книги из ГПНТБ / Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации

Для фильтра нечетного порядка величина М одно­ значно определяется через коэффициент N.

Молено показать, что, исходя из оптимальности функ­ ций (4.76) и (4.77), существует связь нулей и полюсов характеристическоп функции:

где в случае цифрового фильтра

фильтра третьего порядка имеет два корня в полосе про­ пускания, находим дополнительное уравнение

функций цифровых эллиптических фильтров высших по­

330

Предварительно из 2я полюсов следует отобрать ппо люсов, удовлетворяющих неравенству

которое вытекает из условия устойчивости фильтра В 2- плоскости

| 2"^ | < 1.

Для перехода от низкочастотного к высокочастотным полосовым и режекторным фильтрам можно воспользо­ ваться преобразованиями [139]. Для фильтра верхних частот

Пример. Рассчитаем цифровой эллиптический фильтр верхних частот второго порядка. Исходные данные для расчета: относитель­ ная частота среза 0,6л, относительная граничная частота режекции 0,08я, коэффициент пульсации в полосе пропускания є = 1 (3 д Б ) . Составим характеристическую функцию для соответствующего филь­ тра нижних частот и подставим ее в уравнение (4.75):

где параметры характеристической функции определяются по фор­

( t g ^ ) B = ± p t £ ^ = ± l , 9 4 5 .

331

Приравнивая нулю знаменатель и решая полученное уравнение, на­ ходим полюсы фильтра в тоіі же плоскости:

Нули и полюсы низкочастотного фильтра z " и z" вычислим в со­ ответствии с (4.82), предварительно выбрав полюсы в плоскости

tg — , — с положительной мнимой частью. Для перехода к фильтру

верхних частот воспользуемся преобразованием (4.84). Окончательно получим

От передаточной функции найденного фильтра

к, л _ AM — ( 2 - - п ) ( г - г - * ) _

А( г ) ~ В (г) ( г — 2 п ) ( г — г"*)

Всоответствии с разностным уравнением структурная схема

4.3.5. Особенности других методов синтеза цифровых фильтров. К .настоящему времени наряду с рассмотрен­ ными выше -разработано] много -различных методов син­ теза цифровых фильтров, так что один и тот же цифро­ вой фильтр может быть синтезирован различными мето­ дами. Кратко охарактеризуем некоторые из них.

332

передаточной функцией одного из следующих типов циф­ рового фильтра: верхних частот, полосового или режекторното. Кроме того, это преобразование должно сохра­ нить вид частотной характеристики прототипа.

Как отмечается в [130], нахождение аналога непре­ рывного фильтра в дискретной области при помощи z- преобразований не всегда является оптимальным реше­ нием данной проблемы, так как не все методы синтеза приводят к цифровым фильтрам, имеющим ту ж е сте­ пень устойчивости, как и их аналоговый прототип. Изве­ стно, что цифровые фильтры, синтезированные в частот­ ной области, .не обладают удовлетворительными времен­ ными характеристиками [131], однако во многих практических ситуациях временная характеристика так ж е важна, как и частотная. Поэтому синтез цифровых фильтров во временной области связан с выравниванием временных характеристик аналогового и цифрового филь­ тров в момент выборки при подаче на входы фильтров •одного я того же сигнала. Процедура синтеза цифрового 'фильтра сводится к минимизации среднеквадратической ошибки между выходными выборками аналогового и цифрового фильтров [131].

Необходимо также остановиться на вопросах синтеза ^нерекурсивных фильтров, отклик которых определяется выражением (4.34). Как правило, нерекурсивный фильтр не имеет заметных преимуществ перед рекурсивным: для его реализации требуется больше элементов задержки и умножителей, но в то ж е время не возникает проблем устойчивости. Однако нерекурсивные фильтры имеют особенности, благодаря которым они находят применение в радиолокации. В частности, имеется возможность пост­ роения параллельного спектроанализатора (гребенки фильтров) на базе одних и тех же элементов задержки, используя матрицу весовых резисторов [132], что упро­ щает реализацию.

стыми методами, чем определение передаточной функции

333

рекурсивного фильтра. Использование алгоритмов бы­ строго преобразования Фурье (БПФ) [122] ускоряет процедуру вычисления свертки (4.34).

Нерекурсивные фильтры имеют конечную импульсную переходную характеристику, а их передаточные функции содержат только нули <и не имеют полюсов на г-плоско- сти. Конечность импульсной переходной характеристики приводит к неравномерности частотной характеристики. Эту неравномерность ослабляют введением специальной весовой функции w(kTjj) с передаточной функцией w(z). Тогда передаточная функция сглаженного фильтра запи­

i*l=i

Выбирая параметры весовой функции, можно ослабить неравномерность частотной характеристики расширяя по­ лосы пропускания. Наиболее часто используются реали­ зуемые аппроксимации весовой функции Дольф — Чебы­ шева [133]. Синтез нерекурсивного фильтра методом ве­ совой функции сводится к определению коэффициентов h(kTs), k = 0, 1, ... , уравнения (4.34) и зависит от того, как задан его прототип. Если задана передаточная функ­ ция аналогового фильтра K(S), то с помощью обратного преобразования Лапласа определяется соответствующая импульсная переходная характеристика h (t):

одним из двух методов, обрываются и оставшиеся умно­ жаются на весовую функцию. Весовая функция Хэмминга имеет частотную характеристику

да ((D) == 0,08 - j - 0,92 cos2 ~

Другим методом синтеза нерекурсивных фильтров является метод частотной выборки [134]. В отличие от

334

метода -весовой функции -импульсная переходная харак­ теристика не обрывается, а происходит сложение отбро­ шенных ее компонент с оставшимися (aliasing), что при­ водит « искажению частотной характеристики. Нерекур­ сивный фильтр, синтезированный по методу частотной выборки, является составным и состоит из последова­ тельно соединенных гребенчатого фильтра с передаточ­ ной функцией K(z)=l—zm, содержащей т нулей и гре­ бенку элементарных фильтров (параллельное соединение

тфильтров первого порядка).

4.3.6.Метод анализа «нулей» процесса. Широкое распростране­ ние получили цифровые фильтры, основанные на анализе фазовых свойств или «нулей» процессов во временной области. К их числу относится цифровой фазовый фильтр (см. п. 2.5.3) и цифровые филь­

тры, основанные на корреляторах совпадения полярностей (140— 142]. По сравнению с классическими цифровыми фильтрами подобные

/7орог счета

Рис. 4.8. Щелевой фильтр (а) и цифровой аналог щелевого

фильтра ( б ) .

335

устройства значительно проще в технической реализации, однако им присущи недостатки, отмечавшиеся в п. 2.5.3.

менте. Крутизна фронтов частотной зависимости теоретически пря­

прямоугольные импульсы длительностью т/2, соответствующие мо­

лебаний с частотами, не попадающими в полосу i4.fi, но имеющими

сильным. С помощью дополнительного полосового фильтра, уста­ навливаемого на входе данного фильтра, этот эффект можно осла­ бить.

Из-за аппаратурных погрешностей (нестабильности Т и т/2) частотная характеристика фильтра ухудшается. Величина нестабиль­

336

единиц. Если за время Тп накапливается N^kB единиц, где k0 — порог счета, то считается, что присутствует выделяемый сигнал.

можно использовать устройство, реализующее оператор экспоненци­ ального сглаживания [4], либо регистр сдвига, вход и выход которого соединены соответственно с суммирующим и вычитающим входами реверсивного счетчика (см. рис. 2.12).

Вследствие случайного фазового сдвига между частотами гене­ ратора меток и входного колебания появление единицы на выходе схемы Из в некоторых областях частот носит случайный характер. Плотность вероятности этого события в функции частоты wi(f) изо­ бражена на рис. 4.9. При наличии на выходе ЦФ накопителя (счет­ чик I I I ) зависимость Wy(f) на рис. 4.9 можно интерпретировать как частотную характеристику. Легко убедиться, что

Из (4.87) можно .получить соотношения для следующих .пара­ метров ЦФ.

— центральная частота

В заключение отметим, что такие ЦФ могут применяться для измерения частоты монохроматических и квазпмонохроматических сигналов и выделения их из шумов с гладким спектром. Основное достоинство подобных ЦФ — простота технической реализации, стабильность частотной зависимости, простота перестройки /о и Д/і и возможность получения высоких значений коэффициента .прямо- \толыюстн.

4.4. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ

ВЦ И Ф Р О В Ы Х Ф И Л Ь Т Р А Х

4.4.1.Вводные замечания. Д о сих пор мы рассматри­ вали вопросы синтеза и анализа цифровых фильтров на основе теории линейных разностных уравнений с постоян­ ными коэффициентами. Тем самым предполагалось, что входящие в уравнения постоянные параметры непрерыв­ ны и принимают заданные значения. При реализациях ЦФ эти параметры являются дискретными из-за огра­ ниченности разрядной сетки Э Ц В У или Э Ц В М . Входные сигналы также являются дискретными, а при умноже­ нии возникают погрешности, связанные с округлением произведений. Таким образом, шумы квантования, ошиб­ ки округления и погрешности задания коэффициентов разностного уравнения составляют три основных источ­ ника ошибок в цифровых фильтрах.

338