книги из ГПНТБ / Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации

Удобнее, воспользовавшись инвариантностью точки максимума, формировать логарифм функции правдопо-

добия и определять оценку, вектора параметров X из ре­ шения системы уравнении

При этом необходимо взять решение к, обеспечивающее глобальный максимум уравнения максимального прав­ доподобия (3.1). Отметим, что уравнение (3.2) для не­ энергетических параметров сигнала является нелинейным

и в общем .виде не разрешается относительно X.

Теперь оценка производится не по максимуму выход­ ного эффекта, а по прохождению его через нулевой уро­ вень, что значительно упрощает техническую реализа­ цию. Кроме того, переход от функции правдоподобия, к ее логарифму позволяет существенно упростить струк­ туры измерителей, поскольку для непрерывных плотно­

Во-первых, в виде упоминавшейся выше многоканаль­ ной системы, каждый из каналов которой настроен на

таких систем являются: многоканальный дальномер

мерители довольно горомоздки и. их применение в Р Л С обзора оправдано при наблюдении за многими целями.

Во-вторых, при оценке параметра X, имеющего смысл времени запаздывания Гц или углового положения цели (Зц при сканировании диаграммы направленности антен­ ны, измеритель является одноканальным (система после­ довательного поиска.). Техническая реализация подобно­ го измерителя не вызывает затруднений.

220

этом предполагается, что известно опорное значение век тора измеряемых параметров Я0 , попадающее в область

сигнального выброса функции правдоподобия. Логарифм функции правдоподобия можно разложить в многомер-

->

ный ряд Тейлора.в окрестности точки Яо [69, 104]

+- Я о г - ) - ~ 1пти„ (и |Я0) +

Подставив уравнения (3.3) и (3,4) в (3.2), получим си­ стему уравнений максимального правдоподобия [104]:

„ j = i .

Перепишем (3.5) в матричной форме:

Окончательно уравнение оптимального многомерного дискриминатора принимает вид

22^

В частности, для скалярного параметра К оценка с по­ мощью дискриминаторов формируется в соответствии с выражением

Структурная схема оптимального ди:криминатора, по­ строенного в соответствии с уравнением (3.8), приведена на рис. 3.1. Первый (верхний) канал оптимального диск­ риминатора формирует сигнал рассогласования цд (є) =

д~~*

—-fa In ш(и|Я)]х=)0, а второй регулирует коэффициент уси-

Рис. 3.1. Структурная схема оптимального дискриминатора.

вают дискриминатором, а второй — блоком точности [69]. Последний совместно с параметрическим усилителем осуществляет сглаживание параметрических флуктуации сигнала. Наличие блока точности и параметрического усилителя отличает оптимальные дискриминаторы от реальных. Основное применение дискриминаторы нахо­ дят в схемах следящих измерителей.

Если неизмеряемые параметры сигнала а являются неэнергетическими, вторая производная fiPln w(u\X)/dX2

222

может быть вычислена заранее и введена в оптимальный дискриминатор, который теперь упрощается и становит­

Л («| Я) совпадают.

Такой способ оценки приводит к построению системы совместного обнаружения — измерения (см. п. 2.2.1), тех­ ническая интерпретация которой так же, как и системы максимума функций праводоподобия (3.1), (3.2), воз­ можна в четырех вариантах: многоканальном в общем случае, одноканальном, когда параметр К имеет смысл времени запаздывания, итерационном и с использова­ нием дискриминаторов. Подобная система обнаруже­ ния — измерения обладает той особенностью, что отпа­ дает, по крайней мере в принципе, необходимость в по­ строении отдельного обнаружителя.

223

вопрос о свойствах получаемых оценок: состоятельность,

несмещенность и т. д. Нахождение оценки % параметра %•• возможно итерационным методом [6]

х=х,

где /г=1, 2, ... ; /„.(А.)—информация по Фишеру (3.90а);

Xi— начальное значение, находящееся вблизи главного максимума функции правдоподобия.

Рассмотрим теперь вопросы оценки неизвестных па-

дирования параметров в сигнале. При этом возможны четыре ситуации:

->

1. S(t, X(t)) =X(t), т. е. сам принимаемый сигнал со­ ответствует компоненте вектора измеряемых параметров,

процесс л.(if) описывается линейным дифференциальным уравнением.

X(t) описывается нелинейным дифференциальным уравне­ нием.

224

В первом случае .возникает задача линейной филь­ трации, в случаях 2, 3, 4 мы имеем задачи нелинейна"* фильтрации. Наиболее общее решение задач нелине" ной фильтрации приведено в работах [106, 107]. При этг

процес описывается линейным дифференциальным урав­ нением. В этой связи в дальнейшем случаи 3 и 4 мы рас­ сматривать не будем и начнем рассмотрение с задачи линейной фильтрации, решение которой получено Калмэном [78] и Бэттииом [108].

Далее"мы перейдем к ситуации 2, при этом для упро­

емых оценок [114].

Начнем рассмотрение с модели движения, т. е. урав­ нений динамики цели. Такая модель должна быть доста­ точно простой и в то же время правильно отражать реальные траектории маневрирующих целей. Ограничим свое рассмотрение только одной координатой, т. е. за­ дачей одномерной фильтрации. Будем считать, что нор­ мально цель движется с постоянной скоростью. Возмуще­ ния такой нормальной траектории вызываются ускоре­ ниями цели, противострельбовыми маневрами и атмо­ сферной турбулентностью.

Маневренные способности цели можно охарактеризо­ вать длительностью маневра и его дисперсией (или мак­ симальной величиной). Обычно рассматривают манево как стационарный случайный процесс с корреляционно!" функцией

времени маневра. При медленном развороте 1/а«*60 с,

при противострельбовом маневре 1/а=»20 с, при атмос­ ферной турбулентности 1/а«1 с. Для определения дис­ персии ускорения необходимо задать плотность вероят­ ности ускорения [109].

Как известно, случайный процесс с корреляционной

держит три фазовые координаты или три параметра дви­

клинейному разностному уравнению, описывающему

ных состояния; ni(k) —вектор-столбец дискретной после­ довательности белого гауссова шума с ковариационной

226

менив вид матриц F и G (3.14), можно получить модели движения в виде гауссового марковского процесса.

При измерениях мы располагаем дискретными от­ счетами координаты х{А) совместно с наложенными шумами измерения п(А) с дисперсией о2[п]\

пользованием всей предшествующей информации, т. е. на­

оптимальных линейных фильтров в частотной области наталкивается на значительные трудности как математи­ ческого характера, так и в части реализации подобных фильтров. Более удобное решение во временной области для непрерывного и дискретного времени было дано Калмэном [78] и для дискретного времени Бэттином [108].

Дискретный фильтр Калмэна является нестационар­ ной системой с растущей памятью, он удобен при реа­ лизации в виде программы на ЭЦВМ . Непрерывный фильтр Калмэна, заданный во временной области, экви­ валентен фильтру Винера, определяемому в частотной области решением интегрального уравнения Винера — Хопфа.

Вывод уравнения фильтра Калмэна в общем случае является достаточно громоздким [78]. Поэтому мы приве-

228

дём лишь окончательные соотношения [109]:

Начальные значения параметров движения в случае одномерной фильтрации (3.18) для уравнений (3.19) та­ ковы:

ние динамической ошибки, увеличивающейся с течением времени [79]. Поэтому фильтр Калмэна при его прак­ тической реализации иногда модифицируют [112]. Этот вопрос подробно рассматривается в § 4.5, 4.6.

Уравнения фильтра Калмэна могут быть представле­ ны в виде, предложенным Бэттином [108] (4.90). Напри-

229