книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

Однако в произвольном метрическом пространстве признак Больцано — Коши в части достаточности мо­ жет оказаться неприменимым. Например, если в мно­ жестве всех рациональных чисел определить расстояние

последовательность, составленная из рациональных чи­ сел, может не иметь в э т о м пространстве предела и в то же время удовлетворять условию Больцано — Коши: так будет, если пределом этой последовательности в Rі является иррациональное число. В настоящем пара­ графе мы выделим класс пространств, в которых при­

п, т —►оо.

Следующая теорема означает, что в части необхо­ димости признак Больцано — Коши действует в любом

пространства называется ограниченным, если оно со­

все х„ (= S*(xN, г) *).

Дадим основное в теории метрических пространств определение.

*) Заменяя г на г' > г, можно все хп заключить и в открытый шар S (.ѵ.ѵ, г'),

О п р е д е л е н и е . Метрическое пространство назы­ вается полным, если в нем всякая фундаментальная по­ следовательность имеет предел.

ческое пространство, если для любых двух точек из Е\ сохранить то определение расстояния, которое было вве­ дено в Е. В связи с этим приведем одну полезную для' дальнейшего теорему.

Т е о р е м а III.4.3. Всякое замкнутое подмножество F полного метрического пространства Е само является полным метрическим пространством.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть x „ e f и образуют фун­ даментальную последовательность. Так как Е полно, то в Е существует х — Y\mxn. Но, вследствие замкнутости F, X ŒI F. Следовательно, всякая фундаментальная после­ довательность точек из F имеет в F предел, что и озна­ чает полноту F.

Установим еще одну лемму, неоднократно исполь­ зуемую в последующем.

Л е м м а III. 4.1. Если из фундаментальной последо­ вательности {хп} можно выделить такую частичную по­ следовательность, которая сходится к некоторому пре­

§5. Сепарабельные пространства

Вмножестве всех вещественных чисел R і подмноже­ ство D всех рациональных чисел обладает следующим важным свойством: каждое вещественное число пред­ ставимо как предел последовательности рациональных

Тем же рассуждением проверяется сепарабельность пространства I2. Относительно пространства т можно доказать, что оно не сепарабельно.

Пространство С сепарабельно. В нем счетным всюду плотным множеством является, например, множество всех алгебраических полиномов с рациональными ко­

эффициентами.

Действительно, по доказываемой в математическом анализе теореме Вейерштрасса каждая непрерывная на отрезке функция х представима как предел равномерно сходящейся последовательности полиномов Qn *)- Рав­ номерная сходимость и есть сходимость в метрике про­ странства С, т. е. Qn —*x. Заменяя все коэффициенты каждого из полиномов Q„ достаточно близкими рацио­ нальными, мы найдем полиномы Рп из множества 5s (см. 1.4) так, что

| Р Л 0 - < 2 Л 0 І < !

на всем отрезке a ^ t s ^ b . Тогда р(Рп, Qn) < 1/п, от­ куда следует, что Рп -*х по расстоянию в С. Тем самым доказано, что множество .S3 всюду плотно в С.

самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена,

на случай функций нескольких переменных можно найти в книгах: Ш. Ж- В а л л е - П у с с е н, Курс анализа бесконечно малых, ГТТИ, 1933, т. II, п° 108, или А. Ф. Тим ан, Теория приближения функ­ ций действительного переменного, Физматгиз, 1960, стр. 13. См.

тик, один из основателей функционального анализа.

понятия нормированного пространства при изучении не­ которых классов функций, мы ограничимся здесь лишь рассмотрением функциональных нормированных про­ странств, т. е. пространств, элементами которых служат функции.

Пусть Т — произвольное множество, а X — непустая совокупность некоторых вещественных функций x(t) с конечными значениями, заданных на Т. Множество X называется линейным, если оно замкнуто относительно операций сложения функций и умножения функции на число, т. е. если оно удовлетворяет следующему усло­

туральных чисел, то функции на Т превращаются в точки «-мерного пространства. Таким образом, все ска­ занное ниже применимо и к множествам последователь­ ностей и к множествам точек «-мерного пространства.

Из определения сразу получается, что если множе­

тождественно равная на Т нулю, представима как про­ изведение любой функции из X на число 0 и потому входит в X. Эту функцию назовем нулевым элементом совокупности X. Нулевой элемент будем обозначать буквой Ѳ*).

Во многих линейных функциональных множествах удается ввести метрику специальным образом так, что

*) В функциональном анализе рассматривается гораздо более общее понятие линейного множества (или линейной системы), со­ ставленного из любых элементов, арифметические действия над ко­ торыми определяются аксиоматически. См., например, Б. 3. В у л и х , Введение в функциональный анализ, «Наука», 1967, § 5.1.

за основное принимается не понятие расстояния, а неко­ торое другое — норма элемента.

О п р е д е л е н и е . Линейное множество- А! функций называется нормированным пространством, если для каждого элемента х е X определено вещественное чис­ ло, называемое его нормой и обозначаемое ||х||, причем выполнены следующие условия:

р а в е н с т в о т р е у г о л ь н и к а ) .

Определим теперь расстояние в нормированном про­

Из этого определенйя следует, поскольку х — Ѳ= х, что

11*11 = 11* — Ѳ1= р(*. Ѳ),

т.е. норма любого элемента равна его расстоянию от Ѳ. Проверим, что в X выполнены все аксиомы метриче­

ского пространства.

Наконец, неравенство треугольника для расстояния вы­ текает из неравенства треугольника для нормы:

Таким образом, нормированное пространство — част­ ный случай метрического пространства.

Примером нормированного пространства может слу­ жить евклидово пространство Rn, если в нем для каж­

ординаты которой равны 0), а неравенство треуголь­ ника для нормы превращается в неравенство Коши, до­ казанное в IL 1 (неравенство (4)). Если, исходя из нормы, ввести в R n расстояние с помощью формулы (7), то оно совпадет с тем расстоянием, которое было непосредственно определено в R n в II. 1.

Другим примером нормированного пространства мо­ жет служить пространство С непрерывных функций на отрезке [а,Ь], если положить |]x|| = max |х(7) | .

И здесь выполнение первых двух аксиом нормы оче­ видно, а неравенство треугольника для нормы прове­

В дальнейшем мы встретимся еще с рядом функцио­ нальных нормированных пространств.

Если применить общее определение сходимости, дан­ ное в метрических пространствах, к нормированному пространству, то получаем:

хт->х означает, что \\ хт — х\\-*0.

Эту сходимость мы будем иногда называть сходимостью по норме. По общим свойствам расстояния в метриче­

Следующие предложения выражают свойство непре­ рывности основных арифметических операций в норми­

Для ограниченности множества в нормированном пространстве X можно дать более простое определение, равносильное тому общему определению, которое было

всех его элементов в совокупности ограничены. Дей­ ствительно, если Л ограничено по общему определению,

и тем самым Л ограничено по общему определению. Фундаментальная последовательность {хт} в норми­

рованном пространстве, в соответствии с определением расстояния, характеризуется условием

всякой фундаментальной последовательности в совокуп­ ности ограничены.

Полное нормированное пространство, т. е. такое, в котором всякая фундаментальная последовательность имеет предел, называется банаховым. Введение этого термина объясняется тем, что С. Банах при построении теории нормированных пространств уделял главное вни­ мание' полным пространствам.

В нормированном пространстве можно рассматри­ вать ряды, составленные из элементов этого простран-

оо

ства: 2 хт. Сумма ряда определяется обычным способом,

m=1

как предел последовательности частичных сумм; если этот предел существует, ряд называется сходящимся.

§ 7. Линейные функционалы в нормированных пространствах

Обобщая понятие функции от одной переменной, да­ дим следующее определение: отображение метрического пространства (или какого-нибудь его подмножества) в множество вещественных или комплексных чисел назы­