книги из ГПНТБ / Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации

ности

с

корреляционной

функцией

Ви = а2 е х р ( — а й Г д )

=аггк.

С

учетом

(5.13), имеем

z-преобразование

ут=?х

і

,

і

] / Т Г 7 |

F

^ -

1 — r l Z -

l +

l

— r s Z

' ~ (1 — r , Z - ' )

(1 —

Г,2 )

Тогда

с

учетом (5.17)

а

уравнение (5.16) дает окончательно

v ( k ) = y i

— r\u{k)-\-rxv(k—\).

(5.19)

Реализация

этого

метода

на Э Ц В М

при моделировании

после­

довательностей с дробно-рациональными

спектральными

плотностями

высокого порядка требует большого количества

пересылок: для по­

лучения

очередного значення

и ( 6 + 1 )

следует выработать u(k+\)

и

заслать

его на

место

u(k),

которое отправляется

на

место

u(k—1)

и

T: д. После того, как v(k+l)

найдено, приходится

его поместить

в

ячейку, где находилось

v(k), a v(k)

отправить

иа

место

v(k—1)

и т. д. Время, связанное с

пересылками,

можно

существенно

сокра­

тить следующим образом.

ставлена в виде параллельного соединения звеньев первого

и

вто­

рого порядков. При этом звену первого порядка

соответствует

раз­

ностное

уравнение

vT>{k)=Aopa(k)—

BlvW{k—

1), / 7 = 1 ,

Я ,

(5.20)

а

звену

второго

порядка — уравнение

v> [к)

= Апа

(k) +Allu(k—l)

— ВцО' ( k -

1)

-

—

— 2),

/ = ГГТ.

(5.21)

Р

L

v (k) = £

VP (/г) +

£

о' (k).

(5.22)

Вычислительная процедура теперь

состоит

в следующем. С по­

мощью одной

и той же последовательности

отсчетов

белого гауссо­

ва шума

{и}

образуем по

формуле (5.20)

Р

последовательностей

vp(k) и по формуле ( 5 . 2 1 ) — L последовательностей

vl(k).

Оконча­

тельный

результат — последовательность

{v}

— получаем

из (5.22).

° №

=

T-S4?W

(5.24)

Коэффициенты

\h

в

формулах (5.23)

и (5.24)

опреде­

ляются

в соответствии

с выражением

[152]

К = $к

j

[ ^ - ^ H ] 1 / 2 c o s ( r r A U ) ) r f c o ,

(5.25)

о

оо

где F {

w ) = - ^

^;(х ) e~'°"dx -=- энергетический

спектр

—оо

случайного процесса

a{t).

Пример. Моделирование

процесса с гауссовой функцией корре­

ляции (2.100) В (х) = вЧ-***".

Па основе (5.24)

и (5.25)

имеем

и/2

v [к) = ^

V * - * •

где

|л= - н/2

/ і 1 і = в » і ї - І / - , ( 2 т ) | / 2 е х Р ( - 2 ї » | д . 8 ) І

Y =

a y « . Y <

1/2.

Наряду с рассмотренными методами, описан также

метод моделирования

с

использованием канонических

разложении случайного

процесса [152].

5.2.4. Моделирование

числовых

последовательностей

Wn(VU V2, . . ., Vn) > O n + l .

(5.26)

pa х=-(хи хг, ...,

хп)т.

В противном

случае значения vu v2, ..., vn

отбрасы­

ваются, формируется новая последовательность

{и,}ипро-

ведению Д

(pi—ai)m. Поэтому для больших п

такой

/=1

способ

неприемлем.

5.2.5. Моделирование диффузионных процессов. Ши­

рокий

круг

задач статистической радиолокации

связан

р (G, t/x,

s) =

\ Wi (у, t\x,

s)

dy.

a

При этом

необходимо, чтобы

lim

[

wt(y,

t\x,

t — td)dy

=

0.

(5.27)

Iltf-A-Il

-у

Компоненты вектора сноса cii(x, t),

/ = 1 , 2,

. . . , / и

элементы

матрицы

диффузии

Ьц(х, t),

і,

/ = 1 , 2,

. . . , /

определяются

как равномерные пределы

по формулам

at (х, t) = lira

Г

(уІ —

Xi) wi (у,

t\x, t —

At)

dy,

(5.28)

litf-?l<»

X (У, -

Xj) wi СУ, t\x, t -

M) dy,

(5.29)

->

которые в силу (5.27)

не зависят

от б. Матрица

В(х,

t) =

->

=[bij(x,

t)} — симметричная и

неотрицательно

опреде­

ленная.

Плотность переходных вероятностей

wi(y, t\x, s)

про-

- >

- э -

»

+4-S

')»!]•

Моделирование

таких процессов

на Э Ц В М

основано

на стохастических

уравнениях Ито:

і

dvi (t) =

at

(v (t), t) +

£ r « (о (0,

0 d«j (0,

(5.30)

/=i

где U j ( f ) — г а у с с о в ы

процессы

с независимыми

прира­

щениями,

у

которых

mi[Uj(t)—u,(s)]

= 0,

tn2[Uj(t)

—

—uj{s)]=

\t—s\,

а функция

rij(v(t),t)

образует

матрицу

RR*

= B,

(5.31)

т. е.

I

2

rtJv,

*) =

Ьц(р,

t).

Уравнения Ито можно представить в интегральной

форме

і

і

t

vt

(t) =

Vi (0) +

j

ai [v (s), s)ds+

£

j

г ц

(v (s),

s) diij

(s),

0

/=1

0

(5.32)

где

V{(0)

— начальное

значение процесса,

t =

l , /.

рой метод,

при этом

разобьем интервал

(О, Г„)

точками

to = 0<h<..

.<tm=TB

на

части

длиной

Ati — ti+i—U, вы­

берем начальные значения процесса УІ (0),

UJ(0) И

построим разностный аналог системы (5.32)

Vi(t,)

= vi(t0)

+ ai(v(t0),

* 0 ) Д * 0 + Е

г „ И ' ь ) .

^о) д "і(0) .

I

vi{t2)

= vi(ti)-r-ai(v(tl),

* , ) Д ' , +

2 ' « И ' , ) .

tJAu^l),

Vi

(tm)

=

Vi (tm _,) -4- cii [v

l

/=І

І=Л7"/,

/И = 0,

1,

2,...

где

{ы} — последовательность

нормальных

случайных

чисел

с

параметрами

(О, У At І ) .

интервала (О, Тв)

При

достаточно

мелком разбиении

последовательность

v,(ta),

v2(ta),...,

vt(tj,

(Ka.<m)

сколь

угодно

точно аппроксимирует

непрерывный

процесс

t ) j ( r ) , v i ( t ) .

Можно

показать,

что

процесс

V i

(th)

==Vi (tk_,)

+

at

(v (tk_,),

fh _,) (tk — tk_,)

- f

max

Ми—УО.

Моделирование

процесса

v(t) можно

осуществлять

как

с фиксированными начальными значениями t/i(0),

vi(0),

-> так

и случайными, задаваемыми плот-

ностью

Wi(x).

Оценка качества модели диффузионного процесса

производится методом доверительных

интервалов

для

диффузии В(х,

t)

моделируемого

процесса.

5.2.6. Моделирование

числовых

последовательностей

с распределениями

Пуассона,

Бернулли

и полиномиаль­

ным. Для

случайных

величии,

подчиняющихся закону

Пуассона,

распределение вероятностей

имеет вид

Рт

== р(и =

т) = ~

е " \

т =

0,

1,2, .. .

(5.33)

где р (v =

/?г) — вероятность

того, что

случайная

величина

о примет

значение,

равное

га,

ИіРт=\.

Т

Процедура

моделирования

на

Э Ц В М числовой по­

следовательности

с

распределением

(5.33)

сводится

к следующему. Вычисляем

вероятности

Ро, Pi,

Pz, ••• и

разбиваем

отрезок

(0,

1)

на

участки,

длины

которых

численно

равны

этим

вероятностям

/о = Л), h — Pu

h—

= />2, ••• Вырабатываем

равномерно

распределенные

на

отрезке (0, 1) случайные числа. Попадание

числа Uj на

участок lh соответствует тому, что случайная

величина

v

приняла

значение,

равное

к. Эта

процедура

соответст­

вует проверке

неравенства

E " £ ^ < ^ E " X S ^ -

( 5 -3 4 )

( = 0

=0

1

сел с распределением

Wi(u)

=Хе~'Ки.

Образуем возра­

стающую последовательность

сумм

« 1 , " 1 + « 2 , « 1 + " 2 + " з , • • •

и фиксируем такое I, что

1

1+1

2

< я < 2 НІ.

ния этого события в данной серии распределено

по за­

кону Пуассона со средним X.

вид

Р[п,

р,

т)=\С'Ірт{\]-'р)п-т,

тя = 0 * 1 ,

2,...,г Й.

(5.35)

Наиболее

просто

получить

это

распределение при

/j = 0,5,

поскольку последовательность

цифр

в

двоичных

разрядах

мантиссы

ненормализованных

псевдослучай­

ных чисел, распределенных равномерно на отрезке

(0,1),

есть

последовательность

независимых

испытаний. По­

этому

число

единиц

(или нулей) в

последовательности

п

разрядов

мантиссы имеет

распределение

Бернулли

с

вероятностью 0,5.

Для

реализации

такой

процедуры

необходимо,

чтобы

в Э Ц В М

была

команда

«подсчет

числа

единиц» в п разрядах двоичного числа.

рования

последовательностей

с распределением

Пуас­

лирования

пуассоновских

последовательностей.

Распределение вероятностей

полиномиального

закона

определяется

соотношением

Р (/я„ пи,...,

/я ) =

-г-4

гР

'Р

-

р "

Р

.

(5-36)

г

т

щ

где р 1 ( р2,...,

рг — вероятности

принятия

случайными ве­

личинами

ы,-

{=1,

п

значений xlt

*х2,....

хт;

mit

т2,

m r

— числа

появления

значений

хи

х2,

хТ

в выборке объема п.

Из условия

нормировки S Pr==tl-

Поэтому

можно от-

1) разбить на г

г

резок

(0,

участков, равных вероятностям

k=Pu

k=Pi,

lr=Pr-

Далее

генерируем

случайные

числа

Uh, k=l,

2,

равномерно

распределенные

на

интервале (0, 1). Попадание числа ии в

участок

h

отождествляем с появлением значения хи

t = l , г

на

к-и

шаге, k=

1,

2, . . .

5.2.7. Моделирование

числовых

последовательностей,

связанных

цепными

зависимостями. Простая

(односвяз-

ная)

цепь

Маркова

с

г состояниями Аіг

А2,

...,

Аг

за-

рены в [155].

Пусть

г=2

и на

вход линейного преобразователя

рис. 5.1,а (где

F — сумматор по модулю

2)

поступает

бернуллиева

последовательность

нулей

и

единиц

{и}: р(0)

= ^ ,

р{\)=р.

Выходная

последовательность

связана

с входной соотношением

y(k\+\)

= y[k)®x(k+\),

(5.39)

(5.39) и (5.37)

имеем:

p\y{k+\)

=0/y{k)

= Q] = p[x[k+l)

=0]=<7,

p[y(k+l)

= ljy{k)

=0]=p[x(k+\)

= l ] = p ,

p[y(k +

\)=0Jy (k)

=

1]=p [x (k + 1 )

= 1]=p,

p[y(k+\)=Uy(;k)

=

\] = p[x(k+\)

= 0 ] = ? .