книги из ГПНТБ / Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей

При адиабатическом движении энтропия каждого слоя газа остается постоянной на всем пути его перемещения вдоль газово- _ го тракта. Уравнение энергии в форме уравнения сохранения энтропии можно вывести по аналогии с выводом уравнения коли­

разделив все на dt и приравняв сумму (из условия адиабатичности) нулю, найдем уравнение сохранения энтропии:

При выводе уравнения (4.1) не учитывались процессы диссипа­ ции энергии, которые имеют место в газе при наличии трения и теплопроводности между различными его слоями. Уравнения (4.1) вместе с уравнениями неразрывности (3.1), движения (3.5) и состояния газа (3.10) составляют замкнутую систему уравне­ ний, описывающих адиабатические движения газа но цилиндри­ ческому каналу в случае, если имеются колебания температуры, связанные с внешними источниками тепла. Для решения этой системы уравнений необходимо иметь три граничных условия, которые будут сформулированы ниже при решении конкретных задач.

Уравнения (3.1) и (3.5) описывают распространение в газе возмущений скорости и давления, причем скорость распростра­ нения этих возмущений 'равна скорости звука. Уравнение (4.1) описывает'распространение в газе возмущений температуры — волн энтропии. В отличие от уравнений акустики (3.1) и (3.5), связанных между собой, уравнение распространения энтропий­ ных волн (4.1) не связано с уравнениями акустики — в него не входят ни вариации скорости, ни вариации давления *. Связь ко­ лебаний энтропии с колебаниями давления и скорости имеет место только на границах тракта, т. е. на входе и выходе. В са­ мом тракте энтропийные волны 'распространяются независимо от акустических, не взаимодействуя с ними.

Решение уравнения (4.1) имеет вид

Іш((——) 8s=SsBXe V -w>,

* Изменение скорости во втором члене уравнения (4.1) дает поправку второго порядка малости.

178

где ösBX— колебание энтропии в начале тракта. Так как при движении вдоль тракта изменяется только фаза волны, а амп­ литуда остается 'постоянной, то энтропийная волна является бе­ гущей волной. Возмущения энтропии распространяются со ско­ ростью движения газа. Таким образом, энтропийные волны в от­ личие от акустических могут распространяться только в движущемся газе.

4.2.ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗА

ВТРАКТЕ С ЭНТРОПИЙНЫМИ ВОЛНАМИ

Элементы газового тракта двигателя (камера сгорания, газо­ генератор, газовод) имеют, как правило, форму, близкую к ци­ линдрической, перепад давления по длине тракта из-за гидравли­ ческого сопротивления в большинстве случаев относительно не­ велик и составляет незначительную долю от среднего давления

в тракте.

Течение газа в цилиндрическом канале без трения, диффузии и теплообмена * описывается системой дифференциальных урав­ нений [70]:

аскорость звука в газе.

Линеаризуя уравнение (4.2) и приведя вариации параметров к безразмерному виду, находим систему линеаризованных уравне­ ний для потока газа в тракте:

179

Также, как и для гидравлических магистралей (гл. Ill) найдем частное периодическое решение системы уравнений (4.3) [70]:

8s = Sie'“' = Се ”ге,и<.

Частное периодическое решение определяет реакцию газового тракта на установившиеся периодические колебания во внешней (по отношению к тракту) среде. Внешние колебания задаются граничными условиями, с помощью которых находятся постоян­ ные А, В и С в решении (4.4). При этом, так как начальные усло­ вия не используются, в результате решения определяется отно­ шение амплитуд колебаний параметров в газовом тракте к амп­ литуде колебаний внешнего возмущающего воздействия. Такая форма решения наиболее удобна, так как в результате получаем амплитудно-фазовые характеристики рассматриваемой системы.

Граничные условия сформулируем для наиболее общего слу­ чая, когда в тракт поступает переменный расход с переменной температурой. При этом для элементов двигателя с горением (камера сгорания, газогенератор) будем пренебрегать объемом зоны горения, а сам процесс превращения поступающих жидких компонентов в продукты сгорания так же, как это делается при анализе устойчивости рабочего процесса [7, 46], аппроксимируем чистым временным запаздыванием (см. § 1.7).

Для начального сечения (л'= 0) можно записать два гранич­ ных условия, полученных путем линеаризации уравнений нераз­ рывности и соотношения для энтропии газа. Уравнение нераз­ рывности для потока газа в тракте запишется (с учетом уравне­ ния состояния) так:

После линеаризации соотношения (4.5) и приведения вариаций параметров к безразмерному виду находим первое граничное условие (в обозначениях для начала тракта):

бГвх — относительная вариация .температуры газа в начале тракта.

180

Энтропия газа связана термодинамической зависимостью с его температурой н давлением [23]:

или в линеаризованном виде (в безразмерных вариациях)

2ч. (РнІР)1 —Он/p) х

График для коэффициента расхода газа через сопло а приведен на рис. 4.1. При критическом или сверхкритическом перепаде давления на сопле а = 0, так как в этом случае величина расхода не зависит от противодавления ра. Использовав линеаризованные зависимости, полученные из уравнения неразрывности (4.5) и соотношения для энтропии газа (4.7), переходим в граничном условии (4.10) к вариациям основных параметров: скорости Sw и энтропии ös. В итоге находим окончательную форму третьего граничного условия (х = 1):

bw----Y 8s — ^ ----aj 8/>=aSpH. - (4.12)

При выводе третьего граничного условия пренебрегли временем распространения энтропийных и акустических волн по длине соп­ ла, а также трением в нем. Граничные условия <(4.6), (4.8) и (4,12) содержат три внешних возмущающих параметра: относи­

18t

тельные вариации расхода и температуры газа на входе бGBX, бГвх я давления за срезом сопла, т. е. на выходе (при докритическом режиме истечения), бр н. Связь этих вариаций с параметра­ ми других агрегатов двигателя будет рассмотрена ниже.

Подставив искомые периодические решения (4.4) в граничные условия (4.6), (4.8) и (4.12), находим соотношения для постоян­ ных А , В и С. Использовав полученные значения постоянных, из

Рис. 4.1. Зависимость коэффициента расхода через сопло а от перепада давления рн/р и показателя адиабаты ѵ.

соотношений (4.4) определяем решения для амплитуды колеба­ ний давления в начале газового тракта (х = 0)

X (8Ö3X + S7BX)+ ^ - [(1 - V.M)e - '- ' + (1 + XM) e '- 'J X

(4.14)

182

ки газового тракта с энтропийными волнами в широком диапазо­ не частот. Наличие энтропийных волн, возбуждаемых колебани­ ями температуры газа на входе в тракт с амплитудой бГВх, при­ водит к изменению уравнений для передаточной функции газового тракта.

Для расчетов динамических характеристик газового тракта двигателя необходимо конкретизировать граничные условия (4.6), (4.8) и (4.12), установив связь коэффициентов этих соотно­ шений и вариаций возмущающих воздействий с параметрами соседних (по схеме) элементов. Для камеры сгорания и газоге­ нератора, в которых газ образуется в результате сгорания жид­ ких компонентов, температура продуктов сгорания зависит от соотношения расходов жидких компонентов:

0 0, Gr— расходы окислителя и горючего;

тг — время преобразования жидких компонентов' в продук­ ты сгорания, которое служит для аппроксимации кри­ вой выгорания.

183

В линеаризованном виде зависимость между вариациями температуры газа в начале тракта и расходов жидких компонен­ тов запишется так:

где 8G0, 8Gr — относительные вариации расходов жидких ком­ понентов, поступающих в газовый тракт через форсунки;

, К дТ

б—— — — наклон зависимости температуры продуктов

сгорания от соотношения расходов окислителя и горючего.

Вариация расхода газа на входе в тракт определяется линеари­ зованным уравнением баланса расходов

Если подставить соотношения (4.16) и (4.17) в граничные усло­ вия (4.6) и (4.8), то окажется, что внешними возмущающими воздействиями, определяющими колебания ее расхода и темпе­ ратуры газа, являются колебания расходов жидких компонентов, поступающих в камеру сгорания или газогенератор.

Третье граничное условие (4.12) пригодно и для камеры сго­ рания (а= 0), II для газогенератора. Для газового тракта за тур­ биной (газовода), в который поступают не жидкие компоненты, а генераторный газ, граничные условия (4.6) и (4.8) необходимо записать по-другому. Расход газа через турбину определяется уравнением (4.9), температура газа — температурой газа перед турбиной и падением температуры из-за срабатывания части теплоперепада на турбине. В первом приближении изменением температуры из-за колебаний теплоперепада можно пренебречь. В линеаризованном виде соотношение для расхода газа через турбину запишется так:

где оргг, Ьрм— относительные вариации давления в газогенерато­ ре и газоводе (газовой магистрали);

8ГТ— относительная вариация температуры газа перед турбиной;

ат— коэффициент расхода для турбины, определяемый зависимостью (4.11).

Подставив вариацию расхода öGT вместо öGBx, а вариацию температуры 6Ттвместо 6Твх в соотношения (4.6) и (4.8), найдем два граничных условия для газового тракта за турбиной. По­ следнее, третье, граничное условие используется в форме зависи­

184

мости (4.12), в которой коэффициент а определяется по формуле (4.11) в зависимости от перепада давления на выходном устрой­ стве (сопло, форсунки и т. д.), а вариация брп— колебания дав­ ления за выходным устройством газового тракта.'

На рис. 4.2 приведены для сравнения амплитудно-частотные характеристики газогенератора с учетом энтропийных волн

ЗАВИСИМОСТИ

При расчетах динамических характеристик всего двигателя полученные соотношения (4.13) и (4.14) оказываются слишком громоздкими, существенно ус­ ложняющими методику расче­

та. В ряде случаев для расчетов в диапазоне относительно невы­ соких частот (до 30—50 Гц) можно воспользоваться менее точ­ ными, приближенными, но более простыми уравнениями.

Заметим, что для газовых трактов обычно число Маха М<сГ и соответственно т'~т"^Ца. Учтя это замечание и ограничива­ ясь диапазоном частот, в котором (ш//а)<СІ, можно разложить в ряд экспоненциальные члены

.ыі

еа = 1 +/(<о/)й),

оставив только первые члены разложения. При этом необходима учитывать, что

и поэтому временем пробега энтропийных волн пренебрегать нельзя, так как оно существенаао больше времени пробега длины тракта акустическими волнами. Таким образом упрощения сво­ дим к пренебрежению акустическими эффектами, т. е. распреде­ ленностью системы по давлению и скорости газа, не отказываясь

185

одновременно от рассмотрения системы как распределенной по отношению к энтропийным волнам.

Проведя указанные упрощения в уравнениях (4.13) и (4.14), находим соотношения для амплитуды вариации давления:

на выходе из тракта (х = 1)

т. е. эта постоянная времени связана с временем пребывания га­ за в тракте через число М. При М<СІ инерционной постоянной времени, как весьма малой по сравнению с ті, можно пренебречь.

С учетом последнего замечания уравнения динамики газово­ го тракта еще больше упрощаются — при Тц= 0 уравнения (4.19) и (4.20) просто совпадают, так они отличались только в силу влияния инерции столба газа. Без -учета инерции давление вдоль столба газа в каждый момент времени одинаково и описывается следующим уравнением:

Второе уравнение для амплитуды -вариации температуры ос­ тается неизменным — это уравнение (4.15), в которое экспонен­ циальные члены входят со временем пребывания тщ

В уравнениях (4.15) и (4.21) можно от амплитуд вернуться к вариациям параметров, вспомнив, что при подстановке частно­

го периодического решения Ъх— ЬхеІЮ член с коэффициентом

186

Таким образом, при'пренебрежении акустическими эффектами и инерцией столба газа динамика газового тракта с энтропийными волнами описывается обыкновенным дифференциальным уравне­ нием (4.22). Форма записи уравнения газового тракта (4.22) от­ личается от уравнений газовых емкостей, которые обычно описы­ ваются уравнением апериодического звена первого порядка [12]. В уравнении (4.22) как в левой, так и в правой части присутст­ вуют члены с запаздывающим аргументом. Только при отсутст­ вии колебаний температуры на входе в тракт, т. е. при 6ГВХ= 0 уравнение .(4.22) приобретает форму, -близкую к уравнению апериодического звена первого порядка *.

Решение для колебаний температуры (4.23) имеет вид, ти­ пичный для решения системы с волновыми .процессами без зату­

волны энтропии совпадают с волнами температуры; при наличии колебаний давления температура в волне изменяется дополни­ тельно (при неизменном значении 6s) из-за адиабатического сжатия газа, если уровень давления отличается от своего значе­ ния в момент образования газа в начале тракта.

187