книги из ГПНТБ / Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации

венной операцией является образование статистики [см. (3.74)]:

менных на выходе квантизатора в моменты времени /г— 1, к; Va? — табличная функция (3.75); а, (3=1,/ - , /• — число состояний цепи Маркова [см. (1.10), (1.11)].

Если по тем или иным причинам техническая реали­ зация алгоритмов вида (3.95а) затруднительна или не­ желательна, то можно построить квазиоптимальный из­ меритель, функционирующий в соответствии с корреля­ ционным алгоритмом [121]:

чимся первыми членами ряда. Тогда выражение для дис­

280

есть матрица ковариаций случайных величин на выходе квантизатора.

Выберем весовые коэффициенты W из условия мини­ мума дисперсии оценки параметра Я (3.98) [121]. Кроме

того, эти коэффициенты должны удовлетворять услови­

ям: а) асимметрии (11 W(k) = 0^ и б) физической реали­

функции многих переменных. Будем считать, что усло­ вие б), заданное в виде неравенства, выполняется, поэто­ му его можно не учитывать, если конечный результат не

281

Искомый вектор W* находится из решения системы уравнений

ciw

Продифференцировав (3.99), после несложных преобразованпй получим матричное уравнение для W в виде

Окончательное выражение для вектора весовых коэффи­ циентов получим в виде

Если матрица /И- 1 симметрична, а функция т\ анти­ симметрична, то Л = 0. Поэтому, приняв с ( Ц Р * ) = 1 , вы­ ражение (3.101) можно переписать в виде

Легко убедиться, что полученные весовые коэффициенты W* удовлетворяют условию физической реализуемости

Подставив полученные коэффициенты (3.102) в выра­ жение для дисперсии оценки (3.98), получим

282

Соотношения (3.102) и (3.103) можно конкретизиро­ вать, задаваясь моделями сигнала и помехи. При бинар­ ном квантовании элементы матрицы М определяются в соответствии с выражением

Пример. Пусть измеряется угловое положение цели. Для этого производится бинарное квантование, так что последовательность ди­ скретных 'переменных на выходе квантизатора образует неоднород­ ную нульсвязную цепь Маркова с двумя состояниями. Тогда матри­

°ЧР] = Ш)

І—1

Заметим, что выражение (3.105) совпадает с формулой (3.64), полученной из равенства Крамера — Рао (3.28).

3.5.5. Цифровые медианные и непараметрические дискриминаторы. В задачах проверки статистических ги­ потез внимание исследователей привлекают непараме­ трические методы {16, 6, 84]. Некоторые вопросы, связан­ ные с применением непараметрических обнаружителей, рассматривались в § 2.5. Что же касается теории оценок, то такие методы пока еще не нашли широкого примене­ ния. Объясняется это, по-видимому, тем, что непараметрические измерители не дают возможности получить эффективные оценки.

Вто же время концепция эффективности позволяет решать задачи получения оценок лишь для конкретных видов распределений и при этом эффективность оценок весьма чувствительна к нарушениям априорных сведе­ ний о законах распределения.

Всамом деле, пусть параметр % равномерно распре­ делен на интервале (а, Ь). Тогда оценкой с минимальной дисперсией для математического ожидания равномерного распределения будет [16, 46]

283

с дисперсией

среднего Є2і(?0'=6//і неограниченно увеличивается с ро­ стом п.

При оценке неэнергетических параметров радиолока­ ционных сигналов плотности вероятностей оцениваемых параметров зависят от отношения сигнал/шум q1 [1]. При уменьшении q1 распределения близки к равномерному, при большом q2 они соответствуют нормальному закону. Обычно используемые на практике параметрические дис­ криминаторы (3.8) основаны на предположении о нор­ мальности распределения функции правдоподобия

при заданной точности может быть весьма существен­ ным.

Указанное затруднение можно преодолеть двумя пу­ тями. 'Во-первых, построить параметрический дискрими­ натор, структура и параметры которого зависели бы от отношения сигнал/шум. Практически, однако, такое устройство трудно реализовать. Во-вторых, синтезиро­ вать непараметрический дискриминатор простой в реали­ зации и обеспечивающий при малых отношениях сигнал/ шум большую точность измерения параметра, нежели гауссов дискриминатор.

В дальнейшем будем считать, что распределение оце­ ниваемого параметра симметрично, а его истинное значе­ ние соответствует центру рассеяния. Это предположение соответствует оценке «еэнергетических параметров ра-

284

диолокациопных сигналов для любых отношений сиг­ нал/шум. Для симметричных распределений существует некоторый класс оценок центра рассеяния: среднее ариф­ метическое, медиана, среднее геометрическое и т. д. Мо­ делирование на Э Ц В М показывает, что центр рассеяния лучше оценивать по медиане, а не по среднему арифме­ тическому, если распределение сильно отличается от нор­ мального [126]. Причина этого состоит в том, что для симметричной относительно моды и унимодальной апо­ стериорной плотности оцениваемого параметра оценка по медиане является байесовской оценкой'[6]. В дальнейшем предполагается, что предварительно произведено выде­ ление параметра Я из смеси сигнала и шума и задача

чения КІ расположены в порядке возрастания, т. е. обра­ зуют вариационный ряд Л і ^ Я 2 ^ . . . <:/W. Выборочная медиана есть несмещенная оценка медианы распределе­ ния и при симметричном распределении является несме­ щенной оценкой математического ожидания. 'Выборочная

как и суммирование знаковых функций, затрудняет тех­ ническую реализацию устройства оценки медианы. По­ этому рассмотрим построение измерителя в виде дис­ криминатора.

285

гельно среднего значения. Произведем квантование по-

—>

следовательности X на два уровня в окрестности медианы и будем искать алгоритм оценки среднего значения в ви­ де дискриминатора, реагирующего на расстройку отно­

ний медиана и среднее совпадают). Для последователь­ ности независимых случайных величин функция правдо­

функциональной формы закона распределения совокуп­ ности, из которой извлечена выборка. Это означает, что

(3.8). В соответствии с (3.8) и (3.106) определим про­ изводные логарифма функции правдоподобия [127]

286

Подставив значения производных в формулу (3.8), по­ лучим алгоритм цифрового дискриминатора:

сти р. Значит, дискриминатор реагирует на расстройку

Определим асимптотические значения математическо­ го ожидания и дисперсии оценки по алгоритму (3.107) с учетом того факта, что случайная величина k имеет биномиальное распределение, у которого

в соответствии с выражением (3.37) при условии, что вы­ борки берутся из нормального распределения и Ко=Ки. Информация, содержащаяся в выборке из биномиально­ го распределения (3.106), с учетом (3.90) при p = q = 0,5

287

оценке с двумя порогами [103, 127]

А Ж 1 П Р $ I Х > І Х ^ + Л/2 + Ж Р $ \ У lx=W/2

Оценка (3.115) получена путем замены производной ло­

смеси сигнала с шумом параметр А(/)- Примерами та­ кого блока могут быть безынерционные частотный детек­ тор или дискретный фазометр. Отсчеты параметра A(k)

Сигнал dv(k) формируется по правилу