где С — константа; |
«л, уи—соответственно |
вещественная |
и мнимая части k-ro |
комплексного нуля; |
X j — соответ |
ственно вещественная и мнимая части /-го комплексного полюса. Разложение в виде (4.3) соответствует последо вательному программированию линейной системы в виде совокупности элементарных звеньев: идеального интегра тора, а также апериодического и колебательного звеньев [24].
Передаточная функция (4.2) может быть также пред ставлена в виде разложения на простейшие дроби. Если полюсы (4.2) —однократные, тогда [135]
K ( S)= |
C0 |
+ |
£ |
^ |
|
+ |
2RE[5]. ; |
(4-4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Rrj + |
II г j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s — р/. — ы-j |
|
где C 0 |
= |
lim K(S); |
m = |
/ + |
2/C; |
/ = P + 2 L ; |
P - f L - ц е л а я |
|
|
S-+oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
часть |
числа |
(/+l)/2; |
P r p = |
Re(res p ) —вещественная |
часть вычета относительно р-то |
полюса, /rj = Im(reSj) — |
мнимая |
часть |
вычета относительно /-то полюса; I — сте |
пень знаменателя |
в (4.2). Уравнение (4.4) |
представляет |
собой |
|
параллельное |
программирование |
передаточной |
функции (4.2), |
т. е. представление |
ее в виде параллель |
ного соединения названных |
выше |
элементарных звеньев. |
В свою очередь, поведение дискретных систем описы вается разностным уравнением 1-го порядка с постоянны ми коэффициентами [5]
Т |
I |
|
|
|
|
|
'Zaiu(k-i)=1£biv(k-i), |
|
|
|
(4.5) |
1=0 |
( = 0 |
|
|
|
|
где щ, Ь{ — вещественные коэффициенты; |
{и} и {v} |
— по |
следовательности входных и выходных переменных; |
<zl. Без ограничения общности |
можно считать, что |
Ь0=\. |
Тогда |
|
|
_ |
|
|
|
Т |
|
|
I |
|
|
|
v (k) = 2 atu {k - |
і) |
- |
£ biv (k - |
і). |
|
(4.6) |
1=0 |
|
|
i=\ |
|
|
|
Уравнение (4.6) определяет структуру рекурсивного |
дискретного фильтра: значение |
процесса |
на его |
выходе |
v(/г) в момент времени th—(kTR) |
выражается |
через / |
предшествующих выходных |
значений v(k—і) |
и |
m + 1 |
входное значение u(k—і) (здесь TR — шаг временной дискретизации). Когда {и} есть последовательность от счетов белого гауссова шума, то {и} есть компонента I-
мериого |
гауссова |
марковского |
процесса (см. |
п. |
1.2.1). |
Если в |
уравнении |
(4.6) все |
Ьг = 0, 1 = 1 , /, |
то |
такой |
фильтр |
называется |
нерекурсивным. |
|
|
Анализ и синтез дискретных |
фильтров обычно |
осуще |
ствляется с помощью аппарата ^-преобразования [5, 37].
По |
определению z-преобразова.нием последовательности |
{х} |
называется комплексная функция |
|
|
|
|
х(г) |
= |
%х(кТя)г-\ |
|
|
(4.7) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.8) |
|
Применив (4.7) к |
(4.5), |
получим |
|
|
|
|
|
|
га |
|
! |
|
|
|
|
u{z)Yiaiz-<=v{z)Yibiz-K |
|
|
(4.9) |
|
|
|
1=0 |
|
(=0 |
|
|
Из |
уравнения |
(4.9) |
следует, что |
передаточная |
функция |
дискретного фильтра имеет вид |
|
|
|
^ ^ ) - т й = ^ — = 4 |
$ - = £ м * Г д ) 3 " |
( 4 Л 0 ) |
|
|
£ & t z - < |
|
k=0 |
|
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Импульсная |
переходная характеристика |
дискретного |
фильтра представима в виде |
|
|
|
|
/г (/еГд) = |
V |
|
( г р ) к , |
|
(4.11) |
где |
zp — полюсы- |
передаточной |
функции |
К(z); |
k=\, |
Прежде чем переходить к анализу передаточной функции дискретного фильтра (4.10), приведем некото рые важные для последующего анализа соотношения из
теории г-преобразования |
[5]. |
В соответствии с |
(4.7) |
х(^7"д) есть обратное |
z-преобразование от x(z), |
выра |
жаемое в виде |
|
|
|
|
|
x(kTJ |
= |
-±r |
§ |
K{z)zb-4z. |
(4.12) |
|г|=1
Поскольку в соответствии с (4.10) передаточная функция есть г-преобразование импульсной переходной характе ристики, последняя определяется с помощью (4.12) в виде
h(kTA) = ~ |
§ K{z)zb~4z. |
(4.12а) |
|
Г|г|=1 |
|
Вычисление интегралов (4.12) и (4.12а) обычно произво
дится с помощью теоремы |
вычетов. |
{и} и {Л} имеют |
|
Пусть далее последовательности |
соот |
ветственно z-преобразования и (z) и h{z). |
В |
этом случае |
произведение v(z) =u(z)h(z) |
соответствует |
свертке |
двух |
последовательностей |
|
|
|
|
|
v {кТл) = S и (ЇГЛ) к (кТя - |
ІТЯ) = £ |
и {кТя |
- |
ІТЯ) h |
(ІТЛ). |
і =0 |
(=0 |
|
|
|
(4.13) |
|
|
|
|
|
Аналогично, теорема комплексной свертки устанавлива ет, что произведению двух последовательностей соответ ствует комплексная свертка их z-преобразований [5]:
со |
|
|
v{z)=J*u(kTt)h(kT]l)z-* |
= ^ r § |
и(у)Цг/у)у-Ыу. |
ft=0 |
|г|=1 |
|
|
|
(4.13а) |
Для определения среднеквадратического значения случайной последовательности {и} через ее г-преобразо вание удобно использовать соотношение, соответствую щее (4.13а) при п(/гГд ) =и(^Гд) и 2 = 1 :
00 |
|
|
|
JjU2(kTK) |
= -±- |
(j) u{z)u(z-*)z-4z, |
(4.14) |
ft=0 |
|
|г|=1 |
|
поскольку |
|
|
|
|
|
N |
|
. os [и] = |
lira |
У и- {kTR) - m\ |
[и]. |
При этом u(z) имеет полюсы внутри, а и(г-{)~вне |
еди |
ничной окружности. |
|
Пусть известна спектральная плотность Fu (z) |
случай |
ной последовательности {«}, определенная как двухсто
роннее 2-преобразование от ее |
автокорреляционной |
функции |
|
|
оо |
|
|
Fu(z) = £ R {kT„} |
z~k. |
(4.14а) |
|
Тогда спектральная плотность последовательности {и} на выходе дискретного фильтра с передаточной функцией К(z) определяется в виде
Fv(z)=Fu(z)K(z)K(z->), |
(4.15) |
где K{z)K(z~l) есть квадрат амплитудно-частотной ха рактеристики фильтра с полюсами внутри и вне единич ной окружности.
Спомощью преобразования (4.8) осуществляется
|
|
|
|
отображение части S-плоскости |
на всю 2-плоскость |
(рис. 4.1,а). Из-за периодичности |
функции z |
взаимно |
однозначное отображение 5 на z осуществляется |
только |
для полосы в S-плоскости между |
±/сод/2, |
где сод = 2я/7'д. |
Левая полуплоскость внутри этой |
полосы |
отображается |
внутрь единичного круга (|г| = 1), правая полуплос к о с т ь — вне единичного круга, а окружность соответству ет оси /со. При определении амплитудно-частотных « фа- зо-частотных характеристик дискретного фильтра нули и полюсы его передаточной функции наносятся на плос кость z.
Нули и полюсы передаточной функции (4.10) могут быть либо вещественными, либо комплексно-сопряжен ными. Устойчивая система имеет полюсы, расположенные внутри единичного круга. Если все нули находятся вну три единичного круга, то система называется минималь но-фазовой, в противном случае система будет немини мально-фазовой [105].
Аналогично разложениям передаточной функции не прерывной системы (4.3) и (4.4), передаточная функция
дискретной системы |
можег |
быть представлена |
в виде, |
разложения |
|
|
|
|
К (z) = С |
( z _ z 0 ) |
( z - z l ) |
...(z-z°m) |
(4.16) |
( г - z { |
) ( * - * $ ) . . . |
(z-zf) ' |
где 2 ° , zp — соответственно нули н полюсы передаточной функции, в общем случае комплексные.
Определим теперь свойства амплитудно-частотной ха рактеристики, равной модулю передаточной функции (4.16) на единичной окружности z-плоскости [115]:
|
|
|
ff(»)=|K(*)UxP(. |
|
|
|
|
|
е |
» — zу |
е |
імГ |
— ; |
Є |
« — 2 |
= |
с ] |
д |
|е''ш 7 ». |
|
|
|
|
|
|
|
|
Є |
я . |
|
|
|
|
|
RiR» |
|
(4.17) |
где^і, R2, |
... , |
і?7п, Яі, Р 2 , |
...,-Рі |
— расстояния соответст |
венно от нулей и полюсов передаточной |
функции до про- |
|
плоскость Ь |
|
|
|
|
|
|
w w w w w w w \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |
|
|
Отобра жени е |
|
|
Отооражени е |
|
внутрь |
круга |
|
О |
вне круга |
|
|
|
|
-сшд/2 |
|
|
|
|
|
- |
|
im |
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
Рис. 4.1. Отображение 5 плоскости на z-плоскость (а) и полюсы и пули передаточной функции (б) .
|
|
|
|
|
извольной точки на единичной окружности |
(рис. 4.1,6). |
Для примера .на рис. 4.1,6" амплитудно-частотная |
харак |
теристика для любой частоты |
со равна |
/((со) |
=Ri/PiPz. |
Из рНС. 4.1,6 ВИДНО, ЧТО К (со) |
повторяется |
ПОСЛЄ (Од, 2сод |
и т. д., а также, что К{а) симметрична |
относительно |
точки сод/2. При z — 0 все расстояния Ди |
Pi |
равны 1, по |
этому амплитудно-частотная характеристика не зависит от нулей и полюсов, расположенных в точке 2 = 0.
Аналогичным образом можно шжазать, что фазо-ча- стотная характеристика получается суммированием углов, образуемых векторами нулей и полюсов с положи тельной действительной осью. Полный фазовый угол на произвольной частоте со есть сумма углов векторов нулей минус сумма углов векторов полюсов. В примере
|
|
|
|
рис. 4.1,6 фазовый угол равен ері—т|)і—1|)2. |
|
|
Заметим, что амплитудно-частотные и фазо-частотные |
характеристики можно получить непосредственно |
из пе |
редаточной функции (4.10) путем подстановки |
|
z~ і = е / г т |
Г д = cos (j<oTR) — і sin (](1>ТЯ), |
|
т. е. без обращения |
к z-плоокости. В то ж е время, |
распо |
ложение нулей и полюсов на г-плоскости дает |
наглядную |
геометрическую интерпретацию передаточной |
функции. |
Перейдем теперь |
к вопросам представления |
переда |
точной функции рекурсивного фильтра (4.10). Непосред ственная интерпретация (4.10) в виде разностного урав
нения (4.6) |
носит |
название прямой формы |
(рис. 4.2) и |
|
|
|
• |
|
|
|
|
X |
|
и(к) |
,-1 |
,-1 |
Z'1 |
|
|
|
во |
|
|
dm |
ель) |
|
|
|
- Ч Х |
|
Рис. 4.2. Прямая форма. |
20—1410 |
305 |
соответствует прямому программированию. В состав
функциональной |
схемы |
рис. 4.2 |
входят |
т + 1 линий |
за |
держки на период дискретизации |
(элемент z~l), |
in + |
l+l |
умножителей и сумматор. |
|
|
|
|
|
|
В соответствии с (4.9) имеем: |
|
|
|
|
|
|
v(z) = |
W(z) |
% а і г - і , |
|
|
|
|
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
W(z)=u(z) |
I |
|
biZ- |
|
|
(4.18) |
|
|
.1=0 |
|
|
|
|
|
Уравнениям (4.18) |
соответствуют |
разностные |
уравнения |
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
W(k) |
= |
|
u(k)-2,biW{k-i), |
|
|
|
|
|
i =l |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
(4.19) |
|
v {k) = |
|
%aiW(k-i). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
Структурная |
схема |
ЦФ, |
соответствующая |
уравне |
ниям (4.19), приведена на рис. 4.3. Она называется |
кано |
нической формой |
и для ее технической |
реализации |
|
тре |
буется / линий задержки вместо |
т+1 для прямой |
|
фор |
мы. Как прямая, |
так и |
каноническая |
форма |
не |
нахо |
дит практического применения из-за чрезмерно высоких требований к точности задания весовых коэффициентов,
-Ь,
X X X
Рис. 4.3. Каноническая форма.
г. е. высокой разрядности при выполнении арифметиче ских операций. Подробнее об этом см. § 4.4.
Уравнение (4.10) представляет собой отношение двух полиномов по г - 1 , т. е. дробно-рационалы-юе выражение, которое может быть представлено в виде либо произведе ния, либо суммы дробно-рациональных функций первого
и второго |
порядков |
[13], поскольку нули |
и полюсы пере |
даточной |
функции |
(4.10) |
будут |
либо |
вещественными, |
либо комплексно-сопряженными. |
|
|
Можно |
показать |
[135], |
что |
передаточная функция |
(4.10) представима в виде произведения [сравни с (4.3)]
К(г-Ч = с{[К1і(г-ЧІ[Кіі |
( г - ) , |
(4.20) |
<=і |
/=і |
|
где С — константа; |
|
|
і |
+ A l t z - 1 . |
|
КМ*-1)'- |
|
|
*4(»">"iifc"-'+fc"-'- |
<4-2" |
Вещественные |
коэффициенты А и, |
Ац, AZf, Ви, |
Вц, B2j |
определяются |
в процессе синтеза |
цифрового |
фильтра |
(см. § 4.3). Уравнение (4.20) носит название последова тельной (каскадной) канонической формы, состоящей из
звеньев первого |
и второго порядков |
(4.21), рис. 4.4,а, б |
и соответствует |
последовательному |
программированию. |
Если передаточная функция (4.10) содержит только однократные полюсы, тогда применимо разложение,
аналогичное (4.4): |
|
|
К ( г - 1 ) = У; К1Р{г-*) |
+ £к^(г-г) + Св, |
(4.22) |
/>=| |
/=1 |
|
где |
|
|
Определение |
вещественных |
коэффициентов |
Л 0 р , Лог, |
Лц, Вір, Bij, B2s |
составляет |
задачу синтеза |
ЦФ (см. |
§ 4 . 3 ) . |
|
|
|
Уравнение (4.22) соответствует параллельной канони ческой форме, состоящей из звеньев первого и второго порядков (4.23) (рис. 4.5,6). Представление передаточ ной функции в виде (4.22) называется параллельным программированием, рис. 4.5,а.
Последовательная и параллельная канонические фор мы находят преимущественное применение на практике,
поскольку они менее |
чувствительны к точности |
задания |
весовых коэффициентов и более удобны |
при реализации |
в виде элементарных |
модулей. Модуль |
(звено |
первого |
или второго порядка) может быть реализован в виде большой интегральной схемы, состоящей из минимально го числа простейших цифровых элементов: регистров сдвига, сумматоров и умножителей.
4.2.2. Дискретизация непрерывных функций и их вос становление. Для осуществления цифровой фильтрации необходимо производить дискретизацию входных воздей ствий — непрерывных функций времени, детерминиро ванных и случайных. Дискретизировать непрерывную функцию — это значит поставить ей в соответствие дру гую функцию, образованную прерыванием исходной,'т. е.
Рис. 4.5. Параллельная каноническая форма.
содержащую ее отсчеты. При этом необходимо, чтобы дискретизированная функция, называемая решетчатой, возможно полнее представляла непрерывную.
После выполнения совокупности арифметических опе раций над отсчетами входного процесса в соответствии с алгоритмом цифрового фильтра необходимо по выход ной решетчатой функции построить выходную непрерыв ную функцию. Как прямой переход — от непрерывного времени к дискретному, так и обратный — от дискретного к непрерывному, сопровождаются ошибками, которые мы будем называть соответственно ошибками дискретизации и восстановления.
Задачей дискретизации является правильный выбор частоты дискретизации /д . Для получения точной инфор мации о высокочастотных составляющих процесса часто та /д должна быть достаточно высока. В то же время,
