Рис. 4.17. Флуктуационные ошибки по скорости и параметры филь трации в функции динамических ошибок по скорости.
Сравним |
фильтры двух типов: |
|
|
|
x(k)=(l-a)x(k) |
+ |
a[x(k-\) |
+ |
vVt-l) |
Т0\, |
|
|
|
|
|
|
|
(4.132) |
v(k) |
= |
(l -Ь) |
|
0 |
^bv |
( k - |
1); |
*(А) = |
(1 - а * ) 2 ( / г ) + |
а * [ х ( / г - |
1) + |
» (/г - |
1) Г 0 ] , |
|
|
|
|
|
|
|
(4.133) |
v [к) = |
' о |
[Л(/г) — Jc(Лг — 1 >] + b*v |
(k-l)\. |
|
|
|
|
|
|
|
при условии равенства динамических ошибок от неучета второй производной (4.124), (4.127), (4.130). Соотноше
ние между параметрами |
фильтрации таково: а = а*, Ь = |
= Ь* + |
а*{1—Ь*). |
|
|
Параметры фильтрации и флуктуационные ошибки |
в функции динамических |
ошибок по скорости |
(по первой |
производной) приведены |
на рис. 4.17, причем |
алгоритму |
(4.132) соответствует кривая /, алгоритму (4.133) — кри вая 2. Из графиков следует, что фильтры (4.132) имеют лучшие сглаживающие свойства.
Рассмотрим теперь случай, когда /г=1, г=2. Характе ристики соответствующих фильтров приведены в прило
жении 2. В соответствии с (4.118) и (4.105) |
передаточ |
ная функция фильтра по координате имеет вид |
К . . |
( 1 - а ) 2 |
' + [а — 2Ь + |
аЬЧ г* + |
Ь2 (\ — |
a)z |
* x { z ) |
z i _ ( а і ( . |
26) |
2 г + [ в + |
б2 (1 + я)] z — аЬ 2 |
' |
Область |
устойчивости, |
определенная |
в соответствии |
с (4.33), приведена |
на рис. 4.18. Легко |
видеть, что зона |
устойчивости по сравнению с ранеее |
рассмотренными |
фильтрами сузилась. |
|
|
|
|
4.6.5. Анализ фильтров с компенсацией по первой и второй производным: В соответствии с (4.104), поступая по аналогии с выводом (4.1>20), получаем передаточную функцию при фильтрации координаты
Кх(г)-. |
{ \ - a ) n z n |
, Л (/г— 1) * » - > + , „ + Л , |
X |
|
(z — |
а)п |
|
(z — а ) " |
|
|
X |
T0Kv(z) |
+ |
-±Kg(z) |
(4.134) |
В гом случае, когда у (к) и g(k) определяются по входной информации, полином, стоящий в знаменателе (4.134), имеет вид (z—a)"(z—b)r(z—c)i, т. е. фильтры устойчивы при |а|<1, |й|<1, |с| < 1 . Импульсная пере ходная характеристика представляет собой сумму экспо нент
рк = |
а" (с° + |
4 к + ... + с°п к» - ) + |
№ (с; + |
+ c12k+...-\- |
c\k*-4 + |
cb (c)+c\k |
+ ... |
+ |
где c!'? = const; |
г = 0, |
1, 2; |
/='1, 2, . . . |
В этом |
случае пере |
ходный процесс длится весьма долго, а флуктуационные
ошибки при одной и той же |
памяти |
фильтра больше, |
чем у рассмотренных ранее фильтров. |
|
Ограничимся рассмотрением фильтров, у которых п = |
= 1, г = 1, (7=1, а алгоритм |
фильтрации соответствует |
(4.104). Тогда [сравни с (4.132)] |
|
x(k) = (\—a)x(k)-\-a |
|
|
|
|
(4.135) |
*{k) — £{k— \)+д |
(k-\)~Y- |
+ Ь[ь{к-\) + д{к-\)Т0\, (4.136)
|
- |
ф |
- |
= |
^ |
- |
[x(k)-*(k-i)- |
• |
|
|
|
|
|
1 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
- v ( k - l ) T e ) + |
c§-ltz3-. |
(4.137) |
Выполнив |
z-преобразования |
формул (4.135) — (4.137) |
и решив |
совместно |
найденные |
уравнения, получим |
К I \ |
|
z ' П — л) + |
z 2 |
(2а — 6 — с) + |
2 (1 — с + 6 — а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.138) |
KV |
( z ) = 2 > |
<' ~ |
V ~ 2 г * ( с ~ 6> + 2 |
< 2 с ~ 1 ~ Ь\ |
(4.139) |
К |
( г ) = |
* ( 1 - 0 - 2 * ( 1 Г « ) + « ( Г - « ) |
( 4 . 1 4 0 ) |
где А = 2 3 — z 2 ( a + b + c) +z(2a+b + l— с)— а. |
Полюсы -пе |
редаточных функций (4.138) —(4.140) |
могут быть: |
а) действительные, разные положительные,-б) действи тельные, положительные, один из них кратный, в) два комплексно-сопряженных и один действительный поло жительный.
В соответствии с (4.33) определим область устойчи вости
|о|<1, _ 1 _ 2 а < 6 < 1 , 1 - ( 1 " Д ( 1 Д " Д ) < с < 1 ,
график ее представлен на рис. 4.19. При фиксированном а фильтры устойчивы, если с лежит внутри треугольника
АЬфа. С учетом (4.138) —(4.140), (4.40), (4.42) |
находим |
коэффициенты динамических ошибок |
|
! V = 1 > |
Ріх=0, |
}і2 Ж = 0, |
ц з Я = — y ^ L Тг0 |
, |
л |
, |
pi |
6a + с — 36 — 4 т 2 |
r V — u > r S u — r ^ u — u > r S u — — 2 (1 — c) |
0 ' |
Выражения |
для флуктуационных |
ошибок приведены |
в приложении |
2, а их графики — на |
рис. 4.20. Таким |
~г,Х
Рис. 4.19. Область устойчивости.
образом, для полезного сигнала, представленного поли номом второй степени, фильтры (4.135) — (4.137) воспро изводят коэффициенты этого полинома без динамических ошибок.
Из рис. 4.20,а следует, что флуктуанионные |
ошибки |
по координате уменьшаются с увеличением b и с. |
Однако |
для получения, например, а[.г] = 0,67с память |
фильтра |
должна быть равна 30Г0 , если переходный процесс счи тается оконченным на уровне 0,9 от входного сигнала. Флуктуационные ошибки по скорости (рис. 4.20,6) умень шаются при уменьшении а и увеличении с, флуктуацион
|
|
|
|
ные ошибки |
по ускорению |
(рис. 4.20,6) уменьшаются |
с уменьшением а и Ь. Сглаживающие свойства |
таких |
фильтров по скорости и ускорению значительно |
выше, |
чем по координате. Однако существует достаточно |
боль |
шая область |
параметров а, |
Ь, с, при которых флуктуа |
ционные ошибки на выходе фильтров больше среднеквадратическнх ошибок на входе.
4.6.6. Сравнительный анализ фильтров с эффективной конечной памятью и фильтров с конечной памятью. Про изведем сравнение при условии оа , = о2 = const и равенст
ве |
динамических |
ошибок |
от |
неучета |
т+1 |
производной, |
где т — степень |
полинома, принятого |
в качестве |
гипоте |
зы. Сравнение сдела-ем по: а) флуктуационной |
ошибке, |
б) |
памяти фильтра, в) объему памяти, г) |
числу |
машин |
ных операций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для фильтров с конечной памятью |
справедливы соот |
ношения [791 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М— і |
|
|
|
|
|
|
я (/г) = |
V, р,х (k |
|
|
(4.141) |
|
|
|
|
лі—і |
|
|
|
|
|
|
v(k) |
= |
£ |
qix(k |
|
|
(4.142) |
где |
|
|
|
|
Ш — 6Л4 — 6 |
|
|
6І — 2 Л І — 2 |
|
|
|
T0M(M |
+ 1) |
T0M (M2— 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
T\ M ( M 2 — 1) |
' |
|
^ = , ( ^ - l ) ( A f - 2 ) |
T l ; ^ = - ( M - l ) T Q . |
Сравним с ними фильтры с эффективной конечной памятью двух видов: а) вида (4.132) с коэффициентами динамических ошибок (4.127), (4.130), флуктуационнымн ошибками (4.128), (4.131), б) вида
v (k) = -^=А>- |
[х {k)-x(k~\)] |
+ brv (k - |
1) + ... + |
1 |
о |
+ (-\y-lbrv(k—\). |
|
(4.143) |
|
|
|
Приравняв |
u*2.r, |
[х!|!2с и (.12K, \i2v, |
получим |
соотношение |
между параметрами фильтрации a, b и М для фильтра (4.132)
|
( М - 1 ) ( / И - 2 ) |
( ^ + |
5 ) ( М - 2 ) |
, 4 , 4 4 > |
А — |
( У И + 1 ) ( / М + 2 ) ' |
( / М + |
1 ) (Л4 + 2 ) |
• |
С учетом (4.128), |
(4.131), |
|
(4.144) имеем |
|
|
|
г - 1 _ |
2 ( 2 / И — 1 ) |
, |
|
3 г - , _ |
|
12 |
р |
|
о |
W = |
мім |
j - |
п |
' |
а Чt |
Jг 7 ] = |
7 > ( Ж - 1 ) |
|
|
|
Ж ( / И + ] ) |
|
i |
|
|
Таким образом, для фильтров (4.132) |
az[x], |
\a\v], \І2Х, \i2v |
совпадают с іо**2{ж], 0*2 [г7], ,\л*2х, |
ц*2и и в то |
ж е время, |
как |
и при |
т — 0, |
фильтры |
с эффективной |
конечной памятью |
имеют |
значительно |
более простые |
алгоритмы |
(см. |
табл. 4.6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравним фильтры (4.143), |
предназначенные |
для |
фильтрации по скорости, с (4.144) |
. Коэффициенты |
дина |
мических ошибок и флуктуационные ошибки для |
филь |
тров (4.143) имеют вид (см. приложение 2)
_ _ 1 + Ь ( 2 г - 1 ) Т
°2m = ^r?£^f (при г = 1 ) , (4.145)
2 |
Г _ , |
о 2 |
2 ( 1 — 6 ) « ( 1 |
+ |
6«) |
, |
„ . |
. . |
3 |
^ = |
~гЦ |
(1 + Ь)* |
|
( П Р И Г = |
3 ) - |
( 1 ^ |
Приравняв |
[ i 2 U и |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
" Ь = |
М |
~ 2 |
• |
|
(4.148) |
|
|
|
М_ + |
2(г—1) |
|
|
_ J |
I |
L |
1 |
I |
і |
|
1 |
L |
I |
I |
[ _ |
О,* a) |
|
a |
|
|
0,4 |
5) |
|
a |
|
0,tв) 0,8 |
a |
Рис. 4.20. Флуктуационные ошибки.
О |
2 |
ь |
Б |
к |
2 |
ч |
|
к |
|
|
Рис. |
4.21. Переходный |
процесс: |
|
|
/ — фильтры |
с |
конечной |
памятью |
при М=»5; |
2 — фильтры |
с |
эффективной |
конечной памятью при |
=(*(*) —x(k—l)]ITt, |
а - 0 , 2 8 6 , |
6 -0,715; |
3— фильтры |
с эффективной |
конечной |
памятью |
при v(k)—[x(k)— x(k—Dl/To, |
а—0,286, b-0,587. |
376 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Флуктуационные ошибки фильтров (4.143), а также
оценка сложности |
алгоритмов |
(4.132), |
(4.141) — (4.143) |
приведены в табл. 4.6. |
|
|
|
Итак, |
при /'=1, |
2 флуктуационная ошибка |
по скоро |
сти o2[v] |
для фильтров (4.143) |
больше, |
чем у |
фильтров |
с конечной памятью, однако при г^З |
флуктуационная |
ошибка для фильтров с эффективной конечной памятью меньше флуктуацнонной ошибки фильтров с конечной памятью (это обстоятельство отмечалось в п. 4.6.3).
Фильтры с эффективной |
конечной |
памятью при |
v(k)= |
=^-[x(k) |
— Jc (k — 1)], //.= 1, г = |
2 |
и при одних |
и тех |
' о |
|
|
|
|
|
|
же динамических ошибках |
имеют |
лучшие фильтрующие |
свойства, |
чем фильтры (4.120). |
|
|
|
Можно |
показать, |
что у |
фильтров |
(4.135) — (4.137) и |
фильтров |
с конечной |
памятью три т = 2 и при одинако |
вых динамических ошибках флуктуационные ошибки со
впадают |
(см. приложение 2). |
|
|
|
Таким образом, если параметры фильтрации выбраны |
в соответствии с табл. 4.6, для фильтров (4.141), |
(4.142) |
и фильтров с эффективной конечной |
памятью при т = 0, |
п=[, |
г=\ |
флуктуационные ошибки |
совпадают, |
а при |
п> |
1 и г > 1 фильтры с эффективной |
конечной |
памятью |
могут иметь флуктуационные и динамические ошибки от неучета m + 2-й производной меньше, чем фильтры с ко нечной памятью. Этот результат объясняется тем, что если для фильтров с конечной памятью флуктуационная и динамическая ошибки достигаются установившихся значений на М-м такте, то для фильтров с эффективной конечной памятью эти ошибки носят асимптотический ха рактер (рис. 4.21). В то же время, фильтры с эффектив ной конечной памятью дают значительную экономию при реализации (табл. 4.6, приложение 2).
Если для фильтров с конечной памятью увеличение памяти фильтра МТ0 связано с увеличением объема па
мяти Э Ц В М и числа |
машинных операций, то для филь |
тров с эффективной |
конечной памятью эти параметры |
постоянны, а изменение памяти фильтра достигается пу тем изменения параметров фильтрации.
Г Л А В Л П Я Т А Я
М О Д Е Л И Р О В А Н ИЕ ЗАДАЧ СТАТИСТИЧЕСКОЙ РАДИОЛОКАЦИИ НА ЭЦВМ
5.1.В В Е Д Е Н И Е
Д Л Я решения задач статистической радиолокации наряду с аналитическими методами широкое распрост ранение получил метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Сущность этого метода состоит в пост роении моделирующих алгоритмов для исследуемых про цессов. При помощи операций электронной цифровой вычислительной машины (ЭЦВМ) имитируется поведе ние элементов исследуемой системы и взаимодействие между ними с учетом случайных входных воздействий.
Метод статистического моделирования, как и любой численный метод, обладает существенным недостатком, связанным с частным характером получаемых решений. Эти решения соответствуют определенным значениям -па раметров системы и начальных условий. Обычно для ана лиза системы приходится многократно моделировать про цесс ее функционирования, варьируя исходные данные задачи.
Однако во многих случаях он является единственным практически доступным методом исследования системы обработки информации. Необходимо также отметить, что затраты вычислительного (машинного) времени и мате риальных средств на реализацию статистических моде лей оказываются весьма малыми по сравнению с затра-' тами, связанными с натурным экспериментом. При этом результаты статистического моделирования по своей цен ности для практического решения возникающих задач оказываются близкими к результатам натурного экспери мента.
Решение широкого круга задач статистической радио локации связано с моделированием радиолокационных сигналов, помех, радиотехнических трактов и устройств обработки. Кроме метода статистических испытаний для этого используются различные приближенные алгоритми-
