
книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие
.pdfОднако в произвольном метрическом пространстве признак Больцано — Коши в части достаточности мо жет оказаться неприменимым. Например, если в мно жестве всех рациональных чисел определить расстояние
по той же |
формуле, что и в Ru т. е. положить р(х, г/) = |
= |х — у |, |
то получится метрическое пространство. Но |
последовательность, составленная из рациональных чи сел, может не иметь в э т о м пространстве предела и в то же время удовлетворять условию Больцано — Коши: так будет, если пределом этой последовательности в Rі является иррациональное число. В настоящем пара графе мы выделим класс пространств, в которых при
знак Больцано — Коши остается в силе. |
точек хп мет |
||
О п р е д е л е н и е . Последовательность |
|||
рического |
пространства |
Е называется |
фундаменталь |
ной (или |
сходящейся в |
себе), если р (хп, хт)—>0 при |
п, т —►оо.
Следующая теорема означает, что в части необхо димости признак Больцано — Коши действует в любом
метрическом |
пространстве. |
|
|
Т е о р е м а |
III. 4.1. |
Если последовательность {хп} |
|
сходится к пределу, то она фундаментальна. |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
хп -* х. Тогда |
|
Р (Хп> -Т/n) ^ Р {%п> Х) -J- P (х, |
Хт) m_>00">' 0. |
||
О п р е д е л е н и е . Множество |
точек метрического |
пространства называется ограниченным, если оно со
держится в каком-нибудь |
шаре. Для пространства |
Rn |
|||||||
в II. 2 было |
дано |
другое |
определение |
ограниченности |
|||||
множества, равносильное |
|
приведенному |
сейчас. |
после |
|||||
Т е о р е м а |
III.4.2. Всякая |
фундаментальная |
|||||||
довательность {хп} ограничена. |
|
е > 0 |
и подберем |
N |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Зададим |
||||||||
так, мто р{хп, xN) < |
е при п ^ |
N. Положим |
|
|
|||||
г — шах [е, р(*!, %), |
р(х2, %), |
р(% _ ь %)]. |
|
||||||
Тогда p(xn,x N) ^ r |
уже |
|
при |
всех |
п = 1, 2, .... |
т. |
е. |
все х„ (= S*(xN, г) *).
Дадим основное в теории метрических пространств определение.
*) Заменяя г на г' > г, можно все хп заключить и в открытый шар S (.ѵ.ѵ, г'),
О п р е д е л е н и е . Метрическое пространство назы вается полным, если в нем всякая фундаментальная по следовательность имеет предел.
|
Мы уже проверили полноту R n. Большинство про |
|||||||||||||
странств, |
приведенных |
в |
качестве |
примеров |
в |
III. 1, |
||||||||
также полны. Докажем, например, полноту I. |
|
|
||||||||||||
|
Пусть точки хп — |
e l и образуют фундаменталь |
||||||||||||
ную |
последовательность. Так как при каждом і |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||< " > -^ > |< р (х „ , xm), |
|
|
|
|
||||
то |
и |
1\п) — |
|
|
|
Отсюда |
следует, |
что |
при |
|||||
каждом і существует |
конечное £. = lim |
|
Докажем, |
|||||||||||
что последовательность |
х = |
{|г}е і |
и что х — lim хп. |
|||||||||||
|
Согласно данному условию, для любого е > 0 суще |
|||||||||||||
ствует |
такое |
N, |
что при п, m ^ N |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ | s r , -ê S "ll < T - |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
Оставляя |
в сумме лишь конечное число слагаемых, имеем |
|||||||||||||
тем |
более при любом натуральном |
р и при п, |
N |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
і = і |
|
|
|
|
|
|
|
|
Фиксируя п и переходя к пределу при т-> оо, |
получим |
|||||||||||||
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
11(/° — Іг J |
|
* Так |
как это |
неравенство |
верно |
при |
|||||||
і = |
1 |
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
оо |
I І ^ “ Іг I ^ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
любом |
Р, |
ТО |
ряд |
2 I &іп) — Іг I сходится И |
2 |
|||||||||
^ у < е . |
Тем самым доказано, |
что |
последовательность |
|||||||||||
|
|
— І(.| <= /; |
но |
тогда |
и |
х = |
{§;}<=/, |
а неравенство |
||||||
ОО |
|
|
|
іг 1< 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 I і[я) - |
означает, |
что |
р(хл, х ) < е |
при n ^ N . |
||||||||||
|
Аналогично доказывается полнота пространства /2. |
|||||||||||||
|
Проверим |
полноту С. Пусть хп — функции |
из |
С и |
||||||||||
р (Хп, хт)—* 0 . |
Тогда ясно, что при каждом t |
последова |
||||||||||||
тельность |
значений {х„(/)} — фундаментальная. |
Следо |
||||||||||||
вательно, существует x{t) = |
limxn(0- |
|
|
|
|
Теперь |
по |
заданному |
е > |
0 |
находим N |
так, |
что |
||||||
р(хп,х т) < е |
при |
n, |
m ^ N , |
т. |
е. \xn {t) — xm{t) | < |
е |
|||||||
при |
всех |
t и при |
п, т ^ |
N. Переходя здесь |
к пределу |
||||||||
при |
т |
—>оо, |
получим |
\хп(і) — х ( 0 | ^ е |
при |
всех |
t |
и |
|||||
n ^ |
N, |
т. е. сходимость {хп} к х — равномерная. А тогда |
|||||||||||
д: принадлежит С и р(хп, х) -»-0. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
По аналогичной схеме доказывается полнота т. |
|
|
||||||||||
|
CL не полно. Это будет подтверждено |
в VIII. 5. |
|
|
|||||||||
Всякое подмножество Е\ метрического пространства |
|||||||||||||
Е может рассматриваться |
и щак самостоятельное метри |
ческое пространство, если для любых двух точек из Е\ сохранить то определение расстояния, которое было вве дено в Е. В связи с этим приведем одну полезную для' дальнейшего теорему.
Т е о р е м а III.4.3. Всякое замкнутое подмножество F полного метрического пространства Е само является полным метрическим пространством.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть x „ e f и образуют фун даментальную последовательность. Так как Е полно, то в Е существует х — Y\mxn. Но, вследствие замкнутости F, X ŒI F. Следовательно, всякая фундаментальная после довательность точек из F имеет в F предел, что и озна чает полноту F.
Установим еще одну лемму, неоднократно исполь зуемую в последующем.
Л е м м а III. 4.1. Если из фундаментальной последо вательности {хп} можно выделить такую частичную по следовательность, которая сходится к некоторому пре
делу, |
хп .-+х, |
то |
и вся |
последовательность сходится |
||
к тому же пределу. хп —*х. |
|
любого п, |
беря П і^ п , |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для |
||||||
имеем по неравенству треугольника |
|
|||||
|
Р (хп, * ) < р (хп, хП() + р (хПі, х). |
|
||||
Если |
п —»оо, |
то и |
щ —» оо, |
а |
тогда правая |
часть стре |
мится |
к 0. Следовательно, |
и р(хп, х)-*0, т. е. хп -*х. |
§5. Сепарабельные пространства
Вмножестве всех вещественных чисел R і подмноже ство D всех рациональных чисел обладает следующим важным свойством: каждое вещественное число пред ставимо как предел последовательности рациональных
чисел. Таким образом, замыкание D = R h Это свой ство называют плотностью множества рациональных
чисел в R 1. Перенесем понятие плотности |
в произволь |
||||
ные метрические пространства. |
|
метрического |
|||
О п р е д е л е н и е . |
Множество А точек |
||||
пространства Е называется всюду плотным (в Е), |
если |
||||
Ä = Е. |
|
|
|
|
|
Как следует из III. 3, равенство А — Е означает, |
что |
||||
для любого х ^ Е |
и любого е > |
0 существует |
такой |
||
X' œ A, что р(х', х) < |
е. Это в свою очередь равносильно |
||||
тому, что каждый |
представим в виде х = |
lim хп, |
|||
где х „ е .4 . |
Метрическое |
пространство |
назы |
||
О п р е д е л е н и е . |
вается сепарабельным, если в нем существует счетное или конечное всюду плотное подмножество*).
Большинство пространств, рассмотренных выше в ка честве примеров, сепарабельны.
В R 7l каждая точка представима в виде предела по следовательности' точек с рациональными координата ми. А точки с рациональными координатами образуют
счетное множество по теореме 1.4.9 |
(см. II. 1). Следо |
|
вательно, Rn сепарабельно. |
I устанавливается |
|
Сепарабельность |
пространства |
|
так. Пусть X — {£,} е |
I. Положим |
|
Хп == {іь ^2> • • • > 0, 0, . . .}.
Тогда хп ~* X по определению сходимости в I. Но при каждом п можно найти точку х'п = (rv г2, . . . , г п,0, 0, ...)
с рациональными координатами, |
сколь угодно |
близкую |
к хп, например так, что р(х’п, х |
< 1/п. А тогда |
и х'п->*. |
При каждом фиксированном п множество Dn всех точек вида (ги г2, гп, 0, 0, ...) с рациональными
координатами счетно по теореме 1.4.9. Объединение
оо
( jD n тоже счетно по теореме 1.4.4 и, как мы уже по-
П=-1
казали, всюду плотно в I. Следовательно, I сепара бельно.
*)■ Легко видеть, что если пространство |
содержит б е с к о н е ч |
н о е множество точек, то никакое его всюду |
плотное подмножество |
не может быть конечным. |
|
Тем же рассуждением проверяется сепарабельность пространства I2. Относительно пространства т можно доказать, что оно не сепарабельно.
Пространство С сепарабельно. В нем счетным всюду плотным множеством является, например, множество всех алгебраических полиномов с рациональными ко
эффициентами.
Действительно, по доказываемой в математическом анализе теореме Вейерштрасса каждая непрерывная на отрезке функция х представима как предел равномерно сходящейся последовательности полиномов Qn *)- Рав номерная сходимость и есть сходимость в метрике про странства С, т. е. Qn —*x. Заменяя все коэффициенты каждого из полиномов Q„ достаточно близкими рацио нальными, мы найдем полиномы Рп из множества 5s (см. 1.4) так, что
| Р Л 0 - < 2 Л 0 І < !
на всем отрезке a ^ t s ^ b . Тогда р(Рп, Qn) < 1/п, от куда следует, что Рп -*х по расстоянию в С. Тем самым доказано, что множество .S3 всюду плотно в С.
Так как |
сходимость в С |
влечет сходимость в |
CL |
(см. III. 2), |
то множество 5я всюду плотно и в CL, а по |
||
тому пространство CL тоже сепарабельно. |
|
||
§ 6. Нормированные функциональные пространства |
|||
Понятие |
нормированного |
пространства — одно |
из |
самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена,
главным образом, |
С. |
Ц а н а х о м * * ) |
в 20-х годах на |
|
шего |
столетия. Имея |
в виду применение в этой книге |
||
*) |
См., например, |
Г. |
М. Ф и х т е н г о л ь ц , Основы математи |
|
ческого анализа, т. И, |
п° |
278. Обобщение |
теоремы Вейерштрасса |
на случай функций нескольких переменных можно найти в книгах: Ш. Ж- В а л л е - П у с с е н, Курс анализа бесконечно малых, ГТТИ, 1933, т. II, п° 108, или А. Ф. Тим ан, Теория приближения функ ций действительного переменного, Физматгиз, 1960, стр. 13. См.
также |
У. Р у д и н , |
Основы математического анализа, «Мир», 1966, |
стр. 178. |
|
|
**) |
С. Б а н а х |
(1892— 1945)— выдающийся польский матема |
тик, один из основателей функционального анализа.
понятия нормированного пространства при изучении не которых классов функций, мы ограничимся здесь лишь рассмотрением функциональных нормированных про странств, т. е. пространств, элементами которых служат функции.
Пусть Т — произвольное множество, а X — непустая совокупность некоторых вещественных функций x(t) с конечными значениями, заданных на Т. Множество X называется линейным, если оно замкнуто относительно операций сложения функций и умножения функции на число, т. е. если оно удовлетворяет следующему усло
вию: для любых двух функций |
X и у из множества X |
|||||||
и любого вещественного |
числа |
к |
функции |
х + у и кх |
||||
тоже принадлежат X. |
качестве |
Т взять |
множество |
|||||
Заметим, |
что |
если в |
||||||
всех |
натуральных |
чисел |
п, то |
функции x{t) превра |
||||
щаются |
в |
бесконечные |
числовые |
последовательности |
||||
X = |
х(п)\ |
если за |
Т принять множество из первых п на |
туральных чисел, то функции на Т превращаются в точки «-мерного пространства. Таким образом, все ска занное ниже применимо и к множествам последователь ностей и к множествам точек «-мерного пространства.
Из определения сразу получается, что если множе
ство .X — линейное, |
то |
для |
любого |
конечного, числа |
|||
функций хи х2, . . . , |
Xk из X и любых вещественных чисел |
||||||
Аі, к2, |
кк функция |
= |
|
|
(коротко |
пи |
|
шем: X — 2 кіХі) тоже |
входит |
в |
X. |
В частности, |
раз- |
||
|
і=1 |
|
|
|
входит в X. Функция, |
||
ность любых двух функций из X |
тождественно равная на Т нулю, представима как про изведение любой функции из X на число 0 и потому входит в X. Эту функцию назовем нулевым элементом совокупности X. Нулевой элемент будем обозначать буквой Ѳ*).
Во многих линейных функциональных множествах удается ввести метрику специальным образом так, что
*) В функциональном анализе рассматривается гораздо более общее понятие линейного множества (или линейной системы), со ставленного из любых элементов, арифметические действия над ко торыми определяются аксиоматически. См., например, Б. 3. В у л и х , Введение в функциональный анализ, «Наука», 1967, § 5.1.
за основное принимается не понятие расстояния, а неко торое другое — норма элемента.
О п р е д е л е н и е . Линейное множество- А! функций называется нормированным пространством, если для каждого элемента х е X определено вещественное чис ло, называемое его нормой и обозначаемое ||х||, причем выполнены следующие условия:
I. |
IUH ^ |
0 |
для |
любого |
х ^ .Х \ |
||* ||= 0 |
только |
для |
|
X = Ѳ; |
||Ъс|| = |
|À [IUI! для |
любого |
|
|
и любого |
|||
II. |
X œ |
X |
|||||||
числа К; |
у\\ < |
|
|
|
х, |
у ^ Х |
|
||
III. |
\\х + |
IUH + Цг/11 |
для любых |
(не |
р а в е н с т в о т р е у г о л ь н и к а ) .
Определим теперь расстояние в нормированном про
странстве X, полагая для любых х, у <=Х |
|
р(х, у) = \\х — у ||. |
(7) |
Из этого определенйя следует, поскольку х — Ѳ= х, что
11*11 = 11* — Ѳ1= р(*. Ѳ),
т.е. норма любого элемента равна его расстоянию от Ѳ. Проверим, что в X выполнены все аксиомы метриче
ского пространства.
Если X Ф у, то X— у ф Ѳ, а тогда, по |
формуле (7) и |
|||
по условию I из настоящего параграфа, |
р (х ,у )> 0 ; |
|||
если же |
х — у, то х — у = Ѳ, следовательно, |
р(х, у) = 0. |
||
Далее, |
х — у = {—1 ) (у — х), а |
потому, |
на |
основании |
аксиомы |
II, \\х — у\\ = \\у — х\\, |
т. е. р(х, у) = р(у, х) , |
Наконец, неравенство треугольника для расстояния вы текает из неравенства треугольника для нормы:
Р(*. #) = 11*— г/|| = |
||(* — z) + ( z — у) |К |
< |
|| X — г II + II г — у И= р (*, z) + р (z, у). |
Таким образом, нормированное пространство — част ный случай метрического пространства.
Примером нормированного пространства может слу жить евклидово пространство Rn, если в нем для каж
дого X = (іі, Іг, |
.,., in) положить \ \ x \ l = ] / |
2 8J . |
|
Г |
iss1 |
Выполнение первых двух аксиом нормы здесь оче |
||
видно (нулевым |
элементом в Rn будет точка Ѳ, все ко |
ординаты которой равны 0), а неравенство треуголь ника для нормы превращается в неравенство Коши, до казанное в IL 1 (неравенство (4)). Если, исходя из нормы, ввести в R n расстояние с помощью формулы (7), то оно совпадет с тем расстоянием, которое было непосредственно определено в R n в II. 1.
Другим примером нормированного пространства мо жет служить пространство С непрерывных функций на отрезке [а,Ь], если положить |]x|| = max |х(7) | .
И здесь выполнение первых двух аксиом нормы оче видно, а неравенство треугольника для нормы прове
ряется так же, |
как |
это |
сделано |
в III. 1 |
для |
расстояния |
||
в пространстве |
С. |
Формула |
(7) |
приводит |
в |
С к тому |
||
же расстоянию, |
которое |
было |
введено |
в С |
в |
III. 1. |
В дальнейшем мы встретимся еще с рядом функцио нальных нормированных пространств.
Если применить общее определение сходимости, дан ное в метрических пространствах, к нормированному пространству, то получаем:
хт->х означает, что \\ хт — х\\-*0.
Эту сходимость мы будем иногда называть сходимостью по норме. По общим свойствам расстояния в метриче
ских |
пространствах |
\\х — у ||— непрерывная |
функция |
|||
своих |
аргументов, |
т. |
е. если хт-*х, |
ут ~*У, то |
||
\\хт — ут\\-^\\х — у\\ |
(см. |
III. 2). В |
частности, |
полагая |
||
все |
Ут — Q, получим, |
что ||хт || |
*||х[| |
при |
хт~*х |
|
( н е п р е р ы в н о с т ь |
нормы) . |
|
|
|
Следующие предложения выражают свойство непре рывности основных арифметических операций в норми
рованном пространстве. |
>у у то хт |
ут |
>х Д- у ■ |
||||
а) Если хт |
>Ху |
ут |
|||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
||
II (хт + |
Ут) — (х + у) II = |
II (Хт — х) + |
(Ут ~ |
У) ІІ< |
|||
|
|
|
|
|
<11 Хт — X II + II Ут — У II—> 0. |
||
б) |
Если хт^ х , |
Хт->Х, то Хтхт-*Хх. |
|||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
||
II ^-т Хт |
hx I I |
— Хт (хт |
IIХ) + |
(Хт |
h) X || ^ |
||
|
|
|
< |
Хт I |
I ХтI I— X H |
Хт+ — X I XI III I 0-. * |
Для ограниченности множества в нормированном пространстве X можно дать более простое определение, равносильное тому общему определению, которое было
введено в |
произвольных метрических пространствах |
(см. III. 4): |
множество А с г Х ограничено, если нормы |
всех его элементов в совокупности ограничены. Дей ствительно, если Л ограничено по общему определению,
то оно содержится |
в |
некотором шаре: A c S * ^ , г), |
||||
Следовательно, ||х — х0|| |
для всех |
X œ A, |
а |
тогда |
||
Il * II = |
II (х — х0) + |
*о ІК H* — *о1+ |
Il *oII |
+ |
Il x0H. |
|
Обратно, |
если ||x]| ^ |
Æ |
для всех х е |
Л, то AczS*(Q ,R) |
и тем самым Л ограничено по общему определению. Фундаментальная последовательность {хт} в норми
рованном пространстве, в соответствии с определением расстояния, характеризуется условием
Il хт |
Хр II —> 0 при |
т ,р~* оо. |
Из теоремы |
III. 4.2 следует, |
что нормы элементов |
всякой фундаментальной последовательности в совокуп ности ограничены.
Полное нормированное пространство, т. е. такое, в котором всякая фундаментальная последовательность имеет предел, называется банаховым. Введение этого термина объясняется тем, что С. Банах при построении теории нормированных пространств уделял главное вни мание' полным пространствам.
В нормированном пространстве можно рассматри вать ряды, составленные из элементов этого простран-
оо
ства: 2 хт. Сумма ряда определяется обычным способом,
m=1
как предел последовательности частичных сумм; если этот предел существует, ряд называется сходящимся.
§ 7. Линейные функционалы в нормированных пространствах
Обобщая понятие функции от одной переменной, да дим следующее определение: отображение метрического пространства (или какого-нибудь его подмножества) в множество вещественных или комплексных чисел назы
вается функционалом*). В этой книге мы рассматриваем только функционалы с вещественными значе ниями и в дальнейшем не будем оговаривать это каж дый раз.
Примером функционала в пространстве С может слу- b
жить интеграл J x(t)dt. Значение функции х (і0) в .фик"
а
сированной точке t0— также функционал.
Иногда приходится иметь дело с функционалами с несколькими аргументами. Так, например, расстояние р(х, х') в метрическом пространстве X можно рассмат ривать как функционал с двумя аргументами х и х', определенный для любой пары точек из пространства X.
Определение непрерывности, |
сформулированное в |
II. 7 для функций в евклидовом |
пространстве, может |
быть перенесено и на функционалы в любых метриче ских пространствах.
О п р е д е л е н и е . Функционал f, заданный на мно жестве D cz X, называется непрерывным в точке х0е= D,
если для любой последовательности точек xm^ D , такой, что хт—*х0, имеет место соотношение f(xm)- *f(x0). Функционал называется просто непрерывным, если он непрерывен в каждой точке того множества, на котором он задан.
Мы дали определение непрерывности функционала на языке последовательностей. Можно сформулировать его и в других терминах. Именно, функционал f непре
рывен в точке XQ е |
D, если для любого е > |
О существует |
||||
такое ô > |
0, что |
при |
всех х е Д |
удовлетворяющих |
||
условию |
р(х, |
х0) < ô, |
имеет |
место |
неравенство |
|
\f(x) — f(xo) I < |
е. |
Равносильность |
этого |
определения |
с первым, данным на языке последовательностей, уста навливается так же, как для обычных функций в мате матическом анализе.
Норма элемента в нормированном пространстве представляет непрерывный функционал. Это и было фактически доказано в III. 6.
В нормированных пространствах особо важную роль играют так называемые линейные функционалы. Будем
*) Впрочем, такое отображение называют и просто функцией.