Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 463 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

стояние Аа называется несущественным, если существует

такое состояние Аа й такое число k, что pk0 > 0,

но

/?ра = 0. Состояния Аа и Лр называются сообщающимися, если существуют такие числа k5& 1 и IT 1, что р*^>О и / І . > 0 .

3. По вероятности возвращения. Вероятность того, что система, выйдя из состояния А , возвратится в него впервые на k-м шаге, обозначим р а (k). Тогда вероятность

того, что система на каком-нибудь		шаге	вернется	в со
стояние	Аа, равна раа. Состояние,	для	которого	раа=\,
называется возвратным, если же /7		< I , то состояние на
зывается	невозвратным.

Отметим, что сообщающиеся состояния оба возврат ные, либо невозвратные. Возвратные состояния образуют замкнутый класс, называемый эргодическим множеством состояний. Два эргодических множества полностью сов падают, либо не имеют общих элементов.

Классификация цепей производится в зависимости от типов классов состояний, принадлежащих к данной цепи. В соответствии с этим цепи могут быть эргодическими, поглощающими, циклическими,... Кроме того, они клас сифицируются в зависимости от поведения переходных

вероятностей	и абсолютных вероятностей	pkj9
при увеличении k.
Если при k—* оо	вероятности Рар—Рр< Рщ~ Р$<Т -	е-

имеют общий предел Рр^О, не зависящий в перво.м слу чае от начального состояния А , а во втором — от век-

тора начальных вероятностей р0 , то цепь Сг называется регулярной. В противном случае цепь иррегулярна. Регу лярные цепи называются неотрицательно регулярными, если некоторые из предельных вероятностей рр = 0, р =

=1, г, и положительно регулярными, если все Рр поло

жительны. Если при этом все рр = 1 /г, то цепь Сг назы вается вполне регулярной. Положительно регулярные це

пи называют также нормальными.

Цепь Маркова, содержащая два или более эргодиче* еких множества, таких, что не все они единичные, назы вается разложимой или приводимой. Цепь Сг называется

устойчивой, если ее абсолютные вероятности для любого момента времени h, k = \, 2, ... , равны соответствующим финальным вероятностям: Рщ = р?. Для устойчивости це пи С,- необходимо и достаточно, чтобы начальные веро ятности цепи Ст были равны ее финальным вероятно стям:

Рц = Рг

Основное значение для приложения в задачах обра ботки радиолокационной информации имеют однородные регулярные и поглощающие цепи Маркова.

1.2.3. Некоторые свойства цепей Маркова. Рассмотрим последовательность независимых испытаний, т. е. нульсвязную цепь Маркова. Многомерное распределение ве

роятностей

последовательности

дискретных

переменных

іїо, іїі,..., ії„-і,

каждая

из которых принимает

г значений

Х\,

х%,..,

хг,

записывается

в виде

Р (и) =

Р{и0,

и,

«„_,)

= р [ и 0 ) / > & ) . . . ^ о = п п p d : { k )

( k ) ,

( и )

где pa(k)—^вероятность

того, что

переменная

ик

приняла

значение

ха,

т. е. ра{k)

р(uh

ха);

da(k)

— индикатор

состояния х

(

а.

при

= x„,

„

(1.8)

при

ик

ха.

Каждое

из

значений

ха,

а =

г,

будем

отождест

влять с

состоянием

Аа,

а.

— 1,

г. Тогда вероятность того,

что

u f t

x a

, равна Д pi^<k)(k),

£ da(k) =

\. .

Для

однородной

нульсвязной цепи

pa(k)

pa,

k = 0,

- '

*(") = П РЇ">

0.9)

а = 1

	II—\			в в ы-
где Я =	У. d	(k) — частота появления значения х
а.	А=0	(х \ /	а	поли
борке объема п. Распределение (1.9)			соответствует
номинальному.
В соответствии с определением			простой (односвязной)

цепи Маркова многомерное распределение вероятностей

последовательности

дискретных

переменных

и0, и\

Un-w

каждая

из которых

принимает

значений Л',, л ,

хг,

записывается в

виде

Р(ц.)=р

(и0) р

[ux\ua) р ( і ф . ) . . .

(un _ , К _ , )

о = 1

Р0« И

П Pa?

(1.10)

Й=1 В=1

где

р0а

— вероятность

начального

состояния; ра?

(/г) — ве

роятность того, что ик_і — ха,

ик—х?;

при ик_г=ха

И Uh =

Xp,

(1.11)

0 при ик_г=ха

Uk=£Xp

— индикатор

перехода.

ДЛЯ ОДНОРОДНОЙ ОДНОСВЯЗНОЙ ЦЄПИ Ра р(&)=Ра р. k =

п — 1,

P ( " ) = n

U '

•

(1-12)

а = І

где

d a определяется

из (1.8);

Яа„ =

d „

(/г) — частота

комбинации

хаХр

выборке

fe=i

объема

п — 1. Переходная

вероятность

в (1.10)

представлена

виде

р(ик\ик_1)

= П 1 Ъ ! ; М Й ) ( £ ) .

(&) =

( 1 . 1 2 ) - к а к

а,?

p ( " f e | " f e - . ) = I I / ? ! a P ( A ) ' П Р И Э Т 0 М Р а в ( / г ) = Р а в ' 6 = 1 , Л — 1.

Частости
• к							(1.13)
	п	п			'а.		(1.13)
	п	п

суть оценки по методу максимального правдоподобия								аб
солютных вероятностей состояний ха				и	состояний		ха	и
х^ в два последовательных момента времени						и ^		и
переходных	вероятностей р а ?		[14].
Матрица	F = [Xa^[	порядка (/"Х7 - )		называется			матри
цей переходных частот [31] последовательности						иа,		ult...,
ып _,. Совместно с вектором			частот начальных			состояний
Я = (Я,, Я2 ,	Я г ) т матрица F		образует	совокупность				до
статочных статистик		последовательности			«0 , и,		" n - i >
		- У

поскольку с помощью Я и F можно определить все со стояния.

Многомерные распределения вероятностей цепей Мар кова могут быть записаны относительно достаточных ста тистик — переходных частот Я а ? [14].

Необходимо отметить, что связь между последова тельными состояниями Аа в цепи Маркова может быть большей или меньшей и в двух предельных случаях со ответствовать либо независимости, либо полной стати стической связанности. Степень связи для однородной цепи С|2 можно охарактеризовать также коэффициентом корреляции [15]:

w = P22—Рі2=Ри—Р2і,

— l < * 4 , i + i < l - (1-14)

1.3.О Б О Б Щ Е Н И Я Ц Е П Е Й МАРКОВА

1.3.1.Цепи Маркова — Брунса. Пусть случайные пе ременные йо, йи ... , їїп-і, ассоциированные моментам

времени U, tb->;tn-i и принимающие значения хіг х-ь ...

>..,хг, образуют последовательность независимых испы таний (т. е. нульсвязную цепь Маркова). Вероятности

значений Х\, Х2,...,хг	равны соответственно сц, « г , . . . , ау,
г

2 со,-=1. На последовательности переменных «о, " ь

и2,

• • • задаются

новые случайные переменные £>0, Уь « і • • <

с помощью

соотношений

. Ио = «О «1 • • • UhUh+lUh+2

...щ,

(1.15)

Новые

переменные

у0 ,

f ь . . .

имеют

попарно

по~& =

= /—h общих членов,

число их значений

равно

г'. Пе

ременные vq, Vi,...

образуют

простую

цепь Маркова. Эта

цепь превращается в цепь Маркова — Брунса, если рас

сматривать

отдельно одну

из

каких-либо

переменных Vi,

i =

2, ... , г1, или

некоторые

труппы

таких

переменных.

Пусть, например, переменные ы0, щ, иг,...

принимают

Значения А'ь х%, х3

с вероятностями ии

«2, а3 , а новые пе

ременные

образуются

по

правилу:

~Оо = щиь

Vi — UiUz,

У2 = «2Ыз,... и принимают

значения:

г/, = л-.л-,,

г/5

ув =

x„xs,

Уі — х3хх,

— х3х.2,

. г / 8 — к 3 .

Пергходная матрица новой цепи Маркова имеет вид:

а 1	а .	«3	0	0	0	0	0	0
0	0	0	а 1	а 2	а3	0	0	0
0	0	0	0	0	0	«1	а 2	а3
а ,	а 2	а2	0	0	0	0	0	0
0	0	0	а .	а 2	а з	0	0	0
0	0	0	0	0	0	а,	а 2	°3
«1	а 2		0	0	0	0	0	0
0	0	0	°ч	а г	а з	0	0	0
0	0	0	0	0	0	«I	«2

Образуем теперь новые случайные	переменные Do, Di,
vz,. •. из независимых переменных ио,	щ, и% ... по пра
вилу:

где и.— некоторое целое положительное число. Перемен ные Vi (скользящие суммы) будут зависимыми и связан-

ными в цепь Маркова — Брунса. Цепи Маркова — Брун-
са могут быть также построены на	последовательности
переменных «о, «ь иг,..., связанных	цепной зависимо

стью. Основная задача для цепей Маркова-—Брунса —

•исследование распределения	частот новых переменных
или некоторых групп этих	переменных — решается ме
тодом характеристических (функций.
1.3.2. Многосвязные цепи Маркова. Непосредственным

обобщением односвязных цепей Маркова являются двух-,


трехсвязные цепи	и т. д. Рассмотрим вначале			двухсвяз
ную цепь С*2),-. Построение многосвязных			цепей более
громоздко, но конструктивный метод тот же.
Пусть случайные переменные иа, Ui, iiz,...,			принимаю
щие значения хи	Х2,...,хг,	связаны следующим		образом.

Переменные и0 и «і составляют начальное звено с но

мером

0, переменные

«і

и «2 — звено с номером

1 и т. д.,

переменные Uh и tik+i — звено с номером

к.

Вероятность

комбинации

х а х

звене

номером

Р а В

Н Э

/ W , '

Р И

Э Т 0 М

А)«1 «,= 1 - . П У С

Т Ь

Ра,ааР

— П

е Р е '

a,cta=l

ходная

вероятность

того,

что

переменная

u f e

+ 2

примет

значение

при

условии, что

xai

uk+,—xa^,

при

этом вероятность того,

что и к + 2 =

Хр не

зависит

от

зна

чений, принятых переменными и0,

ц,,

и 2

д а

переменные. ик

и u f t + 1

приняли значения х

х^.

Ясно,

ч т о

S рв 1 «,Р = 1 -

Переходная матрица Р порядка г2 называется законом

двухсвязной

цепи. Она

составляется

из

переходных

ве

роятностей

p a j a ?

по

следующему

правилу.

Пусть

у'

(a,a2 ),

8' =

(Р,{У — двучленные

индексы. Опред°лим

пе

реходные

вероятности

если

(«.«,)• 8' = (^Р,).

( 1

7 )

H v v

\0,

если

(«,«,).

8 ' ^ ( а а р , ) .

Тогда

матрица Р

состоит

из элементов р^,ъ,,

причем у'

и б' независимо друг от друса принимают значения из

Множеств у	и .6:
у, б : 11,	12,..., 1г; '21, 22,..., 2г; . . . ; г\, г2,...,	гг.

При г =	3 матрица		цепи С^2) имеет вид:
A n A l 2 A u			0	0	0	0	0	о	-
0	0	0	А з і	А=2	Ааз	0	0	0
0	0	0	0	0	0	А з і	А 32	Азз
A n A l 2 A n			0	0	0	0	0	0
0	0	0	Лгі	Авг	Аез	0	0	0
0	0	0	0	0	0	А з і	А32	Ргзз
А и A l 2 Л і з 0				0	0	0	0	0
0	0	0	А г і	Ага	Ааз	0	0	0
_0	0	0	0	0	0	Азі	А32	А з з	_

Многомерное распределение вероятностей двухсвяз ной однородной цепи запишется аналогично соотноше

нию (1.12) для односвязной

цепи

_ . _

« - 3

„

P(Ua,

. . . . « „ . , ) =

/ ) ( « , , ( " і ) П

Р ( " f t + з

| « 1 1 + , .

"/0

4=0

= Р 0 а Л , а Л . а а

а з -

_З а „ _

. , =

Р^* •

( 1 ' 1 Э )

где X ,ъ, — частота

появления значения

х^

после

значе

ний ха^,

ха[

(1.17). Матрица

переходных

частот F =

[Х ,ъ, ]

порядка

{г\г),

аналогичная

по структуре

матрице Р

цепи С' 2 ) ,

совместно с

вектором

Я =

(Я,,

Я,

Яг а )т

обра

зует

достаточные

статистики

последовательности

и0 ,

и,

ы„_, двухсвязной

цепи.

Аналогично для v-связной неоднородной цепи много мерное распределение вероятностей можно записать как

P{") =	p{ut, и,,...,		« _ , ) Д		PK + U _ ,K + v _ 2 - • - и* - ,) -
Введем	индикатор		перехода		по аналогии с	(1.11) и, учи
тывая	(1.17),	запишем
	1	при Y' =		(*,.P.	8,) и 8' = (рг	8,, Р ї + 1 ) ,
	Опри Г =			(«,.?,	V и Уф{%	8т . Р у + \| ) .
б

Тогда переходные вероятности запишутся ё ёйДс

	p k + V _ , K + s _ 2		i - , ) = n / f t ? ' w ( * ) .
где J]	5 , (/г) = 1,	а распределение вероятностей в		виде
1'Ъ'
	~	< і , Г " - '
	Р ( « ) = П	[ 1 П Й ' " " о		(1.20)
где	— индикатор	вектора	начальных состояний;	р 0 т , =
= р(« 0 ,	«,.•••> «„_,) — компоненты начального вектора.
Для	однородной	v-связной	цепи

1.3.3.Бесконечно усложняющиеся цепи. Пусть

имеется последовательность случайных переменных «0 , ы,, и3 ассоциированных моментам времени t0, tx, t2,... и

принимающих		значения	xlt	xz,		л г .		Заданы	начальные
вероятности	р а , а = 1 ,		г,	2,Pa	=	U	и переходные			вероят
				ен
ности при		переходе	от	/е-го		к	6-{-1-му		испытанию
о	.	Вероятность		некоторого				значения		х	в
(/г-)-1)-м испытании зависит					от	результатов			всех		пред

шествующих испытаний. Переменные, связанные таким об

разом,	образуют		бесконечно			усложняющуюся			цепь.	Оче-
		г
видно,	что	У,	р		= 1.
Перепишем		переходную			вероятность					v
		a h + . = / 7		( - -	-к'	<»• -	< W = / Ч е ' к '			( L 2 2 )
где a'f e = (aaI		... af t ),		p'f t =	(a, ... а й		+ 1 )	— (k-\~ 1)-членные ин
дексы. Пронумеровав				совокупность				индексов	а',,	а'2 ,
р',, р'2	вероятности (1.22)					можно		представить в		виде
бесконечной матриць?
			P=[rhi],		/1,1 =		1,2			27
										27

элементами	которой	будут переходные			вероятности fh{
для бесконечного числа новых значений yh,						являющихся
бесконечно	усложняющимися		комбинациями			первоначаль-
				оо
ных значений ха. Естественно,			что	J] rhi=\,		значит
последовательность		{гиг} для всех		Л = 1 ,	2, .. . является
сходящейся.

В общем случае бесконечно усложняющиеся цепи можно аппроксимировать простыми односвязными и двухсвязными цепями Маркова, что рассматривается

в п. 1.7.3.

Остановимся на одном частном случае бесконечно ус ложняющейся цепи — асимптотически простой цепи С*,., у которой

		Р		—•/>					(1-23)
при k—-oo,	a
	£	/ » „ Л + 1	=		і. « * = Ї 7 7 .				(1.24)
	а и + 1 = 1
Асимптотой цепи С*г будем считать простую цепь Ст,
переходная	матрица которой			Р =		[р	]	неразложима и
ациклична,	а это означает, что для цепи							С г	существуют
финальные	вероятности рр		значений я р .
Из соотношений		(1.23)	и (1.24)			следует, что
	в	= р			+ є		,		(1.25)
где вещественные		числа	є		а	удовлетворяют уело-
ВИЯМ			а а	'	•" h+l
ВИЯМ			У.
lime		= 0 ,	У.		є		= 0 .		'
Кроме того, числа г					должны		удовлетворять тре-
бованиям:

1.3.4. Редукция числа состояний цепи Маркова. Полу

чение аналитических соотношений для процессов, соот ветствующих цепям Маркова с 'большим числом состоя ний, затруднительно. Выходом из положения является возможность объединения (склеивания, редукции) со стояний цепи.

Пусть имеем цепь Маркова с г состояниями (Лі, Лг, . . .-,>Л , ) , переходной матрицей Р и начальным векто-

ром ро. Пусть (Bh B2,...,BS)—новые состояния цепи, полученные путем объединения старых состояний сле

дующим	образом:
Вк = Ті	Ay, k= 1, s; /' = 1, r; {k} — обозначение мно-

/є{А} жества индексов состояний {Л3 }, объединенных в Вк;

s < r . Определим теперь для данного начального вектора р„ вероятности

Р - 1*о Є А А , р_ І*, Є А) | х0

(1.26)

А* [*і Є Л I , Є A n . • • •, х1 Є Ait x0 G Лг -],

описывающие объединенный процесс, который будем на зывать укрупненным (редуцированным).

Определение. Цепь Маркова объединила ш отноше нию к группировке состояний B—\(Bh Bz,...,Bs), если

—>

для любого начального вектора'р0 объединенный про цесс, определяемый в соответствии с (1.26), есть цепь Маркова и 'переходные вероятности не зависят от век-

тора р0 .

Пусть рш = Т Ріп — вероятность перехода из состоя-

ния ЛІ в .подмножество состоянии, соответствующих со стоянию В} за один шаг для исходной цепи. Приведем без доказательства теорему, устанавливающую возмож ность объединения состояний цепи Маркова [30]. .

Теорема.	Необходимое	и достаточное	условие для
объединимости	состояний	цепи Маркова	по отношению
к группировке	состояний	В — (В1, 52 ,...., Bs) состоит в

том, что для любой пары подмножеств fit- и В^ вероят-

<<< < Предыдущая 1 23 / 463 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ