книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

Элементы метрического пространства чаще назы­ ваются его точками.

В II. 1 мы видели, что расстояние в n-мерном евкли­ довом пространстве Rn обладает всеми этими свойства­ ми. Таким образом, /?„— частный случай метрического пространства. Однако при определении общего понятия метрического пространства все перечисленные требова­ ния не выводятся из каких-то других известных фактов, а формулируются в виде аксиом.

Приведем еще некоторые примеры метрических про­ странств.

1.Пусть множество I состоит из всех бесконечных

р {х, у) = 2 1h — % I •

і= і

Выполнение первых двух аксиом метрического про­ странства очевидно. Аксиома треугольника тоже почти

Таким образом, I — метрическое пространство.

*) И в этом и в следующих примерах можно не ограничиваться последовательностями, состоящими только из вещественных чисел, а рассматривать аналогичные комплексные пространства последова­ тельностей, состоящих из комплексных чисел,

2.Обозначим через 12 множество всех таких последо­

вательностей X = {£<} вещественных чисел, для которых 00

Коши (4) из гл. II справедливо и для бесконечных по­ следовательностей чисел щ и Ьі ( і — 1, 2, .. .). Действи­ тельно, беря произвольное натуральное п, запишем не­ равенство (4) из гл. II, а затем перейдем в нем к пределу при п —►оо. Получим неравенство

Ш— Л<} е= I2, т. е. р ( х , у ) < + оо.

Теперь проверка выполнения в 12 аксиом метриче­

ского пространства может быть произведена совершенно так же, как это сделано в II. 1 для /?„.

Пространство Z2 иногда называют б е с к о н е ч н о м е р н ы м

е в к л и д о в ы м п р о с т р а н с т в о м .

3. Пусть m — метрическое пространство, состоящее из всех ограниченных бесконечных числовых последова­ тельностей с расстоянием, определяемым для х = {£*} и У — (Лі) п0 формуле

Предоставляем читателю проверить, что т — дей­ ствительно метрическое пространство.

В пространствах, точками которых служат числовые последовательности, мы будем, как и в /?„, называть члены последовательности х — {Іі} координатами точки х.

4. Пусть С — множество всех вещественных непре­ рывных функций x(t), заданных на отрезке a ^ t ^ b , причем для любых двух элементов х, г / е С расстояние определено по формуле

Р(*. У) — птах I л: (t) — у (t) |.

Таким образом, расстояние в С есть максимальное от­ клонение одной функции от другой.

угольника для любых трех функций х, у и z из С про­

=шах Ix(t) — y(t) |.

Таким образом, С — метрическое пространство. Аналогичным образом можно превратить в метриче­

ское пространство множество всех непрерывных функ­ ций, заданных на ограниченном замкнутом множестве в пространстве /?„.

5. Рассмотрим то же множество функций, что и в

Легко проверить, что все аксиомы метрического - про­ странства выполнены. Таким образом, мы имеем метри­ ческое пространство, составленное из тех же элементов, что и С, но с другим определением расстояния. По­ скольку понятие метрического пространства содержит в себе определение расстояния, метрические простран­ ства, хотя и составленные из одних и тех же элементов,

равномерно относительно і. В пространстве С сходи­ мость по расстоянию равно­ сильна равномерной сходи­ мости функций, т. е. хп —»• X в С означает, что

max I хп(t) — X(О I -> 0.

Сходимость в CL наклады­ вает значительно менее тяже­ лые требования на последова­ тельность функций: эта после­ довательность может даже не сходиться ни в одной точке. Мы ограничимся более про­ стым примером, именно, по­

строим последовательность непрерывных функций на отрезке [0, 1], сходящуюся по расстоянию в CL к ï(/) = l, но не стремящуюся к единице при t — 0. Именно, поло­ жим (рис. 6)

1

nt при

Хп(0 :

Тогда легко подсчитать, что в метрике пространства CL, при x(t) гг 1,

р(Хп, х )= 2^-->0.

Если на отрезке [a, b] заданы две функции / и g, то число

-j \f( t) - g ( t ) \d t .

называется в приближенных вычислениях средним от­ клонением 1-го порядка одной из этих функций от дру­ гой. Ясно, что сходимость по расстоянию в CL равно-

сильна стремлению к нулю последовательности соответ­ ствующих средних отклонений.

Легко видеть, что если последовательность непрерыв­ ных функций сходится к пределу по расстоянию в С, то она сходится к тому же пределу и в CL. Обратное неверно, как показано выше.

§ 3. Замкнутые и открытые множества

Целый ряд понятий, введенных в II. 2 для простран­ ства /?„, без всякого изменения переносится и в произ­ вольное метрическое пространство Е : понятие открытого

так же, как в /?„, вводится определение замкнутого мно­ жества. Всё Е, пустое множество и любое конечное мно­ жество замкнуты.

Покажем, что всякий замкнутый шар S*(xo,r) пред­ ставляет замкнутое множество.

Действительно, пусть xn^S *(x0, г); тогда р(х„, х0) ^ ^ г. Если при этом хп -*х, то по непрерывности расстоя­

Основные свойства замкнутых множеств, установлен­ ные в теоремах II. 3.1—2, справедливы в любом метри­ ческом пространстве.

С понятием замкнутого множества тесно связана опе­ рация замыкания произвольного множества А а Е , за­ ключающаяся в присоединении к множеству А пределов всех сходящихся последовательностей его точек._Получаемое таким способом множество обозначается А и на­ зывается замыканием множества А.

Таким образом, всегда A czÄ . Множество А замкнуто тогда и только тогда, когда А — А.

Докажем, что в /?„ для любого открытого шара име­

Из непрерывности расстояния сразу следует, что ни одна точка, лежащая вне S*(x0, г), не может быть пре­ дельной для шара S(x0,r). С другой стороны, пусть точка х — Ці, І2 , In) такова, что р (х, х0) = г. По­ ложим

замечанию для каждого натурального п можно подо­

Теперь заметим, что всякое замкнутое множество F, содержащее А, должно содержать и пределы всех схо­ дящихся последовательностей точек из А. Следователь­ но, А cz F. Но так как само А замкнуто, то оно и есть наименьшее из всех замкнутых множеств F го А.

Без всякого изменения переносятся из Rn в произ­ вольное метрическое пространство Е понятие внутрен­ ней точки и понятие открытого множества. Всякий от­

крытых множеств с замкнутыми и основные свойства открытых множеств.

§4. Полные метрические пространства

Вматематическом анализе весьма важную роль играет то, что в совокупности вещественных чисел при­ знак сходимости Больцано — Коши является не только необходимым, но и достаточным. Этот признак в пол­ ном объеме переносится и в евклидово пространство/?„;

для того чтобы последовательность точек хт из Rn сходилась к некоторому пределу, необходимо и доста­ точно, чтобы р (хт, Хр) —►0 при т, р —ю о.

Доказательство необходимости условия Больцано—■ Коши в пространстве R n предоставляем читателю. Ниже эта часть признака будет доказана в произвольном мет­ рическом пространстве.