а л: (t) — линейная функция, и, в общем случае, r-ю проиь водную, если y(k) — ^y- (4.105), а х(1) — аппроксими-
руется полиномом степени г.
В соответствии с (4.43), (4.44), (4.111) флуктуационные ошибки имеют вид
~< а , / 2(1 — б ) 3 .
о гг-1 |
1 — а" + Зя2 |
(1 — я2 ) |
|
Л = 3, |
о[х\=ау |
± |
^ |
>-, |
|
a |
M = - f - i / g i L - b ) , |
( 1 |
+ y ) • |
(4.114) |
Из формул (4.114) и рис. 4.11, 4.12 следует, что флуктуациоН'Ные ошибки уменьшаются с увеличением параметров
ипорядка сглаживания.
4.6.3.Сравнительный анализ фильтров без компенса ции и фильтров с конечной памятью. Сравнение прове
дем при о-2г = 0 2 = const, t * = l , 2 , . . . , k, m = 0 по следующим параметрам: а) флуктуационной ошибке, б) памяти фильтра, в) объему памяти Э Ц В М , г)' числу машинных операций при равенстве динамических ошибок от неучета первой производной. В этом случае для фильтра с ко нечной памятью
|
м—і |
|
= |
x ( b - i ) . |
(4.115) |
і—й
Коэффициенты динамических ошибок от неучета первой и второй производных имеют вид
^ ' = |
—2 |
- Ч |
т |
I„« 2 = |
e |
' о ' |
|
М |
~Jo- |
|
(М-\){2М-\) |
Т 2 |
|
|
|
А |
|
|
а флуктуациоиная ошибка а*а [.г(/е)] = а2 /М.
О |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
а |
|
0 |
0.2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
6 |
|
Рис. |
4.11. |
|
Флуктуационные |
|
Рис. |
4.12. Флуктуационные |
и |
ди- |
ошибки |
фильтров |
без компен- |
|
намические |
ошибки |
по |
скорости |
|
|
сации. |
|
|
|
для |
фильтров |
без |
компенсации, |
|
|
|
|
|
|
|
|
когда |
v(k) = |
(1 / Г 0 ) |
[x(k) |
—x(k— |
1)]. |
В соответствии с (4.106) для фильтров с эффективной |
конечной |
памятью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x{k) |
= |
{\ -а)пх(к)-\-ал.х{1г— |
|
1) + |
|
. . . + |
|
|
|
|
|
|
|
+ ( - l ) n + |
1 a n x ( k - 1), |
|
|
|
|
(4.116) |
коэффициенты |
динамических |
ошибок |
от |
неучета |
первой |
и второй |
производных |
имеют вид (4.113), а дисперсии |
— |
(4.114). Приравнивая ц*± иуц, |
получаем |
зависимость |
па |
раметра фильтрации а |
от |
М: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
= М + 2п-1 |
• |
|
|
|
|
|
( 4 Л 1 ? ) |
Ограничимся |
п=\, |
2, 3. |
|
Выражения |
для |
|
а, ц.2, о^х] |
в функции М, а также оценка |
сложности |
|
алгоритмов |
фильтров |
|
(4.Г15) и |
(4.116) |
приведены |
в |
табл. |
4.5. |
|
|
Как следует из табл. 4.5, при одинаковых динамиче ских ошибках от «еучета первой производной флуктуа ционная ошибка фильтров с эффективной конечной па мятью при п= 1 совпадает с флуктуационной ошибкой фильтров с конечной памятью. Для сопоставления аЦх] фильтров (4Л15) и (4.116) при я = 2 разложим 1/(М + 1)
в ряд Тейлора
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
1 / ( Ж + 1 ) = |
1 / Ж - |
|
1/М8 |
+ |
... = |
2 ( - 1 ) < + 1 Л Г * . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1=1 |
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
' |
1 |
І |
I L |
4 |
|
|
о [ |
±Y(_\\i+iM-i |
o= |
M |
M* |
г Mz |
t(M+ |
l ) 3 |
~ |
1 |
Поскольку |
|
|
|
|
|
i=4 |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
, |
|
„,, _ , „ |
5 , |
Ж 3 |
|
чг\, |
' |
1 |
(А/ + 1 ) 3 1 |
Ц v |
|
|
^ - А/3 |
i=4
и при /И > 6
Л4з Т^(Л4 + I ) 3
i = 4
то
a3 [* (k)] | п = 2 < а= [* (k)]\n=l = 3 2 / Ж
Таким образом, при равных динамических ошибках от неучета первой производной флуктуационная ошибка фильтров с эффективной конечной памятью при п = 1 со впадает с флуктуационной ошибкой фильтров с конечной
памятью, а при п = 2 |
даже |
меньше флуктуационной |
ошибки |
фильтров с конечной |
памятью. В то же время |
известно, |
что фильтры |
(4.115) |
обладают наименьшими |
флуктуационными ошибками среди всех линейных филь тров. Одако никакого противоречения здесь нет, посколь ку у линейных фильтров с конечной памятью динамиче ские ошибки и дисперсии достигают установившихся значений на УИ-м такте, а у фильтров с эффективной конечной памятью выражения для флуктуационных и ди
намических |
ошибок |
дают асимптотические |
значения |
этих характеристик, |
и зависят |
от заданного уров |
ня отработки |
сигнала |
(рис. 4.13). |
Из табл. 4.5 |
следует, |
что динамические ошибки из-за неучета второй произ
водной для фильтров с эффективной конечной |
памятью |
при п=1 больше, чем. для фильтров с конечной |
памятью, |
/у
//•
1
0,2 /
О |
8 |
16 |
24 |
32 |
|
|
|
Рис. 4.13. Переходный процесс: |
|
/ — при л=1, а=0,32; |
2 —при н=2 , а=0,86; 3 — фильтр с |
конечной памятью |
|
|
при |
М=25. |
|
но при п = 2 динамические ошибки у фильтров с эффек тивной конечной памятью меньше.
4.6.4. Анализ фильтров с компенсацией по первой про изводной. В соответствии с (4.104) прій компенсации по первой производной и сглаживании координаты рекур сивные алгоритмы имеют вид
x(k) |
= {\ -a)n]x(k)-\-an{x(k- |
|
1) + |
1)Г 0 ) — |
|
_ or ISIL^L |
{ к |
2 ) |
+ v ( k - 2) Т0 |
+ |
|
+ |
7J(fe-l)r0 ] + |
... + ( - l ) « - 1 a r t ^ ( f e - M ) |
+ |
|
• +T0v(k-n) |
+ ...+v(k-[l)T0]. |
|
(4.118) |
Перепишем (4.118) |
в виде |
|
|
|
x(k)-an,x(k- |
l ) + n ( |
' l |
~ l ) a2x(k-2) |
+ |
... - f |
|
+ ( - 1 ) * д * ж ( А - л ) = (1 — a ) n x { k ) - \ - |
+ |
av(k-l)T0 n — n{n—\) |
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
4 - . . . + |
( _ l ) » - i e » 7 > ( * - « ) • |
|
(4.119) |
Обозначим произведение множителя а на выражение,
стоящее |
в квадратных скобках |
(4.119) через |
Л ( я — 1), |
А(п—2), |
А0, |
где А0= |
(— ])n~ian. |
|
Тогда г-преобразо- |
вание от (4.119) имеет вид |
|
|
|
x(z)(z-a)n |
= |
(l |
- а)пznx{z)-\-... |
+ |
A[ti-\)Tazn~l |
X |
X Kv (z) x |
(z) + A (n - |
2) T0zn |
-2 Kv |
(z) x (z) +... |
+ |
|
|
|
+ ABTBKV |
(z)x(z), |
|
а передаточная |
функция — |
|
|
|
|
K*(z) |
(1 — a ) " z " . |
|
(z — a)" |
|
|
+ А1п-1)*->+1„ |
|
+ АМг+Л. |
T o K v ( z ) i |
( 4 |
1 2 0 ) |
где ^u '(2) |
— передаточная |
функция |
по первой производ |
ной '(по скорости). |
|
|
|
|
|
|
В зависимости |
от способа |
определения v(k), |
Kv(z) |
с учетом |
(4.105) |
равна: |
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
v (k) = |
[х (k) - |
x { k - I)], Л» (г) = |
[]~т1\^-Ьу2Г'Л |
' |
при |
|
|
|
|
|
|
|
(4.121) |
|
|
|
|
|
|
|
|
о (ft) = |
j - [5 (fe) - х (k^ |
1)], JC„ (г) = {\~^1у |
[z - |
|
|
|
- |
^ « ( 2 ) 1 . |
|
(4.122) |
. Рассмотрим |
вначале |
.случай |
определения |
v(k) по |
(4.121). Подставив |
(4.121) |
в |
(4.120), |
получим |
|
|
|
|
|
|
(z — |
fl)n |
1 |
|
• |
[A (n— |
1) g » - « + ... + |
Л„] (1 - |
( 2 — 1 ) g r - i |
|
'(z — a ) n ( z — & ) > •
Область устойчивости таких фильтров соответствует зна чениям |а|<1, |'6|<1. Для определения коэффициентов
динамических ошибок удобно воспользоваться соотноше ниями [146]
с0 |
= |
1 - |
^ |
= |
|
lim Л', (г), |
с2 |
= |
|
- |
р,а = |
lim . |
( X |
|
|
|
|
Х |
К |
^ |
- ^ |
- |
г |
* , |
|
} |
- |
^ - |
, |
(4.123) |
|
|
|
с, = |
|
- |
г1 , = |
lim r z r r |
|
I а |
' . ( z ) — c o l . |
|
с, = - |
= |
l|rn |
^ f r r |
( |
г->1 "; |
г _1 |
1 |
) |
г |
" |
[А-. (г) - |
с0 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г„ |
|
( (г « + 4 г + 1 ) Г 0 2 |
|
|
где |
/ С е ( г ) = |
1 — K x ( z ) — передаточная функция по ошибке. |
В |
соответствии |
с |
(4.123) |
имеем |
|
|
|
откуда следует, что при компенсации по первой произ водной обеспечивается воспроизведение сигнала без
|
|
|
|
оо |
|
|
ошибки |
по скорости. Поскольку |
n 0 = 5 ]A t . = l , |
а |
ц, = |
00 |
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
ihi |
= 0, то |
флуктуационная |
ошибка на выходе рас- |
1 |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
сматриваемого |
фильтра больше |
флуктуационной |
ошиб |
ки на выходе фильтра без компенсации при одних и тех |
же а |
и п. |
|
|
|
|
В |
приложении 2 приведены |
передаточные |
функции, |
импульсные переходные характеристики, |
коэффициенты |
динамических |
ошибок и флуктуационные |
ошибки при |
п= 1, r = 1, п= |
1, г = 2 . |
|
|
|
Перейдем |
теперь к определению v (к) |
в |
соответствии |
с (4.122). Передаточная функция |
по скорости имеет вид |
/с» & = т л й г [ 2 |
- К * { z ) ] ' |
|
( 4 -1 2 5 ) |
где A'x(z) пока еще не определена.
Подставив (4.125) |
в |
(4.120) |
|
и исключив |
Kx{z), |
полу |
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(l—a)nz" |
+ {А (л—1) г 7 ' - 1 + |
••• |
+ |
|
К Х { 2 ) : |
|
( Z _ a ) » ( z _ Ь |
) г + ( | _ ь ) г Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
-ьу z' |
|
\ |
(г—Ьу |
|
|
|
|
|
|
(г-ЬУ |
|
|
А ] ^ " 1 |
|
|
X |
[А ( л — |
+ ... + |
|
|
Определим |
область |
устойчивости |
при л = 1 , |
г = 1 . |
В этом случае фильтрации по координате |
соответствует |
линейное разностное уравнение второго порядка |
|
x(k)=-(a-\-b)x(k— |
|
l ) + |
a*(fe —2) = |
|
= |
(1 -a)x(k)-\-(a |
— b)x(k |
— 1) |
|
и передаточная |
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 — а) г 2 |
+ |
(а — Ь) z |
|
|
(4.126) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом полюсы |
передаточной |
функции равны |
|
г Р |
_ в + Ь + , / (д + ьу |
а. |
|
|
'1.2 |
' 2 |
- |
Г |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Область устойчивости определяется значениями полюсов,
лежащих внутри единичного круга |
|г|<1 . |
В соответствии с (4.32) имеем |
| а | < 1 , — 1 — 2 а < й < 1 . |
На рис. 4.14,а |
представлена область |
устойчивости, на |
6 |
|
*- |
|
|
1 |
|
" 5 |
Ґ |
|
|
|
|
\о |
|
0,6 |
|
|
-1 \ |
|
/ а |
|
|
-Г |
|
|
|
|
-г |
- \ |
0,2 |
|
|
|
|
|
-3 |
|
> |
|
О, Є |
|
|
0,2 |
|
а) |
|
С) |
|
Рис. 4.14. Область устойчивости (внутри треугольника) (а) и область действительных корней при b^ibo и комплексных корней при b<b0 (б).
рис. 4.14,6 — область |
действительных (b>b0) |
и комплекс |
ных (b<b0) |
корней. |
Легко убедиться, что |
в области |
комплексных корней импульсная переходная характери стика и переходный процесс имеют колебательный харак тер, а в области действительных корней происходит пе ререгулирование; время л период переходного процесса определяются параметрами фильтрации а и Ь. Коэффи циенты динамических ошибок в соответствии с (4.40) и (4.42) равны
і |
п |
|
2а |
„ 2 |
|
^ 0 » = 1 . |
P i * = |
0. |
Р*х= |
— |
т=ЬГа |
|
|
|
|
|
|
|
(4.127) |
|
r |
(1 — я.) а т з |
|
|
|
р » « = б - ( 1 _ ь ) |
У0 • |
|
|
Флуктулционная |
ошибка |
имеет вид |
|
|
|
(1 - & ) ( ! + g ) - 2 [ ( a - f r ) ( l - f l ) | |
(4.128) |
|
|
( 1 - е ) (1 + 2 а + 6) |
|
|
|
На рис. 4.15 представлены |
флуктуационные ошибки |
по координате для фильтров с компенсацией по первой
производной, |
причем |
|
|
|
|
графики |
1 |
соответствуют |
|
|
|
|
v[k] |
= |
l-=l |
[x(k)-x{k- |
l)\ + bv{k— 1), |
|
|
|
' о |
|
|
|
|
|
графики 2 — |
|
|
|
|
|
г" (/г) = 1 = ^ [х (/г) - |
z [k - |
1 )1 + |
bv [k - |
1), |
|
|
' о |
|
|
|
|
|
графики 3 — |
|
|
|
|
|
v{k)= |
( |
1 ~ 6 ) 2 |
[ x ( 6 ) - * ( f e - |
l)] + |
2bv{k- |
1 ) - |
|
|
' о |
|
|
|
|
|
-62г7(& - 2).
Таким образом, фильтр с компенсацией по первой про изводной обеспечивает воспроизведение полинома первой степени без динамических ошибок. В соответствии с рис. 4.15 флуктуационная ошибка в некоторой области коэффициентов а и b может оказаться больше, чем среднеквадратическая входная ошибка ст.
Передаточная функция по первой производной имеет
вид
|
( 1 - 6 ) (г- |
(4.129) |
|
То [г2 — (a+b)z |
|
+ а\ |
Так как характеристические многочлены (4.129) и (4:126) совпадают, то все сказанное относительно устой
чивости |
и переходного |
процесса при фильтрации |
коорди- |
т |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
\0,2jl| |
11 \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2 |
|
о,б)Гл/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
Of?>7АЖ7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/0,9 |
|
|
|
|
|
ОМ |
|
|
|
7 = 0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
0.u |
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.15. |
Флуктуационные |
Рис. |
4.16. |
Флуктуационные |
ошибки |
по |
координате |
|
для |
ошибки для фильтров |
вида: |
фильтров |
с |
компенсацией |
по |
x(k) |
= (1—a)x\k) +a[x(k—1) |
+ |
первой |
производной. |
|
|
|
|
|
+v(k—\)T0], |
v{k) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=[(l-b)/T0]{x(k)-x(k-l)]+ +bv(k—l).
наты справедливо и в данном случае. Коэффициенты ди намических ошибок и флуктуационная ошибка по скоро сти равны
I V = ° . Ші> = 1 . t * 2 u = 1 t^T^ ^о. |
(4.І30) |
'W-rrV (lJJr+?w |
(4.131) |
Импульсные переходные характеристики и переходный процесс приведены в приложении 2. Графики флуктуациониой ошибки представлены на рис. 4.16.
