книги из ГПНТБ / Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации

при малом периоде дискретизации Г д =1// Д отсчеты про­ цесса будут коррелированы, т. е. содержать избыточную

зации устанавливается теоремой Котельникова: детерми­

спектра-—появление ложных спектральных составляю­

характеризующие энергию колебания, совпадают для

ГраНИЧНОЙ /max-

Как видно из рис. 4.6,6, спектр решетчатой функции является периодическим, гребенчатым, т. е. представляет собой свертку апериодического спектра непрерывной функции (рис. 4.6,й) и периодического спектра дискрети- з-ирующей функции. После выполнения линейных опера-

3 1 0

5f*f

Рис. 4.6. Эффект маскировки спектра.

ций над решетчатой функцией в цифровом фильтре не­ обходимо построить непрерывную функцию на выходе фильтра. В соответствии с теоремой Котельникова, выра­ жающей в аналитической форме непрерывную функцию v(l) через ее дискретные значения, т. е. решетчатую функцию

(4.24)

k=—оо

следует осуществить фильтрацию решетчатой функции с помощью идеального фильтра нижних частот, имеюще­ го импульсную переходную характеристику вида sin х/х. Иными словами, необходимо избавиться от составляю­ щих спектра с частотами выше fs (рис. 4.6,6), вызванных дискретизацией.

Идеальный фильтр нижних частот (фильтр восстанов­ ления) является аналоговым и физически нереализуем, так как его импульсная переходная характеристика опре­ делена на бесконечном временном интервале (—со, со) . Кроме того, даже приближенное построение идеального фильтра требует большого числа элементарных звеньев, что приводит к большому времени запаздывания. По этим причинам на практике используют более простые технические средства и методы восстановления. К их чис­ лу относятся:

311

1. Ступенчатая интерполяция, связанная с сохранени­ ем постоянного значения отсчета решетчатой функции в течение периода дискретизации Г д . Техническая реали­ зация ступенчатой интерполяции возможна с использова­ нием ключевого пикдетектора, либо с помощью цепи с пе­ редаточной функцией

т. е. последовательно включенных устройства череспериодного вычитания и идеального интегратора. Анало­ гичная процедура осуществляется в цифровом фильтре при сохранении выходного кода в течение времени Т д вплоть до появления его следующего значения, а также при моделировании задач фильтрации на Э Ц В М . В обо­ их случаях отсутствуют аналоговые элементы.

Квадрат модуля частотной характеристики ступенча­

Из (4.26) становится ясным, что ступенчатая интерполя­ ция не обеспечивает столь хорошего подавления гармо­ ник, связанных с частотой дискретизации, как идеаль­ ный фильтр нижних частот. Однако качество подавления гармоник будет тем лучше, чем выше частота дискрети­ зации /д.

2. При линейной интерполяции вершины дискрет со­ единяются отрезками прямых. Передаточная функция ли­ нейного интерполятора равна

В состав фильтра, осуществляющего линейную интерпо­ ляцию, входят два интегратора и форсирующее звено.

3. Оптимальный фильтр Винера. Его структура опре­ деляется из условия минимума среднеквадратической ошибки для периодического процесса и(і):

312

в фильтре восстановления. Техническая реализация та­ кого фильтра очень сложна.

Наряду с указанными фильтрами могут применяться многозвенные фильтры нижних частот: Баттерворта, Чебышева и эллиптические.

Определим погрешности восстановления следующим образом. Полная мощность восстановленного на выходе фильтра шума пропорциональна

о

где К(а) —амплитудно-частотная характеристика филь­ тра восстановления.

В свою очередь, мощность гармоник дискретизации можно определить как

V 2

где Ид — частота дискретизации. Относительная погрешность будет равна

В Табл. 4.1 приведены Значения ШдДйтах, ГДЄ Шщах— максимальная частота в спектре сигнала для различных фильтров восстановления [136]. Параметр т — это поря­ док фильтра. Таблица составлена для погрешности є = = 5%. определяемой по (4.28) для синусоиды.

Для непрерывных в среднеквадратическом и стацио­ нарных в широком смысле случайных процессов с энер­ гетическим спектром, ограниченным частотой fmax, равен­ ство (4.24) выполняется в среднеквадратическом смысле [6].

313

4.2.3. Вопросы анализа цифровых фильтров. Анализ цифровых фильтров и сглаживающих цепей, реализуе­ мых как в виде специализированных устройств, так и программным способом .в ЭЦВМ, состоит из определения следующих характеристик: переходного процесса, дина­ мической 'И флуктуационной ошибок, амплитудно-частот­ ной и фазо-частотиой характеристик. При ограниченно­ сти разрядной сетки возникает необходимость учета влияния эффектов квантования. Этот вопрос рассматри­ вается в § 4.4. Для рекурсивных фильтров, кроме того, существенными являются вопросы устойчивости.

Кратко рассмотрим перечисленные задачи, ограни­ чившись соотношениями, необходимыми для последую­ щего анализа.

1. Устойчивость рекурсивных фильтров. Пусть пере­ даточная функция рекурсивного фильтра задана в виде

314

С учетом сделанного преобразования система будет

bo—bi+ba—b3>0, Ьо(Ь0—Ь2)—Ьз(Ьз—Ьі)>0,

3(b0—b3)—bi—b3>0. (4.33)

Следует указать, что только при /= 1 необходимые условия являются одновременно и достаточными.

316

2. Переходный процесс. Для нерекурсивных фильтров,

— коэффициенты динамических ошибок,

u { r ) { k ) = d j m .

з;б

Для нахождения коэффициентов (хг удобно воспользо­ ваться соотношениями [137]

где

В соответствии с (4.41) и (4.10) получим

где

4. Флуктуационная ошибка при стационарном вход­ ном воздействии для нерекурсивного фильтра равна

В качестве примера определим частотную характеристи­ ку звеиа второго порядка (4.21), входящего в последова-

317

тельную каноническую форму (4.20) цифрового фильтра:

и фазо-частотной характеристик производится обычным

4.3.М Е Т О Д Ы СИНТЕЗА Ц И Ф Р О В Ы Х

ФИ Л Ь Т Р О В

4.3.1.Метод инвариантности импульсной переходной характеристики. Сущность данного метода синтеза в том, что дискретные составляющие импульсной переходной характеристики ЦФ берутся равными выборкам импуль'с- ной переходной характеристики соответствующего непре­ рывного фильтра. В соответствии с (4.2а) запишем вы­ ражение для импульсной переходной характеристики

непрерывного фильтра с передаточной функцией (4.4):

318

В соответствии с принципом инвариантности необхо­

скую форму цифрового фильтра (4.22), (4.23), где ве­ щественные коэффициенты определяются в соответствии с выражениями (4.52), (4.55).

Метод 'Инвариантности импульсной переходной харак­ теристики, называемый методом стандартного z-преобра- зования, дает хорошие результаты при синтезе ЦФ, пе­ редаточная функция которых не содержит нулей: филь­ тры нижних частот, полосовые фильтры Баттерворта, Бесселя и Чебышева I типа. Основное ограничение дан­ ного метода — невозможность синтеза широкополосных фильтров [135].

319