Легко убедиться прямым подсчетом, что для q= 1 число урав- 'ненпй (9.92) равно т (число заданных моментов), а общее чис ло уравнений в системе (9.91) — (9.92)
1-}- пі — Ст -\~С)п = С)„.\-\. |
(9.93) |
Для 7 = 2 система (9.91) —(9.92) увеличится на
Ст -f- Cm —1 -|- . . . Д —(ft—1) —}—. . . -{- Cm —(ш—1) — Cm-i-i (9 .9 4 )
уравнений, а общее число их будет
Ст+1-}~ Ст-I-1— Ст.|.о. |
19.95) |
Для произвольного порядкаучитываемых членов q прирост числа уравнении по сравнению со случаем учета q—1 членов будет
|
т |
'7-1 |
_ПЧ |
|
|
|
|
|
ѵ с |
|
|
|
(9.96) |
|
і-\-q—2 —С/т!-0-1, |
|
|
|
|
і =1 |
|
|
|
|
|
|
|
а общее число |
уравнений, |
если |
ДЛЯ 7 - 1 |
оно |
разно |
, |
составит |
пч—> |
|
|
С'1 |
|
|
|
(9.97) |
|
|
|
- |
|
|
|
т*“ q—1+ Cm+0-1 =- ѵ-'тН-0 |
|
|
|
Выражение (9.96) доказывается следующим образом с уче |
том справедливости (9.94): |
|
|
|
|
|
|
|
для m = k |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
С/+?-2 = |
СѴг9-і; |
|
|
|
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
для m = |
CU</-i + C*T?-i = C2+?. |
|
|
|
|
Таким образом формула (9.89) доказана, так как она спра |
ведлива для 7=1, 7 = 2 |
[выражения (9.93), |
|
(9.95)] |
и для произ |
вольного 7 [выражение (9.97)]. |
|
формуле |
(9.89), |
при большем |
Значение N, |
определяемое по |
числе учитываемых возмущающих факторов |
может быть очень |
велико. Соответственно потребуется большое число решений ис ходной системы (9.84). На практике целесообразно задавать ве личины возмущений VVs, принимаемых при решении уравнения (9.84), таким образом, чтобы максимальное число коэффициен тов a s в системе уравнений (9.91) —(9.92) обратить в нуль. В ра боте [41] указывается, что минимальный объем вычислений для 7=2 и 7 = 3 будет, если варианты возмущений выбирать в соот ветствии с табл. 9.1. Величины возмущений в этой таблице в от носительных единицах определяются по формуле
аг У т у^ .
где Ѵг, аг— среднее значение и среднее квадратическое отклоне ние возмущения.
Математическое ожидание и дисперсия действительной со ставляющей АФХ для </ = 2 и произвольного со в соответствии с работой [41] вычисляются по формулам:
|
М (/?) = — |
Rm+2 |
(9.98) |
|
т |
|
2 |
D(R) — — |
Ѵ [^ -У И (/? )Р . |
[/?„| + 2 - М (R)T- - [Rm+i - М (Я )]2 |
т |
|
|
|
5=1 |
|
(9.99) |
|
|
|
где s — номер варианта решения.
Аналогично вычисляются M(J) и D(J). Формула для вычисления корреляционного момента ңежду вещественной п мнимой состав ляющими имеет вид
|
К { R, J) = — |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
5=1 |
|
|
|
|
|
[ ( [ R - |
М ( / ? ) ] [ ! S - M ( ! ) } } и + 2 - |
( [ R s - M ( / ? ) ] [ f s - |
м ( Q ] 1 |
, , |
(9.100) |
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эллипсы рассеивания значений АФХ при произвольном |
значе |
нии со |
в координатах R—/ |
определяются с |
помощью |
формул |
(9.80) — (9.83). |
|
|
в |
координатах |
Величины |
полуосей эллипса рассеивания |
f — Л будут а = /тзе, b = ti5Т, где /т —квантиль |
нормального рас |
пределения, |
соответствующая доверительной |
вероятности у; |
з = | J Dl — среднее квадратическое отклонение АФХ. Огибающая эллипсов рассеивания дает положение границ
максимально возможных отклонений АФХ объекта регулирова ния, определенных с доверительной вероятностью у.
Для случая 7 = 3 имеем
2от
|
(9.101) |
5=1 |
|
2т |
|
/ J ( / ? ) = - L V '[ / ? , - /И (/?)]*; |
(9.102) |
2т |
|
5=і |
|
2от |
|
K { R , У)= ^ ^ [ ^ - ; И ( / Ш Л - Л 4 ( / ) ] . |
(Р-ЮЗ) |
5=1 |
|
Эллипсы рассеивания определяются по формулам (9.80) — (9.83).
Расчет поля и эллипсов рассеивания АФХ объекта регулиро вания представляет самостоятельный интерес и, кроме того, ис пользуется при исследовании устойчивости системы регулирова ния ЖРД. На рис. 9.18 приведен пример поля рассеивания АФХ двигателя типа «жидкость — жидкость».
После рассеивания границ устойчивости системы регулирова ния двигателя может быть определено по предложенному методу с помощью формул (9.87), (9.88). Однако, если предположить,
Рис. 9.18. Поле и эллипсы рассеивания АФХ двигателя типа «жидкость — жидкость» (у=0,99, £т =2,7)
что распределения случайной составляющей для АФХ и пара метров регулятора в уравнении (9.86) подчиняются нормальному закону, математическое ожидание границ устойчивости может быть получено путем подстановки в уравнения (9.87), (9.88) ма тематических ожиданий соответствующих величин, а дисперсия D определена по формулам:
' О І М = |
+ |
: |
2<а V |
М (ft) + М (і) |
|
СО*
По формулам, аналогичным (9.80) — (9.83), могут быть опре делены эллипсы рассеивания границ устойчивости САР, огибаю щая которых дает предельное положение границ устойчивости для доверительной вероятности у. Характер поля рассеивания границ устойчивости приведен на рис. 9.19.
9.6.3. Определение вероятности устойчивости работы САР
Под вероятностью устойчивой работы здесь будем понимать вероятность непопадания параметров регулятора в зону неустой чивости в плоскости Ü2—Оі. Для оценки вероятности устойчивой работы с учетом случайного характера параметров регулятора и границ устойчивости целесообразно использовать метод теории надежности «нагрузка — прочность» [51], понимая под нагрузкой значения параметров регулятора 02 и 01, а под прочностью — по-' ложение границы устойчивости САР в плоскости Оо—Оі.
В предположении статистической независимости параметров регулятора 02 и Ѳі [корреляционные моменты равны нулю, форму ла (9.83)] вероятность устойчивой работы равна
где Рг. Р I — составляющие вероятности устойчивой работы при учете только распределения 0г или Оі соответ ственно.
Для произвольных функций распределения вероятностен па раметра регулятора /рег(Оі) и границ устойчивости [(О,-) при Ѳі = Ѳір значение Р,- вычисляется по формуле
|
Ь |
- |
- |
(9.105) |
P l = f / г ( в , ) |
I |
/ p c r t a - b / z ] £ / 0 , . |
Для нормального распределения параметра регулятора и границ устойчивости
|
®/г |
(9.106) |
|
О |
|
|
где |
Ф — функция нормального распределения; |
|
Ѳ/г, Ѳ;Р, °,т, |
3,р— средние значения и средние квадратические |
|
отклонения і-го параметра. |
|
Пример построения функций распределения вероятностей |
представлен на рис. 9.19. |
|
Определяем |
нормированные расстояния точки, соответствую |
щей средним значениям параметра регулятора 02р и Ѳір, от мате матического ожидания границы устойчивости. Для примера, представленного на рис. 9.19, область устойчивости находится слева от границ устойчивости,
ko —
Oi= 01P
k l ~ -
_ 02=02p
Задаваясь требуемой вероятностью устойчивой работы САР, можно найти требуемое нормированное расстояние /етр, исполь-
Рігс. 9.19. Границы устойчивости системы с учетом разброса характеристик элементов:
]—поле рассеивания границ устойчивости системы; 2—э л л и п с рассеивания параметров регулятора; 3—распределение вероят
ностен для 02р и 02г при Oi=ßjp; 4—распределение пероятнос-
тей для 01р и 01г при Ѳ£=^02р
зуя выражения (9.104) — (9.106). В качестве запаса устойчивости примем минимальную из разностей
Ako — ko — k rp, A k x — k x - k i p.
Отрицательное значение Ak{ указывает на то, что САР не обес печивает выполнения требований по устойчивости.
Формулы (9.104) — (9.106) дают возможность выбрать пара метры регулятора, обеспечивающие устойчивость САР при из вестных характеристиках объекта регулирования п дисперсии па раметров регулятора 02 и Ѳі. Соответствующим выбором парамет ров регулятора можно обеспечить любую наперед заданную вероятность устойчивой работы системы «двигатель — регуля тор».
9.7. МЕТОДИКА ОБЕСПЕЧЕНИЯ НОМИНАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ Ж РД (НАСТРОЙКА)
Разброс характеристик агрегатов Ж РД из-за допусков на из готовление приводит к отклонению параметров конкретного дви гателя от номинальных значений и соответственно к увеличению лоля рассеивания траекторий ракеты, снижению точности и даль ности полета. Увеличение разброса параметров приводит также к сужению области устойчивой работы системы «двигатель — ре гулятор» (уменьшению запаса устойчивости) и затрудняет уп равление ракетой вследствие появления дополнительных возму щающих факторов.
Для компенсации влияния допусков на параметры и повыше ния точности и дальности ракет двигатели настраиваются [56] на номинальный режим, т. е. путем подбора необходимых харак теристик регулирующих элементов обеспечиваются номинальные значения основных параметров двигателя: силы тяги пли суммар ного расхода компонентов топлива и соотношения расходов окис лителя и горючего.
Впроцессе настройки используются результаты гидравличе ских проливок и автономных испытаний узлов и агрегатов двига теля, а также результаты его огневых испытаний.
Вкачестве регулирующих элементов для настройки двигате ля используются регуляторы, дроссели, редукторы, расходные
шайбы, устанавливаемые на магистралях подвода компонентов топлива к камере сгорания и газогенератору. Конкретная схема настройки выбирается с учетом особенностей схемы ЖРД, его целевого назначения, условий экспулатации и принятой системы проверки двигателя.
Перед поставкой партии серийных Ж РД проводится конт рольно-выборочное испытание (КВИ) произвольно выбранного из партии, экземпляра двигателя, который и проверяется на ре сурс и соответствие основных характеристик двигателя требова ниям технических условий [44]. КВИ является официальным сда точным испытанием серийной партии ЖРД. Перед КВИ могут проводиться контрольно-технологические испытания (КТИ), т. е_ официальные проверочные испытания на стенде каждого экземп ляра двигателя для проверки его функционирования и соответ ствия основных характеристик двигателя требованиям техниче ских условий.
9.7.1. Методика настройки на КВИ при отсутствии КТИ
В качестве параметров, номинальные значения ікоторых необ ходимо обеспечить путем настройки, служат давление в камере сгорания рк и отношение расходов компонентов топлива через камеру сгорания k\. Для определенности будем считать, что на стройка производится с помощью расходных шайб, установлен ных на основных магистралях подвода компонентов топлива к камере сгорания, и регулятора на магистрали подвода горючего в газогенератор. Естественно, что для настройки могут применять ся и другие элементы, например, дроссель на одной из основных магистралей и расходные шайбы перед газогенератором, что практически не влияет на схему расчета.
Расчет настройки заключается в определении диасметра рас ходной шайбы на трубопроводе подвода окислителя (с?0.ш) или
горючего (гіг.ш) |
и угла |
установки |
регулятора расхода горючего |
в газогенератор |
(ср), при которых |
обеспечивается |
номинальный |
режим по параметрам |
рк и k\. Из |
соображения |
минимальных |
энергетических затрат диаметр одной из шайб принимается рав ным диаметру трубопровода, а потери на ней — равными нулю (проходная шайба). Указанные величины могут быть получены путем решения системы уравнений, описывающих работу двига теля на установившемся номинальном режиме.
Исходными данными для расчета настройки являются:
— номинальные значения основных параметров |
(параметров |
настройки) рк, k\\ |
|
топлива че |
— номинальные значения расходов компонентов |
рез камеру сгорания, насосы |
и газогенератор G03, Gr3, G0, Gr, |
Gоі, On; |
плотности компонентов топлива |
— номинальные значения |
ро, Ргі |
|
|
—номинальные давления на входе в насосы р0о, Рго‘>
—суммарные потери давления* на магистралях подвода компонентов топлива в камеру сгорания и газогенератор (за ис ключением потерь на регулирующих элементах) Др0з. Дргз, Дроь Арп);
—напорные характеристики насосов
(9.107)
* Потери давления определяются по результатам проливок на воде при
расходе GB= G/|/р/р», где G, р — расход компонента и его плотность; GBj р„ — расход воды и ее плотность.
зависимости для мощностей насосов
N H'0 = D0n3-\-E0n-00\ I
(9.108)
N a^ = Urn3-\-Ern-Gr. J
Система нелинейных алгебраических уравнений, описываю щих работу двигателя на установившемся режиме и применяе мых для расчетов настройки, в общем виде запишется следую щим образом:
уравнения баланса давлений в основных магистралях
ДЛ.о + Ло — Рк = ЬРоз+кроли\ I
(9.109)
^Лі.г~!_ РгО Рк Д/^гЗ- !""^Pr.un J
уравнения баланса расходов
°оѵ о г=О гз+ О п; |
(9.110) |
k — G°3 • b |
Ool |
. |
— _ |
1 |
|
G.-3 |
|
|
|
уравнение баланса мощностей
N r —N H.o-f -WH-r; N T—(0ol-\-0Tl)f\TRTr
(9. Ill)
где для докритического режима
|
|
|
|
|
|
|
|
*,+і |
0 0j +^1r l ' |
P tF t |
|
/ 2 — ^ |
I Р » \ |
г |
/ Ры |
=7 |
r ^ |
|
|
|
|
V ятгг |
r |
|
— 1 |
Л Ргг ) |
|
\ Ргг |
а для режима критического истечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jr+j |
|
|
|
Pr Ру |
|
|
|
х„— I |
' o l Т lJ rl ■ |
1 |
•Хг + |
I |
|
|
|
|
|
|
|
V |
r t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения |
баланса |
давлений в |
магистралях |
газогенератора |
и в газогенераторе |
|
|
|
|
|
|
|
|
АРн.о ""I- РоО |
Ргг |
^Pol’ |
|
|
|
^ Р н . г ~ \ ~ PrO |
P r г |
^ P r l |
Т Д/ ^рег’ |
|
( 9 . 1 1 2 ) |
|
j O T = |
/ 7 Г Г + |
E r r ^ r r ( O o l + |
Ö r I ) 2 , |
|
|
где Дррег — перепад давления на регуляторе.
Уравнение связи между давлением в камере сгорания и сум марным расходом
„ |
P k F KP |
(9.113) |
Ос зт и ѵЗ~ |
ß |
|
|
Используя данные о характеристиках элементов конкретного двигателя и номинальные значения основных параметров двига теля, в результате решения системы уравнений (9.109) — (9.113) с учетом зависимостей (9.107) — (9.108) получаем значения всех параметров двигателя. Для целей настройки требуется знать ве личины Дро.ш (или Дрг.ш), Gг], Дррег. Решение системы нелиней ных уравнений может быть проведено любым приближенным способом (метод Ньютона, метод наискорейшего спуска и т. п.).
Для определения диаметра расходной шайбы dim по вычис ленному значению потерь на ней (Др,-Ш) следует воспользовать ся формулой [10]:
d !v «V- (9.114) [' 2рДріи
Следует заметить, что формула (9.114) дает удовлетворитель ные результаты при установке расходных шайб на прямых участ
|
|
|
|
|
|
|
ках трубопроводов, |
причем |
/ / |
до и после |
шайбы |
на |
рас- |
стоянии ие менее 10—15 диа |
|
метров |
трубопровода |
не |
|
должно быть местных сопро |
|
тивлений (клапанов, пово- |
|
ротов и т. п.). Так как эти |
|
условия |
в Ж РД |
не всегда |
|
выполняются, то вычислен |
|
ные диаметры шайб не бу- |
|
дут обеспечивать |
потребные |
Рис. 9.20. Зависимости потребных потерь |
расходы. |
В связи с этим диа |
метр расходной |
шайбы |
цен |
давления на настроечных шайбах и рас |
хода Gr, от фактора Vj |
лесообразно |
определять |
не |
|
расчетным' путем, а с по мощью проливок на специально оборудованных стендах, где
конфигурация трубопроводов аналогична трубопроводам двига теля.
Характеристики регулятора определяются обычно экспери ментальным путем. По вычисленному значению Apper и по харак теристике регулятора определяем, находимся ли мы в диапазоне, работоспособности регулятора, и затем по зависимости регули руемого параметра от угла установки ср определяем значение ср.
Для решения системы (9.107) — (9.113) необходимо привле кать ЭВЦМ. Иногда с целью повышения оперативности расчетов прибегают к следующему способу расчета параметров Др0.ш, Дрг.ш, Дррег, Grl. По результатам предварительных расчетов по-
