книги из ГПНТБ / Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации

где х (k) — сглаженная координата; А-* (/г) — экстраполиро­

,2 (2/г — 1)

Всвою очередь, сглаженная скорость равна

где b(k) = 1—6//г(/г+1).

На практике параметры сглаживания выбирают по­ стоянными а(к) = a = const, 6(/е) = 6 = const. Структура,

Рис. 3.3. Структурная схема фильтра, соответствующего уравнениям

(3.23) — (3.25) (при Г 0 = 1 , здесь " * = * * ) .

интерпретирующая уравнения (3.23) — (3.25), представ­ лена на рис. 3.3. Она соответствует следящей системе с линейным дискриминатором, вычисляющим сигнал рассогласования &(>к), и линейными цепями сглажива­ ния. В принципе такой измеритель можно сделать и ра­ зомкнутым.

230

Преимущества следящего измерителя перед разомк­ нутым состоят в следующем.

Во-первых, замкнутая система в значительной мере компенсирует погрешности и нестабильности отдельных ее звеньев.

Во-вторых, дискриминатор выдает лишь приращение измеряемого параметра є ( k ) , а не 'полное его значение.

Наличие такого преобразователя вне контура обратной связи приводит к 'Иекомпенснруемым ошибкам из-за по­

ным уравнением. В этом случае формирование сигнала рассогласования є(k) целесообразно выполнять с по­ мощью оптимального дискриминатора (3.7), (3.8). Тем самым задача нелинейной фильтрации сводится к задаче линейной фильтрации (в предположении линейности дис­ криминационной характеристики). Структура дискрими­ натора зависит от статистических свойств сигнала и по­ мехи и способа кодирования, в сигнале измеряемого па­

независимо друг от друга. При этом дискриминатор дол­

231

сию и вероятность отклонения от истинного значения па­

раметра Яи .

Оценка называется состоятельной, если при увеличе­

т. е. математическое ожидание несмещенной оценки рав­

при этом k (Я) не зависит от Я(«).

Условия существования эффективной оценки (3.26) и (3.27) являются весьма жесткими. Дисперсия эффектив­ ной оценки скалярного параметра \ определяется из фор­ мулы Крамера — Рао [46]

232

Эффективная оценка всегда состоятельна. Поскольку на­ хождение эффективных оценок связано с большими труд­ ностями, ограничиваются асимптотически эффективными и несмещенными оценками.

Наибольшее практическое применение нашел метод максимального правдоподобия. Максимально правдопо­ добные оценки всегда состоятельны (правда, иногда бы­ вают смещенными), асимптотически эффективны и асимптотически нормальны; среди всех асимптотически нормальных оценок они имеют наименьшую возможную дисперсию. Кроме того, если эффективная оценка суще­ ствует, то она является правдоподобной оценкой. Однако не все максимально правдоподобные оценки являются эффективными.

Перейдем теперь к вопросам определения дисперсий эффективных оценок, т. е. потенциальной точности оцен­ ки параметров, а также к расчету дисперсий квазиопти­ мальных оценок. При большом времени наблюдения и достаточном отношении сигнал/помеха логарифм функ-

->

ции правдоподобия как функция параметров А близок по форме к многомерному параболоиду '[69]. При этом сама функция правдоподобия аппроксимируется много­ мерным нормальным распределением. Ширина многомер­ ного пика функции правдоподобия определяется инфор­

состоящей из средних значений вторых производных ло­ гарифма функции правдоподобия. Обратная к / матрица JS = / - 1 состоит из средних вторых моментов потенциаль­ ных ошибок измерения параметров. Последние существу­ ют, если существуют совместно эффективные оценки. Если отдельные параметры, закодированные в процессе

ный. При достаточном отношении сигнал/помеха L(u\!k)

233

имеет максимум в окрестности истинного значения пара­ метра Хп. Точку максимума и принимают за оценку:

^=ЛтахПредставим выходной эффект в виде суммы

математического ожидания <iL(;f|A,)> и случайного отклонения от среднего:

L (и | А) = < L (и | Я) > - j - L, (и | Я).

Такое представление для L (и|Я) справедливо в том слу­ чае, когда на вход приемника поступает аддитивная

Разложив <^L(u\l)^> в многомерный ряд Тейлора в

окрестности Яи, получим с точностью до квадратичной аппроксимации [104]

і

Е ^ - ад- < L ( " I Я н ) > + ЖГL ] ( " 1 я ) = ° '

234

При этом сделана замена X на Хи . Тогда

Условные ковариации ошибок определяются так:

Для скалярного параметра Я из (3.35) получим формулу условной дисперсии оценки

( | ж М " | Х я ) ] г )

| ^ < £ ( а | * и ) > ]

При этом для неэнергетических параметров сигнала

при этом О ^ е ^ 1.

Можно также рассматривать относительную эффек­

235

Рис. 3.4. Структурная схема цифрового следящего измерителя.

/ 7

п3(к) п?(к)

ПШ)]+пэ(к)

Рис. 3.5. Эквивалентная схема цифрового следящего измерителя,

ниях и малости шумов их можно пересчитать в одну точку схемы — рис. 3.5. Коэффициент передачи дискри­

в сглаживающие цепи, которые будут теперь иметь пере­

237

словлена эквивалентными шумами на выходе дискрими­ натора [69]. Компонента rii(k) связана с квантованием процесса в аналого-цифровом преобразователе. Состав­

шум округления в цифровых цепях сглаживания. Все че­ тыре шумовых источника в первом приближении имеют равномерную спектральную плотность в полосе частот, воспроизводимых следящим измерителем. Поэтому экви­

ления в цифровых сглаживающих цепях.

Методика расчета дисперсий а2 , а2 , а2 рассмотрена в § 4.4. Дисперсия эквивалентных шумов дискриминатора

равная среднему значению напряжения на выходе ди­

в первом приближении не зависит от рассогласования в); n'(t) — белый шум с единичной дисперсией.

Для определения /Сд(е) и Кф(&) необходимо для за­ данной зависимости выходного напряжения дискримина­

238

Таким образом, определена дисперсия эквивалентно­ го шума (3.40а), приложенного ко входу сглаживающих цепей и имеющего размерность измеряемого параметра. Дальнейший анализ в предположении линейности ди­ скриминационной характеристики удобно проводить сле­ дующим образом [114]. Перенесем возмущение n3(t) на вход системы, при этом ее выходной эффект не изменит­ ся — рис. 3.6. Сглаживающие цепи с передаточной фуик-

\п3(к)

цией KzK(z), охваченные отрицательной обратной связью, представляют собой линейный фильтр с переда­ точной функцией

при подаче на его вход параметра в смеси с аддитивным белым шумом: K(}t) +n3(t). Тем самым мы приходим к за­ даче оптимальной линейной фильтрации. Методы синтеза оптимальных фильтров рассмотрены в § 4.5, 4.6. Зная пе­ редаточную функцию оптимального линейного фильтра /C3(z) при сглаживании координаты х, легко определить и передаточную функцию сглаживающих цепей из (3.42):

а по передаточной функции записать рекурсивное соотно­ шение, определяющее структуру сглаживающих цепей [см. (4.6), (4.10)].

239