книги из ГПНТБ / Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей

Рлс. 9.6. Схема регулирования двигателя торможения ко­ рабля «Аполлон»:

Рис. 9.7. Рабочие характеристики системы регулирования тяги двигателя корабля «Аполлон»:

1 —давление в топливном баке; 2 —потерн давления на шайбах на­ стройки двигателя; 3 — потери давления в регуляторе; 4 — верхний предел существования кавитационного режима трубок Вентури; 5 - давление в форсуночной головке; 6 — давление в камере сгорания

346

времени газового тракта.при глубоком регулировании двигателя измейяются незначителыіо.

зависит от мощности турбины и частоты вращения.

Мощность турбины Nt равна сумме мощностей насосов, которые в первом приближении пропорциональны кубу частоты враще­

ния п [66]. Тогда тТНА-----, т. е. резко растет при уменьшении fl*

п. Степень падения частоты вращения ТНА зависит от схемы уп­ равления режимом работы двигателя. Для того чтобы связать изменение частоты вращения ТНА с режимом работы двигателя, вспомним, что напор, развиваемый насосом Д р ~ п 2. Если в пер­ вом приближении пренебречь гидравлическим сопротивлением трактов до камеры сгорания, т. е. принять Аражрк, где рк —дав­ ление в камере сгорания, то можно установить ориентировочную

дросселирования трактов компонентов, поступающих в газогене­ ратор.

При управлении двигателем путем дросселирования гидрав­ лических трактов камеры сгорания частота вращения ТНА па­ дает еще меньше, так как зависимость для п необходимо запи­

сать в другом виде: « ~ У а +ААгиДР, где АрГ1Щр—падение давления в тракте, в том числе и на дросселирующем органе. При уменьшении рн величина ДрГидр может увеличиваться, так что потребное значение п изменяется очень мало.

Изменение инерционных постоянных времени гидравлических трактов [см. (9.41)], на которых имеются регулирующие органы,

РIG

т„= — ------

^трДДя

зависит от схемы регулирования, которая определяет, как с уменьшением расхода изменяется перепад на гидравлическом сопротивлении. Для трактов без регулирующих органов, для ко­ торых Аp s ~ G 2, при дросселировании двигателя постоянная вре­ мени увеличивается.

Результаты расчетов показывают [29], что при уменьшении тяги запас устойчивости двигателя как объекта регулирования уменьшается, а в ряде случаев возможно даже возникновение автоколебаний. В связи с этим при создании двигателя с глубо­ ким.регулированием желательно провести расчеты по устойчиво­ сти системы «двигатель — регулятор» (см. § 8.2) не только на номинальном, но и на нескольких других режимах (включая ми-

343

нимальный). Для оценки'качества переходных процессов «в боль­ шом» расчеты производят по нелинейной системе уравнений ди­ намики двигателя, приведенной в § 9.2.

9.4.О НЕКОТОРЫХ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ

ВГИДРАВЛИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ

Вшестой главе были выведены уравнения динамики несколь­ ких типов гидравлических регуляторов, затем они линеаризова­ лись, а нелинейные члены, иеподдающиеся линеаризации, в пер­ вом приближении отбрасывались.

Внекоторых случаях эти существенные нелинейности, неподдающиеся линеаризации, оказывают сильное влияние на устой­ чивость и точность системы регулирования.

Систематизируем по типам те существенно нелинейные эле­ менты, которые встречаются в гидравлических регуляторах, и оп­ ределим коэффициенты гармонической линеаризации этих нели­ нейных элементов.

9.4.1. Сухое трение

При соприкосновении двух твердых поверхностей, перемещаю­ щихся одна относительно другой, возникает сухое (кулоновское) трение, величина которого не зависит или зависит слабо от ско­ рости относительного движения этих поверхностей, направление

Рис. 9.8. Характеристики сухого трения:

а — сила трення не зависит от скорости; б — сила трения имеет падающую зависимость от скорости; в —неоднозначная зависи­ мость силы трення от скорости

же действия этой силы противоположно направлению скорости. Сила сухого трения пропорциональна усилию, прижимающему одну поверхность к другой. На рис. 9.8 приведены различные кривые зависимости силы сухого трения от относительной ско­ рости.

В расчетах обычно принимают, что сила трения от скорости не зависит (рис. 9.8, а). В действительности сила сухого трения может зависеть от скорости (рис. 9.8, б и в). Методики расчета, величины и формы зависимости сухого трения от скорости не

350

существует, нет и единого мнения о природе его возникновения. Однако для отдельных конструктивных вариантов исполнения подвижных частей регуляторов существуют эмпирические зави­ симости или рекомендации для оцен­

вода регулятора непрямого действия входила сила трения. Если необходимо учитывать силу сухого

трения Rrp, ее уравнение можно записать для 'простейшего слу­

где R c— величина сухого трения;

R e— суммарная сила, действующая на подвижную часть- (в нее входят: упругая сила пружины, силы давления, гидродинамические силы, инерция подвижных частей).

Второе соотношение определяет специфическую особенность сухого трения, характеристики которого отличаются от характе­ ристик релейного звена. В момент прохождения подвижной частью регулятора точки, соответствующей скорости .т= 0, сила сухого трения необязательно мгновенно меняет знак на обратный. Если в момент, когда х = 0, действующая на подвижную часть суммар­ ная сила Re окажется больше величины сухого трения, то движе­ ние будет продолжаться без остановки. Если же случится, что суммарная сила окажется меньше величины сухого трения, т. е.

—R c ^ R s ^ R c , то подвижная часть остановится. При этом вели­ чина сухого трения изменяется так, чтобы все время соблюдалось условие RtP = R e, т . е. сухое трение в любой момент уравновеши­ вает все остальные силы. Движение возобновляется только тогда, когда суммарная сила достигнет значения R s = ] | и превысит его.

351

Уравнения сил сухого трения (9.47) не могут быть линеаризо­ ваны обычным способом. Если расчеты проводятся на ЭВЦМ, то можно непосредственно пользоваться записью уравнений (9.47). Для расчета частотных характеристик системы и анализа ее устойчивости обычно используются линеаризованные уравне­ ния всех элементов двигателя.

Для того чтобы решить указанные задачи с учетом нелиней­ ных звеньев в регуляторе, типичные нелинейности можно линеа­ ризовать, использовав метод гармонической линеаризации [68].

Разложив нелинейную. функцию в ряд Фурье и использовав только первые члены разложения, можно записать

Здесь а — амплитуда колебаний параметра х пли х с круговой частотой и.

Таким образом, вместо нелинейной зависимости y —F(x, х) используется линейное соотношение (9.48), описывающее нели­ нейное уравнение с точностью до высших гармоник. Коэффициен­ ты q и q' зависят как от частоты со, так и от амплитуды а. При периодическом процессе, когда а и оз постоянны, коэффициенты линеаризации также постоянны. Зависимость коэффициентов q и q' от частоты со и амплитуды а является важным отличием гар­ монической линеаризации от обычной, описанной в § 2.1, и позво­ ляет выявить многие особенности, присущие нелинейным систе­ мам.

Для сухого трения, описываемого первым уравнением (9.47), т. е. в случае движения регулятора без остановок, при х = 0 коэф­ фициенты гармонической линеаризации равны [68]:

где а — амплитуда колебаний скорости, которая связана с амп­ литудой перемещения аа соотношением а = апоэ.

Если подвижная часть регулятора останавливается при т =0, т. е. нелинейность описывается обоими уравнениями (9.47), то со­ отношения (9.49) использовать нельзя. Для общего случая сухо­ го трения с возможным застоем способ гармонической линеари­ зации непригоден. Линеаризация возможна только в частных слу­ чаях, когда можно пренебречь массой подвижных частей. Масса подвижных частей регулятора незначительно влияет на их дви­ жение, если величина ее невелика (чувствительный элемент ре­ гулятора непрямого действия) или если скорость движения мала (исполнительный орган регулятора непрямого действия). Для чувствительного элемента с незначительной массой и с малым вязким трением, которым можно пренебречь, уравнение движения

352

(6.26) с учетом сухого трения ЯтР можно записать (приняв Ро—

= Яж = 0) так:

чмі/ + ^тр — F A P c ~\~Pd)

или, расшифровав зависимости для /?тр,

рактеристики чувствительного элемента с учетом сухого трения

9.4.2. Трение покоя

Кроме сухого трения, существует трение покоя, возникающее между двумя соприкасающимися твердыми поверхностями при отсутствии взаимного перемещения. На рис. 9.11, а приведен идеализированный график для трения покоя, которое действует только при отсутствии относительного движения. Сила трения имеет неопределенную величину между двумя пределами (пока скорость равна нулю), в каждый момент равную сумме действую­

353

щих на систему сил. В момент начала движения сила трения приобретает максимальное значение, а затем обращается в нуль, как только скорость становится отличной от нуля.

Обычно действуют одновременно несколько видов трения: су­ хое трение и трение покоя (рис. 9.11, б), сухое и вязкое линейное трение и трение покоя (рис. 9.11, в) или в еще более сложном случае (рис. 9.11, г) сухое и вязкое квадратичное трение и трение покоя. При перемещении подвижных частей гидравлических ре­ гуляторов (плунжеров, золотников и т. д.) иногда наблюдается

R тр

а)

«прилипание» (или гидравлическое «защемление») поверхности плунжера к внутренней поверхности цилиндра, что приводит к увеличению силы трения покоя между плунжером и цилиндром. Определяющее влияние на это явление оказывают гидродинами­ ческие силы, возникающие при течении жидкости в зазоре между плунжером и цилиндром [9, 25, 50].

Нелинейные характеристики с трением покоя гармонической линеаризации в общем случае не поддаются.

9.4.3. Квадратичное вязкое трение

При турбулентном течении жидкости в зазоре между плунже­ ром и цилиндром сила вязкого трения, действующая на плунжер со стороны жидкости, зависит от суммы скоростей жидкости и плунжера и в первом приближении равна

где I — высота зазора между плунжером и цилиндром; w.M— скорость'жидкости в зазоре;

X — скорость плунжера;

X— коэффициент трения;

D — диаметр плунжера или поршня.

354

При наличии постоянного протока жидкости через зазор, т. е.

где li — ход плунжера.

Если же постоянного протока жидкости по зазору нет или он столь мал, что им молено пренебречь, т. е. шж~ 0 , то уравнение (9.52) оказывается существенно нелинейным, нелинеаризуемым.

Сила вязкого трения при движении самого поршня или плун­ жера обычно невелика. В основном вязкое квадратичное трение сказывается в элементах, подобных тупиковому катаракту (рис. 9.13). Если жидкость из полости по одну из сторон поршня выжи­ мается при его движении через жиклер или через зазор между поршнем и цилиндром, то скорость жидкости в жиклере или в зазоре связана непосредственно со скоростью движения поршня соотношением

W.х,

где Fa, Еж— площадь поршня и проходного сечения для жидко­ сти. В этом случае перепад давления на поршне прямо связан с силой вязкого трения, которую жидкости приходится преодоле­ вать при движении в зазоре или жиклере. Для определения этой связи выпишем уравнение для гидравлического сопротивления жидкости, учтя зависимость дож от скорости поршня *:

(9.53)

где б — радиальный зазор между поршнем и цилиндром.

* При этом пренебрегаем инерцией жидкости в зазоре или жиклере.

355

Таким образом перепад на поршне целиком определяется вяз­ ким трением в зазоре между поршнем и цилиндром или в жик­ лере.

Соотношения для Ар на поршне (9.53) не линеаризуется, так как стационарное значение скорости поршня х равно нулю. При расчетах переходных процессов в системе на ЭВЦМ можно поль­ зоваться непосредственно нелинейным уравнением (9.53).

Для анализа устойчивости системы и при расчетах частотных характеристик целесообразно использовать метод гармонической линеаризации нелинейности. Коэффициенты гармонической ли­ неаризации зависимости (9.53), которую можно записать в виде Ар(х) = /гтрі Iі I, равны [68]

<7 (а) = ^ Зл; д'(а) = 0, (9.54)

где а — амплитуда колебаний скорости х.

Если в качестве переменной используется не скорость, а пе­ ремещение поршня X , то амплитуда скорости, подставляемая в соотношение (9.54), будет связана с амплитудой перемещений поршня Оп следующим образом:

а= а j,«).

Вэтом случае коэффициент гармонической линеаризации бу­ дет зависеть не только от амплитуды, но и от частоты колебаний поршня.

9.5.УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ «ДВИГАТЕЛЬ — РЕГУЛЯТОРі

СНЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В РЕГУЛЯТОРЕ

Использовав результаты гармонической линеаризации суще­ ственных нелинейностей в регуляторе, можно составить харак­ теристическое уравнение системы «двигатель — регулятор» для определения границ устойчивости системы. Как и раньше (см. § 8.2), передаточную функцию двигателя представим в следую­ щей форме:

где Ьхі — амплитуда вариации регулируемого параметра; ЗДрег— амплитуда вариации проходного сечения дросселиру­

ющего элемента регулятора.

Уравнение (9.55) описывает динамическую характеристику ли­ нейной части системы.

Уравнение регулятора запишем в форме нелинейной зависи­

356

которая в общем случае может включать в себя также уравне­ ния линейных элементов регулятора. Проведя гармоническую линеаризацию нелинейности, входящей в зависимость (9.56), по­ лучаем второе линейное соотношение:

Из соотношений (9.55) и (9.57) находится характеристическое уравнение замкнутой нелинейной системы

Выделив в уравнении ( 9 . 5 8 ) вещественную X и мнимую части Y:

Х( а , со)+іУ{а, ш)= 0

иприравняв их в отдельности нулю, находим два уравнения

(9.59) определяют частоту и амплитуду колебаний. Еслиурав­ нения (9.59) не имеют положительных вещественных корней, то система устойчива. С помощью уравнений (9.59) можно постро­ ить зависимость амплитуды и частоты колебаний системы от па­ раметров регулятора или двигателя.

При анализе нелинейной системы возникает вопрос об устой­ чивости полученного решения. Не всякое решение системы урав­ нений (9.59), определяющее частоту и амплитуду периодических колебаний, будет устойчиво. Может оказаться, что периодическое решение неустойчиво, т. е. в системе нет автоколебаний. При из­ вестных уравнениях (9.59) условие устойчивости периодического решения определяется следующим соотношением [68]:

где звездочка означает, что в частные производные, полученные путем дифференцирования зависимостей (9.59), подставляются значения амплитуды и частоты анализируемого на устойчивость периодического решения. Последние замечания связаны с тем, что неравенство (9.60) получено из анализа поведения кривой годографа Михайлова.

Кроме выполнения условия (9.60), необходимо, чтобы кривая. Михайлова во всех точках, кроме начала координат (рис. 9.14, а), не нарушала критерия устойчивости Михайлова. На рис. 9.14, б приведен возможный вариант кривой, нарушающей кри­ терий Михайлова.

Рассмотрим конкретные примеры анализа устойчивости систе­ мы «двигатель — регулятор» с нелинейностью в регуляторе пря­

357