книги из ГПНТБ / Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей

мого действия. Уравнение регулятора прямого действия с 'Нели­ нейным трением можно записать так:

+ + bFm ) = - k ?erbXi- (9.61)

Найдем, как влияют на устойчивость системы два вида нели­

где а — амплитуда колебаний скорости перемещения подвижной части регулятора.

Так как амплитуда скорости зависит от частоты, то удобнее ис­ пользовать амплитуду перемещения подвижных частей регулято­ ра, которая связана с амплитудой скорости соотношением

где йп— амплитуда перемещения подвижной масти регулятора. Подставив уравнения регулятора (9.62) или (9.63) в общее ха­ рактеристическое уравнение системы (9.58) и учтя соотношение (9.64), после преобразований находим две системы уравнений:

для сухого трения *

(ш, ай)— \ — ы>Ч\ ± kperRi (w)=0;

(9.65)

К(ш, а п)= ш7’1± й РегЛ(«) + - ^ £-;

* Во всех формулах, приведенных »иже, перед вещественной и мнимой частями АФХ двигателя (со) и / і (со) стоит знак «плюс — минус». Знак «плюс» надо использовать, если Я,(0)>0, а знак минус, если R i (0) <0.

358

для вязкого квадратичного трения

X (со, ап)— 1— ш27І ± (грег/?г(со)= 0;

(9.66)

Y (со, ап)= шГ1 + ^регЛ (ш)4

Йз первых уравнений (9.65) и (9.66) находим соотношение для коэффициента усиления регулятора

В соотношениях (9.68) и (9.69) в левой части вместе с амплиту­ дой перемещения оставлены характеристики нелинейного трения, для удобства при анализе результатов.

Рис. 9..15. Зависимость амплитуды колебаний подвижной части регулятора с сухим трением от коэффициента усиле­

ния А рег

На рис. 9.15 приведены для примера возможные результаты расчетов зависимости амплитуды колебаний от коэффициента усиления £рег регулятора с сухим трением при различных значе­

359

ниях постоянной времени Т\ регулятора. Расчеты проводились для регулятора давления в камере сгорания двигателя типа «жидкость — жидкость», установленного на тракте окислителя газогенератора (кривые АФХ на рис. 8.1). Одновременно на рис. 9.15 в виде вертикальных кривых со штриховкой нанесены границы устойчивости линейной системы при различных значе­ ниях Т1. Зависимость a n/R c = f (креѵ) изменяет свой характер при

ласть с неоднозначной амплитудой лежит левее прямой, соот­ ветствующей границе устойчивости линейной системы, причем вертикальная прямая является асимптотой для кривой.

При увеличении постоянной времени Т\ (Гі = 0,02 с) неодно­ значность зависимости амплитуды an/Rc от коэффициента усиле­ ния исчезает, вся кривая оказывается в области справа от вер­ тикальной прямой, соответствующей границе устойчивости линей­ ной системы, к которой эта кривая также асимптотически при­ ближается при стремлении амплитуды к бесконечности.

Определим устойчивость найденного периодического решения,

В рассматриваемом случае (см. рис. 8.1) для колебаний в каме­ ре сгорания Ri{0) <0, т. е. в соотношении (9.70), необходимо брать знак минус. Если принять Т2 = 0, то условие устойчивости упростится:

ское решение до ю = 50 1/с неустойчиво, а при со>50 1/с — устой­ чиво. Для кривой, соответствующей Гі = 0,02 с (см. рис. 9.15), ре­ шение во всей области неустойчиво, Кривая для малого значения Т\ = 0,005 с имеет две ветви: нижняя ветвь (до со = 50 1/с) соот­ ветствует неустойчивому периодическому решению, а верхняя (со>50 1/с) — устойчивому. Следовательно, при относительно большом значении постоянной времени Т2 (Т2 = 0,02 с) сухое тре­ ние, не изменяя границ устойчивости (вся кривая лежит правее линейной границы устойчивости), приводит к появлению опреде­ ленного порога амплитуды, ниже которого система устойчива.

360

Система оказывается устойчивой в малом, но неустойчивой в большом, когда начальная амплитуда колебаний попадает в об­ ласть выше кривой, приведенной на рис. 9.15. Это объясняется тем, что при росте амплитуды колебаний [см. (9.49)] влияние су­ хого трения уменьшается, при 'малых же значениях амплитуды сухое трение демпфирует колебания.

Другая кривая на рис. 9.15 — для малого значения Т\ (Т{ = = 0,005 с) имеет две ветви, причем верхняя ветвь соответствует устойчивому периодическому решению, т. е. автоколебаниям. Часть этой кривой находится левее прямой, определяющей гранн-

Рис. 9.16. Зависимость амплитуды колебаний подвижной части регулятора с вязким квадратичным трением от коэф­ фициента усиления & р е г

цу устойчивости системы, т. е. благодаря сухому трению область неустойчивости расширяется. При малых значениях амплитуды (ниже кривой) система оказывается устойчивой (в малом).

Если начальные величины амплитуды превысят значения, оп­ ределяемые нижней (неустойчивой) ветвью кривой, то амплитуда колебаний будет увеличиваться вплоть до значений, определяе­ мых верхней (устойчивой) ветвью кривой. Такой режим возбуж­ дения автоколебаний, когда они развиваются только в случае, ■ когда начальная амплитуда превышает некоторое предельное

.значение, называется «жестким возбуждением» автоколебаний. При Ті = 0,005 с жесткое возбуждение будет иметь место в об­ ласти значений коэффициента усиления регулятора“ 72</грег<81. При Арег<72 система устойчива для любых значений начальной

.амплитуды. При /ерег>81 система устойчива в малом (начальная амплитуда ниже кривой) и неустойчива в большом.

Кривые зависимости амплитуды колебаний от коэффициента усиления Aper регулятора с вязким квадратичным трением, рас­ считанные по формулам (9.67) и (9.69), приведены на рис. 9.16.

.Исходные данные — такие же, как и для кривых, представленных на рис. 9.15. Характер кривых на рис. 9.16 отличается от соот-

361

ветствующих кривых рис. 9.15: отсутствует асимптотическое стремление к прямой, определяемой границей устойчивости ли­

т. е. область со<50 1/с (см. рис. 8.1) соответствует (при /грег>0) устойчивому периодическому решению, а при со>50 1/с — неус­ тойчивому. Таким образом, верхние ветви кривых на рис. 9.16 определяют автоколебания в системе, а нижние — неустойчивые периодические решения.

Кривые на рис. 9.15 заходят левее прямых, определяющих ус­ тойчивость линейной системы, т. е. благодаря вязкому квадратич­ ному трению область устойчивости сужается. В части плоскости _ левее прямых имеет место жесткое возбуждение автоколебаний.

Правее прямых автоколебания возникают при любых сколь угод­ но малых начальных возмущениях, но амплитуда их в силу вяз­ кого квадратичного трения ограничена.

9.6. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С УЧЕТОМ РАЗБРОСА ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ

Жидкостный ракетный двигатель совместно с системой ре­ гулирования представляет собой по существу автоматическую систему, на которую в процессе работы наряду с управляющим воздействием оказывают влияние случайные факторы (случайные

водимости его динамических характеристик и связанного с ними требуемого запаса устойчивости системы «двигатель — регуля­ тор».

В расчетах амплитудно-фазовых характеристик (АФХ) дви­ гателей, на основании которых определяют область устойчивости системы регулирования, коэффициенты в уравнениях принима­ лись постоянными. Однако для определения требуемого запаса устойчивости системы «двигатель — регулятор» необходимо учи­ тывать случайный характер значений коэффициентов в уравне­ ниях динамики, вызываемый погрешностями определения харак­ теристик узлов и элементов, допусками при изготовлении и на­ стройке, колебаниями режима при испытании и т. д.

При наличии-случайных воздействий на систему или при слу­ чайных отклонениях значений параметров системы задача опре­ деления efe динамических характеристик (т. е. решение системы уравнений) существенно усложняется по сравнению со случаем постоянных воздействий или постоянных коэффициентов.

362

Следует отметить, что коэффициенты в уравнениях, вообще говоря, являются нелинейными функциями параметров двигате­ ля. Особенно это характерно для регулятора, так как относитель­ но небольшое изменение параметров двигателя требует для своей компенсации больших изменений перепада на регуляторе, что в свою очередь приводит к изменению коэффициентов в линейном уравнении, описывающем работу регулятора, в два-три раза. Поскольку разброс характеристик агрегатов обязательно приво­ дит к отклонению параметров двигателя от номинальных значе­ ний, то при оценке запасов устойчивости с учетом случайных фак­ торов следует пользоваться нелинейными методами.

Исследованию воздействия случайных факторов на работу систем автоматического регулирования (САР) посвящено боль­ шое число печатных трудов, использующих теорию случайных функций и теорию вероятностей, основные понятия которых бу­ дут изложены ниже.

'9.6.1. Некоторые понятия из теории вероятностей

итеории случайных функций

При исследовании тех или иных процессов приходится сталкиваться со случайными явлениями, т. е. такими явлениями, которые даже при неизменных внешних воздействиях могут протекать различным образом из-за влияния слу­ чайных факторов. Случайные явления и связанные с ними события описыва­

величинами. Множество возможных значений и вероятностей того, что случай­ ная величина примет эти значения, образуют распределение случайной вели­

(предел отношения вероятности выполнения неравенства х ^ Х С х + Д х к вели­ чине интервала Дх при стремлении его к нулю). Дифференциальный закон распределения иногда называют п л о т н о с т ь ю в е р о я т н о с т и Случайной величины.

Законы распределения являются исчерпывающими вероятностными харак­ теристиками случайной величины, однако, используя законы распределения, вероятностные задачи не всегда можно решить до конца, в связи с чем прихо­ дится вводить числовые характеристики случайных величин.

М— символ математического ожидания.

Втеории вероятности в качестве числовых характеристик случайной ве­

личины широко применяется понятие м о м е н т а [16], [49]. Начальным момен­

363

том k-то порядка случайной величины х называется математическое ожидание k-ii степени этой случайной величины

Соответственно для дискретных и непрерывных случайных величин

П

(9.73)

i= 1

CO

где Рі — вероятность появления случайной величины Хі. Центральным момен­ том А-го порядка называется математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания, и выражения моментов для дис­ кретных и непрерывных случайных величин в соответствии с формулой (9.71) имеют вид

Из формул (9.72) и (9.75) следует формула связи центральных и началь­ ных моментов

k

ѵ-0

В практических расчетах чаще всего встречаются начальный момент 1-го по­ рядка и центральный момент 2-го порядка (математическое ожидание М и дисперсия D) .

Для совокупности случайных величин применяются смешанные моменты ki + кг + ... + &п-го порядка:

Математическое ожидание и дисперсия неслучайной функции от произвольного числа случайных аргументов определяются по следующим формулам:

364

две случайные величины х и у. Тогда после реализации и опытов возникают

D ( x ) - D ( y ) '

а дисперсии вдоль главных осей | и г| — с помощью выражений

9.6.2.Построение областей устойчивости

сучетом случайных характеристик элементов

Построение областей устойчивости Ж РД с учетом случайных характеристик элементов сводится к задаче определения динами­ ческих характеристик двигателя при заданном распределении случайных значений коэффициентов уравнений динамики. В предположении, что работа двигателя описывается линейными уравнениями, П. Г. Чистяковым в работе [57] дан метод опреде­ ления частотных характеристик и переходных процессов Ж РД с учетом допусков на изготовление его деталей. Однако, как выше указывалось, линеаризация уравнений может привести к значи­ тельным погрешностям при определении поля рассеивания час­ тотных характеристик и границ устойчивости из-за нелинейной зависимости коэффициентов в уравнениях, описывающих рабо­ ту двигателя и регулятора.

Внастоящем параграфе определяются области устойчивости

идоверительные интервалы границ устойчивости с заданной до­ верительной вероятностью в плоскости двух случайных парамет­ ров регулятора (задача синтеза) и предлагается методика опре­ деления вероятности устойчивой работы системы при известных числовых характеристиках случайных параметров, в том числе и тех, по которым строится область устойчивости (задача анали­ за). Для оценки поля рассеивания границ устойчивости приме­ няется метод, основанный на учете моментов связи случайных параметров в разложении решения системы уравнений работы

двигателя в ряд и применимый как для линейных, так и нелиней­ ных систем.

Обобщенная структурная схема системы «двигатель — регу­ лятор» дана на рис. 9.17. Динамика Ж РД в общем случае описы­ вается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

П

У і [ak j^ j + bk j^ i + ckjbXj{t —xk})} = dkbFm , (9.84) /=1

ственных допусков.

(Тх,

. Двигатель

&ЛП

per

Регулятор

Рис. 9.17. Структурная схема системы «двигатель — регулятор»

Так же, как это делалось в гл. VII, подставим искомое перио­ дическое решение и найдем передаточную функцию системы

ъх

- ~ - = R i№ + iJ ,W- (9.85)

а^рег

Значения параметров регулятора 02 и Ѳі на границе области ус­ тойчивости находим, подставив уравнение (9.86) в уравнение (9.85) и приравняв нулю вещественную и мнимую части полу­ ченного характеристического уравнения систем:

366

Для определения математического ожидания и дисперсии АФХ применяется метод, основанный на разложении решения исход­ ной системы (9.84) в ряд Маклорена по отклонения*! случайных параметров от средних -значений (по возмущениям) и на учете определенного числа членов этого ряда [41]. В тех случаях, когда коэффициенты уравнений являются существенно нелинейными функциями в диапазоне изменения случайных параметров, целе­ сообразно учитывать члены разложения выше первого порядка.

Чтобы избежать погрешностей и большого объема вычисле­ ний при определении частных производных, входящих в разло­ жение, находятся решения исходной системы для ряда вариан­ тов специально выбранных значений возмущений (отклонений параметров). Результаты решений обрабатываются по формулам приведенным ниже.

Если выбрать число вариантов задания возмущений и соот­ ветственно решений, равным

Сщ+(1 — число сочетаний, то в принципе задача определения математического ожидания

и дисперсии АФХ может быть решена. Доказательство формулы (9.89) дано ниже-

Решение системы (9.84) или другой ікакой-либо системы, в том числе и нелинейной, описывающей работу САР с учетом слу­ чайных возмущений,-будет носить случайный характер. Моменты

При этом величины cts и задаваемые величины возмущений в s -m варианте расчета Vrs должны удовлетворять системе уравнений

N

q включительно. В отличие от изложенного в работе [41] форму­ ла (9.89) выводится методом индукции.