(4.18) для вариации расхода через турбину необходимо исполь зовать зависимость (7.25). Учтя это замечание, находим уравне ние газовода:
|
ІО)То |
— 1 |
(1 — e~,'an2)+ |
1— аф— атр X |
|
|
X |
+ ~ |
8А, - |
, чг— 1 |
, |
(г |
1 |
%г — I |
|
|
|
-Ьатр^гз—— г! |
— |
|
|
|
7-р --- 1 |
+ |
атргt) е - 'шт‘ j Ьр„ + аф8рк - |
|
|
|
2 у.г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— атргj8/i— ( |
1 — - |
|
87Д+ |
— (1 + а трг1)е-''“ -87’гг = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.46) |
где |
|
|
|
|
|
|
орк— амплитуда |
вариа |
|
|
|
|
|
|
|
|
ции |
давления в |
|
|
|
|
|
|
|
|
камере сгорания; |
|
|
|
|
|
|
|
т2— время |
пребыва |
|
|
|
|
|
|
|
|
ния газа в газо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
воде; |
|
|
|
(Рк/Ры)~!Хг — Ц*г + |
і)/»г] (А /А і)(Хг+1),Хг |
|
|
|
О ф = -^ --------------- ------------ - |
|
...т --------------коэффициент рас- |
|
2 [ ( Р к / а , Г ' г - ( Р к / а . ) 1 г |
w Г 1 |
|
хода |
газа |
через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
форсунки |
камеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
сгорания |
(см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 4.1). |
|
7.3.6. Газовод с гидравлическим сопротивлением
Так же, как и в случае газогенератора, потери давления в газоводе, если они ощутимы, оказывают влияние на его динамиче ские характеристики. Для учета потерь давления в газоводе ис пользуем уравнение гидравлики, аналогичное уравнению (7.29)
А ,-/Ѵ = С 2 — |
. |
(7-47) |
Р м |
|
|
где Рф—давление перед форсунками камеры сгорания;- |
|
Оф— расход газа через форсунки камеры сгорания. |
|
После линеаризации уравнения (7.47) |
и замены вариации расхо |
да через форсунки 6 0 ф с помощью соотношения типа уравнения
(4Л0)
80ф= ( 1 - Оф) 8/?ф + аф8р к— і- е - ‘ШТі8Гы-
(7,48)
находим уравнение для амплитуды вариации расхода через фор сунки «амеры сгорания с учетом гидравлического сопротивления в газовом тракте газовода *:
|
1 |
|
Рм |
— а,. |
к.. — 1 |
%г — 1 |
|
А|> |
|
Аl> |
2-/.г |
2 -/-I- |
|
|
|
|
аф |
8А |
|
{(I — «ф)( 1 |
ЖКа /а Д2 - П- |
|
Ah |
4Ді |
|
|
|
|
+ 2 е - '- ’!ЗГм, |
(7.49) |
где Ц ,,= 1 |
+ ( 1 |
- а ф)[(А,ЖФ)2- П- |
|
Уравнение |
для |
вариации расхода газа через турбину с учетом |
.сопротивления |
газового |
тракта газогенератора уже имеется — |
это уравнение |
(7.34). Подставив 6 GT и бСф из выражений (7.34) |
и (7.49) в уравнение газовода, аналогичное уравнению газогене ратора (7.24),
£(оТо |
1 |
— е - ,вт») ЬТи— |
|
— е - '“^ 8А , - 0 |
|
- 8 О т + 8 О ф= 0 , |
( 7 . 5 0 ) |
после преобразований находим уравнение газовода с учетом гид равлических потерь и в газогенераторе, н в газоводе:
H r + ^ г 1 <| - е- ' та) + Ж И ( і ' - о * - - ^ )
|
+ |
. е- /шт |
Ат j |
(РтгІРтТ f l — CtT — |
|
1 |
2xr. |
|
|
|
|
2 %r |
|
|
|
|
хг--1 |
8Л Н ----— 8A + |
|
|
|
|
2xr |
|
|
|
|
|
Aii |
|
|
|
|
"— |
{(1 — |
а т)[(РггІРт)2— 1 ](1 + е - ,“т0 + 2 е -,“т«} 8 Г гг- |
|
|
- { |
1 + |
7 аГ ( і ~ |
а*](1 + e~'’“Tä) Ы р ^ |
~ l]~ |
|
|
|
|
|
j-іттД g |
|
( 7 . 5 Г |
|
|
|
|
|
2 А* |
о7\,= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При р'гг=Рт И Рп = Рф, Т. е. |
при отсутствии гидравлических потерь |
|
в газовых трактах газогенератора и газовода, |
уравнение (7.51) |
|
переходит в более простое уравнение |
(7.46), если исключить из |
|
* |
Пренебрегаем из-за малости членами |
хг — 1 |
ІІРыІРф)2— I ]• |
|
2 хг |
|
|
|
|
|
|
|
|
последнего члены в коэффициентах, связанные с реактивностью турбины. Вторым уравнением для газовода во всех случаях слу жит соотношение для температуры бТм (7.45).
7.3.7. Уравнения газовода с учетом распределенного выхода из газогенератора
При распределенном выходе из газогенератора изменяются не только уравнения газогенератора, но и уравнения элементов газо вого тракта двигателей, расположенных за газогенератором — газовода и камеры сгорания. Если учесть реактивность турбины, то для расхода газа через турбину необходимо использовать уравнение (7.40). Распределенность выхода из газогенератора влияет и на расход газа через форсунки, так как изменяется фор ма температурных волн (рис. 4.16). В этом случае вместо вариа ции температуры перед форсунками необходимо использовать вариацию средней по сопловому аппарату энтропии:
(иТкол + 1
Тогда уравнение для вариации расхода через форсунки принима ет следующий вид:
°Оф— — е~ «tb-aSScp-і"^ 1~ аф— |
+ |
(7-53) |
При выводе уравнения (7.49) с учетом гидравлического сопро тивления в тракте газовода использовались вариации температу ры на входе и выходе из него. При газогенераторе с распределен ным выходом отклонения температуры в различных сечениях тракта за турбиной оказываются разными, и приходится вводить среднее по сечению газовода значение вариации температуры. Используя среднее мгновенное значение вариации энтропии, из термодинамических соотношений можно найти амплитуду сред него по сечению мгновенного значения вариации температуры перед сопловым аппаратом турбины
8Tep = K f + - ^ - b p , . |
(7.54) |
Подставив зависимость (7.54) в уравнение (7.44) и исходя из достаточно очевидного предположения, что распределенность вы хода из газогенератора не влияет на другие члены этого уравне ния, находим уравнение для амплитуды вариации средней мгно венной температуры за турбиной 67ѴСр:
8Тм.ср |
1 |
_ |
7*т — Ты 8scp |
1 + І , |
Т - ' - Т ы \ |
|
2ТЫ ) |
|
2 |
Т„ |
|
T-t ~ T w |
|
Ь р , - % Ту~Ты' |
|
і |
‘С, |
T r - T K |
Ъп= 0 . |
(7.55) |
Ты |
|
|
|
|
|
|
Подставив в уравнение |
газовода |
(7.50) 6 GT |
из зависимости |
(7.40), а öGt{, — из уравнения (7.48), приняв Ьрф= дрм, с учетом изменений, введенных в уравнение (7.53), после несложных пре образований получаем уравнение газовода с учетом распределен ного выхода из газогенератора и реактивности турбины:
“Т ^ + *2х |
1- ( 1 ~ |
е " ' “Та) ~ |
“ тр (г2+ Y |
РтП ) + 1 - |
°Ф ¥ м - |
%р |
~~1 J|- атр I г3 - |
1 |
|
1 |
^гг + |
|
|
|
|
|
|
2%г |
|
|
|
|
|
+ |
а ф ^Р к |
(1 "Ь а т РГl) 8scp ~ |
CtTpTjS/Z — |
|
|
- ( |
l - ^ |
- e |
- ^ j s r M.cp= 0 . |
(7.56) |
Уравнения (7.55) и (7.56) описывают динамические характерис тики газовода с учетом реактивности турбины и распределенного выхода из газогенератора.
7.3.8. Камера сгорания
Уравнение камеры сгорания двигателя без дожигания типа «жидкость — жидкость» ничем не отличается от уравнения одно зонного газогенератора (7.21), если принять ctT —0 и заменить соответственно индексы при переменных.
В обобщенной схеме Ж РД (см. рис. 7.1) в камеру сгорания одновременно подаются и жидкие компоненты и газ. Для этого случая в качестве исходного можно использовать уравнение ба ланса массы в камере
ІшХ3 |
|
— 1 |
8Дс—( 1 — е~,вт*) 87^ — |
|
|
( 1 |
t t - s0* |
— — е_ ,"’>80гз---- — е- '“’-5Go3 + SGc= 0 . (7.57) |
|
|
Здесь |
т3 — время пребывания газа в камере сгорания; |
|
у-к— показатели адиабаты продуктов сгорания в ка |
|
|
мере сгорания; |
|
|
т^к— время преобразования жидких компонентов в |
|
_ |
камере до сгорания; |
8Г К— амплитуда вариации температуры газа у го ловки камеры сгорания;
Оф , 8С?ф— расход и амплитуда |
вариации |
расхода газа |
_ |
через форсунки; |
|
|
Ог3, ЬОг3-— расход и амплитуда |
вариации |
расхода горю |
|
чего; |
|
|
Oü3, 8Go3— расход и амплитуда |
вариации |
расхода окис |
|
лителя; |
|
|
(?с, 8Gc— расход и амплитуда вариации расхода через сопло.
Подставив в уравнение ( 7 . 5 7 ) вариацию 6(7ф из формулу ( 7 . 4 8 ) , в которой заменим амплитуду вариации температуры б7Мна эк вивалентную для сл_учая распределенного выхода величину амп литуды вариации 6 7 'м.ср (см. ( 7 . 5 5 ) ] , находим уравнение камеры сгорания для обобщенной схемы двигателя с учетом распределен ного выхода газа из газогенератора:
£ шТ 3 , |
*К— 1 |
(1 — е-''шт= |
°Рк |
L *к |
I |
|
|
|
|
|
“ ф - |
2 хг |
.(1_е-/<«.)]8А |- ( і _ е - ' - « . ) 8 7 ’к- |
'■“'*8Тм.ср |
^ о З „ - / « i t , . . |
Ql- e - ia'\bGv3 = 0. (7.58) |
Gr |
«SOоЗ |
|
|
|
Gc |
Если не нужно учитывать_распределенность на выходе из газоге нератора, то амплитуда 67’м.ср заменяется на амплитуду 67м, оп ределяемую по уравнению (7.45). Вторым уравнением для каме ры сгорания служит соотношение, определяющее связь темпера туры у головки камеры с соотношением расходов компонентов:
8f K =T - - Т Г - |
(7.59) |
Тк dkK |
|
где /гк, бкк — соотношение компонентов и амплитуды вариации соотношения компонентов в газе у головки камеры сгорания. Со отношение компонентов kK определяется пак расходами жидких компонентов, так и соотношением компонентов в поступившем через форсунки газе из газовода.
Можно в качестве образца воспользоваться уравнением для соотношения компонентов в начале второй зоны двухзонного га зогенератора (7.38), которое также определяется и расходом жидкого компонента и соотношением компонентов в поступив шем из первой зоны газа. Заменив в уравнении (7.38) индексы во всех коэффициентах, запишем
- n,1+ f- ^ r № ~ la* sk (sa ol - Ю п ) + «|>ке - ,алк ( О о3ю о3- О г3Ю г3) +
1 + йгг
+ Фк (боі — 5 г1) (1 — аф) 8р „ + Фк (5 о1 — Ог1) а фЬ р К —
|
— |
(Оо1 — Ог1)фке -,<от»87'м.Ср— |
|
|
%P — 1 (5 о1 — Grl)фк(1 — е - ,их») о/Лі |
8ГК= |
0, |
(7.60) |
|
2-Лг |
|
|
|
|
|
|
где |
О .оГ |
^ol |
0 , - 1 : |
Gpi |
|
|
|
Ооі "Ь ^оЗ |
Gri + Gr3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G03— 1 |
G0l = |
G 03 |
Gr3= 1 — Grp |
7r3 |
Gr3 |
|
G 0 i + G 0 3 |
G r |
|
|
|
|
|
|
i-i ■ |
|
|
|
|
^rr ~ |
Goi . |
|
|
|
|
|
|
|
Jn |
|
|
|
|
TSft= r r + t 1-|-T 2 — суммарное время запаздывания для генера торного газа от головки газогенератора до входа в головку камеры сгорания;
G01 и Ог1 — суммарные расходы окислителя и горючего в газогенератор.
Обычно камера сгорания работает вблизи оптимального соот ношения компонентов, т. е. расчетная точка находится вблизи максимума температурной зависимости TK= f(kK). Поэтому коэф фициент фк имеет небольшую величину и соответственно измене нием температуры в камере можно пренебречь, т. е. принять ■67К= 0 и не вводить уравнение (7.60) в систему уравнений двига теля.
7.4. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТНА
Основным уравнением ТНА является уравнение баланса мо ментов количества движения для вращающихся частей ТНА, имеющего несколько насосов (5.43):
л2/л2 йЪп |
5 Л Г - Е ^ - |
8 Л д . |
75-90(Wx ~dt |
т |
Nt |
н |
Дальнейшие преобразования уравнения (5.43) зависят от формы представления характеристик насосов и турбины. Энергетиче ские характеристики каждого г-го насоса представляют в одном из двух вариантов: или в виде зависимости к. п. д. насоса г|Н* от Qiln, где Qi — объемный расход жидкости, или в виде зависимо сти мощности насоса (или приведенной мощности NB фі2) от Qi/n.
Если задан к. п. д.' насоса, то е-гб" мощность определяется вы ражением
|
N ki = AE3^L f |
(7.61) |
|
Р к Ч н / |
|
где |
Д/7н/ — напор, развиваемый насосом; |
|
|
рк — плотность компонента. |
|
Линеаризовав уравнение (7.61), находим зависимость в отно сительных вариациях
8Д7н;= 8Д/?т--|-80;— 8ЦНІ. |
(7.62) |
Для вариации напора, развиваемого насосом, имеем уравнение
(5.33), для вариации к. п. д. насоса запишем |
|
8Піі/= $ |
1/)80/+ |
«!£|,8/і. |
(7.63) |
Подставив уравнения (5.33) |
(без инерционных членов) и (7.63) |
в уравнение (7.62), находим |
линеаризованную зависимость для |
мощности насоса |
|
|
|
W ui= (bG - ^ |
+ І ^ |
+ ОіЬ-ф^Ви. |
(7.64) |
Для другого способа задания энергетических характеристик на сосов можно записать очевидную зависимость
8ЛД,• = |
Gi |
dN, |
d N „ |
= |
+ |
, ( Л Ъ |
(7.65) |
|
—üi SG, ■ |
|
|
|
N „ |
dGi ‘ |
N Hi d n |
|
|
|
|
Из сравнения коэффициентов при одинаковых вариациях в урав нениях (7.64) и (7.65) можно определить связи между парамет рами
Д) |
= |
:ф .- |
Фо'Г) = фс;— фо/ + 1; Фл/ |
Упі |
В уравнении (5.33) не учитывались инерционные члены, входя щие в уравнение напорных характеристик, так как в уравнении моментов (5.45) инерционные члены описываются интегралами, отличными от соответствующих интегралов для проточной части насоса в его напорных характеристиках. Окончательно, с учетом динамических членов [см. (5.44)], уравнение для амплитуды ва риации мощности насосов принимает вид
8Л7„,= (фС;— фЬУ + 1— гш4 t 0) 8G, + (ф„,-— |
S/г.= |
= (фоУ)— го>ТнУ)) 8G£-f ($ ю + іихіѴ) 8«. |
(7.66) |
Входящие в формулу (7.66) постоянные времени xjf' 1 и т ^ с о держат интегралы (5.38) и (5.39), вычисляемые с учетом геомет рии проточной части насоса. Вариация мощности турбины опре деляется зависимостью (5.6). Для вариации адиабатической ра боты газа и расхода газа через турбину уже были выведены ли неаризованные соотношения (5.7) и (7.25). Для к. п. д. турбины используются два вида зависимостей и соответственно два линей ных уравнения (5.13) и (5.14). Сравнение коэффициентов при ва риациях одних и тех же параметров в формулах (5.13) и (5.14)
позволяет установить следующие связи между ними:
= Ф ь = ■ |
І Ч - |
Фт ф*.;, % |
Подставив соотношения (5.7), (7.25) и (5.13) в уравнение мощ ности турбины (5.6) и выразив вариацию температуры перед тур биной 6 ГТ через вариацию температуры у головки газогенерато ра по формуле (7.32), находим окончательную форму зависимо сти для вариации мощности турбины. Получившуюся зависи мость для öNr и соотношение для вариации мощности насосов (7.65) подставляем в общее уравнение ТНА (5.43) и после преоб разований находим уравнение ТНА с учетом характеристик его элементов (в соответствии со схемой на рис. 7.1);
/со/ £нцд |
xW |
|
x W \ |
|
|
(ф0 _ |
№ + |
1) + |
|
\ N r |
G0 |
|
1 N r |
|
' |
M |
n |
|
о |
0 |
|
4 ^иДШ!(с1,0 |
|
|
4 1 |
)' |
*o„,+ |
|
N-r 0Q |
|
|
|
|
N |
' о.л T О.Д 1 |
’ |
|
|
|
|
|
Njj.o |
^оЗ |
- Й |
+ 1 ) |
SG°3 |
-j- |
...,77H.p |
Gpi ^(jV) I |
77„.г.д „.(/V) , |
w7 |
a„ |
I |
—— |
I — |
Ьн.Г |
“1------- -- ----- |
1н .г.д |
|
|
|
|
|
|
N r |
Gr |
|
|
Nr |
|
— |
r — |
( t o |
- ф |
о ' Ч |
О + |
^ |
Ч ф |
о |
- t o 1’ |
+ |
0 SGrl |
|
Nr |
Gr |
T r |
|
‘ r |
|
|
N T |
г-д |
г-л |
|
|
“ |
|
( % |
% |
x " |
|
) - |
7 7 |
N H.O A N ) |
, |
Т / ң . г |
|
_ ( A Q |
I Т / ң . о . д . |
Ч |
|
Ч Ч |
|
Ч ' г |
|
|
7/. |
|
|
Nr |
|
|
|
|
(флг - |
|
|
^ |
(too - ф Ч + ^ |
Nr £'Гн.г.Д- Ь ТТНа )
(фл 0.Д - ф Ч ) +
Nn-r.n(é |
) _ |
f, r |
1 |
_ л |
S/г. -f- |
д , |
ѴѴл Г.Д |
Y" г.д/ |
и тр' |
Ус, |
+ I 1+ |
°тр ( r3---- Y г \ ^ |
■ |
|
1 |
|
|
ГіРт~ 4 + |
I 'X-r — 1 |
(1 - tc,) + |
PT ( 1 - |
Y |
t c ) - ^ |
( 1- |
tc, - |
а трГі) e - ’- ' X |
2 xr |
|
Х Ч Ч |
a^p |
|
|
|
|
4 + |
|
+ |
Y ( 1 - |
Фе, - |
« т р П ) |
е - ‘ш- 8 Т т |
= 0 . |
(7.67) |
Здесь все коэффициенты с добавочным индексом «д» относятся к допол нительным насосам (рис. 7.1), подающим компоненты в газогенератор.
Если дополнительные насосы в схеме двигателя отсутствуют, то в уравнении (7.67) коэффициенты уѴш-д обращаются в нуль; G0 II Gr — суммарные расходы окислителя и горючего соответ ственно через двигатель;
_ Jt2/ п-
ТТНА — 75 .900дг.г •
В уравнении (7.67) принято, что к. п. д. турбины задан в ви де функции от м/сI [см. (5.13)], а к. п. д. насосов являются функ циями от Q/a (см. (7.64)]. При других формах задания характе ристик элементов ТНА уравнение (7.65) преобразуется с по мощью приведенных выше соотношений связи между коэффици ентами.
7.4.1. Распределенный выход из газогенератора
При учете распределенного выхода из газогенератора изменя ются соотношения для адиабатической работы и расхода газа в турбине.
Для адиабатической работы необходимо воспользоваться уравнением (5.17) вместо соотношения (5.7). Для вариации рас хода соотношение (7.25) заменяется уравнением (7.40). Подста вив соотношения (5.17) и (7.40) в уравнение для вариации мощ ности турбины (5.6), получаем уравнение для амплитуды вариа ции -„мощности турбины, работающей от газогенератора с распре деленным выходом:
ВЛД = Y (1 - ОтрГі - ,) 8scp-f ( а ^ -j-<bCl) 8/z. -f
|
+ |
|
a ^Tr? 2 — |
— |
? Tr |
j l — ? T |
^ |
t c BA, |
,+ |
— aTp( 1 |
— r3 )-f- |
|
I |
l |
_ |
X 1r |
I 1 |
_ |
О 1^ |
|
|
|
|
8/Лг, (7.68) |
|
+ Т г> ~ + Т г'д И |
K T « 1 - t r d + P , ( l - i f c |
|
|
|
где |
oxcp- |
І(оТкол + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
членов в уравнениях (5.6) |
|
Сопоставление соответствующих |
|
и (7.68) |
показывает, |
что отличие заключается |
только |
в замене |
|
величины |
е~ |
|
87Т |
у.г— Г. |
член |
8хср. Остальные сла |
|
|
|
8/?гг) на |
гаемые не отличаются. Произведя соответствующую замену в уравнении (7.63), можно легко получить уравнение ТНА с уче том распределенности выхода из газогенератора.
7.4.2. Потери давления в газовом тракте газогенератора
При учете гидравлических потерь в газовом тракте газогене ратора необходимо изменить уравнение для вариаций адиабати ческой работы и расхода газа в турбине.
Уравнение для вариации адиабатической работы найдем, ес ли в соотношение (5.7) вместо 6ргг подставим вариацию давле ния перед турбиной брт из уравнения (7.31). После преобразова ний находим
8£а.д= 87\ + ßT(8р.г - оры)= |
- -L (ßT+ ^ ) X |
Амплитуда вариации расхода газа через турбину для этого слу чая определяется уравнением (7.34). Подставив независимость
для вариации мощности турбины (5.6) бГад, бGT и бт)т из формул (7.34), (5.13) и (7.67), после преобразований находим
8л , +
ДтГ1
Ч>С ОП. -
Dt9
т тр (1
