книги из ГПНТБ / Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей

или пр'и (критическом режиме течения в дросселирующем устрой­ стве

Здесь F z— площадь проходного сечения дросселирующего уст­

Расход жидкости определяется сечением дросселирующего ус­ тройства на жидкостной магистрали и перепадом давления на нем по уравнению гидравлики

где F x— площадь проходного сечения дросселирующего устрой­ ства для жидкости;

Рлр—давление за дросселирующим устройством. Предполагая, что давление газа перед дросселем рс, и давление жидкости за дросселем рдр, так же как проходные сечения дрос­ селей— параметры переменные, после линеаризации уравнений (2.3), (2.4) и (2.5) и приведения вариаций к безразмерному ви­ ду имеем для докритического режима течения газа

87

Здесь 8/\, ЬРЖ— относительные вариации площади 'проходного сечения дроссельных устройств соответствен­ но для газа и для жидкости;

SRT— относительная вариация произведения газовой 'постоянной на температуру газа;

ор6— относительная вариация давления газа перед дросселирующим устройством;

8/?лр— относительная вариация давления жидкости за дросселирующим устройством.

Коэффициент расхода газа через дросселирующее устройство (на докритігческом режиме) а определяется относительным на­ клоном зависимости расхода газа от перепада давления:

х-Ы

При приближении перепада давления на газовом дросселе р/рб

ленная по формуле (2.9), не равна нулю, так как после прохож­ дения точки критического перепада величина а изменяет знак. Поэтому зависимостью (2.9) для определения а можно пользо­ ваться только при докрнтическом перепаде.

Подставив уравнения (2.6) и (2.8) в уравнение (2.2), после преобразований находим окончательную форму линеаризованно­ го уравнения системы наддува газом бака, из которого вытесня­

. 2 (Р — Р;іѴ)

* Для докритического перепада а<0, при сверхкритическом перепаде при

формальном использовании соотношения (2.9) а>0.

88

наддува с учетом условий поступления газа и истечения жидко­ сти.

Форма полученной зависимости— уравнение апериодическо­ го звена 1-го порядка. Аналогичную форму имеют уравнения: проточной пневматической емкости, в которую поступает и из которой выходит газ (рис. 2.8, а) ; гидравлической емкости с про­ током жидкости (рис. 2.8, б); тепловой емкости, т. е. тела, к кото­ рому подводится тепло с соответственным изменением его темпе­ ратуры (рис. 2.8, е); инерционной емкости вращающихся на валу масс (рис- 2,8, г) турбонасосного агрегата ЖРД, подвижных час-

Рис. 2.8. Примеры элементов, описываемых уравнением апериодического звена 1-го порядка:

а — газовая емкость; б —гидравлическая емкость; в — тепловая емкость; г — инер­ ционная емкость

теи воздушно-реактивного двигателя, двигателя внутреннего сгорания и т. д. В связи с общностью приведенных выше назва­ ний апериодическое звено 1-го порядка часто называют е м к о ­ стным.

Как постоянная времени звена, так и коэффициенты усиле­ ния для внешних возмущающих воздействий зависят от сомно-

уравнения к форме типичной зависимости для апериодического звена 1-го порядка был сомножителем при др. Этот сомножитель называют к о э ф ф и ц и е н т о м с а м о в ы р а в н и в а н и я или с т а т и з м о м з в е на . Возможны случаи, когда за счет сочета­ ния наклонов характеристик элементов звена этот коэффициент равен нулю или имеет отрицательный знак. При равенстве этого коэффициента нулю звено является астатическим (т. е. звеном без статизма), а его уравнение соответствует уравнению идеаль­ ного интегрирующего звена. При отрицательном коэффициенте звено имеет отрицательное самовыравнивание, или отрицатель­ ный статизм. Величина и знак статизма существенно ;влияют как на динамические характеристики звена, так й на динамические характеристики и устойчивость всей системы, в которую входит звено.

89

2.3.2. Чувствительный элемент регулятора

Уравнение колебательного звена принято представлять в сле­ дующем виде:

где I — 'Коэффициент затухания колебании (0< £<1); ^ — коэффициент усиления; р — оператор дифференцирования.

Постоянная времени Т связана с собственной частотой свобод­ ных колебании системы ѵ: Г=1/ѵ, т. е. с частотой колебаний зве­ на, предоставленного самому себе, без внешних возмущающих воздействий (при отсутствии затухания).

Перемещения подвижных частей чувствительного элемента описываются уравнением механики, которое можно записать в следующем виде:

шаг винта настройки.

90

При составлении уравнения движения (2.12) пренебрегали присоединенной массой жидкости, двигающейся вместе с под­ вижными частями, гидродинамическими силами, действующими на заслонку, и трением при течении жидкости по импульсной трубке.

Линеаризовав уравнение (2.12) и приведя вариации парамет­ ров к безразмерному виду, после преобразований находим

Характер АФХ и амплитудных частотных характеристик (см. табл. 2.1) для апериодических звеньев и колебательного звена существенно различен. Это в первую очередь связано с тем, что в апериодических звеньях при колебаниях параметров изме­ няется только один вид энергии — или потенциальная (в пневма­ тических, гидравлических, тепловых емкостях), или кинетиче­ ская (двигатели, ТНА). В колебательном звене одновременно изменяются оба вида энергии: и потенциальная, и кинетиче­ ская, причем в процессе колебаний одна форма энергии перехо­ дит в другую, что как раз способствует поддержанию колебаний, т. е. многократному прохождению системы через равновесное (в статике) состояние.

2.4.УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Взависимости от сочетания параметров объекта регулиро­ вания и регулятора система автоматического регулирования име­ ет различный характер переходного процесса после внесения воз­ мущения, нарушившего равновесие. Если система после внесения

возмущения вновь стремится к состоянию равновесия (рис. 2.10, а и б), то система является устойчивой. Если же при сколь угодно малых возмущениях в системе возникают расходя­ щиеся колебания (рис. 2.10, в) или абсолютное значение пара­

91

метров неограниченно растет (рис. 2.10, г), система называется неустойчивой.

Общее решение линейного дифференциального уравнения равно сумме двух решений: частного решения неоднородного уравнения с правой частью и общего решения однородного урав­ нения без правой части, т. е. с правой частью, равной нулю. Для выяснения вопроса об устойчивости имеет значение только общее решение однородного уравнения, дающее как раз переходную со­ ставляющую решения.

Рис. 2.10. Характер переходных процессов для систем:

а. о — устойчивых; в, г — неустойчивых

Решение линейного однородного уравнения имеет форму*

где рі, ..., рп — корни характеристического уравнения

Корни характеристического уравнения в общем случае комп­ лексно-сопряженные, т. е., например,

Рі,2 = а ±

Тогда соответствующие члены решения (2.14) имеют вид

C1e“+,P-f-C2e“_,p = Aeat sin (ß^-f-«p),

где А и cp — новые постоянные интегрирования.

Если вещественная часть корней а < 0 — колебания затухают; если а = 0 — колебания незатухающие, а при а > 0 — колебания расходящиеся.

Таким образом, можно сформулировать условие устойчивости системы: вещественные части всех корней характеристического уравнения должны быть отрицательными. Если хотя бы один ко­

* При отсутствии кратных корней.

9 2

сти в плоскости корней. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, система неустойчива. Необходимым и до­ статочным условием устойчивости системы является расположе­ ние всех корней характеристического уравнения в плоскости кор­ ней слева от мнимой оси. Это утверждение является основным для исследования устойчивости линейной системы.

Вычисление корней характеристического уравнения в ряде случаев вызывает затруднения. В связи с этим представляют ин­ терес критерии устойчивости, позволяющие решить вопрос об устойчивости системы без нахождения корней характеристиче­ ского уравнения.

Как уже отмечалось, в систему уравнений динамики ЖРД входят уравнения в частных производных, при решении которых получаются члены с запаздывающим аргументом. При наличии в системе запаздываний характеристическое уравнение системы оказывается не алгебраическим, как уравнение (2.15), а транс­ цендентным из-за членов с множителями типа е_~г.

Трансцендентное уравнение имеет бесконечное количество корней, что усложняет анализ устойчивости системы. В частности, для таких систем нельзя использовать алгебраические критерии устойчивости' (критерий Рауса, Гурвица), но применимы крите­ рии устойчивости Михайлова и Найквиста.

Критерии устойчивости позволяют ответить на вопрос, устой­ чива или неустойчива система, для которой известны все пара­ метры. В ряде случаев представляет интерес получить, кроме того, ответ на вопрос, как влияет изменение отдельных парамет­ ров системы на ее устойчивость, а в случае неустойчивой систе­ м ы — определить направление необходимых изменений характе­ ристик отдельных элементов системы, обеспечивающих ее стаби­ лизацию.

Эти задачи можно решить, если построить области устойчи­ вости, т. е. определить области таких сочетаний параметров, при которых система будет устойчива. Область устойчивости в про­ странстве параметров системы отделяется границей устойчивости. Области устойчивости строят в плоскости одного или двух пара­ метров системы. Удобнее использовать области устойчивости в плоскости двух параметров. Наиболее распространенным являет­ ся метод О-разбиения [2 ].

Выбрав два параметра системы /л и X, приравняем нулю ха­ рактеристическое уравнение:

0 (/ш, р, Х)= 0 .

Выделив в этом уравнении вещественную и мнимые части:

(2.16)

находим два уравнения, определяющие положение границы устойчивости в параметрах ja и X. Так как .D-разбиение дает

93

отображение мнимой оси в плоскости корней на плоскость пара­ метров системы, то зависимость (2.16) определяет не только гра­ ницу устойчивости, но и всю совокупность кривых, отделяющих друг от друга области с одинаковым числом корней характеристи­ ческого уравнения, имеющих положительную вещественную - часть. При переходе с одной стороны на другую (т. е. при пере­ сечении каждой кривой) число корней с положительной вещест­ венной частью изменяется на два (так как все комплексные кор­ ни попарно-сопряженные).

Д.пя выбора области устойчивости из всех областей, даваемых D-разбне- ниям, используется правило штриховки, показывающей направление, и кото­ ром число корней с положительной вещественной частью увеличивается. При перемещении вдоль кривой Д-разб.нення в направлении роста частоты ш сто­ рона, которую надо штриховать, определяется знаком определителя

При построении кривой ІЗ-разбпенпя необходимо соблюдать порядок рас­ положения членов в определителе (2.47) и строить кривые ® плоскости пара­ метров X — |х так, чтобы на оси абсцисс откладывать ц, а на оси ординат — X. Штриховка направлена при этом в сторону области с меньшим числом корней с положительной вещественной частью, в частности, и в сторону области устойчивости. Пользуясь этим правилом, можно выбрать область с минималь­ ным числом корней на плоскости справа от мнимой оси.

Границы D-разбиения не позволяют однозначно решить во­ прос об устойчивости. Для окончательного решения вопроса, является ли выбранная область областью устойчивости, необ­

сти хотя бы для одной точки предполагаемой области устойчи­ вости. Если условия критерия устойчивости выполняются для этой точки, то они будут выполняться « для всех других точек этой области.

Пример D-разбиения приведен на рис. 2.11. Здесь k — воз­ можное значение корней с положительной вещественной частью. Область «k—4», имеющая минимальное число корней справа от мнимой оси, может являться областью устойчивости.

Каждая точка кривой D-разбиения соответствует определен­ ной частоте м. Таким образом, по кривым D-разбиения можно установить не только факт потери устойчивости, но и опреде­ лить частоту возникающих колебаний.

Система уравнений динамики Ж РД имеет достаточно высо­ кий порядок и в то же время содержит много членов с запазды­ вающим аргументом. Транспортные запаздывания появляются в первую очередь в уравнениях газовых емкостей, причем связа-

94

ны они с энтропийными волнами, распространяющимися вдоль всего газового тракта. Ниже, в гл. IV, будет показано, что нали­ чие энтропийных волн в газовых трактах является одним из определяющих факторов, формирующих динамические характе­ ристики двигателя.

Естественно, что пренебречь энтропийными волнами нельзя. Аналогичное положение имеет место с акустическими волна­ ми в гидравлических магистралях и газовом тракте при анализе

динамики отдельных контуров ЖРД и двигателя в целом в диапазоне от­ носительно высоких частот, близких к соответствующим собственным ча­ стотам акустических колебаний в указанных элементах. Уравнения же передаточных функций этих звеньев при учете акустических эффектов также содержат члены с запаздыва­ нием.

С другой стороны, не целесооб­ разно упрощать уравнения путем разложения в ряд соответствующих членов уравнения по степеням про­ изведения частоты и времени запаз­ дывания, так как в этом случае (ес­ ли учитывать члены выше первой степени) повышается порядок урав­

нения, что только усложняет расчеты на ЭВЦМ. Кроме того, не­ обходимо обратить внимание, что при разложении в ряд экспо­ ненциальной функции

е± рт= і + p ^ . р2Т2 ^ рЗтЗ

2 ! 3!

получаются отрицательные члены, что в соответствии с алге­ браическим критерием устойчивости свидетельствует о неустой­ чивости системы, в то время как система может быть устойчивой. В связи с этим к разложению в ряд членов с запаздыванием необходимо относиться с осторожностью.

Следует сделать еще одно принципиальное замечание. Приня­ тые динамические модели описания процессов в отдельных эле­ ментах пригодны для ограниченного диапазона частот. Действи­ тельно, даже при учете акустических эффектов в трубах для жидкости и газовом тракте двигателя расширять диапазон ча­ стот не имеет смысла, так как в уравнениях газогенератора и камеры сгорания нет возможности учесть специфику динамики сложных и недостаточно изученных физико-химических процес­ сов в зоне горения, особенно существенных для высокочастот­ ных колебаний. Кроме того, в приведенных ниже, уравнениях учитываются только продольные моды акустических колебаний

95

газа, но не учитываются тангенциальные и радиальные моды. Естественно, что еще большие ограничения по диапазону частот, в котором справедливы расчетные зависимости, имеют место для упрощенных уравнений, где не учитываются акустические эф­ фекты.

Возможен случай, когда характеристическое уравнение сис­ темы имеет корни с положительной вещественной частью и боль­ шими значениями мнимой части, что говорит о неустойчивости системы по отношению к колебаниям высокой частоты *. Одна­ ко сами уравнения не описывают с достаточной достоверностью поведение системы при колебаниях с высокой частотой. В связи с этим недостоверными оказываются результаты анализа устой­ чивости и динамических характеристик системы при частотах, превышающих некоторый предел. В этом случае производить расчеты системы вне диапазона достоверности по частоте неце­ лесообразно.

Анализ устойчивости системы с запаздываниями имеет неко­ торые особенности. В частности, для анализа устойчивости подобных систем, как уже отмечалось, не пригодны алгебраиче­ ские критерии устойчивости. Можно использовать частотные критерии [2, 12], критерии Найквиста, Михайлова [60, 21] или строить границы £>-разбиения системы [64]. Формулировка кри­ терия Михайлова в этом случае несколько изменяется [21]. Для того чтобы линейная система, включающая в себя также звенья

щаясь в нуль, повернулся вокруг начала координат против ча­ совой стрелки на угол (п/2)п, где п — степень полинома

D( со).

В формулировке критерия Михайлова для системы с запаз­ дыванием отсутствует требование монотонного изменения аргу­ мента при увеличении частоты. В связи с этим по виду кривой Михайлова в каком-нибудь ограниченном диапазоне частот нельзя сделать вывод даже о неустойчивости системы **, кото­ рый для обычных систем сразу следовал из факта нарушения монотонности изменения угла поворота вектора годографа. В то же время, как уже было отмечено, система уравнений двигателя достаточно корректна только в относительно узком диапазоне частот, и нарушение требований критерия Михайлова в диапа­ зоне частот до со=+оо не свидетельствует о неустойчивости си­ стемы в более узком диапазоне частот, для которых собственно только и пригодны эти уравнения.

* Мнимые части корней характеристического уравнения определяют ча­ стоту колебаний системы.

** Кроме случая прохождения кривой годографа через начало координат.

96