной
|
|
|
|
|
|
|
корреляционной |
функции |
(5.51), см. (5.42), (5.43): |
|
|
:j3(k) |
= [W-™]S3(n). |
(5.52) |
Появление |
ложных спектральных |
составляющих или иначе — эффект |
маскировки |
спектра — связано |
с |
невысокой |
частотой дискретизации |
/л — см. п. |
4.2.2. |
Размывание |
спектральных |
составляющих связано |
с ограниченностью массива обрабатываемых данных, что эквивалент но умножению сигнала на прямоугольную выделяющую функцию, спектр которой имеет вид sin х/х. Умножение на выделяющую функ цию эквивалентно свертке в частотной области, что и приводит к размыванию каждой спектральной составляющей, которые теперь
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вместо дельта-функций имеют |
вид sin х/х. Множество |
боковых ле |
пестков |
функции sin х/х приводит |
к размыванию |
спектральных |
со |
ставляющих. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обычно с |
целью |
ослабления |
этого |
эффекта |
используют |
одну |
из реализуемых |
аппроксимаций |
выделяющей |
функции |
Дольф — Че- |
бышева |
(см. п. 4.3.4), |
например |
функции Хэмминга, |
Тейлора. |
|
Дискретное |
преобразование |
Фурье |
S(n) |
(4.42), |
с |
помощью ко |
торого вычисляется спектр входного процесса v(k), |
эквивалентно |
набору |
(гребенка) полосовых |
фильтров, каждый из которых на |
строен на частоту f(n) = п/ЫТд, |
п=0, |
1, ... , N—1, и имеет частотную |
характеристику |
вида |
sin х/х, полоса пропускания |
каждого фильтра |
имеет порядок 1/W. Эффект паразитной модуляции спектра возни кает, когда анализируемый процесс содержит дискретные спектраль-
ные составляющие, не совпадающие с частотами f(n) = п / Л Т д . Этот эффект ослабляется введением непрямоугольной выделяющей функ
ции |
ТІ дополнением исходного массива данных |
нулями [122]. |
|
Использование уравнений (5.50) — (5.52) для |
вычисления свертки |
соответствует свертке периодических |
функции. |
Если же функции |
v\(k) |
и г)г(А)—непериодические, то |
получаемая |
циклическая сверт |
ка будет существенно отличаться от нециклической. Эта трудность
преодолевается |
свертыванием |
расширенных последовательностей |
v'i(k) и г)'г(/г), |
дополненных нулями: |
о', (k) = У, (А),У2 {k)"~ Ьа (k) при 0 < k < N — Ч,
|
|
|
(5.53) |
-У, (А) = 0, и', (k) = 0 |
при /V — К |
k < |
2М — 1. |
Получаемая последовательность |
гЬ(/г) содержит |
2N |
членов. |
ЗА К Л Ю Ч Е Н И Е
Взадачах синтеза и анализа цифровых устройств обработки радиолокационной информации важное зна чение имеют вопросы статистического описания после довательностей дискретных переменных на выходе ана лого-цифрового преобразователя, поскольку от функцио нального вида многомерных распределений дискретных переменных зависят синтезируемые структуры, а также возможность оценки их эффективности. В п. 1.1 отме чалось, что существует четыре модели статистического описания, каждая из которых находит применение для определенного класса задач.
Первая модель связана с введением аддитивных шумов квантования. Она используется при высокой точ ности преобразования. Синтезструктуры цифровых устройств обработки в этом случае осуществляется по
аналоговому |
прототипу |
при переходе от |
непрерывного |
к дискретному времени, а при анализе |
эффективности |
учитываются |
эффекты, |
связанные с шумами квантова |
ния, округления, исследуются вопросы |
устойчивости |
замкнутых систем. Наибольшее распространение такая модель получила при синтезе и анализе цифровых ли нейных фильтров (см. гл. 4), имеющих заданные ампли тудно-частотные и фазо-частотные характеристики.
Вторая модель в сущности своей соответствует аппроксимации произвольного многомерного дискретно го распределения многомерным нормальным. Пример подобной аппроксимации рассмотрен в п. 2.4.5. Опре делив ковариационные матрицы квантованных последо вательностей, легко найти параметры устройств обра ботки, т. е. обнаружителей, измерителей. Структуры таких устройств соответствуют хорошо известным гаус совым алгоритмам: (2.178), (2.105), (2.106), (2.107) — постоянные и квазидетерминированные сигналы, (2.117), (2.118)—стохастические сигналы. Эта модель наиболее часто используется для синтеза цифровых обнаружите лей и измерителей при большом числе разрядов аналого-цифрового преобразования. Достоинство гаус-
совой модели — простота технической реализации корре ляционных (гауссовых) алгоритмов для детерминиро ванных и квазидетерминированных сигналов. Чем ближе исходные распределения к нормальным, тем меньше потери в эффективности таких алгоритмов.
Первая и вторая модели нашли широкое применение как при теоретических рассмотрениях, так и на прак тике.
Менее распространенной является третья модель, когда последовательность дискретных переменных на выходе аналого-цифрового преобразователя аппрокси мируется конечной цепью Маркова (см. § 1.7). Ограни ченность времени корреляций реальных случайных про цессов, принадлежащих к классу процессов с сильной перемешиваемостью [163], дает возможность задать многомерное распределение дискретных переменных через условные (переходные) вероятности. Универсаль ность таких статистических описаний (функциональная инвариантность по отношению к исходным многомерным распределениям) приводит к синтезу устройств обработ ки, структурно-инвариантных в широком классе распре делений сигналов и помех. Ясно, что структурно-инва риантные алгоритмы более сложны при технической реализации, чем корреляционные. Как следует из рис. 2.42, дополнительно к накапливающему автомату теперь необходимо подключить комбинационный авто мат, т. е. в общем случае нелинейный инерционный пре образователь. При нормальных распределениях для смеси сигнала с помехой и помехи в состав обнаружи теля входил бы умножитель и накапливающий автомат, если бы корреляционные матрицы при обеих гипотезах совпадали.
Возможная область применимости третьей модели — синтез цифровых обнаружителей и измерителей при не высокой разрядности преобразования и исходных рас пределениях, значительно отличающихся от нормальных.
Остановимся теперь на другом |
существенном вопро |
с е — м е т о д е синтеза цифровых |
устройств обработки. |
Выше были рассмотрены три метода синтеза: по анало говому прототипу, статистический и эвристический. Та кое деление является условным. Но оно удобно методи чески и, кроме того, соответствует принятым на практике приемам определения структуры цифровых устройств обработки. В то же время все три метода можно свести
к одному — статистическому методу синтеза при задан ных соответствующим образом моделях распределений дискретных переменных. В самом деле, синтез по ана логовому прототипу эквивалентен статистическому син тезу при использовании первой модели статистического описания и при введении дискретного времени. Эвристи ческие структуры, как правило, можно получить мето дом статистического синтеза, используя вторую модель для распределений дискретных переменных. При этом дискретными переменными могут быть не только кван тованные отсчеты входных процессов, но и некоторые их параметры, например фазовые отсчеты. С целью упрощения структур упрощают статистические описания: нестационарные процессы заменяют на стационарные, иногда игнорируют корреляцию между отсчетами и т. д. При этом упрощается техническая реализация устройств обработки, но одновременно падает их эффективность. Достижение желаемого компромисса между аппаратур ными затратами и эффективностью — задача довольно сложная и при ее решении существенно используются опыт и интуиция разработчиков.
Имея ту или иную структуру, синтезированную эври стически, в общем случае не оптимальную в смысле теории статистических решений, можно задать вопрос: для каких распределений такая структура оптимальна? Если такие распределения существуют, то задача эври
стического |
синтеза сводится к статистическому |
синтезу |
и выбору |
подходящих аппроксимаций для соответствую |
щих распределений дискретных переменных. |
|
Таким образом, можно сказать, что существует один |
метод синтеза — статистический и разные модели |
много |
мерных распределений для последовательностей дискрет ных переменных на выходе аналого-цифрового преобра зователя. От выбора модели зависит сложность техни ческой реализации устройства или алгоритма обработки и его эффективность.
ПРИЛОЖЕНИЯ
П Р И Л О Ж Е Н И Е 1
АЛ Г О Р И Т М Ы И П Р О Г Р А М М Ы ,
ИС П О Л Ь З У Е М Ы Е В СТАТИСТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ
|
1. Моделирование псевдослучайных чисел, |
|
|
распределенных |
по нормальному |
закону |
|
|
1. Алгоритм предназначен |
для |
получения |
псевдослучайных чи |
сел, |
распределенных по нормальному |
закону с |
параметрами (mi = 0, |
|
2. Последовательность |
псевдослучайных |
чисел |
{v}, |
принимаю |
щих |
значения |
v0, vi, v2,. |
., |
Vj, |
/=0, |
1, 2 , . . . , |
получается |
из |
после |
довательности |
равномерных |
на |
интервале |
(—1, +1) псевдослучай |
ных |
чисел { « } , |
принимающих значения и\, |
«2, • •., |
« І , . . . , |
І=1, |
2 , . . . , |
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
где k — нормирующий множитель, / = 0 , |
1, 2 , . . . |
Для |
улучшения |
асимптотической |
нормальности использовано |
соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vj=Vj |
— |
- Щ Г |
(Зо,- |
— o; 3 ) . |
3. Проверка основных статистических свойств числовой после |
довательности М |
приведена |
в |
[149]. |
|
|
4. Описание алгоритма на |
языке |
А Л Г О Л - 6 0 . |
real |
procedure |
псевдонормальное |
число; |
|
comment |
в |
процедуре |
использована неописанная процедура |
функция ДСЧ, идентификатору этой процедуры присваивается зна чение псевдослучайного числа, равномерно распределенного в интер
вале (—1, |
+ 1 ) ; |
|
|
begin real и; integer і; |
u:=0, |
for i: = |
l step 1 until 5 |
do |
ы: = и + Д С Ч ; |
Псеводонормальное число: |
= . 7 9 X u — ( 2 . 7 3 X « — (.79 X « ) f 3 ) / 1 0 0 |
end |
|
|
|
2.Вычисление интеграла вероятностей
1.Алгоритм предназначен для приближенного вычисления инте грала вероятностен
X
_2_
б
Абсолютная ошибка ие превосходит 2- 10~
2.Вычисления производятся по формуле
бп - л
|
|
|
Ф (х) = 1 |
1 + Ц flfcx* |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а і = 0,0705223078, |
о 4 =0,0001520143, |
|
|
|
а 2 =0,0422820123 , |
05=0,0002765672, |
|
|
|
я 3 =0,0072705272, |
а 0 =0,0004430638 . |
|
3. Описание алгоритма |
на языке А Л Г О Л - 6 0 . |
' |
real procedure |
Ф(х)\ |
value |
х\ real х; |
|
begin |
real |
V, |
у; |
|
|
|
|
if |
abs (x) |
З І 5 |
then |
|
|
|
begin (£>:=sigii |
(x)\ go to Af |
|
end; |
|
|
|
|
|
|
|
f/:=0; |
|
|
|
|
|
|
for |
V: = .4430638, o—4,. .2765672i o—3, |
|
.1520143io—3, .72705272,0—2, .422820123ю—1, |
|
.7052230781 0 —1 do |
|
y:={y+V)Xx; |
|
ф : = 1 _ (1 + ( / Ж - 1 6 ) ; |
|
|
M : end Ф (x) |
|
|
|
|
|
3. Разложение интегральной функции
распределения в ряд Эджворта
1. Алгоритм предназначен для приближенного вычисления инте
гралов
с
|
F , ( C ) = |
j V . G O |
|
|
|
—со |
|
|
в виде ряда |
Эджворта, где iFi (у) |
— функция |
распределения случай |
ной величины |
у. Оценку точности разложения в первом приближе |
нии можно производить по последнему члену |
разложения. |
2. Вычисления производятся по формуле |
|
|
Fr ( с |
) = - 2 - П + Ф ( ^ ) ] - - ^ 7 ^ - \*kH2{y) |
+ |
+ ^ ы + wя * { у ) + + ~ ^ г ) Я б { у ) +
+ ^~ Ht (у) + ^ + ^ T ^ j Я , (У) т | г Я , (у) +
+ |
- Щ - и* (У) + |
Т29ІГ Я » |
(У) j ' |
где у = (с —х,)/х.!/2 |
— нормированный |
аргумент; |
k = X g / x i p — коэф |
фициент асимметрии, у = " j / " ? — коэффициент эксцесса.
|
3. Описание алгоритма на языке А Л Г О Л - 6 0 . |
|
|
|
procedure |
Эджворт |
(и) |
кумулянты, |
( x l , |
х2, хЗ, х4, х5, хб) |
по |
следний |
член: |
|
(Д) |
результат: |
(F) |
ненормированный аргумент: |
( с ) ; |
|
comment к — число членов |
ряда, « т |
а х = 1 3 . |
|
|
|
В процедуре локализирована неописанная в теле процедуры про |
цедура |
функция |
Ф (д.'), |
вычисляющая интеграл вероятности; |
|
|
value x l . х2, |
хЗ, х4, |
х5, хб, |
с, |
к; |
|
|
|
|
|
integer /і; |
real |
x l , |
x2, хЗ, x4, |
x5, хб, |
c, F, |
Д; |
|
|
|
begin real k, y; integer i: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
array |
a[\ |
|
: 9], |
|
6 [0 |
: 11]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y:={c—x\)lsqrt |
|
(x2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k : = x 3 / x 2 t |
|
1.5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a [ I ] : = 4 x f t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
[2] |
: = |
x4/x21 |
|
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a [ 3 ] : = х 5 / ( 5 Х х 2 | 2 . 5 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
[4] |
: = |
k t |
2/3 |
|
+ x6/(30 x |
x2 |
t |
3); |
|
|
|
|
a |
[5] |
: = |
k X |
a |
[2]/6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
[6] |
: = |
a |
[2] |
і |
2/48 |
+ |
X |
a |
[3]/6; |
|
|
|
|
а |
[7] |
: = |
k t |
|
3/54; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
[8J |
: = |
H |
|
2 |
X |
|
а [2]/432; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а [9]: = a [7] X |
|
ft/24; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*[0]: = |
1; |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
for |
i': = l |
step |
|
1 until |
10 |
do |
|
|
|
|
|
|
|
|
b [t+1]: = ( / X 6 |
И — i'X6 [t—4]; |
|
|
|
|
|
comment переменным |
b[i] |
присваиваются |
значения |
полиномов |
|
|
|
Эрмита; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b [10]: = 6 [П]; |
|
/г:=0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
for |
і: = 2 |
step |
1 until |
n—3 |
do |
|
|
|
|
|
|
|
begin Д: = 6 [і] |
X а |
[і—1]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k:=k+iA |
|
|
end; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b [0] |
: = |
|
ехр (— |
г/1 2/2)/60.1590792; |
|
|
|
|
f : = .5(l+<D(0/1.41421356))—i[0] X k; |
|
|
|
|
Д : = Д |
X |
6[0]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
comment Д — последний |
член разложения; |
|
|
|
|
end Эджворт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Моделирование многомерных нормальных последовательностей
1.Алгоритм предназначен для моделирования нормальной корре лированной последовательности рекурсивным методом.
2.Вычисления производятся по формуле
|
|
|
Т |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v (/г) = £ |
o,tu |
(k — |
і) — 5] btv |
(k — |
i), |
k = |
0, |
1, 2, ... |
|
|
|
t =0 |
|
|
|
|
i = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
at, |
bi—параметры |
дискретного |
фильтра, |
коэффициенты |
разност |
ного |
уравнения; {и}—последовательность |
|
отсчетов |
белого |
гауссова |
шума; |
{и} — последовательность отсчетов нормальной |
коррелирован |
ной |
последовательности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Описание процедуры на языке А Л Г О Л - 6 0 . |
|
|
|
|
procedure |
cor process |
{in, |
l, |
с, |
d, a, |
b, |
x, |
z, |
vk); |
|
|
|
|
value |
in, |
l\ integer |
in, |
I. |
c, |
d; |
real |
vk; |
array |
a, b, |
x, |
z; |
|
|
comment используется |
процедура |
получения нормальных псевдослу |
|
чайных чисел |
/V(«); |
|
|
begin real ы; integer і; |
|
|
|
|
vk: = |
0; |
|
|
|
|
|
|
for (: = 0 step 1 until m do |
|
|
begin |
if c=m+l |
then |
c:=0; |
|
vk: = vk-\-a [і] |
X x |
[in—c]; |
c: = |
c+l |
end i; |
|
|
|
|
|
|
|
c: = |
c—1; |
|
|
|
|
|
|
for |
i : = l |
step |
1 until |
/ do |
|
begin |
if d=l |
then |
d:=0; |
|
|
vk: = vk—b[i\ |
Xz[l—d]; |
|
d: = |
d+l |
end i; |
|
|
|
|
|
|
d: = d— 1; |
z[l—-d]: = vk; |
x[m—c]:=N(u) |
end corprocess |
|
|
|
|
|
|
5.Вычисление комплексной свертки
1.Алгоритм предназначен для приближенного вычисления инте гралов вида
|
и(/) = |
00 |
— т)Л(х) ат, |
|
- ^ - —оо |
где ц(/) — комплексная |
огибающая |
входного |
узкополосного про |
цесса; |
h{t)—комплексная |
импульсная переходная характеристика |
узкополосного фильтра; |
v{t)—комплексная |
амплитуда выходного |
процесса. |
|
|
|
2. |
Вычисления производятся по |
формулам: |
|
