книги из ГПНТБ / Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей

Г Л А В А I X

НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ЖРД

9.1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ

Нелинейными считаются такие динамические системы, кото­ рые содержат хотя бы один элемент или звено, описываемое не­ линейным уравнением. Можно выделить два класса задач в об­ ласти динамики ЖРД, в которых необходимо использовать нели­ нейные уравнения.

1.Задачи, в которых параметры двигателя изменяются в ши­ роком диапазоне, так что становится неверным основное предпо­ ложение, используемое при линеаризации уравнений — относи­ тельная малость отклонений.

2.Задачи о динамике двигателей, имеющих элементѣ с су­ щественно нелинейными характеристиками, неподдающимися обычной линеаризации.

Кпервому классу относятся задачи о запуске ЖРД, о глу­ боком регулировании, о выключении двигателя, о расчете им­

пульса последействия тяги Ж РД после выключения. Кроме то­ го, в ряде случаев в нелинейной постановке решают задачи о на­ стройке двигателя и о потребном диапазоне регулирования. Во всех этих случаях расчеты проводят по полной системе нелиней­ ных уравнений, описывающих процессы во всех элементах дви­ гателя.

устойчивости системы регулирования. Разброс возникает из-за отклонения параметров элементов двигателя и изменения внеш­ них условий. Хотя все отклонения относительно малы и можно использовать линейные уравнения всех основных элементов дви­ гателя, для компенсации всех этих отклонений необходимо су­ щественное воздействие со стороны регулятора. При этом пара­ метры регулятора (перепад давления, положение регулирующих органов и т. д.) могут изменяться в зависимости от условий в

329

несколько раз, из-за чего для регулятора приходится использо­ вать нелинейное уравнение.

Ко второму классу относятся задачи об устойчивости двига­ теля с регулятором, имеющим .в своем составе существенно не­ линейные звенья, неподдающиеся линеаризации, как, например:

— с сухим трением при движении одной поверхности относи­ тельно другой;

—с трением покоя, которое приходится преодолевать при на­ чале движения одной из соприкасающихся поверхностей относи­ тельно другой;

—с квадратичным вязким трением ів случае турбулентного течения жидкости в жиклерах или зазорах (при отсутствии по­ стоянного протока) и т. д.

Все указанные нелинейности сосредоточены в одном из эле­ ментов двигателя — его регуляторах, причем в одном регуляторе могут действовать одновременно несколько нелинейностей (на­ пример, трение покоя, сухое трение и гистерезис в упругих эле­ ментах и т. д.).

Если двигатель имеет одно звено с существенными нелиней­ ностями, то его структурную схему можно представить в виде двух частей (рис. 9.1): линейной и нелинейной. Линейная часть включает все агрегаты двигателя, кроме регулятора, а также, возможно, отдельные элементы регулятора, не имеющие суще­ ственных нелинейностей. В нелинейном звене сосредоточены все элементы регулятора, имеющие существенные нелинейности, и все другие элементы, которые нельзя выделить отдельно от не­ линейных элементов без усложнения структурной схемы.

Если в состав двигателя входят несколько регуляторов с су­ щественно нелинейными звеньями, то структурная схема объек­ та усложняется (рис. 9.2): линейная часть разбивается уже иа два или большее число отдельных блоков, связанных между со­ бой нелинейными звеньями. Подход к решению задачи об устой­ чивости подобной системы такой же, как и в случае системы с одним нелинейным звеном, усложняется только алгоритм расче­ та [68].

3 3 0

Наличие в системе хотя бы одного существенно нелинейного звена приводит к появлению ряда важных особенностей, которые не встречаются в линейных системах. В первую очередь это от­ носится к вопросу об устойчивости системы. Для линейной систе­ мы возможно два состояния: или система устойчива и любое возмущение, поступающее извне, затухает, либо система неустой­ чива и любое возмущение приводит к потери устойчивости си­ стемы^—-возникают колебания, амплитуда которых растет не­ ограниченно.

Если в системе имеются нелинейные звенья, то при потере устойчивости амплитуда колебаний оказывается ограниченной — в системе возникают устойчивые колебания с постоянной ампли­ тудой — автоколебания. В отличие от линейной системы на устойчивость нелинейной системы оказывают влияние началь­ ные условия: одна и та же нелинейная система может оказаться устойчивой при малых внешних возмущениях и неустойчивой при достаточно большой их амплитуде, т. е. устойчивой «в малом» и неустойчивой «в большом» (жесткий режим возбуждения авто­ колебаний) .

Задачи об устойчивости нелинейной системы решаются раз­ личными способами [68]. Точные методы решения (методы фазо­ вых траекторий, точечных преобразований, прямые методы Ля­ пунова и т. д.) применимы к ограниченному классу систем невы­ сокого порядка. Эти методы непригодны для таких объектов, как ЖРД, описываемых уравнениями высокого порядка с запазды­ вающими аргументами. Таких ограничений не имеют приближен­ ные методы исследования устойчивости, основанные на гармони­ ческой линеаризации нелинейностей.

9.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ Ж РД

Для расчета переходных процессов в двигателе при переходе с режима на режим (глубокое регулирование) необходимо ис­ пользовать .нелинейные уравнения всех элементов двигателя. Выведем эти уравнения.

9.2.1. Уравнения газового тракта

Примем, что течение газа в газовых трактах Ж РД (газогене­ ратор, камера сгорания, газоводы) является адиабатическим, т. е. вязкостью и теплопроводностью газа будем пренебрегать. При этом сам газовый тракт считаем цилиндрическим, а объе­ мами сопла (или соплового аппарата турбины) и зонами рабо­ чего процесса пренебрегаем. Кроме того, принимаем, что ско­ рость газа в рракте относительно невелика (т. е. М-С>1), и счи­ таем, что изменение давления вдоль тракта др/дх=0. В этом случае из системы уравнений движения газа (4.2) выпадает уравнение импульса и в результате получаем следующую систе-

331

му уравнений движения газа:

Плотность газа связана с давлением и энтропией термодинами­ ческим соотношением

>—£л = с,, In (— I — с„ ln f —£0-

\Ро

которое удобно представить в виде

где s0, р0, р0— значения параметров газа в некотором фиксиро­ ванном состоянии;

''■=Cpjcv — показатель адиабаты газа.

Уравнение неразрывности (9.1)'проинтегрируем по длине газово­ го тракта от х= 0 до х — 1:

S= S/Cpi Sq~ S qIс

где индекс «О» соответствует номинальному режиму работы дви­ гателя.

Кроме того, введем вместо продольной координаты х время пребывания газа в газовой емкости от момента его образования

332

до поступления в сечение с координатой х:

X

7" : W *

где w — скорость газа в емкости. Время пребывания газа, а значит, и скорость газа в емкости при изменении режима работы двигателя изменяются незначительно. Действительно, в газоге­ нераторе, в котором соотношение компонентов не ірегулируется, температура при переходе с режима на режим изменяется 'боль­ ше, чем в камере сгорания, — обычно на 10—30%. При критиче­ ском режиме истечения время пребывания определяется зависи­ мостью

_ v _ _ j w o _ _ i / r_Ä7o_

тельно—в пределах 5—15% — при достаточно существенном из­ менении других параметров. Так же незначительно изменяется и скорость газа в тракте ад.

Из-за малости изменения скорости газа можно пренебречь ее-производной по времени и в первом члене уравнения (9.5) вынести ад из-под знаков интеграла и производной. В результате получаем

(9.6)

о

где 1iy= llw — текущее время пребывания газа в емкости (из­ меняется во времени).

Если воспользоваться принятым уже условием, что скорость газа изменяется незначительно, то для порции газа, поступившей

Тогда для энтропии газа в любом сечении тракта можно запи­ сать

У.

Здесь TM= T BxjT0— относительная температура газа на входе в газовый тракт (после завершения процесса сгорания).

Уравнения (9.8) и (9.9) описывают движение энтропийных волн (см. § 4.1), образующихся в начале тракта и двигающихся со скоростью газа. Подставив зависимость (9.9) в уравнение га­ зового тракта (9.6), после интегрирования но частям и преобра­ зований получаем

ние (9:7), которое связывает энтропию газа на входе в тракт с энтропией газа в любом сечении тракта.

Для расчета мощности, развиваемой турбиной, необходимо знать температуру и давление газа на входе в сопловой аппарат турбины. Давление в газогенераторе находится в результате ре­ шения дифференциального уравнения (9.10), температуру же га­ за на входе в сопловой аппарат турбины можно определить, вос­ пользовавшись решением (9.7), подставив в него термодинами­ ческую зависимость (9.8) для энтропии газа. В результате нахо­ дим связь между параметрами на входе в тракт и параметрами в любом сечении тракта:-

где Твт= Т вЫХ)Т0— относительная температура газа да. выходе из газового тракта.

334

Температура газа на входе в газовый тракт, в котором происхо­ дит горение компонентов (камера сгорания, газогенератор), за­ висит от соотношения компонентов, 'поступающих через головку. Достаточно сложный процесс сгорания жидких компонентов так же, как это делается обычно при анализе устойчивости рабочего процесса (см. § 1.7), заменим чистым временным запаздывани­ ем хг:

Здесь — относительное давление газа за выходным СО­ ЛО

противлением; Рно—-давление таза за выходным .сопротивлением

на номинальном режиме.

Расходы жидких компонентов в головку определяются в ре­ зультате решения уравнений динамики жидкостных трактов (см. §9.2.2).

В ряде случаев для ориентировочных расчетов переходных процессов можно воспользоваться приближенными уравнениями динамики газового тракта. При выводе приведенных ранее урав­

нений газового тракта 'предполагалось отсутствие теплообмена и обмена массой как с внешней средой, так и между соседними слоями газа в тракте. Так же, как в случае анализа линейной динамики (см. § 4.8), .воспользуемся другим крайним предполо­ жением о характере процесса в тракте, считая, что в объеме газа происходят очень быстрые процессы обмена теплом л массой и благодаря этому параметры газа во всем объеме тракта в каж­ дый момент практически одинаковы. Такая модель процесса с полным мгновенным перемешиванием, хотя и более грубая, чем модель с адиабатическим характером процесса, имеет преимуще­ ство с точки зрения простоты получающихся дифференциальных уравнений. Динамика процесса в газовом тракте в этом случае описывается двумя уравнениями:

уравнением баланса массы

где Q — количество газа в тракте;

Т — температура газа во всем объеме тракта;

Т& — температура газа на входе в тракт в момент образо­

вания газа.

Масса газа в объеме газового тракта находится из уравнения состояния газа

где V — объем газового тракта;

R— газовая постоянная газа;

р— давление в емкости.

После несложных преобразований уравнений (9.15) и (9.16) с учетом зависимости (9.17) и приведения всех переменных к от­ носительной форме находим

нальном режиме;

336

RT = д T ■; RTbs_=^~^ — относительная работоспособность

Уравнения (9.10) и (9.11) или уравнения (9.18) и (9.19) описы­ вают неустановившееся движение газа в тракте при одновремен­ ном изменении расходов на входе GBX и выходе GBых и темпера­ туры поступающего газа Твх. Причиной изменения температуры может служить изменение соотношения компонентов (для камер сгорания и газогенераторов) или изменение температуры газа в предшествующем агрегате (для газовода). В последнем случае для определения температуры на входе в тракт вместо зависи­ мости (9.12) необходимо использовать уравнение (9.11) или (9.19) для температуры на выходе из газового тракта предше­ ствующего агрегата.

Для газо'вода, кроме того, можно учесть падение температу­

В уравнениях (9.21) и (9.22) опущены конвективные члены, так как ранее (ем. § 3.2) было показано, что для течения жидкости

втракте М<С 1 и что этими членами можно пренебречь.

Вобщем виде уравнения (9.21) и (9.22) не решаются. Су­ ществует ряд-приближенных методов решения уравнений неуетановившегося движения [11], из них применительно к решению на ЭЦВМ наиболее удобным оказывается метод характеристик.

уравнений можно заменить интегрированием двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

337