Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 464 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ности pkB должны быть одинаковыми для любого состоя


ния Ak		в	подмножестве			В{. Эти	общие вероятности
Pij,	і,	/ = 1 . 5		образуют		переходную	матрицу	Р	объеди
ненной		цепи.
	На	практике при			объединении состояний			поступают
следующим			образом.		Пусть U— ( s X r ) -матрица,				у кото
рой	J-Я строка			есть	вероятностный		вектор	с	равными

компонентами для состояний в подмножестве ВІ и нуля ми для остальных состояний, а V—(rXs)-матрица, j-ії столбец которой содержит единицы, соответствующие со стояниям в подмножестве Bj, 'и нули, соответствующие остальным состояниям. Тогда переходная матрица реду цированной цепи равна (30]:

	P =	UPV,	(1.27)
Пусть, например,
	1/2	1/4	1/4
Р:	1/2	0	1/2
.	1/4	1/4	1/2

и рі2 = Рз2= 1/4. а ри = р2з — 11г- Это значит, что								состояния
Аі	и А3 можно объединить.					Новая	группировка		состоя
ний такова:			5 = і ( 5 ь	В2) ='(А% ЛІ+Л3). Тогда
				1/2	Р	1/4 г
Р	=	о	0	1/2	1/4	1/4 г	0
				1/2	1/4	1/2

		1/2	1/2		0		L	1/4 3/4 J
				1/4	0	1/2

			L		1/4		0
					1/4
	После составления матриц U и						V полезно		сделать
проверку									(1.28)
				VUPV=PV.					(1.28)

Это соотношение устанавливает возможность объедине ния состояний Аи Л г , Л г относительно выбранной группировки состояний 5 = (Ви В2,... Bs).

Во многих случаях условия сильной объединимости цепи, т. е. инвариантность по отношению к любому на чальному вектору, не выполняются. Поэтому представля ет интерес рассмотреть вопросы слабой объединимости, справедливой только для определенного вида начального вектора. При слабой объединимости для определения пе реходной матрицы редуцированной цепи используется со отношение (1-27), где матрица V определяется так же,

как и	ранее. Матрица U порядка	(sXr)	определяется
теперь	по-иному: г-я строка этой	матрицы	есть началь-

ный вектор исходной цепи ро, ограниченный по состоянию ВІ в объединенной цепи, т. е. такой, что компоненты, со ответствующие состояниям, не принадлежащим BH рав ны нулю, а остальные компоненты пропорциональны со-

ответствующим компонентам вектора р0. Для получения матрицы U сначала записывают s одинаковых строк,

каждая из которых есть начальный вектор ро, затем в і-й строке вычеркивают компоненты, не принадлежа

щие состоянию ВІ,	вместо них записывают нули, а остав
шиеся компоненты	нормируют,	т. е. умножают на число
с > 1 с тем, чтобы сумма компонент каждой			строки	была
равна 1.
При объединении состояний		устойчивой	цепи началь-
			-*•	->

ный вектор является одновременно и финальным: р0 = РФПосле составления матриц U и V следует сделать про верку (1.28). Вторая проверка такова

•UPVU=iUP. (1.29)

Условия i('1.28) и (1.29) достаточны для слабой объединимости.

Чаще всего на практике условия сильной или слабой объединимости не выполняются. В этом случае также возможно воспользоваться изложенными выше методи ками. Однако теперь объединенная цепь не будет про стой цепью Маркова и в лучшем случае может быть ап проксимирована асимптотически простой.

1.4. М Е Т О Д Ы О П Р Е Д Е Л Е Н И Я ВЕРОЯТНОСТНОГО ВЕКТОРА

1.4.1. Постановка задачи. Рассматривается некоторая физическая система S, имеющая г состояний. Поведение этой системы задано вектором начальных вероятностей


р„ и переходной матрицей		Р. Необходимо найти			зависи-
мость	вероятностного вектора		от	времени, т.	е. рк.
В пределе, k-+oo, для регулярных			цепей существует пре
дельное	(финальное) распределение			(1.6)
	Рф =	Нт рй-.

Непосредственное определение рк основано на теореме Маркова

		P!p =	Spt ;71 PY P =	S p a / - , I	(1.29а)
			7	Т
где	Y = l , г; pka?	— вероятность		перехода из	состояния
Аа	в состояние	А? за	k шагов.	Тогда

При определении Рк можно использовать возможность приведения матрицы Р к нормальной форме Р — Н&йН~1, где & й — диагональная матрица, зависящая только от

характеристических

чисел

матрицы

Р, Н — преобразую

щая матрица.

Если

характеристические

числа

простые,

т о д г ав =

[8 «ря р]' г д е

S a p =

П Р И

a ^=P - 8 a p = = 1

П Р И

P-

Элементы

матриц

Я и

Н'1

определяются

из

решений

алгебраических

уравнений

РН — Н З Н ' 1

Р = < 5

, d g

И'1,

ИН~Х =

Значит,

Рк — Нc7jg

Н'\

а при

простых

харак

теристических числах <^ав = [8а?Яр ].

Ниже рассматриваются аналитические методы опре-

деления вероятностного вектора Ph (дискретного рас пределения вероятностей состояний системы 5 ) .

1.4.2. Метод z-преобразования (метод производящих функций). По определению 2-преобразование существует для функции f(k), если с ростом k f(k) не увеличивается быстрее геометрической прогрессии, и дается в виде

f(z) = f f(b)z\

где | 2 | < 1 .

(1.31)

Функция f(z) называется также производящей функцией последовательности /(0), /і(1),..., f(k)

Обратное ^-преобразование равно

f(fe) = / f l t ) ( g ' ' = ' ,

(1.32)

где fW(z)

=dkf(z)/dzh.

Применение z-преобіразования к дискретным цепям Маркова связано с тем, что вероятности .переходов в них.

sa ift шагов являются геометрическими прогрессиями, так JTO с помощью ^-преобразования можно получить выра жения для этих вероятностей в аналитической форме [32].

Для	вероятностных			векторов	и	переходных			матриц
г-преобразование применяется					к	каждой		компоненте и
к каждому элементу в отдельности.
Найдем		^-преобразование			функции		/(&), сдвинутой
вправо на		один шаг, т. е. і/(/г + 1). По					формуле		(1.31)
(МЄЄМ
	f / ( А + 1 ) г *		=	£ f(l)zi-=z-[f(z)-f{0)\,					(1.33)
	/г=0			(=1
где	f(z)- есть z-преобразование				функции			f(k).
Теперь		найдем	г-преобразоваиие для					рекурсивного

соотношения (1.30). Обозначив г-преобразоваиие векто-

ра рк через	p{z), с учетом (1.33)	получим
	г - М р ( г ) - ? 0 ] т = ? Т ( 2 ) А
или, после	преобразования,
	pt{z)=pl[I~zP\-\	(1.34)

Решение всех задач, связанных с переходным дроцессом, содержится в матрице [/—zPY i . Действительно, об ратное z-преобразование (1.34) есть

		? h = ?0N(k),		(1.35)
где H(k)—обратное		^-преобразование	матрицы {/—zP}~1 .
Сравнивая (1.35) и		(1.30), легко убедиться, что		H(k)~
<=Р*.
	Определение вектора ph методом		z-преобразования
;вязано с обращением матрицы {I—zP]			и применением
таблиц -г-преобіразования некоторых			простых	функций
[32,	33].
	Заметим, что в	отличие от 2-преобразовання, (приме

няемого в теории линейных импульсных систем [см. (4.7)], здесь используется разложение по положительным

степеням z,	поскольку £ ( & ) < 1 для всех к=0,	оо.
Ї.4.З. Приближенный метод. Чаще всего производящая
функция f{z)	представима в виде отношения	двух поли
номов, не имеющих общих корней:
	f(z)=A(z)/B(z).	(1.36)

3—1410

оч

В этом случае обратное ^-преобразование можно найти методом разложения >/j(z) на простые дроби.

Если полином		B(z) имеет / корней pi, р2 , • •	Рл а сте
пень полинома	А (z) меньше степени В (z), тогда
В	{г)	= i ( z - p i ) ( z - p 2 ) . . . ( z - p , )	(1.37)

и функция /(z) может быть представлена в виде

Коэффициенты с,-, ( = 1, / находятся по формуле

с4 = - Л(рО/Д':(РО .

,(1.39)

Обратное z-преобразование для (1.38) в соответствии с (1.32) равно

Если функция f(z), определяемая в соответствии с (1.36), есть производящая для переходной вероятности рар, ТО (1.40) означает, что вероятность перехода из состояния Аа в состояние Лр за k шагов равна

Обычно определение всех корней полинома i(1.37) за труднительно. Поэтому ограничиваются нахождением наименьшего по абсолютной величине корня 'Полинома Pi (1.37). С достаточной для практики точностью можно полагать:

Р * р ~ ^ + \ а,	р = Г 7 .	(1-42)
1.4.4. Формула Перрона.	Переходные	вероятности

р*р можно выразить через характеристические числа ма трицы и алгебраические дополнения характеристического

определителя Р(1). Элемент

матрицы Ph цепи Сг вы

числяется в соответствии с формулой [15]

(1.43)

где р\ — компонента вектора финальных вероятностей:

					(1.43а)
Ррр (1),	-Ра а (1) — главные	алгебраические		дополнения эле
ментов	раа, р матрицы	[2/ — Р\;	Я„	Я2 ,	— собст
венные	значения матрицы	Р с кратностями яг,,			т2,...,тч,
причем для цепей Сг Я0 =		1; Ра? (Я)— алгебраическое допол
нение,	соответствующее	элементу	(Я/рв	— p^J	характери
стического определителя		Р (Я) = del [XI — Р],
	Рг(Х) = Р(Х)/(Х-Хг)т\		i = ~ q .

Практическое применение формулы Перрона затрудняет ся сложностью определения собственных значений пере ходной матрицы Р.

Начальные		моменты	/тгр		вероятностного			вектора
можно вычислить следующим						образом.	По определению
тЛ.		k =		Q ' U 2		Р = ° . r		~ L О - 4 4 )
	о = 1
Вектор моментов тк = (т*,					т\ , ..., mkr_		) т	на k-ы шаге
определяется		как
		(m^		=		pT0PW,		(1.45)
а на k-\-\	-м —
		(т'1+1У=рг0Рк+1У,						(1.46)
где
		1	X,		X? . .
		1	х2		4	. . • х*2	\ ~
		1	х3		н	• • . - г 1
		1	хг		х- . .
— матрица	Вандермонда			[29].

Тогда (//z'! + 1 )T =(/?zf t )T V'lPV,

t .

е. моменты

вероятно-'

стного

вектора

вычисляются

рекурсивно, начиная

с на-

—>

чального

вектора

моментов

т°.

Для

регулярной

цепи

моменты

финального вектора определяются из

уравнений

ml = rnTyPV-\

(1.47)

J.5.

ЗАДАЧИ, С В Я З А Н Н Ы Е

С Д О С Т И Ж Е Н И Е М

ГРАНИЦ

1.5.1. Метод

фундаментальных

матриц

для

поглощающих

цепей

Маркова. Заметим, вначале, что для цепи

с поглощающими

состоя

ниями с возрастанием времени tu,

k—\,

. . . , вероятность того, что1

процесс закончится

одном

из поглощающих

состояний,

стремится

к единице.

прикладных

задачах

определяют

следующие характеристики:.

Среднее значение и дисперсию времени

нахождения

системы

в каждом непоглощающем состоянии до попадания в одно нз по глощающих.

2. Среднее значение	и дисперсию времени до перехода			системы
в поглощающее состояние из данного		начального	иепоглощэющего
состояния.
3. Вероятность перехода в данное		поглощающее	состояние.
Для получения этих	характеристик	обычно пользуются		методом

фундаментальных матриц Дж . Кемени [30]. Запишем в канонической

форме переходную матрицу для поглощающей цепи:
	Р =	- _ S J _ 0 _ ]		г-		R1.48)
		R	I Q	J
где 0 — нулевая	подматрица	порядка		[r—s)Xs;	Q—sxs-подматрица,
соответствующая	множеству	невозвратных			состояний;	5 — ( г — s ) X
X(r—s)-подматрица,	соответствующая эргодпческому					множеству
состояний; R — sx(r—s)-подматрица,				соответствующая		переходам

из невозвратного в эргоднческое множество состояний. К такой фор ме любая переходная матрица поглощающей цепи приводится пере становкой соответствующих строк и столбцов. Матрицу Q можно также получить из исходной матрицы Р вычеркиванием строк и столбцов, содержащих вероятности переходов в поглощающие со стояния.

По определению фундаментальная матрица поглощающей цепи равна

						00
r =	[ / - Q ] - ' = [<e p ]	= / + Q +	Q i + : Q « + - . . =			£ < 2 h -	(1-49)
						k=o
Элемент	фундаментальной	матрицы	есть	среднее		время	(среднее
число шагов) нахождения системы в			состоянии		при начальном не
поглощающем состоянии Аа		до попадания в		эргоднческое множество
состояний	S .

Введем в рассмотрение единичный вектор-столбец с п определим вектор

7 = Те.

(1.50)

Компонента ta, а = 1 , 2 s, вектора-столбца t есть среднее время до попадания системы в одно из поглощающих состояний при начале процесса из иепоглощагощего состояния Аа.

Пусть R—sX(r—я)-матрнца	(1.48),	получаемая из	переходной
матрицы Р вычеркиванием	отвечающих	поглощающим	состояниям

строк и отвечающих непоглощающнм состояниям столбцов. Обра

зуем	матрицу				B = TR.					(1.51)

Элемент 6а р матрицы В				есть	вероятность		того,	что	процесс закон
чится в поглощающем				состоянии Л ч ,		если он начался			в непоглощаю-
щем	состоянии	Аа.
	Рассмотрим далее			матрицу
				Tz=T{2Tae—1]-Teq,						(1.52)
где TBq — матрица, составленная из квадратов элементов										матрицы Т;
Tdg	— диагональная		матрица,		получаемая из		фундаментальной Т при
равниванием		нулю	ледиагональных			элементов.		Элемент		(,ta^)i ма

трицы	Т 2 есть дисперсия времени прохождения процесса		через состоя
ние	при начальном непоглощающем состоянии Аа		до попадания
в поглощающее множество состояний S .
И, наконец, вводится s-мерный		вектор-столбец
	7, = [ 2 7 - -	/ ] ? - £ „ ,	(1.53)

где tSq — вектор с элементами, равными квадратам элементов век-

тора t. Тогда компонента (/ а ) 2 вектора h есть дисперсия времени попадания в одно из поглощающих состояний при начале процесса из непоглощающего состояния. Аа.

1.5.2. Метод фундаментальных матриц для регулярных и эргодических цепей Маркова. В теории регулярных цепей Маркова используются два подхода {30]. Первый аналогичен рассмотренному выше подходу для цепей с поглощением и основан на построении фундаментальной матрицы типа (1.49). Хотя переходная матрица регулярной цепи и не содержит поглощающих состояний, однако те состояния, временами достижения которых интересуются, можно принять за поглощающие. При получении матрицы Q вычеркивают строки и столбцы матрицы Р, соответствующие состояниям, приня тым за поглощение, и далее используют методику, описанную в п. 1.5.1.

Если же необходимо определить среднее время возвращения в данное состояние, то следует найти вектор финальных вероятно стей рф. Тогда среднее время возвращения в состояние Аа при

Ііачале процесса из пего же pdBtid

аа• ґ а*

асреднее время пребывания в состоянии Аа

Определим теперь среднее время возвращения процесса в задан

ное

подмножество

состояний,

если

задана

переходная

матрица

[34].

Разобьем

множество

состоянии

регулярной

цепи

Маркова

2, ... , г на два непересекающихся

подмножества: Н,

содержащее со

стояния v = l . 2,

.. .,

к,

и М, содержащее

состояния

\.i = k+\,

...,

г.

Определил! среднее время возвращения в подмножество М.

Эта задача может быть решена, по краіінеп мере, двумя спосо

бами. Первый

способ

связан

определением финального вектора

цепи jO[|i=(pi, Pi, ...,

Рг)т- Среднее время

возвращения

в подмноже

ство М равно

(1.55)

а среднее время

пребывания

в подмножестве

7"м

1 —•

(1.56)

где

— компоненты

век гора

рф;

р^х

— элементы

переходной

ма

трицы.

Второй способ основан на применении

теории

поглощающих

цепей

к регулярным цепям

[35]. Из

начального

состояния

Аа

процесс

пере

ходит в состояние Ах с вероятностью рах. Если хє=/И, то происходит интересующее нас событие, состоящее в попадании в подмножество М. Если же хЄ=/~/, то процесс через состояние Ач до попадания в подмножество М пройдет в среднем txv раз. Поэтому для опреде ления части среднего времени возвращения в подмножество М, в течение которого процесс находится в состоянии Ач при начальном состоянии Аа, необходимо найти сумму

		^av	£	Pax. ^xv'			(1.57)
		^av	£	Pax. ^xv'
			х £ Я
т. е. составить	и решить	систему		(г—k)Xk	уравнении	с a=k+l,	...,
. . . , г, v = l , 2	к.
Входящая	в (1.57)	величина		tw есть среднее время, затрачива
емое процессом при прохождении				через	состояние Л у	при начальном

состоянии.Ах до достижения подмножества М, т. е. по определению txv есть элемент фундаментальной матрицы регулярной цепи Маркова

с переходной матрицей Р. Значит, систему уравнений (1.57) можно записать в виде матричного уравнения

		С = 5 Г ,			(1.58)
где С — прямоугольная		(г — &)Х/г-матрица с	элементами		с ^ ,	ц =
= /г+,1,	... , г, v = i l , 2,	. . . . lk; S — прямоугольная матрица			того	же
порядка,	что и матрица	С, полученная из матрицы Р		вычеркиванием
строк, соответствующих		состояниям Ї Є Я , и столбцов,		соответствую
щих состояниям \ІЄіМ.
Элемент матрицы С равен среднему времени нахождения про
цесса в v-м элементе подмножества И между			двумя	последователь

ными попаданиями в подмножество М при начале процесса из ц-го состояния (Ц.Є.М). Таким образом, среднее время возвращения

в подмножество М равно

где ^ = 2 с ; /?0 | 1 — вероятность попадания процесса в состояние v = l

Ар в установившемся режиме.

Вероятностный вектор [ро k+i, ... , Рог) может быть получен из

вектора финальных вероятностей цепи Маркова приравниванием ну лю компонент с индексами 1, 2 k и нормировкой остальных компонент, т. е.

Poh + i — CPh + i

Рог ~ сРг>

где

с — 1 /

а /ір — компоненты

финального вектора.

Анало-

гичным

образом

можно

определить

среднее

время

возвращения

в подмножество

Н. Тогда среднее время между двумя последова

тельными попаданиями в одно

из подмножеств

Н или М равно

Т н м = Т я + Т л г .

(1.60)

Второй

подход

связан

понятием

фундаментальной

матрицы

для

регулярной цепи t[30],

которая

по

определению равна

Т={[—\Р—А]]~1,

(1.61)

где

А — матрица,

каждая строка которой есть вектор финальных

вероятностей

регулярной цепи.

Приведем выражения для среднего

значения

и дисперсии

времени

первого

прохождения

процесса

через

состояние

при начале его из

состояния Аа.

Матрица среднего времени

прохождения

равна

M=ir—T+ETug]D,

(1.62)

где

D — диагональная

матрица с диагональными элементами

d^—l/p^

Рр

—компоненты

вектора

финальных

вероятностей;

Tag—диаго

нальная

матрица,

получаемая из фундаментальной матрицы

регуляр-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 464 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ