влияния шумов квантования можно проводить без учета воздействия сигнала. Оценка мощности шумов квантова
ния |
на |
выходе цифрового |
фильтра |
в |
установившемся |
режиме |
производится |
по |
формулам |
(4.44), при |
этом |
az[n] |
определяется |
из |
(4.89). |
|
|
|
В качестве примера рассмотрим простейший цифра- |
вой фильтр первого |
порядка |
|
|
|
|
|
v(k)=u(k)+bv(k—l), |
b<\, |
|
имеющий импульсную |
переходную характеристику |
|
|
|
|
|
h(k)=bK |
|
|
|
В соответствии с (4.44) п |
(4.89) при |
|
k—*оо |
|
|
|
|
а 2 М = Т 2 7 Т ^ ) - |
|
|
( 4 - 9 ° ) |
При |
6 = 0,99 имеем |
о2 [у]~4Агг2 и o(v]~2A«. Пусть |
далее |
для |
наименьшего |
входного сигнала |
|
отношение |
сиг |
нал/ (шумы квантования) |
должно быть |
не менее 40 дБ . |
Если, кроме того, входной сигнал изменяется в динами
ческом диапазоне |
40 |
дБ, то |
выходной |
регистр |
и Э Ц В У |
должны, иметь до |
15 |
разрядов (из расчета 6 д Б на раз |
ряд (2.146а). |
|
|
|
|
|
Можно показать |
[5], что |
мощность |
шумов |
квантова |
ния прямо пропорциональна усилению фильтра на его ре
зонансной частоте и обратно |
пропорциональна |
расстоя |
нию от полюсов до единичной |
окружности. |
|
4.4.3. Шумы округления. |
Произведение двух |
/пораз |
рядных чисел содержит ' 2 т разрядов. Поскольку арифме тические операции в цифровых фильтрах осуществляют ся в фиксированной /п-разрядной сетке, обычно от произ ведения отбрасываются лишние разряды и образуется округленное m-разрядное произведение. Шумы округле ния аналогичны шумам квантования, но приложены они не ко входу цифрового фильтра, а к выходу каждого умножителя.
Рассмотрим параллельную каноническую форму циф рового фильтра (см. рис. 4.5,а) и ее звенья 1-го и 2-го порядков (см. рис. 4.5,6). Для звена 1-го порядка шумы округления на выходе состоят из шумов умножителя Х г и шумов умножителя X i , прошедших через звено. Дис-
340
персия выходных шумов округления с |
учетом (4.44) |
равна |
|
|
|
1 + |
S И б Г д ) |
(4.91) |
|
А = 0 |
|
|
где /г(/гГд )—импульсная переходная |
|
характеристика |
звена. |
|
|
|
Если задана амплитудно-частотная |
|
характеристика |
звена (4.47), то спектр шумов округления имеет вид |
Fv(«>)=aZ[n][l |
+ K2(ti>)l |
|
(4.92) |
а дисперсия шума определится как |
|
|
|
|
|
(4.93) |
где мд=2л;/7'д. Аналогично, для звена |
2-го порядка |
1 + S Л» |
W |
(4.94) |
|
А=0 |
|
|
Легко убедиться, что шумы округления на выходах звеньев 1-го и 2-го порядков последовательной канони ческой формы (см. рис. 4.4,6) также вычисляются в со ответствии с (4.91) и (4.94). Дисперсия шумов округле ния на выходе параллельной канонической формы (см. рис. 4.5,а) равна
В общем случае для цифрового фильтра произволь ной конфигурации, состоящего из звеньев 1-го и 2-то по рядков, спектр выходных шумов округления вычисляется по формуле [144]
|
Fv (ш) == а= [п] |(2Р + |
L) + |
г, К 2 Н |, |
(4.95) |
где |
Р — число звеньев 1-го |
порядка; |
L — число |
звеньев |
2-го |
порядка [см. (4,20), (4.22)]; Kj(a) |
—амплитудно-ча |
стотная характеристика цифрового фильтра от входного сумматора /-го звена до выхода фильтра; г, — число шу мовых источников на входе сумматора /-го звена.
Как показывают результаты анализа [144], параллель ная (4.22) и последовательная (4.20) канонические фор мы цифрового фильтра, имеющего заданную передаточ ную функцию K(z), дают примерно одинаковые выход ные шумы округления.
4.4.4. Ошибки, связанные с ограниченностью разряд ной сетки. Требования, предъявляемые к точности зада ния постоянных параметров цифрового фильтра, рассмо трим на примере звена, описываемого разностным урав
нением 2-го порядка с передаточной |
функцией |
|
|
Л' (г) = , |
г —1 Т -Г 1 |
- = г |
f |
, , |
• |
(4.96) |
Полюсы K(z) —комплексно-сопряженные |
при 6 2 |
i / 4 — & 2 < |
< 0 |
и определяются в виде |
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
2 |
- у |
4 |
|
|
|
|
Перейдем :к полярным |
координатам |
в г-плоскости. Тогда |
полярные координаты полюсов |
будут: |
|
|
|
|
р = ]/7>2, |
Ф = ш,Тд = arccos |
|
|
(4.97) |
где cor — резонансная |
частота |
цифрового |
фильтра. |
|
Зная погрешности в задании постоянных |
параметров |
bi |
н Ьг, связанные с ограниченной разрядной |
сеткой, лег |
ко |
оценить ошибки |
в |
положении |
полюсов |
цифрового |
фильтра. Для устойчивости фильтра необходимо, чтобы Р < 1 .
Отметим одно важное обстоятельство. Обычно приня то считать, что чем выше частота дискретизации /Д =1/Тд, тем лучше цифровой фильтр соответствует аналоговому прототипу. Это утверждение верно, если не принимать во внимание погрешности, связанные с заданием параме тров цифрового фильтра. Если ж е учесть эти погрешно сти, то может быть противоположный эффект: при умень шении Г д ниже определенного предела отклонение ха рактеристик цифрового фильтра от характеристик аналогового будет увеличиваться. Так, из второго урав нения (4.97) следует, что при уменьшении периода вре менной дискретизации Тя при фиксированных погрешно-
стах в задании b\ и bz |
возрастает |
ошибка, связанная со |
значением резонансной |
частоты. |
|
Если погрешности в задании 6 i |
и 62 малы, то ошибки |
в положении полюсов |
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как |
Дпр = 7"д Дсог, |
то |
из |
второго уравнения |
(4.98) |
следует, что чувствительность |
к |
погрешностям |
в задании b\ и Ь2 прямо пропорциональна |
частоте |
дис |
кретизации, |
ПОСКОЛЬКУ |
tgl|3 = |
t g (0,-Гд |
И Sin^ = sin СОгТд |
уменьшаются с уменьшением |
Г д . |
Кроме |
того, |
ошибки |
в і|)=.ш,-7'д, т*. е. в значении |
резонансной |
частоты |
тем |
больше, чем меньше |
Это и является |
причиной чувст |
вительности |
узкополосных фильтров нижних частот к по |
грешностям |
в задании |
постоянных |
параметров |
фильтра. |
Чувствительность к указанным погрешностям возра стает с увеличением порядка разностного уравнения. По
этому реализация |
цифрового фильтра в виде прямой |
(см. рис. 4.2) или |
канонической (см. рис. 4.3) форм неже |
лательна. Низкочастотный фильтр Баттерворта-5-го по рядка с частотой среза <х>с на уровне 3 дБ, равной ш с 7 д = = л/10 будет нестабильным при реализации в виде пря мой или канонической формы даже при 18-и разрядной сетке [143]. Целесообразно выполнять цифровые фильтры в виде последовательной (см. рис. 4.4) или параллельной (см. рис. 4.5) канонических форм, состоящих из звеньев 1-го и 2-го порядков.
4.4.5. Эффект «зоны нечувствительности». При анали зе шумов округления в п. 4.4.3 предполагалось, что ошибки, связанные с каждым округлением, являются взаимно независимыми случайными переменными. Одна ко если сигнал на входе фильтра постоянен, то это усло вие не выполняется. Рассмотрим например, фильтр 1-го порядка, описываемый разностным уравнением [5]
v(k) =0,96У (А—1 ) + « ( * ) . |
(4.98а) |
Пусть u(k) = \0; /г=1, 2, . . . ; |
и ( 0 ) = 2 6 5 . |
|
Если бы арифметические операции выполнялись с вы |
сокой точностью, то при k—э-оо |
установившееся |
значение |
сигнала на |
выходе |
фильтра равнялось бы u(>k)/({ — |
0,96) =250 . |
Однако |
если арифметические операции вы |
полняются с точностью до целого числа, то будет |
выпол |
няться: |
|
|
|
|
|
|
До округ |
После |
|
До округ |
После |
|
ления |
округлення |
|
ления |
округления |
V (1) |
264,40 |
264 |
v (4) |
261,52 |
262 |
v (2) |
263,44 |
263 |
|
|
|
v (3) |
262,48 |
262 |
|
201,52 |
262 |
т. е. установившееся значение сигнала на выходе филь
тра равно 262 вместо 250. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
теперь начальное значение |
равно |
и ( 0 ) = 2 4 5 . |
Тогда, |
|
|
как показано |
в |
[5], любое |
на- |
|
|
|
До округ |
после |
чальиое |
значение |
в |
диапазоне |
|
ления |
округлення |
2 3 8 < ' U ( 0 ) < 2 6 2 |
является одно- |
|
|
|
временно |
и |
установившимся |
V (1) |
245,20 |
245 |
значением. Множество |
значе |
v"(k) |
245 і 20 |
|
ний, обладающих таким свой- |
2 4 5 |
ством, называется |
|
«зоной |
не- |
|
|
|
чувствительности». |
|
|
|
|
Если же на входе фильтра 1-го порядка |
имеется |
сиг |
нал м ( А ) = 0 , & = 0, 1, 2, . . . и начальное |
значение |
v(0)^> |
^=13, то установившееся |
значение |
не будет |
равно |
нулю, |
оно достигнет границы «зоны нечувствительности», рав ной в данном случае для фильтра (4.98а) 13. Для устра нения этого эффекта ко входному сигналу добавляют шум небольшой мощности. В ряде случаев такая мера довольно эффективна. Фильтрам более высокого .поряд ка присущи более сложные эффекты, в частности могут происходить колебания на частоте /д/2.
4.5.М Е Т О Д Ы СИНТЕЗА О П Т И М А Л Ь Н Ы Х
Л И Н Е Й Н Ы Х Ф И Л Ь Т Р О В |
|
4.5.1. Введение. Процедура |
фильтрации (сглаживания |
и экстраполяции) |
параметров |
и |
координат траекторий |
является основной |
при вторичной |
обработке'радиолока |
ционной информации и в РЛ С сопровождения. Алгорит мы этой процедуры реализируются либо в виде программ специализированных Э Ц В М , либо в виде специализиро-
ванных ЭЦВУ . Такие алгоритмы в дальнейшем будем называть фильтрами. Наиболее эффективными при реа лизации на Э Ц В М являются рекурсивные фильтры с ра стущей памятью, когда для вычисления вектора параме тров на очередном шаге используются лишь измерения этого шага и вектор предыдущей оценки параметров со своей корреляционной матрицей (3.19), (3/20).
Как уже отмечалось в п. 2.7.3, процесс изменения каждой из координат на ограниченном участке наблюде ния 'представим в виде полинома степени р (2.223). Пе репишем выражение для x(t) в виде [79]
|
х (/) = |
S |
ХІ (/,) |
{U - |
toy |
= x0(t0) |
+ |
x, |
(t0) |
(t -10) |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
x M |
{ t |
- t 0 ) ' |
+ ---, |
|
|
(4.99) |
где |
to—момент |
|
привязки |
полинома. |
При |
U=i, |
x(t) |
= |
— Xo(i) — э т о |
задача сглаживания |
координаты, т. е. |
x0(t) |
есть |
координата; |
при to = t—То — задача |
экстраполяции, |
так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x{t),= |
|
x{t-Tu) |
|
+ x J |
e + |
|
xj], |
|
|
|
где |
^ = 0 ; |
л:а = -|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На вход системы вторичной обработки поступают из меренные значения координаты — x{t). Их можно пред
ставить в виде суммы сигнала x{t) и шума n(t): |
|
|
x(t).=x{t)+fi(t), |
|
|
где n(t)—шум, |
определяемый (2.224). |
Обычно |
прини |
мают, что n(t) |
—нормальный |
случайный |
процесс. |
|
В § 5.3 мы рассматривали |
различные методы |
синтеза |
цифровых фильтров в следующей постановке задачи: за дан аналоговый фильтр посредством передаточной функ
ции K(i<o); |
импульсной переходной характеристики |
h(t)\ |
квадрата |
амплитудно-частотной |
характеристики-|/С(іш) | 2 |
•и т. д. Необходимо |
найти соответствующие характерис |
тики для |
цифрового |
фильтра, |
т. е. K{z), |
h(k), |
\K(z)\2. |
Теперь ж е постановка задачи |
иная; она |
соответствует |
классической задаче линейной фильтрации. Необходимо найти передаточную функцию K(z), импульсную пере ходную характеристику h(t) или разностное уравнение цифрового фильтра, такие, чтобы .иметь, минимальные
дисперсии при воспроизведении каждой из компонент
вектора состояний х= |
(х0, хи |
х2, . . . ) т при заданных ди |
намических ошибках и минимуме сложности |
реализации |
этого фильтра. (Здесь |
x0=x(t), |
xi = v(t), |
...) |
Линейные фильтры можно разделить на три большие группы.
К первой относятся фильтры с конечной памятью, за даваемые посредством импульсной переходной характе ристики, используемые для обработки информации в «движущемся окне» (4.13). Основной недостаток таких фильтров — потребность в большом объеме памяти и большом числе машинных операций (пропорциональных памяти фильтра даже при записи алгоритмов фильтра
ции в рекурсивной форме) '(табл. 4.3, |
4.4). |
|
|
|
Вторая труппа включает в себя фильтры с растущей |
памятью, |
соетветствующие |
алгоритмам |
последователь- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т А Б Л И Ц А 4.3 |
ОЦЕНКА СЛОЖНОСТИ А Л Г О Р И Т М О В И ВЫЧИСЛЕНИЙ |
|
|
|
|
|
|
|
Конечная |
|
|
|
|
|
|
|
|
Объем |
память—реали |
Конечная |
Растущая |
Алгоритмы |
|
|
зация посред |
память — |
с |
эффек |
Степень |
памяти п |
|
память — ре |
|
ством импуль |
рекурсив |
|
тивной |
полинома |
число |
|
курсивные |
|
|
сной переход |
ные алго |
коне чной |
|
операций |
|
алгоритмы |
|
|
|
|
ной характе |
|
|
|
ритмы |
памятью |
|
|
|
|
ристики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М+1 |
|
М+2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
/ Я = 0 |
N3 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
N, |
|
|
м+з |
|
У И + 4 |
|
|
6 |
|
4 |
|
Nt |
. |
|
У И + 1 |
|
3 |
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
М+2 |
|
М+2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
Л ' 2 |
|
2 М |
|
6 |
|
|
4 |
|
4 |
/ И = 1 |
Л'з |
|
2 |
|
4 |
|
|
4 |
|
2 |
|
N, |
|
|
З У И + 4 |
|
i W + 1 2 |
|
|
11 |
|
9 |
|
N, |
|
|
4М—2 |
|
14 |
|
|
19 |
|
10 |
|
|
|
|
М + З |
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
fft |
|
|
ЗМ |
|
|
|
|
16 |
|
6 |
« = 2 |
N3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
4 |
|
JV* |
|
4M+Q |
|
|
|
|
2 7 |
|
15 |
|
W 5 |
|
|
6 М — 3 |
|
|
|
|
3 4 |
|
21 |
П р и н я т ы е о б о з н а ч е н и я : |
М—число |
отсчетов |
входного |
процесса; Л/,—число ячеек дчя хранения информации; |
W2 —число |
ячеек |
для хранения импульсной |
переходной |
характеристики |
или |
параметров |
фильтрации |
в рекурсивных алгоритмах; Л'з—число |
рабочих |
ячеек; |
/У4 —общее |
число |
ячеек; |
|
—число |
машинных |
операций, |
|
|
