Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

.pdf
Скачиваний:
36
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
14.37 Mб
Скачать

Однако в произвольном метрическом пространстве признак Больцано — Коши в части достаточности мо­ жет оказаться неприменимым. Например, если в мно­ жестве всех рациональных чисел определить расстояние

по той же

формуле, что и в Ru т. е. положить р(х, г/) =

= |х — у |,

то получится метрическое пространство. Но

последовательность, составленная из рациональных чи­ сел, может не иметь в э т о м пространстве предела и в то же время удовлетворять условию Больцано — Коши: так будет, если пределом этой последовательности в Rі является иррациональное число. В настоящем пара­ графе мы выделим класс пространств, в которых при­

знак Больцано — Коши остается в силе.

точек хп мет­

О п р е д е л е н и е . Последовательность

рического

пространства

Е называется

фундаменталь­

ной (или

сходящейся в

себе), если р (хп, хт)—>0 при

п, т —►оо.

Следующая теорема означает, что в части необхо­ димости признак Больцано — Коши действует в любом

метрическом

пространстве.

 

Т е о р е м а

III. 4.1.

Если последовательность {хп}

сходится к пределу, то она фундаментальна.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

хп -* х. Тогда

Р (Хп> -Т/n) ^ Р {%п> Х) -J- P (х,

Хт) m_>00">' 0.

О п р е д е л е н и е . Множество

точек метрического

пространства называется ограниченным, если оно со­

держится в каком-нибудь

шаре. Для пространства

Rn

в II. 2 было

дано

другое

определение

ограниченности

множества, равносильное

 

приведенному

сейчас.

после­

Т е о р е м а

III.4.2. Всякая

фундаментальная

довательность {хп} ограничена.

 

е > 0

и подберем

N

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Зададим

так, мто р{хп, xN) <

е при п ^

N. Положим

 

 

г — шах [е, р(*!, %),

р(х2, %),

р(% _ ь %)].

 

Тогда p(xn,x N) ^ r

уже

 

при

всех

п = 1, 2, ....

т.

е.

все х„ (= S*(xN, г) *).

Дадим основное в теории метрических пространств определение.

*) Заменяя г на г' > г, можно все хп заключить и в открытый шар S (.ѵ.ѵ, г'),

О п р е д е л е н и е . Метрическое пространство назы­ вается полным, если в нем всякая фундаментальная по­ следовательность имеет предел.

 

Мы уже проверили полноту R n. Большинство про­

странств,

приведенных

в

качестве

примеров

в

III. 1,

также полны. Докажем, например, полноту I.

 

 

 

Пусть точки хп —

e l и образуют фундаменталь­

ную

последовательность. Так как при каждом і

 

 

 

 

 

 

 

||< " > -^ > |< р (х „ , xm),

 

 

 

 

то

и

1\п)

 

 

 

Отсюда

следует,

что

при

каждом і существует

конечное £. = lim

 

Докажем,

что последовательность

х =

{|г}е і

и что х — lim хп.

 

Согласно данному условию, для любого е > 0 суще­

ствует

такое

N,

что при п, m ^ N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ | s r , -ê S "ll < T -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=l

 

 

 

 

 

 

 

 

Оставляя

в сумме лишь конечное число слагаемых, имеем

тем

более при любом натуральном

р и при п,

N

 

 

 

 

 

 

і = і

 

 

 

 

 

 

 

 

Фиксируя п и переходя к пределу при т-> оо,

получим

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

11(/° — Іг J

 

* Так

как это

неравенство

верно

при

і =

1

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

оо

I І ^ “ Іг I ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

любом

Р,

ТО

ряд

2 I &іп) — Іг I сходится И

2

^ у < е .

Тем самым доказано,

что

последовательность

 

 

— І(.| <= /;

но

тогда

и

х =

{§;}<=/,

а неравенство

ОО

 

 

 

іг 1< 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 I і[я) -

означает,

что

р(хл, х ) < е

при n ^ N .

 

Аналогично доказывается полнота пространства /2.

 

Проверим

полноту С. Пусть хп — функции

из

С и

р (Хп, хт)—* 0 .

Тогда ясно, что при каждом t

последова­

тельность

значений {х„(/)} — фундаментальная.

Следо­

вательно, существует x{t) =

limxn(0-

 

 

 

 

Теперь

по

заданному

е >

0

находим N

так,

что

р(хп,х т) < е

при

n,

m ^ N ,

т.

е. \xn {t) — xm{t) | <

е

при

всех

t и при

п, т ^

N. Переходя здесь

к пределу

при

т

—>оо,

получим

\хп(і) — х ( 0 | ^ е

при

всех

t

и

n ^

N,

т. е. сходимость {хп} к х — равномерная. А тогда

д: принадлежит С и р(хп, х) -»-0.

 

 

 

 

 

 

По аналогичной схеме доказывается полнота т.

 

 

 

CL не полно. Это будет подтверждено

в VIII. 5.

 

 

Всякое подмножество Е\ метрического пространства

Е может рассматриваться

и щак самостоятельное метри­

ческое пространство, если для любых двух точек из Е\ сохранить то определение расстояния, которое было вве­ дено в Е. В связи с этим приведем одну полезную для' дальнейшего теорему.

Т е о р е м а III.4.3. Всякое замкнутое подмножество F полного метрического пространства Е само является полным метрическим пространством.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть x „ e f и образуют фун­ даментальную последовательность. Так как Е полно, то в Е существует х — Y\mxn. Но, вследствие замкнутости F, X ŒI F. Следовательно, всякая фундаментальная после­ довательность точек из F имеет в F предел, что и озна­ чает полноту F.

Установим еще одну лемму, неоднократно исполь­ зуемую в последующем.

Л е м м а III. 4.1. Если из фундаментальной последо­ вательности {хп} можно выделить такую частичную по­ следовательность, которая сходится к некоторому пре­

делу,

хп .-+х,

то

и вся

последовательность сходится

к тому же пределу. хп —*х.

 

любого п,

беря П і^ п ,

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для

имеем по неравенству треугольника

 

 

Р (хп, * ) < р (хп, хП() + р (хПі, х).

 

Если

п »оо,

то и

щ —» оо,

а

тогда правая

часть стре­

мится

к 0. Следовательно,

и р(хп, х)-*0, т. е. хп -*х.

§5. Сепарабельные пространства

Вмножестве всех вещественных чисел R і подмноже­ ство D всех рациональных чисел обладает следующим важным свойством: каждое вещественное число пред­ ставимо как предел последовательности рациональных

чисел. Таким образом, замыкание D = R h Это свой­ ство называют плотностью множества рациональных

чисел в R 1. Перенесем понятие плотности

в произволь­

ные метрические пространства.

 

метрического

О п р е д е л е н и е .

Множество А точек

пространства Е называется всюду плотным Е),

если

Ä = Е.

 

 

 

 

 

Как следует из III. 3, равенство А — Е означает,

что

для любого х ^ Е

и любого е >

0 существует

такой

X' œ A, что р(х', х) <

е. Это в свою очередь равносильно

тому, что каждый

представим в виде х =

lim хп,

где х „ е .4 .

Метрическое

пространство

назы­

О п р е д е л е н и е .

вается сепарабельным, если в нем существует счетное или конечное всюду плотное подмножество*).

Большинство пространств, рассмотренных выше в ка­ честве примеров, сепарабельны.

В R 7l каждая точка представима в виде предела по­ следовательности' точек с рациональными координата­ ми. А точки с рациональными координатами образуют

счетное множество по теореме 1.4.9

(см. II. 1). Следо­

вательно, Rn сепарабельно.

I устанавливается

Сепарабельность

пространства

так. Пусть X — {£,} е

I. Положим

 

Хп == {іь ^2> • • • > 0, 0, . . .}.

Тогда хп ~* X по определению сходимости в I. Но при каждом п можно найти точку х'п = (rv г2, . . . , г п,0, 0, ...)

с рациональными координатами,

сколь угодно

близкую

к хп, например так, что р(х’п, х

< 1/п. А тогда

и х'п->*.

При каждом фиксированном п множество Dn всех точек вида (ги г2, гп, 0, 0, ...) с рациональными

координатами счетно по теореме 1.4.9. Объединение

оо

( jD n тоже счетно по теореме 1.4.4 и, как мы уже по-

П=-1

казали, всюду плотно в I. Следовательно, I сепара­ бельно.

*)■ Легко видеть, что если пространство

содержит б е с к о н е ч ­

н о е множество точек, то никакое его всюду

плотное подмножество

не может быть конечным.

 

Тем же рассуждением проверяется сепарабельность пространства I2. Относительно пространства т можно доказать, что оно не сепарабельно.

Пространство С сепарабельно. В нем счетным всюду плотным множеством является, например, множество всех алгебраических полиномов с рациональными ко­

эффициентами.

Действительно, по доказываемой в математическом анализе теореме Вейерштрасса каждая непрерывная на отрезке функция х представима как предел равномерно сходящейся последовательности полиномов Qn *)- Рав­ номерная сходимость и есть сходимость в метрике про­ странства С, т. е. Qn —*x. Заменяя все коэффициенты каждого из полиномов Q„ достаточно близкими рацио­ нальными, мы найдем полиномы Рп из множества 5s (см. 1.4) так, что

| Р Л 0 - < 2 Л 0 І < !

на всем отрезке a ^ t s ^ b . Тогда р(Рп, Qn) < 1/п, от­ куда следует, что Рп -*х по расстоянию в С. Тем самым доказано, что множество .S3 всюду плотно в С.

Так как

сходимость в С

влечет сходимость в

CL

(см. III. 2),

то множество 5я всюду плотно и в CL, а по­

тому пространство CL тоже сепарабельно.

 

§ 6. Нормированные функциональные пространства

Понятие

нормированного

пространства — одно

из

самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена,

главным образом,

С.

Ц а н а х о м * * )

в 20-х годах на­

шего

столетия. Имея

в виду применение в этой книге

*)

См., например,

Г.

М. Ф и х т е н г о л ь ц , Основы математи­

ческого анализа, т. И,

п°

278. Обобщение

теоремы Вейерштрасса

на случай функций нескольких переменных можно найти в книгах: Ш. Ж- В а л л е - П у с с е н, Курс анализа бесконечно малых, ГТТИ, 1933, т. II, п° 108, или А. Ф. Тим ан, Теория приближения функ­ ций действительного переменного, Физматгиз, 1960, стр. 13. См.

также

У. Р у д и н ,

Основы математического анализа, «Мир», 1966,

стр. 178.

 

**)

С. Б а н а х

(1892— 1945)— выдающийся польский матема­

тик, один из основателей функционального анализа.

понятия нормированного пространства при изучении не­ которых классов функций, мы ограничимся здесь лишь рассмотрением функциональных нормированных про­ странств, т. е. пространств, элементами которых служат функции.

Пусть Т — произвольное множество, а X — непустая совокупность некоторых вещественных функций x(t) с конечными значениями, заданных на Т. Множество X называется линейным, если оно замкнуто относительно операций сложения функций и умножения функции на число, т. е. если оно удовлетворяет следующему усло­

вию: для любых двух функций

X и у из множества X

и любого вещественного

числа

к

функции

х + у и кх

тоже принадлежат X.

качестве

Т взять

множество

Заметим,

что

если в

всех

натуральных

чисел

п, то

функции x{t) превра­

щаются

в

бесконечные

числовые

последовательности

X =

х(п)\

если за

Т принять множество из первых п на­

туральных чисел, то функции на Т превращаются в точки «-мерного пространства. Таким образом, все ска­ занное ниже применимо и к множествам последователь­ ностей и к множествам точек «-мерного пространства.

Из определения сразу получается, что если множе­

ство .X — линейное,

то

для

любого

конечного, числа

функций хи х2, . . . ,

Xk из X и любых вещественных чисел

Аі, к2,

кк функция

=

 

 

(коротко

пи­

шем: X — 2 кіХі) тоже

входит

в

X.

В частности,

раз-

 

і=1

 

 

 

входит в X. Функция,

ность любых двух функций из X

тождественно равная на Т нулю, представима как про­ изведение любой функции из X на число 0 и потому входит в X. Эту функцию назовем нулевым элементом совокупности X. Нулевой элемент будем обозначать буквой Ѳ*).

Во многих линейных функциональных множествах удается ввести метрику специальным образом так, что

*) В функциональном анализе рассматривается гораздо более общее понятие линейного множества (или линейной системы), со­ ставленного из любых элементов, арифметические действия над ко­ торыми определяются аксиоматически. См., например, Б. 3. В у л и х , Введение в функциональный анализ, «Наука», 1967, § 5.1.

за основное принимается не понятие расстояния, а неко­ торое другое — норма элемента.

О п р е д е л е н и е . Линейное множество- А! функций называется нормированным пространством, если для каждого элемента х е X определено вещественное чис­ ло, называемое его нормой и обозначаемое ||х||, причем выполнены следующие условия:

I.

IUH ^

0

для

любого

х ^ .Х \

||* ||= 0

только

для

X = Ѳ;

||Ъс|| =

|À [IUI! для

любого

 

 

и любого

II.

X œ

X

числа К;

у\\ <

 

 

 

х,

у ^ Х

 

III.

\\х +

IUH + Цг/11

для любых

(не­

р а в е н с т в о т р е у г о л ь н и к а ) .

Определим теперь расстояние в нормированном про­

странстве X, полагая для любых х, у <=Х

 

р(х, у) = \\х — у ||.

(7)

Из этого определенйя следует, поскольку х — Ѳ= х, что

11*11 = 11* — Ѳ1= р(*. Ѳ),

т.е. норма любого элемента равна его расстоянию от Ѳ. Проверим, что в X выполнены все аксиомы метриче­

ского пространства.

Если X Ф у, то Xу ф Ѳ, а тогда, по

формуле (7) и

по условию I из настоящего параграфа,

р (х ,у )> 0 ;

если же

х — у, то х у = Ѳ, следовательно,

р(х, у) = 0.

Далее,

х у = {—1 ) (у х), а

потому,

на

основании

аксиомы

II, \\х — у\\ = \\у — х\\,

т. е. р(х, у) = р(у, х) ,

Наконец, неравенство треугольника для расстояния вы­ текает из неравенства треугольника для нормы:

Р(*. #) = 11*— г/|| =

||(* — z) + ( z — у) |К

<

|| X — г II + II г — у И= р (*, z) + р (z, у).

Таким образом, нормированное пространство част­ ный случай метрического пространства.

Примером нормированного пространства может слу­ жить евклидово пространство Rn, если в нем для каж­

дого X = (іі, Іг,

.,., in) положить \ \ x \ l = ] /

2 8J .

 

Г

iss1

Выполнение первых двух аксиом нормы здесь оче­

видно (нулевым

элементом в Rn будет точка Ѳ, все ко­

ординаты которой равны 0), а неравенство треуголь­ ника для нормы превращается в неравенство Коши, до­ казанное в IL 1 (неравенство (4)). Если, исходя из нормы, ввести в R n расстояние с помощью формулы (7), то оно совпадет с тем расстоянием, которое было непосредственно определено в R n в II. 1.

Другим примером нормированного пространства мо­ жет служить пространство С непрерывных функций на отрезке [а,Ь], если положить |]x|| = max |х(7) | .

И здесь выполнение первых двух аксиом нормы оче­ видно, а неравенство треугольника для нормы прове­

ряется так же,

как

это

сделано

в III. 1

для

расстояния

в пространстве

С.

Формула

(7)

приводит

в

С к тому

же расстоянию,

которое

было

введено

в С

в

III. 1.

В дальнейшем мы встретимся еще с рядом функцио­ нальных нормированных пространств.

Если применить общее определение сходимости, дан­ ное в метрических пространствах, к нормированному пространству, то получаем:

хт->х означает, что \\ хт — х\\-*0.

Эту сходимость мы будем иногда называть сходимостью по норме. По общим свойствам расстояния в метриче­

ских

пространствах

\\х у ||— непрерывная

функция

своих

аргументов,

т.

е. если хт-*х,

ут ~*У, то

\\хт — ут\\-^\\х — у\\

(см.

III. 2). В

частности,

полагая

все

Ут — Q, получим,

что ||хт ||

*||х[|

при

хт~*х

( н е п р е р ы в н о с т ь

нормы) .

 

 

 

Следующие предложения выражают свойство непре­ рывности основных арифметических операций в норми­

рованном пространстве.

>у у то хт

ут

Д- у

а) Если хт

>Ху

ут

Действительно,

 

 

 

 

 

II (хт +

Ут) — (х + у) II =

II (Хт х) +

(Ут ~

У) ІІ<

 

 

 

 

 

<11 Хт — X II + II Ут — У II—> 0.

б)

Если хт^ х ,

Хт->Х, то Хтхт-*Хх.

Действительно,

 

 

 

 

 

II ^-т Хт

hx I I

Хт (хт

IIХ) +

(Хт

h) X || ^

 

 

 

<

Хт I

I ХтI I— X H

Хт+ — X I XI III I 0-. *

Для ограниченности множества в нормированном пространстве X можно дать более простое определение, равносильное тому общему определению, которое было

введено в

произвольных метрических пространствах

(см. III. 4):

множество А с г Х ограничено, если нормы

всех его элементов в совокупности ограничены. Дей­ ствительно, если Л ограничено по общему определению,

то оно содержится

в

некотором шаре: A c S * ^ , г),

Следовательно, ||х — х0||

для всех

X œ A,

а

тогда

Il * II =

II (х — х0) +

*о ІК H* — *о1+

Il *oII

+

Il x0H.

Обратно,

если ||x]| ^

Æ

для всех х е

Л, то AczS*(Q ,R)

и тем самым Л ограничено по общему определению. Фундаментальная последовательность {хт} в норми­

рованном пространстве, в соответствии с определением расстояния, характеризуется условием

Il хт

Хр II —> 0 при

т ,р~* оо.

Из теоремы

III. 4.2 следует,

что нормы элементов

всякой фундаментальной последовательности в совокуп­ ности ограничены.

Полное нормированное пространство, т. е. такое, в котором всякая фундаментальная последовательность имеет предел, называется банаховым. Введение этого термина объясняется тем, что С. Банах при построении теории нормированных пространств уделял главное вни­ мание' полным пространствам.

В нормированном пространстве можно рассматри­ вать ряды, составленные из элементов этого простран-

оо

ства: 2 хт. Сумма ряда определяется обычным способом,

m=1

как предел последовательности частичных сумм; если этот предел существует, ряд называется сходящимся.

§ 7. Линейные функционалы в нормированных пространствах

Обобщая понятие функции от одной переменной, да­ дим следующее определение: отображение метрического пространства (или какого-нибудь его подмножества) в множество вещественных или комплексных чисел назы­

вается функционалом*). В этой книге мы рассматриваем только функционалы с вещественными значе­ ниями и в дальнейшем не будем оговаривать это каж­ дый раз.

Примером функционала в пространстве С может слу- b

жить интеграл J x(t)dt. Значение функции х (і0) в .фик"

а

сированной точке t0— также функционал.

Иногда приходится иметь дело с функционалами с несколькими аргументами. Так, например, расстояние р(х, х') в метрическом пространстве X можно рассмат­ ривать как функционал с двумя аргументами х и х', определенный для любой пары точек из пространства X.

Определение непрерывности,

сформулированное в

II. 7 для функций в евклидовом

пространстве, может

быть перенесено и на функционалы в любых метриче­ ских пространствах.

О п р е д е л е н и е . Функционал f, заданный на мно­ жестве D cz X, называется непрерывным в точке х0е= D,

если для любой последовательности точек xm^ D , такой, что хт—*х0, имеет место соотношение f(xm)- *f(x0). Функционал называется просто непрерывным, если он непрерывен в каждой точке того множества, на котором он задан.

Мы дали определение непрерывности функционала на языке последовательностей. Можно сформулировать его и в других терминах. Именно, функционал f непре­

рывен в точке XQ е

D, если для любого е >

О существует

такое ô >

0, что

при

всех х е Д

удовлетворяющих

условию

р(х,

х0) < ô,

имеет

место

неравенство

\f(x) — f(xo) I <

е.

Равносильность

этого

определения

с первым, данным на языке последовательностей, уста­ навливается так же, как для обычных функций в мате­ матическом анализе.

Норма элемента в нормированном пространстве представляет непрерывный функционал. Это и было фактически доказано в III. 6.

В нормированных пространствах особо важную роль играют так называемые линейные функционалы. Будем

*) Впрочем, такое отображение называют и просто функцией.

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ