книги из ГПНТБ / Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации

ного сглаживания (78, 79] (табл. 4.4). Достоинство таких" фильтров — простота рекурсивных алгоритмов, малый объем памяти ,п малое число машинных операций, не за­ висящих от памяти фильтра, а также снижение флуктуацноннон ошибки с увеличением времени наблюдения. Основной недостаток состоит в нарастающей со време­

(2.223), а полезный сигнал описывается полиномом сте­ пени р, где т<Ср. Кроме того, может возникнуть неустой­ чивость решения и большая погрешность в связи с огра­ ниченностью разрядной сетки Э Ц В М .

К третьей группе относятся фильтры с эффективной конечной памятью, объединяющие достоинства рекурсив­ ных алгоритмов с растущей памятью и алгоритмов с ко­ нечной памятью: малое число ячеек оперативной памяти и машинных операций н ограниченная величина динами­ ческой ошибки при малой флуктуационной ошибке [112].

отметить метод наименьших квадратов и его рекурсив­ ный вариант [78], метод максимального правподобия [3, 78], методы Колмогорова и Винера, метод Калмэна [78],

к алгоритмам линейной фильтрации, реализуемым либо посредством интегрального оператора (нерекурсивный алгоритм, дискретный аналог интеграла Дюамеля), либо дифференциального (рекусивный алгоритм, линейное разностное уравнение). В области дифференциальных операторов следует различать два класса фильтров. Пер­ вый класс — это фильтры с бесконечной памятью, зада­ ваемые линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами (4.6).

Подобные фильтры имеют импульсную переходную характеристику с бесконечной протяженностью, но огра-

00

ничейную так, что ^ /г - <оо . Имея фильтр с конечной

памятью (4.13), можно найти его эквивалент в классе фильтров с бесконечной памятью [145]. Сложность реали­ зации обоих фильтров одинакова. Второй класс — Зто

350

фильтры с растущей памятью табл. 4.4. Они описываются разностными уравнениями с переменными коэффициен­ тами и относятся к классу нестационарных систем.

При синтезе фильтров с растущей памятью в виде дифференциального оператора (выходная величина есть •решение линейного разностного уравнения с переменны­ ми коэффициентами порядка /) с целью уменьшения объема памяти и числа, машинных операций использует­ ся эквивалентная интерпретация разностного уравнения в виде фильтра 'Калмэна [78, 108], когда оценка в теку­ щий момент времени определяется по оценке, полученной на предыдущем шаге, и текущему замеру.

оператора в виде алгоритма ЭЦВМ, в) получения ма­ шинного решения, отличающегося от математического решения не более чем на заданную величину. Пункты а — в составляют существо*реализации алгоритмов филь­ трации « а Э Ц В М .

Ниже рассматриваются особенности линейных филь­ тров с растущей памятью, а также вопросы синтеза ли­ нейных фильтров с эффективной конечной памятью, дает­ ся анализ реализуемости этих фильтров, определяются флуктуационные и динамические ошибки и переходные процессы.

4.5.2. Особенности рекурсивных фильтров с растущей памятью. Недостатки фильтров с конечной памятью не исключают их преимущественного использования в от­ дельных случаях [3]. В работе [79] описан вариационный метод синтеза нерекурсивных фильтров. В качестве при­ меров в табл. 4.4 приведены рекурсивные алгоритмы фильтров с конечной памятью, а также значения коэф­ фициентов динамических ошибок, флуктуационные ошиб­ ки и переходный процесс при т = 0, т = 1 , когда (сглаживание).

При дискретной одномерной фильтрации (по одной координате) с растущей памятью решение в области дифференциальных операторов имеет вид (3.19) — фильтр Калмэна.

Если ошибки измерений некоррелированы, то уравне­ ния (3.19) и (3.20) можно представить в форме, пред-

ПС 1

ложемной Бэттином [108]:

где T — экстраполяционная матрица [ср. (3.17)] порядка (/я+1) X ( m + D :

(4.100) перепишем для каждой из компонент векторастолбца

i=0

Уравнения (4.103) более экономичны, чем уравнения фильтров с бесконечной памятью (4.6), поскольку по­ следние содержат оценки, полученные на / предыдущих шагах и щ+1 предыдущих замеров, в то время как

353

матрицы W(ik) или коэффициентов разностного уравне­

'В табл. 4.4 приведены рекурсивные алгоритмы филь­ тров с растущей памятью, а также коэффициенты дина­ мических ошибок, флуктуационные ошибки и переход­ ный процесс при т = 0, т = 1 и ^о=4- Оценка сложности алгоритмов, приведенных в табл. 4.4, дана в табл. 4.3. Как следует из табл. 4.3 и 4.4, рекурсивные алгоритмы фильтров с растущей памятью имеют большое преиму­ щество перед рекурсивными алгоритмами фильтров с ко­ нечной памятью как с точки зрения реализации на ЭЦВМ, так и с точки зрения минимума флуктуационной ошибки. Однако эти алгоритмы имеют ряд существен­ ных недостатков.

1. Если истинная координата описывается полиномом

из табл. 4.4 следует, что для фильтров с растущей па­ мятью коэффициенты динамических ошибок пропорцио­ нальны k. В то же время, для фильтров с конечной памятью динамические ошибки ограничены, так как M 7 0 = const.

соизмеримыми с ошибками счета, принимают произволь­ ные значения, так что машинное решение может сильно

области устойчивости, что приведет :К потере устойчиво­ сти решения разностных уравнений (4.103). Этот момент

В силу указанных недостатков рекусивные алгоритмы фильтров с растущей памятью нуждаются в модифика­ ции. Этому вопросу посвящен § 4.6.

Ниже рассматриваются вопросы одномерной фильтра­ ции, когда сглаживание и экстраполяция параметров движения осуществляется в декартовой системе незави­ симо по каждой координате A', Y, Z. На практике с по­ мощью Р Л С измеряются три координаты цели: азимут рц , угол места 0ц и наклонная дальность R^ в сфериче­ ской системе координат либо соответствующие координа­ ты в биконпческой системе. При независимости ошибок измерения р, 0, R ковариационная матрица этих ошибок будет диагональной. После перехода от сферической (или биконпческой) системы к декартовой появляется корре­ ляция между ошибками измерения декартовых коорди­ нат цели хц, уц, 2 ц . В этом случае оптимальной является многомерная фильтрация, т. е. совместное по X, Y, Z сглаживание и экстраполяция.

Практическое использование многомерных фильтров Калмэна связано с рядом трудностей [176], главной из которых является неустойчивость. При реализации на Э Ц В М таких фильтров неустойчивость вызывается сле­ дующими причинами. Во-первых, вырождением элемен­ тов ковариационных матриц ошибок оценок при длитель­ ной работе алгоритма, приводящих к потере устойчиво­ сти разностных уравнений Калмэна. Во-вторых, из-за некорректности задачи, связанной с плохой обусловлен­ ностью ковариационной матрицы ошибок измерений, т. е. решение задачи будет сильно изменяться при малых из­ менениях элементов матрицы |[см. (3.19, (3.20)]. Кроме того, многомерная фильтрация приводит к значительно­ му увеличению сложности алгоритмов и вычислений.

Если ковариационная матрица ошибок измерения не меняется во времени или диагональна, то многомерная фильтрация вырождается в раздельную по каждой коор­ динате. В этих случаях многомерная фильтрация приво­ дит к ухудшению точности, так как операция обращения матриц вызывает максимальные ошибки счета.

354

Практическое использование многомерных фильтров Калмэна (176] связано с их модификациями. Мы огра­ ничимся исследованием задач одномерной фильтрации.

4.6. Ф И Л Ь Т Р Ы С ЭФФЕКТИВНОЙ КОНЕЧНОЙ ПАМЯТЬЮ

4.6.1. Принципы построения и общие свойства филь­ тров с эффективной конечной памятью. При построении фильтров будем исходить из того, что по своим динами­ ческим характеристикам они должны быть близки к фильтрам с конечной памятью, а реализация их долж­ на быть рекурсивной. Возьмем за основу одномерные рекурсивные алгоритмы фильтров с растущей памятью

ционарном распределении ошибок измерения монотонно возрастают. Основные затраты машинного времени свя­ заны именно с расчетом этих коэффициентов.

Отсюда становится ясным, как модифицировать алго­

мов (4.103), простых в реализации, вновь поступающая информация будет обрабатываться с постоянными веса­ ми, что является свойством фильтров с конечной па­ мятью. При фиксированных параметрах фильтрации ре­

— обратная конечная разность r-го порядка; С'г — число

Введем обозначения для импульсных переходных ха­ рактеристик фильтров hi, которые при определении коэф­

ционарные с бесконечной памятью, причем в области устойчивости

356

менем переходного процесса — памятью фильтра. Следо­ вательно, в области устойчивости фильтры с постоянны­

трация в (4.106) эквивалентна л-кратной фильтрации по формуле

357

a =0,5

Рис. 4.10. Импульсные переходные характеристики фильтров без ком­ пенсации.

то, определив %(k) из (4.107) и подставив в (4.108), по­ лучим:

1о

+(-\)T-x{k-r)\. (4.109)

Соответствующая передаточная функция имеет вид

358

ходныи процесс имеют экспоненциальный характер:

'На рис. 4.10 приведены импульсные переходные ха­ рактеристики фильтров без компенсации, т. е. зависимо­ сти pi, qi, 2, ... , при /г=\, 2. Передаточные функ­ ции, импульсные переходные характеристики и выраже­

Аналогичные уравнения можно записать при сглажива­ нии скорости и ускорения.

Воспользовавшись соотношениями (4.40), (4.42), имеем

Более подробные данные приведены в приложении 2. Таким образом, фильтры (4.106) воспроизводят без

динамических ошибок координату, если x(t)= const, пер­ вую производную, если

y(k) = Aо - [ x ( k ) - x ( k - l ) } ,

359