Итак, ЦФ с импульсной переходной характеристикой, идентичной выборкам импульсной переходной характери стики заданного непрерывного фильтра, может быть п о лучен из соответствия
К (S) = ^ =>1 _ г - , ; х р ( р , д ) = * ( * " ) . (4.56)
На этом примере можно проследить две особенности, ха рактерные для расчета ЦФ данным методом. Первая осо бенность— частотная характеристика ЦФ может сущест венно отличаться от характеристики соответствующего аналогового фильтра, если отклик последнего имеет зна чительную величину на частотах со>'Сод/2. Вторая особен ность — зависимость коэффициента передачи ЦФ от ча стоты дискретизации сод =2я/Гд . Коэффициент передачи пропорционален сод и может составлять величину 104 и более. По этой причине необходимо вводить масштаби рование с целью предотвращения переполнения при вы полнении арифметических операций.
Таким образом, синтез ЦФ по методу инвариантности импульсной переходной характеристики имеет следую щие особенности: реализация ЦФ возможна в виде па раллельной канонической формы (4.22), ЦФ сохраняет форму импульсной переходной характеристики соответ ствующего непрерывного фильтра. Такие ЦФ пригодны только для аппроксимации узкополосных низкочастотных и полосовых непрерывных фильтров, основное преобразо вание соответствует (4.53).
4.3.2. Методы билинейного преобразования и согласо ванного z-преобразования. При синтезе ЦФ чаще всего необходимо обеспечить заданную частотную характери стику, не определяя импульсную переходную характери стику. В случае, если частотная характеристика непре рывного фильтра сравнительно постоянна в полосах про зрачности и затухания, удобно использовать метод били нейного преобразования. В основе этого метода лежит алгоритм отображения точек мнимой оси плоскости S на единичную окружность в плоскости z. Полученная в ре
|
|
|
|
|
|
зультате |
такого преобразования передаточная |
функция |
ЦФ K(z) |
в точках единичной |
окружности принимает ту |
же совокупность значений, что и передаточная |
функция |
непрерывного фильтра |
K(S), |
рассчитанная |
для точек |
мнимой оси. При этом |
происходит изменение |
частотного |
масштаба. Чаще всего |
это отображение осуществляется |
с помощью простейшей рациональной функции
Обозначим частоты непрерывного и цифрового фильтров Мн и шц. Тогда при
* n = |
t g ( - ^ ) - i - |
|
(4-58) |
функции К(ыи) и /С(сод) |
примут один |
и те ж е |
значения. |
Произведение Ш ц Г д называют относительной частотой цифрового фильтра.
Преобразование (4.57) отображает левую полуплос кость 5 на внутреннюю часть единичного круга. Полу чаемые передаточные функции K{z) соответствуют устойчивым реализуемым ЦФ. Поскольку преобразо вание '(4.57) является алгебраическим, его можно применять как к .последовательной (4.3), так и к парал лельной (4.4) канонической форме.
Соотношение (4.57) приводит к следующим форму лам для вещественных и комплексных членов в парал
лельной канонической форме |
(4.4): |
|
|
|
|
|
|
Rr |
Л 0 |
( 1 + 2 - ' ) |
|
|
(4.59) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*о~~2 |
(1 — р Г „ / 2 ) ' |
i ~ |
1—р7"д/2' |
|
|
2 [SRr— |
\}Rr — x/r| |
|
(1 + Z - ' ) |
( Л 0 + Л , г - ' ) . |
(4.60) |
|
(S — р)= + х 2 |
|
1 + B l Z - ' + / 3 2 z - 2 |
' |
|
|
|
где |
Л |
_ |
Г» [f r П - |
|
~ І ' |
( « У 2)] • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л _ |
7-д [ Я л ( 1 + р Г д / 2 ) + /г ( х Т д / 2 ) ] . |
|
|
л і |
— |
|
|
Д |
)Ч. |
» |
|
|
д |
_ |
|
) ' |
+ (х7-д /2 |
|
|
|
3 |
— |
[ ( 1 + Р 7 - д / 2 Z) |
|
|
|
|
В _ |
2 [ 1 - ( р Г д / 2 ) = - ( х Г Л / 2 ) 2 ) |
, |
|
|
£) = |
(1 - р 7 ' д / 2 )» + (х7'я /2)». |
|
|
При использовании последовательной канонической формы (4.3) вещественный множитель в рациональной
дроби преобразуется как
s - ^ M ; + f i r ' . |
(4.61) |
где
Комплексный множитель в (4.3) преобразуется в со ответствии с
[ S + |
«ї+^+ї*^. |
(4-62) |
где |
|
|
К = Ш |
[ ( l - P W + № / 2 ) 2 ] ; |
|
2 ( 1 - ( Р 7 - Д / 2 ) ° - ( Х 7 - Д / 2 ) 2 1 ,
D
В_ ( ' + Р Г Д / 2 ) ' + ^ 7 - Д / 2 ) \
"а — д
Поскольку множитель ( 1 + 2 - 1 ) является общим для членов первого н второго порядков (4.59), (4.60) в раз ложении (4.4), его можно вынести за скобку, т. е. дроби можно сократить:
Л С |
_ |
Л . і Л С — — г |
і |
а ° |
/дкъ |
|
( 1 + г - ' ) ( А + Л , 2 - ' ) _ Л , |
|
|
|
1 - f B i Z - 1 + В а г - а |
|
В,.""1 - |
|
• (Л . - Л . /ДО + СЛв+Л.а-Д./Д,)^-' |
_ г |
, |
ав + Д 1 г - ' |
"І |
1 +B.Z-' |
+ В 2 г - г |
1 "Г" І + |
В ^ - ' + В г г - 2 ' |
(4.64)
После суммирования всех констант, передаточная функ ция с учетом (4.63) и (4.64) приводится к параллельной канонической форме (4.4).
При использовании последовательной канонической формы (4.3) с учетом (4.61) и (4.62) результирующая
передаточная |
функция |
имеет |
вид [сравни с ( 4 . 2 0 ) и |
( 4 , 2 1 ) ] : |
|
|
к |
|
|
_ . |
J |
|
|
|
|
|
П (1 |
|
П U + ^ f c Z - H - W - 2 ) |
ц 2 - ^ С ^ |
|
|
|
|
|
( l + z - l ) U - ™ > . |
Д (I + В 1 р г - « ) Д(1 + В „ г - Ч - Д „ 2 - « ) |
|
|
|
|
|
|
(4.65) |
Расчет ЦФ |
методом |
билинейного |
преобразования |
в соответствии |
с |
( 4 . 5 7 ) |
и |
( 4 . 5 8 ) |
состоит |
в следующем. |
1 . Отмечаются характерные частоты на частотной ха рактеристике ЦФ, такие, как полосы .пропускания или затухания, точки максимального усиления и т. д. Обо значим их как СОДІТД, і = 1 , 2, . . . С помощью ( 4 . 5 8 ) произ водим пересчет этих точек, т. е. определяем новый набор частот ШНІ.
2 . Рассчитываем передаточную функцию непрерывно го фильтра K { S ) , имеющую на новых частотах свойства непрерывного фильтра. Расчет большинства аналоговых фильтров зачастую осуществляется при помощи преобра зования полосы частот нормализованного фильтра ниж них частот [ 1 3 8 ] . Путем такого преобразования можно перейти от фильтра нижних частот к фильтру верхних частот, полосовому фильтру, режекторному и т. д.
.Преобразование |
частот состоит в замене переменной |
SU—нормализованного |
|
фильтра нижних частот соответ |
ствующей функцией |
перехода: |
|
— |
-к фильтру нижних частот 5 н = 5 / ш д , |
— |
К |
ПОЛОСОВОМу |
фильтру 5 Н = |
( 5 2 + С 0 в С 0 н ) 7 5 ( < В в + Сйн), |
— |
К |
|
фИЛЬТру |
S H = S ( < B B — W H ) / ( S 2 + |
+ (Ов«п) , |
-реЖеКТОрНОМу |
|
SS=WB/S, |
— |
к фильтру .верхних частот |
где 5 Н |
— комплексная переменная передаточной функции |
нормализованного фильтра нижних частот; сов — верхняя частота среза; сои — нижняя частота среза.
, Таким образом задача сводится ж изменению крити ческих частот при их преобразовании с тем, чтобы полу
чить |
аналоговый фильтр с |
предварительными |
искаже |
ниями. |
|
|
|
|
3. |
В |
передаточной функции |
К (S) производится за- |
мена |
S |
на ( 1 — z~l )/(l + z - 1 ) |
2 |
и выполняются |
алгебраи- |
— |
ческие действия, необходимые для выражения ее в виде отношения двух полиномов пли в виде разложения на простейшие дроби. В результате получаем передаточнуюфункцию требуемого цифрового фильтра. Основное до стоинство метода билинейного преобразования — воз можность получения частотных характеристик широко полосных фильтров в полосе частот до 1/27^. Недостаток связан с нелинейным искажением частотной шкалы; для узкополосных фильтров это приводит к искажению ча стотной характеристики.
Таким образом, синтез ЦФ по методу билинейного преобразования имеет следующие особенности: реализа ция ЦФ возможна в виде параллельной или последова тельной канонической формы, необходим предваритель ный пересчет частотной шкалы непрерывного фильтра; сохраняется плоская часть частотной характеристики не прерывного фильтра. Этот метод пригоден для синтеза ЦФ всех типов, но главным образом для широкополос ных; основное преобразование соответствует (4.57).
Перейдем теперь к синтезу ЦФ методом согласован ного z-преобразования. Характерной особеностью синте за ЦФ данным методом является тот факт, что частот ная характеристика ЦФ имеет полюсы и нули, соответ ствующие полюсам и нулям непрерывного фильтра.
Отображающее преобразование для полюсов и |
«улей |
непрерывного фильтра таково: |
|
S=>&xp(STR) = z. |
(4.66) |
Вещественные полюсы или нули преобразуются в со |
ответствии с выражением |
|
5 _ р = » 1 _ 2 - і Є х р ( р Г д ) , |
(4.67) |
а комплексные полюсы или нули — по формуле |
|
(S - р) 2 4 - v? =J> 1 - 2 г " 1 ехр фГ д ) + z~2 ехр (2рТд ). |
(4.68) |
Тогда передаточная функция цифрового фильтра имеет вид [сравни с (4.20), (4.21)]:
/к \
П |
(1 + А * * - ) |
Пі |
С + л > * 2 - 1 + А*ь*-*) |
К(г-*) = К& |
^ |
|
, (4.69) |
П (1 + В,рг-») |
f[ |
(1 + B l l Z - » + S „ z - « ) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A,j |
= |
— ехр (о^Тд), |
Alh |
= |
— 2 exp (a.kTR) cos ( x , ^ ) , |
|
|
А * == exp (2ай 7"д), |
BlP |
= |
— exp (ррГд ), |
|
B l |
t = |
— 2 exp (рг -7д ) cos ( х г Т д ) , |
В2 І - = |
exp (2рг Гд ). |
Отметим, |
что |
полюсы |
передаточной функции |
(4.69) |
те же, |
что |
и при |
использовании стандартного z-преобра- |
зования. Однако нули обычно не |
соответствуют |
нулям, |
получаемым |
методом |
стандартного |
2-преобразоваиия. |
Согласованное z-преобразование целесообразно исполь зовать для синтеза широкополосных полосовых и режекторных фильтров. Если передаточная функция фильтра не содержит конечных нулей (например, фильтры Баттерворта и Бесселя), результаты будут неудовлетвори тельными. Для устранения этого недостатка необходимо умножить передаточную функцию на (l+z~i)N, где N равно порядку нуля, который желательно иметь на ча стоте 1/2Гд .
Итак, синтез ЦФ по методу согласованного z-преоб- разования имеет следующие особенности: реализация ЦФ возможна в виде последовательной или параллель ной канонической формы (последняя может быть получе на разложением на простейшие дроби передаточной функции (4.69)]; необходимо представление передаточной функции непрерывного фильтра в виде (4.3); сохраняет ся форма частотной характеристики; данный метод син теза пригоден для всех типов фильтров; основное преоб
разование соответствует |
(4.67). |
|
|
|
|
4.3.3. Метод |
подстановки |
операторов |
интегрирова |
ния (метод |
2-форм). По |
определению |
z-преобразованійя |
2 = ехр ( 5 Г Я ) |
[(см. 4.8)]. Таким образом, |
|
|
|
|
5 - 1 = Гд /1пг. |
|
|
|
(4.70) |
Разложим в ряд In z: |
|
|
|
|
|
|
где |
l n z = 2 ( u + w3 /3+,u5 /5+ . . . ) j |
|
(4.71) |
|
|
|
|
|
|
|
(4.72) |
|
|
U = ( l — 2 - i ) / ( l + 2 - l ) . |
|
|
Перепишем |
(4.70) |
|
|
|
|
|
|
9 - і _ |
Ух/2 |
_ 7 д / 1 |
|
|
4 4 а 5 |
\ |
t) + иа /3 + |
иб /5-1 |
2 |
\v |
3 |
45 |
945 |
' " ) ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.73) |
Всилу быстрой сходимости этого ряда его МОЖНО
аппроксимировать главной частью, т. е.
Тя |
Тк |
1 + 2 - ' |
(4.74) |
5 - 1 |
2 |
1 — 2 - 1 - |
2и |
|
Правая часть уравнения (4.74) называется z-формой, со ответствующей S~l [сравни с (4.57)].
Возведем обе части уравнения (4.73) в квадрат
Аппроксимировав этот ряд главной частью и постоянным членом, получим
С учетом (4.72) |
имеем |
|
|
|
|
|
' ~ 12 (1 — z - 1 ) 2 |
* |
|
Аналогично |
можно |
получить |
разложение |
в ряд S~h |
путем возведения в k-io |
степень |
обеих |
частей |
уравнения |
(4.73). Полученные таким образом операторы |
называют |
ся операторами |
Боксера — Таллера . Отметим, что опера |
тор интегрирования первого порядка |
Тастииа, Мадве- |
да — Траксела и Боксера — Таллера соответствует инте гратору, полученному по формуле трапеций.
Для получения передаточной функции цифрового фильтра К (z) необходимо представить передаточную функцию непрерывного фильтра К(5) (4.2) в виде отно шения двух полиномов по S~l, а затем заменить S~h на соответствующий оператор интегрирования. „В табл. 4.2 приведены различные операторы интегрирования.
4.3.4. Синтез цифровых эллиптических фильтров по квадрату амплитудно-частотной характеристики. В зада чах обработки информации часто требуется синтезиро вать цифровые фильтры с амплитудно-частотной харак теристикой, наилучшим образом аппроксимирующей ха рактеристику идеального аналогового фильтра. При этом желательным является обеспечение либо максимального подавления в полосе задерживания при заданных обла326
сти перехода и величине неравномерности в полосе про пускания, либо минимальной области перехода при за данном подавлении и величине неравномерности. При ограничении на сложность реализации фильтра, опреде
|
|
|
ляемую в основном его порядком, этим требованиям |
луч |
ше всего удовлетворяют эллиптические фильтры |
[115, |
175]. Известный метод синтеза эллиптических |
фильтров |
[5, 115], кроме применения довольно сложных |
конформ |
ных преобразований, требует использования |
эллиптиче |
ских функций Якоби. Значительно проще расчет такого фильтра молено осуществить исходя из требуемого вида квадрата амплитудно-частотной характеристики:
Я 2 (со)=[1 + е2 Р(со)]-1, |
(4.75) |
где Е —коэффициент, |
определяющий |
неравномерность |
характеристики в полосе пропускания; |
Р{а>)—характе |
ристическая функция. |
|
|
Характеристическая |
функция цифрового эллиптиче |
ского фильтра составляется аналогично соответствующей характеристической функции непрерывного эллиптиче ского фильтра (фильтра Кауэра). При этом необ ходимо учесть периодический характер частотной харак теристики цифрового фильтра и то, что ее квадрат всегда можно представить в виде отношения тригономе трических полиномов [5]. Поэтому, характеристическая функция цифрового эллиптического фильтра нижних ча стот принимает вид
Р Ю |
: |
М (х2 |
«?) |
(Х*-4)...(Х>-а2т) |
(4.76) |
|
|
|
|
|
( * 2 — Pi) |
|
|
при четном порядке |
фильтра п — 2т, |
|
Р(а>Т) |
= ' Nx (х |
а 2 ) {х2 |
- е ф . . . (*«• |
(4.77) |
|
|
( х 2 - р 2 ) > г - ^ ) . . . ( х г - Q |
|
при п нечетном |
п. = |
2m -\~ 1, где х — tg |
j t g |
Юс — частота |
среза |
фильтра нижних частот; М, N — коэф |
фициенты, определяющие величину затухания в полосе задерживания; си и р\-— нули и полюсы характеристиче ской функции.
На рис. 4.7,а приведен график характеристической функции цифрового эллиптического фильтра второго X]Q-
Рис. 4.7. Цифровой эллиптический фильтр нижних частот:
а — характеристическая функция; б — квадрат амплитудно-частотной характе ристики.
рядка и соответствующий ей квадрат амплитудно-частот ной характеристики фильтра нижних частот '(рис. 4.7,6).
Условия, налагаемые на характеристическую функ цию фильтра четного порядка, таковы:
Я(0)=Р(сосГд ) = 1, Р(тТя)=Р(л)=М2, |
(4.78) |
где соо — граничная |
частота |
полосы |
задерживания |
фильтра. |
|
|
|
Аналогично для фильтра нечетного порядка |
Р (СЙС^Д) = 1, Р (сооГд) =М2. |
(4.79) |
Для полосы пропускания |
фильтра |
0 < | сйГд| <ю0 7'д |
получим |
|
|
|
1 > ^ ( < о 7 д ) > ( 1 + е 2 ) - і ,
а для полосы задерживания |
| со7"д | >а>о7'д, |
К2(ішГд) < і ( 1 |
+,е2 М2 ) - 1 « 1 /М2, |
где М характеризует минимальное ослабление в полосе задерживания.
